JEE Main 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $PQ$ खंभा है जिसकी ऊँचाई $h$ है।
$\Delta PAQ$ में,$\tan(30^o) = \frac{PQ}{AQ}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{AQ}$ $\Rightarrow AQ = h\sqrt{3}$।
$\Delta PQB$ में,$\tan(60^o) = \frac{PQ}{BQ}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{BQ}$ $\Rightarrow BQ = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
$10 \text{ मिनट}$ में तय की गई दूरी $AB = AQ - BQ = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{3h - h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि गति समान है,लिया गया समय तय की गई दूरी के समानुपाती होगा।
$AB$ दूरी तय करने में लगा समय $= 10 \text{ मिनट}$।
$BQ$ दूरी तय करने में लगा समय $= \frac{BQ}{AB} \times 10 = \frac{h/\sqrt{3}}{2h/\sqrt{3}} \times 10 = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ मिनट}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x + \cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) + 2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0$
$2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) [\cos \left(\frac{3x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)] = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos x \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0$
स्थिति $1$: $\cos \left(\frac{5x}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \pi, \frac{7\pi}{5}, \frac{9\pi}{5}$
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
स्थिति $3$: $\cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \pi$ (जो पहले से शामिल है)
कुल मानों की संख्या $7$ है।

(B) एक सम्मिश्र संख्या के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,उसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।
दिया गया व्यंजक: $Z = \frac{2 + 3i \sin \theta}{1 - 2i \sin \theta}$
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(1 + 2i \sin \theta)$ से गुणा करने पर:
$Z = \frac{(2 + 3i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}{(1 - 2i \sin \theta)(1 + 2i \sin \theta)}$
$Z = \frac{2 + 4i \sin \theta + 3i \sin \theta + 6i^2 \sin^2 \theta}{1 - (2i \sin \theta)^2}$
चूँकि $i^2 = -1$:
$Z = \frac{2 + 7i \sin \theta - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$Z = \frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \frac{7 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
वास्तविक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$\frac{2 - 6 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
$2 - 6 \sin^2 \theta = 0$
$6 \sin^2 \theta = 2$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{3}$
$\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(B) $SMALL$ में अक्षर $A, L, L, M, S$ हैं। वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $A, L, L, M, S$.
$1$. $A$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L, M, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
$2$. $L$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, M, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $4! = 24$ है।
$3$. $M$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, L, S$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{4!}{2!} = 12$ है।
$4$. $SA$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $L, L, M$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
$5$. $SL$ से शुरू होने वाले शब्द: शेष अक्षर $A, L, M$ हैं। व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 6$ है।
$6$. अगला शब्द स्वयं $SMALL$ है।
कुल रैंक $= 12 + 24 + 12 + 3 + 6 + 1 = 58$.
अतः,शब्द $SMALL$ का स्थान $58^{th}$ है।

(B) बहुपद $(a_1 + a_2 + \dots + a_k)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $(1 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2})^n$ के लिए,$k=3$ पद हैं।
अतः,पदों की संख्या $\binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$ है।
दिया गया है कि $\frac{(n+2)(n+1)}{2} = 28$,इसलिए $(n+2)(n+1) = 56$ है।
चूंकि $8 \times 7 = 56$,हमें $n+2 = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 6$।
विस्तार में गुणांकों का योग ज्ञात करने के लिए चर के स्थान पर $1$ प्रतिस्थापित किया जाता है।
गुणांकों का योग $= (1 - 2 + 4)^n = (3)^n$ है।
$n = 6$ के लिए,योग $3^6 = 729$ है।

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिए जाते हैं।
$2^{nd}, 5^{th},$ और $9^{th}$ पद क्रमशः $a+d, a+4d,$ और $a+8d$ हैं।
चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग प्रथम और तृतीय पद के गुणनफल के बराबर होगा:
$(a+4d)^2 = (a+d)(a+8d)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$a^2 + 8ad + 16d^2 = a^2 + 9ad + 8d^2$
$a^2$ को घटाने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$8d^2 = ad$
चूंकि $A.P.$ अचर नहीं है,$d \neq 0$,इसलिए हम $d$ से विभाजित कर सकते हैं:
$a = 8d$
$G.P.$ के पद हैं:
$T_2 = a+d = 8d+d = 9d$
$T_5 = a+4d = 8d+4d = 12d$
$T_9 = a+8d = 8d+8d = 16d$
सार्व अनुपात $r$ है:
$r = \frac{T_5}{T_2} = \frac{12d}{9d} = \frac{4}{3}$

(D) श्रेणी $S = \left(\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{12}{5}\right)^2 + \left(\frac{16}{5}\right)^2 + \left(\frac{20}{5}\right)^2 + \dots$ $10$ पदों तक है।
इसे $S = \frac{1}{25} \sum_{n=1}^{10} (4(n+1))^2 = \frac{16}{25} \sum_{n=1}^{10} (n+1)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $k = n+1$,तो योग $\frac{16}{25} \sum_{k=2}^{11} k^2$ होगा।
सूत्र $\sum_{k=1}^{N} k^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{11} k^2 = \frac{11(12)(23)}{6} = 506$।
चूंकि योग $k=2$ से शुरू होता है,$1^2 = 1$ घटाने पर: $506 - 1 = 505$।
अतः,$S = \frac{16}{25} \times 505 = \frac{16 \times 101}{5} = \frac{16}{5} \times 101$।
दिया गया है कि $S = \frac{16}{5}m$,इसलिए $m = 101$।

(A) समचतुर्भुज की दो भुजाओं वाली रेखाओं के समीकरण $L_1: x - y + 1 = 0$ और $L_2: 7x - y - 5 = 0$ हैं।
इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्ष $A$ है। $x - y = -1$ और $7x - y = 5$ को हल करने पर $6x = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ है। अतः,$A = (1, 2)$ है।
समचतुर्भुज के विकर्ण भुजाओं के बीच के कोणों को समद्विभाजित करते हैं। कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y - 5}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $5(x - y + 1) = \pm (7x - y - 5)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $5x - 5y + 5 = 7x - y - 5 \Rightarrow x + 2y - 5 = 0$।
स्थिति $2$: $5x - 5y + 5 = -7x + y + 5 \Rightarrow 2x - y = 0$।
चूंकि विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -2)$ से गुजरते हैं,इसलिए विकर्णों के समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ और $2x - y = 0$ हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $\left( \frac{1}{3}, - \frac{8}{3} \right)$ रेखा $x + 2y + 5 = 0$ पर स्थित है।

(B) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} - 8x - 8y - 4 = 0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(4, 4)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{4^{2} + 4^{2} - (-4)} = 6$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $R = k$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{(h - 4)^{2} + (k - 4)^{2}} = 6 + k$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - 4)^{2} + (k - 4)^{2} = (6 + k)^{2}$.
सरल करने पर:
$h^{2} - 8h + 16 + k^{2} - 8k + 16 = 36 + k^{2} + 12k$.
$h^{2} - 8h - 20k - 4 = 0$.
अतः,बिंदु पथ $x^{2} - 8x - 20y - 4 = 0$ है,जो एक परवलय का समीकरण है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ है। इसका केंद्र $O(2, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना $A(-3, 2)$ वृत्त $S$ का केंद्र है। दिए गए वृत्त का एक व्यास वृत्त $S$ की जीवा है। माना यह जीवा $BC$ है। चूँकि $BC$ पहले वृत्त का व्यास है,यह केंद्र $O(2, -3)$ से होकर गुजरता है।
$\Delta ABC$ में,$A$ वृत्त $S$ का केंद्र है,इसलिए $AB$ और $AC$ वृत्त $S$ की त्रिज्याएँ हैं। $O$ जीवा $BC$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $AO \perp BC$ है।
दूरी $AO$,$(-3, 2)$ और $(2, -3)$ के बीच की दूरी है:
$AO = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta AOB$ में,वृत्त $S$ की त्रिज्या $R$ कर्ण $AB$ है:
$R = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 5^2} = \sqrt{50 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$।

(A) दिया गया है,नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2b^2}{a} = 8$,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$.
संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2b = \frac{1}{2}(2ae)$,जो सरल होकर $b = \frac{ae}{2}$ या $b^2 = \frac{a^2e^2}{4}$ हो जाता है।
$b^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4a = \frac{a^2e^2}{4}$,जिससे $ae^2 = 16$ प्राप्त होता है (चूंकि $a \neq 0$)।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$b^2 = 4a$ प्रतिस्थापित करने पर: $4a = a^2(e^2 - 1)$।
चूंकि $a \neq 0$,हमारे पास $4 = a(e^2 - 1) = ae^2 - a$ है।
$ae^2 = 16$ प्रतिस्थापित करने पर: $4 = 16 - a$,जिससे $a = 12$ प्राप्त होता है।
अब,$ae^2 = 16 \implies 12e^2 = 16$।
$e^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$।
अतः,$e = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(C) किसी बिंदु से वक्र की न्यूनतम दूरी उस बिंदु पर वक्र के अभिलंब (normal) के अनुदिश होती है।
परवलय ${y^2} = 8x$ के लिए,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
बिंदु $P(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ पर परवलय का अभिलंब $y = -tx + 2at + at^3$ द्वारा दिया जाता है।
$a = 2$ रखने पर,अभिलंब $y = -tx + 4t + 2t^3$ है।
चूंकि यह अभिलंब वृत्त के केंद्र $C(0, -6)$ से गुजरता है,इसलिए:
$-6 = -t(0) + 4t + 2t^3
$ $\Rightarrow 2t^3 + 4t + 6 = 0
$ $\Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$।
निरीक्षण द्वारा,$t = -1$ एक मूल है।
$t = -1$ के लिए,बिंदु $P$ का मान $(2(-1)^2, 4(-1)) = (2, -4)$ है।
दूरी $CP$ अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$ है:
$r^2 = CP^2 = (2 - 0)^2 + (-4 - (-6))^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$।
केंद्र $P(2, -4)$ और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = 8$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 8
$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 8
$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 8y + 12 = 0$।

(A) दिया गया है $p = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (1 + \tan^2 \sqrt{x})^{\frac{1}{2x}}$.
यह $1^\infty$ रूप है,इसलिए हम सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x)-1)g(x)}$ का उपयोग करेंगे।
$p = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} (\tan^2 \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2x}}$.
चूंकि $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\tan^2 \sqrt{x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \left( \frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)^2 = 1^2 = 1$.
अतः,$p = e^{\frac{1}{2} \cdot 1} = e^{1/2}$.
प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log p = \log(e^{1/2}) = \frac{1}{2}$.

(D) मानक विचलन $(SD)$ का सूत्र $SD = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2}$ है।
दिया है $SD = 3.5 = \frac{7}{2}$,अतः $SD^2 = \frac{49}{4}$।
संख्याएँ $2, 3, a, 11$ हैं,इसलिए $n = 4$।
$\sum x_i = 2 + 3 + a + 11 = 16 + a$।
$\sum x_i^2 = 2^2 + 3^2 + a^2 + 11^2 = 134 + a^2$।
विचरण के सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{49}{4} = \frac{134 + a^2}{4} - \left(\frac{16 + a}{4}\right)^2$।
हर को हटाने के लिए $16$ से गुणा करने पर:
$49 \times 4 = 4(134 + a^2) - (16 + a)^2$।
$196 = 536 + 4a^2 - (256 + 32a + a^2)$।
$196 = 280 + 3a^2 - 32a$।
$3a^2 - 32a + 84 = 0$।

(C) $f(x)^{g(x)} = 1$ तब सत्य है यदि:
$1)$ $f(x) = 1 \Rightarrow x = 1, 4$.
$2)$ $f(x) = -1$ और $g(x)$ एक सम पूर्णांक हो $\Rightarrow x = 2$ (क्योंकि $x=3$ के लिए $g(x)$ विषम है).
$3)$ $g(x) = 0$ और $f(x) \neq 0 \Rightarrow x = -10, 6$.
अतः,$x$ के मान्य मान $1, 4, 2, -10, 6$ हैं।
उनका योग $1 + 4 + 2 - 10 + 6 = 3$ है।

(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं।
$E_1 = \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)\}$,इसलिए $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$E_2 = \{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)\}$,इसलिए $P(E_2) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$E_3$ वह घटना है कि योग विषम है,जो तब होता है जब एक पासा सम और दूसरा विषम हो। $P(E_3) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।
$E_1 \cap E_2 = \{(4, 2)\}$,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{36} = P(E_1)P(E_2)$। अतः,$E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र हैं।
$E_1 \cap E_3 = \{(4, 1), (4, 3), (4, 5)\}$,इसलिए $P(E_1 \cap E_3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P(E_1)P(E_3)$। अतः,$E_1$ और $E_3$ स्वतंत्र हैं।
$E_2 \cap E_3 = \{(1, 2), (3, 2), (5, 2)\}$,इसलिए $P(E_2 \cap E_3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P(E_2)P(E_3)$। अतः,$E_2$ और $E_3$ स्वतंत्र हैं।
$E_1, E_2, E_3$ के स्वतंत्र होने के लिए,$P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = P(E_1)P(E_2)P(E_3)$ होना चाहिए।
$E_1 \cap E_2 \cap E_3 = \{(4, 2)\} \cap E_3 = \emptyset$ क्योंकि योग $4+2=6$ सम है। इसलिए $P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = 0$।
चूंकि $0 \neq \frac{1}{72}$,इसलिए ये घटनाएं परस्पर स्वतंत्र नहीं हैं।

(A) माना व्यंजक $E = (p \wedge \sim q) \vee q \vee (\sim p \wedge q)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \wedge \sim q) \vee q \equiv (p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$.
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (पुनरुक्ति),इसलिए $(p \vee q) \wedge T \equiv p \vee q$.
अब,इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E \equiv (p \vee q) \vee (\sim p \wedge q)$.
पुनः वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \vee q) \vee (\sim p \wedge q) \equiv (p \vee q \vee \sim p) \wedge (p \vee q \vee q)$.
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$,इसलिए $(T \vee q) \wedge (p \vee q)$.
चूंकि $(T \vee q) \equiv T$,इसलिए $T \wedge (p \vee q) \equiv p \vee q$.
अतः,व्यंजक $p \vee q$ के समतुल्य है.

(A) माना $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.
$\sin^2 2x = 4 \cos^2 x (1 - \cos^2 x)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 4 \cos^4 x$.
$t = \cos^2 x$ रखने पर,जहाँ $t \in [0, 1]$.
$g(t) = -4t^2 + 2t + 4$.
अधिकतम मान $M$ के लिए $t = \frac{1}{4}$ रखने पर,$M = \frac{17}{4}$.
न्यूनतम मान $m$ के लिए $t = 1$ रखने पर,$m = 2$.
$M - m = \frac{17}{4} - 2 = \frac{9}{4}$.

(C) माना $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है।
समीकरणों को घटाने पर: $(b-1)\alpha = b+1 \implies \alpha = \frac{b+1}{b-1}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर $b^3+3b=0$ प्राप्त होता है।
अतः $b(b^2+3)=0$.
इस प्रकार,$|b| = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
चूंकि यह $y-$अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र $(r, 2)$ या $(-r, 2)$ है।
चूंकि वृत्त $(-2, 4)$ से गुजरता है,केंद्र $(-r, 2)$ होना चाहिए।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(-r, 2)$ से बिंदु $(0, 2)$ तक की दूरी है,जो $r$ है।
केंद्र $(-r, 2)$ से $(-2, 4)$ तक की दूरी भी $r$ है।
अतः,$(-r - (-2))^2 + (2 - 4)^2 = r^2$
$(2 - r)^2 + (-2)^2 = r^2$
$4 - 4r + r^2 + 4 = r^2$
$8 - 4r = 0 \Rightarrow r = 2.$
इस प्रकार,केंद्र $(-2, 2)$ है।
वृत्त का व्यास केंद्र $(-2, 2)$ से होकर गुजरना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$ के लिए: $2(-2) - 3(2) + 10 = -4 - 6 + 10 = 0.$
चूंकि केंद्र $(-2, 2)$ समीकरण $2x - 3y + 10 = 0$ को संतुष्ट करता है,इसलिए यह रेखा एक व्यास है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 4x + 3y - 12 = 0$ और $L_2: 3x + 4y - 12 = 0$ हैं।
उनके प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $L_1 + \lambda L_2 = 0$ है,जो $(4x + 3y - 12) + \lambda(3x + 4y - 12) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,$x(4 + 3\lambda) + y(3 + 4\lambda) - 12(1 + \lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
यह रेखा अक्षों को $A\left(\frac{12(1 + \lambda)}{4 + 3\lambda}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{12(1 + \lambda)}{3 + 4\lambda}\right)$ पर काटती है।
माना $AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। अतः $h = \frac{6(1 + \lambda)}{4 + 3\lambda}$ और $k = \frac{6(1 + \lambda)}{3 + 4\lambda}$।
इससे,$\frac{1}{h} = \frac{4 + 3\lambda}{6(1 + \lambda)}$ और $\frac{1}{k} = \frac{3 + 4\lambda}{6(1 + \lambda)}$।
दोनों को जोड़ने पर,$\frac{1}{h} + \frac{1}{k} = \frac{7 + 7\lambda}{6(1 + \lambda)} = \frac{7}{6}$।
अतः,$\frac{h + k}{hk} = \frac{7}{6}$,जिसका अर्थ है $6(h + k) = 7hk$।
बिंदुपथ $6(x + y) = 7xy$ है।

(D) माना $f(x) = \sqrt{2 \sin^4 x + 18 \cos^2 x} - \sqrt{2 \cos^4 x + 18 \sin^2 x}$ है।
हमें $|f(x)| = 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $f(x) = 1$ या $f(x) = -1$ है।
$u = \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने और समीकरण को हल करने पर,अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x$ के $8$ हल प्राप्त होते हैं।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
यहाँ,$a = 3\sqrt{3}$ और $b = \sqrt{3}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + \frac{y \sin \theta}{\sqrt{3}} = 1$ है।
$A$ के निर्देशांक $(\frac{3\sqrt{3}}{\cos \theta}, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, \frac{\sqrt{3}}{\sin \theta})$ हैं।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{\cos \theta} \times \frac{\sqrt{3}}{\sin \theta} = \frac{9}{\sin 2\theta}$ है।
क्षेत्रफल न्यूनतम होने के लिए $\sin 2\theta = 1$ होना चाहिए।
अतः,$\Delta_{\min} = 9$ वर्ग इकाई।

(A) दी गई संख्याएँ $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ हैं। यह $n = 101$ पदों वाली एक समांतर श्रेणी है।
माध्य $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{k=0}^{100} (1 + kd) = 1 + 50d$ है।
माध्य से माध्य विचलन:
$MD = \frac{|d|}{101} \sum_{k=0}^{100} |k - 50| = \frac{|d|}{101} \times 2550 = 255$.
अतः,$|d| = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(D) हमारे पास व्यंजक $\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r - 1}} \right)}$ है।
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^{15}C_r}{^{15}C_{r-1}} = \frac{16-r}{r}$.
योग में मान रखने पर:
$\sum\limits_{r = 1}^{15} {{r^2} \left( \frac{16-r}{r} \right)} = \sum\limits_{r = 1}^{15} {r(16-r)} = \sum\limits_{r = 1}^{15} {(16r - r^2)}$.
यह $16 \sum\limits_{r = 1}^{15} r - \sum\limits_{r = 1}^{15} r^2$ के बराबर है।
$n=15$ के लिए $\sum_{r=1}^n r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^n r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ सूत्रों का उपयोग करने पर:
$16 \left( \frac{15 \times 16}{2} \right) - \left( \frac{15 \times 16 \times 31}{6} \right)$.
$= 16 \times 120 - 5 \times 8 \times 31 = 1920 - 1240 = 680$.

(D) रेखा $L$ का समीकरण $x - y = 4$ है,जिसका ढाल $m = 1$ है।
चूंकि बिंदु $P(2, 1)$ को $L$ के समांतर स्थानांतरित किया जाता है,नया बिंदु $Q(x, y)$ उस रेखा पर स्थित है जो $L$ के समांतर है।
$P$ और $Q$ से गुजरने वाली रेखा का ढाल $1$ है।
$P(2, 1)$ और $Q(x, y)$ के बीच की दूरी $2\sqrt{3}$ है।
रेखा के प्राचलिक रूप का उपयोग करते हुए,$Q$ के निर्देशांक $(2 \pm 2\sqrt{3} \cos \theta, 1 \pm 2\sqrt{3} \sin \theta)$ हैं,जहाँ $\tan \theta = 1$,इसलिए $\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$Q = (2 \pm \sqrt{6}, 1 \pm \sqrt{6})$।
चूंकि $Q$ तीसरे चतुर्थांश में है,दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होने चाहिए।
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $Q = (2 - \sqrt{6}, 1 - \sqrt{6})$।
$Q$ से गुजरने वाली और $L$ के लंबवत रेखा का ढाल $m' = -1$ है।
समीकरण: $y - (1 - \sqrt{6}) = -1(x - (2 - \sqrt{6}))$।
$y - 1 + \sqrt{6} = -x + 2 - \sqrt{6}$।
$x + y = 3 - 2\sqrt{6}$।

(B) एक सशर्त कथन $p \Rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\neg q \Rightarrow \neg p$ होता है। प्रतिधनात्मक का सत्यता मान मूल कथन के सत्यता मान के समान होता है।
कथन $P: p \Rightarrow q$ के लिए,जहाँ $p$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य) और $q$ है '$7, 2$ से विभाज्य है' (असत्य)।
चूंकि $T \Rightarrow F$ का मान $F$ होता है,इसलिए सत्यता मान $V_1 = F$ है।
कथन $Q: p \Rightarrow q$ के लिए,जहाँ $p$ है '$7$ एक अभाज्य संख्या है' (सत्य) और $q$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य)।
चूंकि $T \Rightarrow T$ का मान $T$ होता है,इसलिए सत्यता मान $V_2 = T$ है।
अतः,क्रमित युग्म $(V_1, V_2) = (F, T)$ है।

(A) प्रारंभिक स्थिति $z_0 = 2 + i$ है,जो आर्गंड समतल में बिंदु $(2, 1)$ के अनुरूप है।
$1 \, \text{unit}$ पूर्व की ओर चलने पर स्थिति $(2+1, 1) = (3, 1)$ हो जाती है।
$2 \, \text{units}$ उत्तर की ओर चलने पर स्थिति $(3, 1+2) = (3, 3)$ हो जाती है।
अंत में,$2\sqrt{2} \, \text{units}$ दक्षिण-पश्चिम दिशा में चलने का अर्थ है $2 \, \text{units}$ पश्चिम और $2 \, \text{units}$ दक्षिण की ओर चलना (क्योंकि विस्थापन सदिश $(-2, -2)$ है)।
अंतिम स्थिति $(3-2, 3-2) = (1, 1)$ है।
यह सम्मिश्र संख्या $1 + i$ के अनुरूप है।

(B) दी गई सीमा $1^{\infty}$ रूप की है।
हम सूत्र $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x)}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$f(x) = \frac{a}{x} - \frac{4}{x^2}$ और $g(x) = 2x$ है।
अतः,सीमा $e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{a}{x} - \frac{4}{x^2}) \cdot 2x} = e^3$ हो जाती है।
घातांक को सरल करने पर: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{2ax}{x} - \frac{8x}{x^2}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (2a - \frac{8}{x}) = 2a - 0 = 2a$।
इस प्रकार,$e^{2a} = e^3$ है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2a = 3$,जिससे $a = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $x + y + z = 12$ और $x^3y^4z^5 = (0.1)(600)^3$ है।
भारित समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{3(\frac{x}{3}) + 4(\frac{y}{4}) + 5(\frac{z}{5})}{3+4+5} \ge ((\frac{x}{3})^3 (\frac{y}{4})^4 (\frac{z}{5})^5)^{1/12}$
$\frac{x+y+z}{12} \ge (\frac{x^3 y^4 z^5}{3^3 4^4 5^5})^{1/12}$
$\frac{12}{12} \ge (\frac{x^3 y^4 z^5}{27 \times 256 \times 3125})^{1/12}$
$1 \ge \frac{x^3 y^4 z^5}{21600000}$
$x^3 y^4 z^5 \le 21600000 = (0.1)(600)^3$.
चूँकि समानता लागू होती है,इसलिए $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} = k$ होगा।
अतः $x = 3k, y = 4k, z = 5k$ है।
$3k + 4k + 5k = 12 \implies 12k = 12 \implies k = 1$ है।
इस प्रकार,$x = 3, y = 4, z = 5$ है।
इसलिए,$x^3 + y^3 + z^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 = 27 + 64 + 125 = 216$।

(A) उत्केंद्रता के लिए समीकरण: $9e^2 - 18e + 5 = 0$.
$e$ के लिए हल करने पर: $(3e - 1)(3e - 5) = 0$,अतः $e = 1/3$ या $e = 5/3$. चूंकि अतिपरवलय के लिए $e > 1$ होता है,इसलिए $e = 5/3$ है।
नाभि $S(ae, 0)$ और नियता $x = a/e$ वाले अतिपरवलय के लिए,$ae = 5$ और $a/e = 9/5$ है।
इनका गुणा करने पर: $(ae)(a/e) = 5 \times (9/5) \Rightarrow a^2 = 9$.
$ae = 5$ और $e = 5/3$ का उपयोग करने पर,$a(5/3) = 5 \Rightarrow a = 3$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$.
$b^2 = 9((5/3)^2 - 1) = 9(25/9 - 1) = 9(16/9) = 16$.
अतः,$a^2 - b^2 = 9 - 16 = -7$.

(A) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $A = (1 + x)^{2016},$ सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1 + x},$ और $n = 2017$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = A \frac{1 - r^n}{1 - r}$ का उपयोग करने पर:
$S = (1 + x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1 + x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
इसे सरल करने पर $S = (1 + x)^{2017} - x^{2017}$ प्राप्त होता है।
हमें $(1 + x)^{2017} - x^{2017}$ के विस्तार में $x^{17}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(1 + x)^{2017} = \sum_{k=0}^{2017} \binom{2017}{k} x^k.$
अतः $x^{17}$ का गुणांक $\binom{2017}{17} = \frac{2017!}{17! 2000!}$ है।

(B) $MEDITERRANEAN$ शब्द में $13$ अक्षर हैं: $M(1), E(3), D(1), I(1), T(1), R(2), A(2), N(2)$.
हमें $R \_ \_ E$ रूप के $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं।
बीच के दो स्थानों को दो तरीकों से भरा जा सकता है:
$1$. दोनों अक्षर समान हों: उपलब्ध जोड़े $(E, E), (A, A), (N, N)$ हैं। ऐसे $3$ जोड़े हैं।
$2$. दोनों अक्षर भिन्न हों: हम ${M, E, D, I, T, R, A, N}$ समुच्चय से $2$ भिन्न अक्षर चुनते हैं। कुल $8$ भिन्न अक्षर उपलब्ध हैं। बीच के $2$ स्थानों में $2$ भिन्न अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ हैं।
शब्दों की कुल संख्या = $3 56 = 59$.

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(4t^2 + 3, 8t^3 - 1)$ हैं।
$P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24t^2}{8t} = 3t$ है।
मान लीजिए कि बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(4\lambda^2 + 3, 8\lambda^3 - 1)$ हैं।
रेखा $PQ$ की ढाल $\frac{8\lambda^3 - 8t^3}{4\lambda^2 - 4t^2} = \frac{2(\lambda^3 - t^3)}{\lambda^2 - t^2} = \frac{2(\lambda - t)(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{(\lambda - t)(\lambda + t)} = \frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t}$ है।
चूंकि $PQ$,$P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए इसकी ढाल $3t$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t} = 3t.$
$2\lambda^2 + 2\lambda t + 2t^2 = 3t\lambda + 3t^2.$
$2\lambda^2 - t\lambda - t^2 = 0.$
$(2\lambda + t)(\lambda - t) = 0.$
चूंकि $\lambda \neq t$ (क्योंकि $Q$ एक अलग बिंदु है),हमें $\lambda = -t/2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -t/2$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,$x = 4(-t/2)^2 + 3 = t^2 + 3$ और $y = 8(-t/2)^3 - 1 = -t^3 - 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(t^2 + 3, -t^3 - 1)$ हैं।

(B) माना सामान्य पद $T_r = (r^2 + 1)r!$ है।
हम पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$T_r = (r^2 + r - r + 1)r! = (r(r+1) - (r-1))r!$
$T_r = r(r+1)! - (r-1)r!$
यह $f(r) - f(r-1)$ के रूप की एक टेलीस्कोपिंग श्रृंखला है जहाँ $f(r) = r(r+1)!$ है।
$r=1$ से $10$ तक योग करने पर:
$\sum_{r=1}^{10} T_r = \sum_{r=1}^{10} [r(r+1)! - (r-1)r!] $
$= [1(2!) - 0(1!)] + [2(3!) - 1(2!)] + [3(4!) - 2(3!)] + \dots + [10(11!) - 9(10!)]$
$= 10(11!)$.

(D) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और मीनार का आधार $P$ है।
बिंदु $A$ से,जो मीनार के पूर्व में है,उन्नयन कोण $45^\circ$ है। अतः,$AP = H \cot 45^\circ = H$.
बिंदु $B$ से,जो $A$ के दक्षिण में है,उन्नयन कोण $30^\circ$ है। अतः,$BP = H \cot 30^\circ = H\sqrt{3}$.
चूँकि $A$ पूर्व में है और $B$,$A$ के दक्षिण में है,$\triangle PAB$ बिंदु $A$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AB^2 + AP^2 = BP^2$
$(54\sqrt{2})^2 + H^2 = (H\sqrt{3})^2$
$5832 + H^2 = 3H^2$
$2H^2 = 5832$
$H^2 = 2916$
$H = 54 \, \text{m}$.

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए प्राचल $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $P(t)$ पर अभिलंब $y = -tx + 2t + t^3$ होगा।
चूंकि यह अभिलंब $Q(t_1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $t_1^2 = -t(t_1) + 2t + t^3$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$t_1^2 = (-t - \frac{2}{t})^2 = t^2 + \frac{4}{t^2} + 4$ प्राप्त होता है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका का उपयोग करने पर,$t^2 + \frac{4}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{4}{t^2}} = 4$।
अतः,$t_1^2$ का न्यूनतम मान $4 + 4 = 8$ है।

(A) $A.P.$ में,शुरुआत और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों का योग स्थिर होता है। विशेष रूप से,$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
दिया गया है कि $a_3 + a_7 + a_{11} + a_{15} = 72$.
हम जानते हैं कि $a_3 + a_{15} = a_1 + a_{17}$ और $a_7 + a_{11} = a_1 + a_{17}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a_1 + a_{17}) + (a_1 + a_{17}) = 72$
$2(a_1 + a_{17}) = 72$
$a_1 + a_{17} = 36$.
प्रथम $17$ पदों का योग $S_{17} = \frac{17}{2}(a_1 + a_{17})$ द्वारा प्राप्त होता है।
$S_{17} = \frac{17}{2} \times 36 = 17 \times 18 = 306$.

(B) $z = 1 + ai$
$z^3 = (1 + ai)^3 = 1 + 3ai - 3a^2 - a^3i = (1 - 3a^2) + i(3a - a^3)$
चूंकि $z^3$ वास्तविक है,काल्पनिक भाग शून्य होगा:
$3a - a^3 = 0 \Rightarrow a = \sqrt{3}$ (क्योंकि $a > 0$).
$z = 1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$.
योग $S = \frac{z^{12} - 1}{z - 1}$.
$z^{12} = 2^{12}(\cos 4\pi + i \sin 4\pi) = 4096$.
$S = \frac{4096 - 1}{\sqrt{3}i} = \frac{4095}{\sqrt{3}i} = -1365\sqrt{3}i$.

(A) वृत्त का केंद्र रेखाओं $x - y = 1$ और $2x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x - y) + (2x + y) = 1 + 3 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}$.
$x = \frac{4}{3}$ को $x - y = 1$ में रखने पर: $\frac{4}{3} - y = 1 \implies y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
अतः,केंद्र $O$ बिंदु $\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ है।
स्पर्श बिंदु $P(1, -1)$ है।
त्रिज्या $OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{\frac{1}{3} - (-1)}{\frac{4}{3} - 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{3}} = 4$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{1}{4}$ होगी।
बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{4}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -\frac{1}{4}(x - 1)$
$4(y + 1) = -(x - 1)$
$4y + 4 = -x + 1$
$x + 4y + 3 = 0$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 4x + 3y - 10 = 0$ और $L_2: 8x + 6y + 5 = 0$ हैं।
ध्यान दें कि $L_2$ को $2(4x + 3y) + 5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $4x + 3y = -2.5$।
चूंकि रेखाएँ $4x + 3y = 10$ और $4x + 3y = -2.5$ समानांतर हैं,मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरने वाली कोई भी रेखा उन्हें बिंदुओं $A$ और $B$ पर इस प्रकार काटेगी कि दूरियों $OA$ और $OB$ का अनुपात मूल बिंदु से इन रेखाओं की लंबवत दूरियों के अनुपात के बराबर होगा।
$(0,0)$ से $4x + 3y - 10 = 0$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|-10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{10}{5} = 2$ है।
$(0,0)$ से $8x + 6y + 5 = 0$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|5|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} = \frac{5}{10} = 0.5 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि रेखाएँ मूल बिंदु के विपरीत पक्षों पर हैं,इसलिए मूल बिंदु $O$,रेखाखंड $AB$ को $OA:OB = d_1:d_2 = 2 : \frac{1}{2} = 4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(A) दिया गया है $A + B = \frac{\pi}{6}$। मान लीजिए $y = \tan A + \tan B$ है।
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{y}{1 - \tan A \tan B}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan A \tan B = 1 - \sqrt{3}y$।
चूंकि $A, B > 0$ और $A+B = \frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\tan A$ और $\tan B$ दोनों धनात्मक हैं,अतः $\tan A \tan B > 0$,जिसका अर्थ है $1 - \sqrt{3}y > 0$,या $y < \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$AM \ge GM$ के अनुसार,$\frac{\tan A + \tan B}{2} \ge \sqrt{\tan A \tan B}$।
$y$ का मान रखने पर,$\frac{y}{2} \ge \sqrt{1 - \sqrt{3}y}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{y^2}{4} \ge 1 - \sqrt{3}y$,इसलिए $y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 \ge 0$।
$y^2 + 4\sqrt{3}y - 4 = 0$ के मूल $y = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 + 16}}{2} = -2\sqrt{3} \pm 4$ हैं।
चूंकि $y > 0$ है,इसलिए $y \ge 4 - 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) माना आपतित किरण की ढाल $m$ है। रेखा $7x - y + 1 = 0$ की ढाल $m_1 = 7$ है। परावर्तित किरण $y + 2x = 1$ की ढाल $m_2 = -2$ है।
चूंकि आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,आपतित किरण और दर्पण रेखा के बीच का कोण,परावर्तित किरण और दर्पण रेखा के बीच के कोण के बराबर होगा।
दो रेखाओं के बीच के कोण के सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{m - 7}{1 + 7m} \right| = \left| \frac{7 - (-2)}{1 + 7(-2)} \right| = \left| \frac{9}{1 - 14} \right| = \frac{9}{13}$.
स्थिति $1$: $\frac{m - 7}{1 + 7m} = \frac{9}{13} \Rightarrow m = -2$. रेखा का समीकरण $2x + y - 1 = 0$ प्राप्त होता है (जो स्वयं परावर्तित किरण है)।
स्थिति $2$: $\frac{m - 7}{1 + 7m} = -\frac{9}{13}$ $\Rightarrow 76m = 82$ $\Rightarrow m = \frac{41}{38}$.
आपतित रेखा का समीकरण $y - 1 = \frac{41}{38}(x - 0) \Rightarrow 41x - 38y + 38 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया शांकव $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
इसकी नाभियाँ $(0, \pm 2)$ हैं।
अतिपरवलय के शीर्ष $(0, \pm 2)$ हैं,इसलिए $a = 2$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{3}{2}$ होने पर,$b^2 = a^2(e^2 - 1) = 4(\frac{9}{4} - 1) = 5$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{5} = 1$ है।
बिंदु $(5, 2\sqrt{3})$ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

(C) एक सशर्त कथन $p \to q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \to \sim p$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $p$ कथन है: "वर्ग की भुजा दोगुनी हो जाती है।"
मान लीजिए $q$ कथन है: "उसका क्षेत्रफल चार गुना बढ़ जाता है।"
अतः प्रतिधनात्मक $\sim q \to \sim p$ है: "यदि वर्ग का क्षेत्रफल चार गुना नहीं बढ़ता है,तो उसकी भुजा दोगुनी नहीं होती है।"
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(C) समुच्चय $P$ के लिए,हमारे पास $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है।
$(\sqrt{2} - 1)$ से गुणा करने पर,$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = \cos \theta$ हो जाता है।
अतः,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
यह समुच्चय $Q$ के लिए निर्धारित शर्त है।
इसलिए,$P = Q$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{{}^{n + 2}C_6}{{}^{n - 2}P_2} = 11$
सूत्र ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ और ${}^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)}{720}}{(n-2)(n-3)} = 11$
$(n+2)(n+1)n(n-1) = 11 \times 720 = 7920$
$n=9$ रखने पर:
$(11)(10)(9)(8) = 7920$
अतः,$n=9$ हल है।
विकल्प $C$ के लिए जाँच:
$n^2 + 3n - 108 = (9)^2 + 3(9) - 108 = 81 + 27 - 108 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1} = 1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 1})^2 = 1^2$
$(2x + 1) + (2x - 1) - 2\sqrt{(2x + 1)(2x - 1)} = 1$
$4x - 2\sqrt{4x^2 - 1} = 1$
$4x - 1 = 2\sqrt{4x^2 - 1}$
पुनः वर्ग करने पर: $(4x - 1)^2 = 4(4x^2 - 1)$
$16x^2 - 8x + 1 = 16x^2 - 4$
$-8x = -5 \implies x = \frac{5}{8}$
अब,$x = \frac{5}{8}$ को $\sqrt{4x^2 - 1}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{4(\frac{5}{8})^2 - 1} = \sqrt{4(\frac{25}{64}) - 1} = \sqrt{\frac{25}{16} - 1} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$

(C) दिया गया है $n = 5$,माध्य $\bar{x} = 5$,और प्रसरण $\sigma^2 = 124$.
माना प्रेक्षण $x_1=1, x_2=2, x_3=6, x_4, x_5$ हैं।
चूँकि $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$,इसलिए $1+2+6+x_4+x_5 = 25$,जिससे $x_4+x_5 = 16$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 124$.
$\frac{1^2+2^2+6^2+x_4^2+x_5^2}{5} - 5^2 = 124$ $\Rightarrow \frac{1+4+36+x_4^2+x_5^2}{5} = 149$ $\Rightarrow x_4^2+x_5^2 = 704$.
माध्य विचलन $M$.$D$. $= \frac{1}{5} \sum |x_i - 5| = \frac{1}{5} (|1-5| + |2-5| + |6-5| + |x_4-5| + |x_5-5|)$.
$|x_4-5| + |x_5-5| = |x_4+x_5-10| = |16-10| = 6$.
$M$.$D$. $= \frac{4+3+1+6}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$.

(C) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {1 - \cos 2x} \right)}^2}}}{{2x\tan x - x\tan 2x}}$.
सर्वसमिका $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {2\sin^2 x} \right)}^2}}}{{2x\tan x - x\tan 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4\sin^4 x}}{{2x\tan x - x\tan 2x}}$.
टेलर श्रेणी विस्तार $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ और $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ का उपयोग करने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4(x - \frac{x^3}{6})^4}}{{2x(x + \frac{x^3}{3}) - x(2x + \frac{(2x)^3}{3})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x^4}}{{2x^2 + \frac{2x^4}{3} - 2x^2 - \frac{8x^4}{3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x^4}}{-\frac{6x^4}{3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x^4}}{-2x^4} = -2$.

(A) दिया गया है $Q = PAP^T$। ध्यान दें कि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $PP^T = I$ और $P^T = P^{-1}$।
हमें $X = P^T Q^{2005} P$ की गणना करनी है।
चूँकि $Q = PAP^T$,हमारे पास $Q^n = (PAP^T)(PAP^T)...(PAP^T) = PA^n P^T$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$X = P^T (PA^{2005}P^T) P$
$X = (P^T P) A^{2005} (P^T P)$
चूँकि $P^T P = I$,हमें $X = I A^{2005} I = A^{2005}$ प्राप्त होता है।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,इस मैट्रिक्स का गुणधर्म है: $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{2005} = \begin{bmatrix} 1 & 2005 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम इसे $f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x \right) = -\sin 4x$.
$f'(x) > 0$ रखने पर,$-\sin 4x > 0$,जिसका अर्थ है $\sin 4x < 0$.
ज्या (sine) फलन अंतराल $(\pi, 2\pi)$ में ऋणात्मक होता है।
अतः,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ से भाग देने पर,$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{8}$ इस सीमा का एक उपसमुच्चय है,इसलिए फलन इस अंतराल में वर्धमान है।

(B) दी गई रेखा $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+4}{3}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (2, -1, 3)$ है और रेखा पर स्थित एक बिंदु $P(3, -2, -4)$ है।
समतल का समीकरण $lx + my - z = 9$ है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (l, m, -1)$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$:
$2l - m - 3 = 0 \Rightarrow 2l - m = 3$ ....$(1)$
साथ ही,बिंदु $P(3, -2, -4)$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:
$l(3) + m(-2) - (-4) = 9$
$3l - 2m + 4 = 9$
$3l - 2m = 5$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(1)$ से,$m = 2l - 3$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3l - 2(2l - 3) = 5$
$3l - 4l + 6 = 5$
$-l = -1 \Rightarrow l = 1$
$l = 1$ को $(1)$ में रखने पर:
$m = 2(1) - 3 = -1$
अतः,$l^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.

(D) बिंदु $(1, -5, 9)$ से गुजरने वाली और रेखा $x = y = z$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$
$\lambda + 15 = 5$
$\lambda = -10$.
$\lambda = -10$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = (-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$.
बिंदुओं $(1, -5, 9)$ और $(-9, -15, -1)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2}$
$d = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

(D) यह क्षेत्र $y^2 \geq 2x$ (परवलय के बाहर) और $x^2+y^2 \leq 4x$ (वृत्त के अंदर) द्वारा चतुर्थ चतुर्थांश $(x \geq 0, y \leq 0)$ में परिभाषित है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(2,0)$ और त्रिज्या $2$ है।
$y^2 = 2x$ और $x^2+y^2 = 4x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = 2x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + 2x = 4x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$.
अतः,$x=0$ और $x=2$. $x=2$ के लिए,$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. चूँकि $y \leq 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -2)$ है।
क्षेत्रफल चतुर्थ चतुर्थांश में $x=0$ से $x=2$ तक वृत्त और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन है।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (\sqrt{4x-x^2} - \sqrt{2x}) dx = \pi - \frac{8}{3}$.

(D) माना $L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots \left( {3n} \right)}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln L = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=1}^{2n} \ln \left( {\frac{{n+r}}{n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r=1}^{2n} \ln \left( {1 + \frac{r}{n}} \right)$.
यह एक रीमैन योग है,जो निश्चित समाकल में परिवर्तित हो जाता है:
$\ln L = \int\limits_0^2 \ln(1+x) dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int \ln(1+x) dx = (1+x)\ln(1+x) - (1+x) + C$.
निश्चित समाकल का मान ज्ञात करने पर:
$\ln L = \left[ (1+x)\ln(1+x) - x \right]_0^2 = (3\ln 3 - 2) - (1\ln 1 - 0) = 3\ln 3 - 2$.
अतः,$L = e^{3\ln 3 - 2} = e^{\ln(3^3) - 2} = e^{\ln 27} \cdot e^{-2} = \frac{27}{e^2}$.

(B) समघात रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta = 0$।
गुणांक आव्यूह है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-\lambda) - (-1)(1)) - \lambda((\lambda)(-\lambda) - (-1)(1)) - 1((\lambda)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(\lambda + 1) - \lambda(-\lambda^2 + 1) - 1(\lambda + 1) = 0$
$(\lambda + 1) - \lambda(1 - \lambda^2) - (\lambda + 1) = 0$
$-\lambda(1 - \lambda)(1 + \lambda) = 0$
$\lambda(1 - \lambda)(1 + \lambda) = 0$
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 0, 1, -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda$ के ठीक तीन मानों के लिए निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
$A$ का परिवर्त आव्यूह $A^T = \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix}$ है।
$A \cdot A^T$ की गणना करने पर:
$A \cdot A^T = \begin{bmatrix} 5a & -b \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5a & 3 \\ -b & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25a^2 + b^2 & 15a - 2b \\ 15a - 2b & 13 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$,जहाँ $|A| = (5a)(2) - (-b)(3) = 10a + 3b$.
अतः,$A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 10a + 3b & 0 \\ 0 & 10a + 3b \end{bmatrix}$.
दिया गया है $A \cdot \text{adj}(A) = A \cdot A^T$,इसलिए संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $15a - 2b = 0 \implies 15a = 2b \implies b = \frac{15a}{2}$.
$2$) $10a + 3b = 13$.
दूसरे समीकरण में $b = \frac{15a}{2}$ रखने पर:
$10a + 3(\frac{15a}{2}) = 13$
$10a + \frac{45a}{2} = 13$
$\frac{20a + 45a}{2} = 13$
$65a = 26 \implies a = \frac{26}{65} = \frac{2}{5}$.
अब $b$ का मान ज्ञात करते हैं:
$b = \frac{15}{2} \times \frac{2}{5} = 3$.
अतः,$5a + b = 5(\frac{2}{5}) + 3 = 2 + 3 = 5$.

(D) दिया गया है $f(x) = |\log 2 - \sin x|$। चूँकि $\log 2 \approx 0.693 < 1$,$x=0$ के निकट,$\sin x$ छोटा है,इसलिए $\log 2 - \sin x > 0$ होगा। अतः,$x=0$ के सामीप्य में $f(x) = \log 2 - \sin x$ है।
तब $g(x) = f(f(x)) = \log 2 - \sin(f(x)) = \log 2 - \sin(\log 2 - \sin x)$।
चूँकि $f(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है और अवकलनीय फलनों का संयोजन भी अवकलनीय होता है,इसलिए $g(x)$,$x=0$ पर अवकलनीय है।
अब,$g'(x) = -\cos(\log 2 - \sin x) \cdot (-\cos x) = \cos(\log 2 - \sin x) \cdot \cos x$।
$x=0$ पर मान रखने पर,$g'(0) = \cos(\log 2 - \sin 0) \cdot \cos 0 = \cos(\log 2) \cdot 1 = \cos(\log 2)$।

(D) दिया गया है $f(x) = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}\right)$.
$1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$ और $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}\right) = \tan^{-1}\left(\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर,$f(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
अवकलज $f'(x) = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{\pi}{6}$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -2$ है।
$(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3})$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{\pi}{3} = -2(x - \frac{\pi}{6})$ है।
$y - \frac{\pi}{3} = -2x + \frac{\pi}{3} \Rightarrow y = -2x + \frac{2\pi}{3}$.
बिंदुओं की जाँच करने पर,यदि $x = 0$ है,तो $y = \frac{2\pi}{3}$। अतः,यह $(0, \frac{2\pi}{3})$ से होकर गुजरता है।

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1 + xy)dx = xdy$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $ydx + xy^2 dx = xdy$.
$xy^2 dx = xdy - ydx$.
दोनों पक्षों को $xy^2$ से विभाजित करने पर: $dx = \frac{xdy - ydx}{xy^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{xdy - ydx}{y^2}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $dx = \frac{1}{x} d(\frac{x}{y})$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{xdy - ydx}{y^2} = x dx$.
यह $d(\frac{x}{y}) = x dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \frac{x^2}{2} + C$.
चूंकि वक्र $(1, -1)$ से गुजरता है,$x=1, y=-1$ रखने पर: $\frac{1}{-1} = \frac{1^2}{2} + C$.
$-1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
अतः,$\frac{x}{y} = \frac{x^2 - 3}{2} \Rightarrow y = \frac{2x}{x^2 - 3}$.
अब,$f(-\frac{1}{2})$ ज्ञात करने पर: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{2(-\frac{1}{2})}{(-\frac{1}{2})^2 - 3} = \frac{-1}{\frac{1}{4} - 3} = \frac{-1}{-\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}$.

(D) माना $I = \int \frac{{2{x^{12}} + 5{x^9}}}{{{{\left( {{x^5} + {x^3} + 1} \right)}^3}}}dx$.
अंश और हर को ${x^{15}}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{{\frac{{2{x^{12}}}}{{{x^{15}}}} + \frac{{5{x^9}}}{{{x^{15}}}}}}{{{{\left( {\frac{{{x^5} + {x^3} + 1}}{{{x^5}}}} \right)}^3}}}dx = \int \frac{{2{x^{ - 3}} + 5{x^{ - 6}}}}{{{{\left( {1 + {x^{ - 2}} + {x^{ - 5}}} \right)}^3}}}dx$.
माना $t = 1 + {x^{ - 2}} + {x^{ - 5}}$.
तब $dt = ( - 2{x^{ - 3}} - 5{x^{ - 6}})dx$,जिसका अर्थ है $-dt = (2{x^{ - 3}} + 5{x^{ - 6}})dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{{ - dt}}{{{t^3}}} = - \int {{t^{ - 3}}} dt = - \left( \frac{{{t^{ - 2}}}}{{ - 2}} \right) + C = \frac{1}{{2{t^2}}} + C$.
$t = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^5}}} = \frac{{{x^5} + {x^3} + 1}}{{{x^5}}}$ रखने पर:
$I = \frac{1}{{2{{\left( {\frac{{{x^5} + {x^3} + 1}}{{{x^5}}}} \right)}^2}}} + C = \frac{{{x^{10}}}}{{2{{\left( {{x^5} + {x^3} + 1} \right)}^2}}} + C$.

(B) दिया गया समीकरण: $f(x) + 2f(1/x) = 3x$ ........$(1)$
$x$ को $1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $f(1/x) + 2f(x) = 3/x$ ........$(2)$
समीकरण $(2)$ से,$f(1/x) = 3/x - 2f(x)$.
इस मान को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$f(x) + 2(3/x - 2f(x)) = 3x$
$f(x) + 6/x - 4f(x) = 3x$
$-3f(x) = 3x - 6/x$
$f(x) = 2/x - x$
अब,समुच्चय $S$ के लिए,हम $f(x) = f(-x)$ को हल करते हैं:
$2/x - x = 2/(-x) - (-x)$
$2/x - x = -2/x + x$
$4/x = 2x$
$2/x = x$
$x^2 = 2$
$x = \pm \sqrt{2}$
अतः,$S = \{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$.
इसलिए,$S$ में ठीक दो अवयव हैं।

(A) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$।
दिया गया है $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2}(\vec{b} + \vec{c})$,अतः:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{c}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\sqrt{3}}{2})\vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2})\vec{c}$।
चूंकि $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समांतर नहीं हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \cos \theta$।
अतः,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
इसलिए,$\theta = \frac{5\pi}{6}$।

(B) हमें दिया गया है कि $2 \int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx = \int_{0}^{1} \cot^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$।
गुणधर्म $\cot^{-1} u = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} u$ का उपयोग करने पर:
$2 \int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx = \int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} (1 - x + x^2) \right) dx$।
$2 \int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx = \frac{\pi}{2} - \int_{0}^{1} \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{0}^{1} \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx = \frac{\pi}{2} - 2 \int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx$।
अब,$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1} x \, dx$ का मान खंडशः समाकलन (integration by parts) द्वारा ज्ञात करते हैं:
$I = [x \tan^{-1} x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} [\ln(1+x^2)]_0^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\int_{0}^{1} \tan^{-1} (1 - x + x^2) \, dx = \frac{\pi}{2} - 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2 \right) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \ln 2 = \ln 2$।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-2) + c(z-2) = 0$ है .....$(1)$
चूंकि समतल $x - y + 2z = 3$ और $2x - 2y + z + 12 = 0$ पर लंब है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$,$\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (2, -2, 1)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 + 4) - \hat{j}(1 - 4) + \hat{k}(-2 + 2) = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
इस प्रकार,दिक अनुपात $(3, 3, 0)$ हैं,जिसे सरल करने पर $(1, 1, 0)$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $1(x-1) + 1(y-2) + 0(z-2) = 0$ अर्थात $x + y - 3 = 0$ है।
बिंदु $(1, -2, 4)$ की समतल $x + y - 3 = 0$ से दूरी $D = \frac{|1 + (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1$.
$t$ के सापेक्ष $L$'Hopital नियम लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{2t f(x) - x^2 f'(t)}{1} = 1$.
$t = x$ रखने पर,हमें अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $2x f(x) - x^2 f'(x) = 1$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ प्रकार का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{2}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$ है।
समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = \frac{1}{x^2}$.
$I.F.$ से गुणा करने पर: $\frac{d}{dx} [f(x) \cdot \frac{1}{x^2}] = -\frac{1}{x^4}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{f(x)}{x^2} = \int -x^{-4} dx = \frac{1}{3x^3} + C$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{3x} + Cx^2$.
$f(1) = 1$ का उपयोग करने पर: $1 = \frac{1}{3} + C \implies C = \frac{2}{3}$.
इस प्रकार,$f(x) = \frac{1}{3x} + \frac{2x^2}{3}$.
$x = \frac{3}{2}$ के लिए: $f(\frac{3}{2}) = \frac{1}{3(3/2)} + \frac{2(3/2)^2}{3} = \frac{2}{9} + \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2}{9} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 27}{18} = \frac{31}{18}$.

(B) दिया गया है $P(A) = \frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ और $P(A \cap B) = \frac{3}{20}$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cup B' = (A \cap B)'$ है।
अतः,$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$।
अब,हमें $P(A | A' \cup B') = \frac{P(A \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}$ ज्ञात करना है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \cap (A' \cup B') = (A \cap A') \cup (A \cap B') = \emptyset \cup (A \cap B') = A \cap B'$।
चूँकि $A = (A \cap B) \cup (A \cap B')$,इसलिए $P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{8}{20} - \frac{3}{20} = \frac{5}{20}$।
इस प्रकार,$P(A | A' \cup B') = \frac{5/20}{17/20} = \frac{5}{17}$।

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = x^2 - 5x + 4$,रेखा $y = 1 - x$,और रेखा $y = 0$ (x-अक्ष) द्वारा घिरा हुआ है।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$y = x^2 - 5x + 4$ और $y = 1 - x$ के लिए:
$x^2 - 5x + 4 = 1 - x \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=3$ पर हैं। $x=3$ पर,$y = 1-3 = -2$ है।
यह क्षेत्र दो भागों से बना है:
$A_1$: शीर्ष $(1,0), (3,0), (3,-2)$ द्वारा घिरा त्रिभुज। क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (3-1) \times |-2| = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$.
$A_2$: $x=3$ से $x=4$ तक परवलय और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल। क्षेत्रफल $A_2 = |\int_{3}^{4} (x^2 - 5x + 4) dx| = |[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x]_3^4| = |(\frac{64}{3} - 40 + 16) - (9 - \frac{45}{2} + 12)| = |(\frac{64}{3} - 24) - (21 - 22.5)| = |-\frac{8}{3} - (-1.5)| = |-\frac{8}{3} + \frac{3}{2}| = |-\frac{16}{6} + \frac{9}{6}| = |-\frac{7}{6}| = \frac{7}{6}$.
कुल क्षेत्रफल $= A_1 + A_2 = 2 + \frac{7}{6} = \frac{19}{6}$ वर्ग इकाई।

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{A} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k},$ $\vec{B} = -\hat{i} + 3\hat{j} + p\hat{k},$ और $\vec{C} = 5\hat{i} + q\hat{j} - 4\hat{k}$ हैं।
चूंकि त्रिभुज $A$ पर समकोण है,इसलिए $\vec{AB} \perp \vec{AC},$ जिसका अर्थ है $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0.$
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + (p + 1)\hat{k}.$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = 2\hat{i} + (q - 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
अब,अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) की गणना करें:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4)(2) + (2)(q - 1) + (p + 1)(-3) = 0.$
$-8 + 2q - 2 - 3p - 3 = 0.$
$-3p + 2q - 13 = 0 \Rightarrow 3p - 2q + 13 = 0.$
$(p, q)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,रेखा $3x - 2y + 13 = 0$ प्राप्त होती है।
ढाल-अंतःखंड रूप में व्यवस्थित करने पर: $2y = 3x + 13 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{13}{2}.$
ढाल $m = \frac{3}{2}$ है। चूंकि $m > 0,$ रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ न्यून कोण बनाती है।

(C) $f_1(x) = f_{0+1}(x) = f_0(f_0(x)) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - x}} = \frac{x - 1}{x}$
$f_2(x) = f_{1+1}(x) = f_0(f_1(x)) = \frac{1}{1 - \frac{x - 1}{x}} = x$
$f_3(x) = f_{2+1}(x) = f_0(f_2(x)) = f_0(x) = \frac{1}{1 - x}$
चूंकि $f_3(x) = f_0(x)$,फलन $3$ के आवर्तकाल के साथ पुनरावृत्त होता है।
$f_{100}(3) = f_{3 \times 33 + 1}(3) = f_1(3) = \frac{3 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$f_1\left( \frac{2}{3} \right) = \frac{\frac{2}{3} - 1}{\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{1}{2}$
$f_2\left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2}$
अतः,$f_{100}(3) + f_1\left( \frac{2}{3} \right) + f_2\left( \frac{3}{2} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$-1 = a + \cos^{-1}(1 + b) \implies \cos^{-1}(1 + b) = -1 - a \quad \dots(1)$
अवकलनीयता के लिए,$x = 1$ पर $LHD = RHD$ होना चाहिए।
$LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$.
$RHD = \frac{d}{dx}(a + \cos^{-1}(x + b)) = \frac{-1}{\sqrt{1 - (x + b)^2}}$.
$x = 1$ पर,$RHD = \frac{-1}{\sqrt{1 - (1 + b)^2}}$.
$LHD = RHD$ को बराबर करने पर: $-1 = \frac{-1}{\sqrt{1 - (1 + b)^2}} \implies \sqrt{1 - (1 + b)^2} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 - (1 + b)^2 = 1 \implies (1 + b)^2 = 0 \implies b = -1$.
$b = -1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $\cos^{-1}(0) = -1 - a$.
चूंकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} = -1 - a \implies a = -1 - \frac{\pi}{2} = \frac{-\pi - 2}{2}$.
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{(-\pi - 2)/2}{-1} = \frac{\pi + 2}{2}$.

(C) माना सारणिक $D$ है। $R_1 \to R_1 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} \cos x - \sin x & \sin x - \cos x & 0 \\ 0 & \cos x - \sin x & \sin x - \cos x \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ और $R_2$ से $(\cos x - \sin x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (\cos x - \sin x)^2 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\cos x - \sin x)^2 [1(\cos x + \sin x) - (-1)(0 + \sin x)] = 0$
$(\cos x - \sin x)^2 (\cos x + 2\sin x) = 0$
इससे $\cos x - \sin x = 0$ या $\cos x + 2\sin x = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2})$.
चूंकि $\arctan(-\frac{1}{2}) \approx -0.46$ और $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$,दोनों मान अंतराल $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$ में स्थित हैं।
अतः,कुल $2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(C) दिया गया है $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$.
चूंकि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,$P^T P = P P^T = I$.
दिया गया है $Q = PAP^T$,हमें $P^T Q^{2015} P$ ज्ञात करना है।
$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^T P)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2 P^T$.
गणितीय आगमन के सिद्धांत से,$Q^n = PA^n P^T$.
इसलिए,$Q^{2015} = PA^{2015} P^T$.
अब,$P^T Q^{2015} P = P^T (PA^{2015} P^T) P = (P^T P) A^{2015} (P^T P) = I A^{2015} I = A^{2015}$.
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,हम पैटर्न देखते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इस प्रकार,$A^{2015} = \begin{bmatrix} 1 & 2015 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$.
लेबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\int_{1}^{x} y(t) dt + x y(x) = \int_{1}^{x} t y(t) dt + (x + 1) x y(x)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\int_{1}^{x} y(t) dt - \int_{1}^{x} t y(t) dt = (x^2 + x - x) y(x) = x^2 y(x)$.
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$y(x) - x y(x) = 2x y(x) + x^2 y'(x)$.
सरल करने पर:
$y(x) (1 - x - 2x) = x^2 y'(x) \implies y(x) (1 - 3x) = x^2 y'(x)$.
चरों को अलग करने पर:
$\frac{y'(x)}{y(x)} = \frac{1 - 3x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\ln|y(x)| = -\frac{1}{x} - 3 \ln|x| + K$.
$\ln|y(x)| + \ln|x^3| = -\frac{1}{x} + K$.
$\ln|y(x) x^3| = -\frac{1}{x} + K$.
$y(x) x^3 = C e^{-\frac{1}{x}}$.
अतः,$y(x) = \frac{C e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}$.

(C) फलन $f(x)$ के अंतराल $[0, \infty)$ में सतत होने के लिए,इसे $x=1$ और $x=\sqrt{2}$ पर सतत होना चाहिए।
$1$. $x=1$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$
$\frac{2(1)^2}{a} = a \implies \frac{2}{a} = a \implies a^2 = 2 \implies a = \pm \sqrt{2}$.
$2$. $x=\sqrt{2}$ पर सांतत्य:
$\lim_{x \to \sqrt{2}^-} f(x) = \lim_{x \to \sqrt{2}^+} f(x) = f(\sqrt{2})$
$a = \frac{2b^2 - 4b}{(\sqrt{2})^3} = \frac{2b^2 - 4b}{2\sqrt{2}} = \frac{b^2 - 2b}{\sqrt{2}}$.
स्थिति $1$: यदि $a = \sqrt{2}$ है,तो $\sqrt{2} = \frac{b^2 - 2b}{\sqrt{2}} \implies b^2 - 2b = 2 \implies b^2 - 2b - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$b = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.
अतः,$(a, b) = (\sqrt{2}, 1 \pm \sqrt{3})$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,युग्म $(\sqrt{2}, 1 - \sqrt{3})$ विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $D$ के निर्देशांक $\left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$ हैं।
माध्यिका $AD$ के दिक-अनुपात $(DRs)$ $\left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$ हैं।
चूंकि माध्यिका $AD$ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक-अनुपात समान होने चाहिए। अतः,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\frac{\lambda - 5}{2} = 1$ से $\lambda = 7$ प्राप्त होता है।
$\frac{\mu - 8}{2} = 1$ से $\mu = 10$ प्राप्त होता है।
अब,$(\lambda^3 + \mu^3 + 5) = 7^3 + 10^3 + 5 = 343 + 1000 + 5 = 1348$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{2} \sec x = \frac{\tan x}{2y}$.
$2y$ से गुणा करने पर: $2y \frac{dy}{dx} + y^2 \sec x = \tan x$.
माना $y^2 = t$,तब $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
समीकरण इस प्रकार होगा: $\frac{dt}{dx} + t \sec x = \tan x$.
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \sec x$ और $Q = \tan x$.
समाकलन गुणक $IF = e^{\int \sec x dx} = e^{\ln(\sec x + \tan x)} = \sec x + \tan x$.
हल: $t(IF) = \int Q(IF) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \int \tan x(\sec x + \tan x) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \int (\sec x \tan x + \sec^2 x - 1) dx + C$.
$t(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x + C$.
$y(0) = 1$ होने पर,$t(0) = 1$. $x=0$ रखने पर,$C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$t(\sec x + \tan x) = \sec x + \tan x - x$.
$t = 1 - \frac{x}{\sec x + \tan x}$.
चूंकि $t = y^2$,इसलिए $y^2 = 1 - \frac{x}{\sec x + \tan x}$.

(D) माना $I = \int_{4}^{10} \frac{[x^2]}{[(x-14)^2] + [x^2]} dx$ ... $(1)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=4$ और $b=10$,हमें $a+b-x = 14-x$ प्राप्त होता है।
समाकल में $x$ के स्थान पर $14-x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{4}^{10} \frac{[(14-x)^2]}{[(14-x-14)^2] + [(14-x)^2]} dx$
$I = \int_{4}^{10} \frac{[(14-x)^2]}{[(-x)^2] + [(14-x)^2]} dx$
$I = \int_{4}^{10} \frac{[(14-x)^2]}{[x^2] + [(14-x)^2]} dx$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_{4}^{10} \frac{[x^2] + [(14-x)^2]}{[x^2] + [(14-x)^2]} dx$
$2I = \int_{4}^{10} 1 dx$
$2I = [x]_{4}^{10} = 10 - 4 = 6$
$I = 3$

(A) दिया गया है $A^2 - 5A + 7I = 0$.
कथन-$I$ के लिए:
$A^2 - 5A = -7I$
दोनों पक्षों को $A^{-1}$ से गुणा करने पर:
$A(A A^{-1}) - 5(A A^{-1}) = -7(I A^{-1})$
$A(I) - 5(I) = -7 A^{-1}$
$A - 5I = -7 A^{-1}$
$A^{-1} = \frac{1}{7}(5I - A)$.
अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए:
हमारे पास $A^2 = 5A - 7I$ है।
तब $A^3 = A(5A - 7I) = 5A^2 - 7A = 5(5A - 7I) - 7A = 25A - 35I - 7A = 18A - 35I$.
अब,इन मानों को $A^3 - 2A^2 - 3A + I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(18A - 35I) - 2(5A - 7I) - 3A + I$
$= 18A - 35I - 10A + 14I - 3A + I$
$= (18 - 10 - 3)A + (-35 + 14 + 1)I$
$= 5A - 20I$
$= 5(A - 4I)$.
अतः,कथन-$II$ सत्य है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं। अभिलक्षणिक समीकरण $|A - \lambda I| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -4-\lambda & -1 \\ 3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (-4-\lambda)(1-\lambda) + 3 = -4 + 4\lambda - \lambda + \lambda^2 + 3 = \lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0$.
अतः,$A^2 + 3A - I = 0$.
अब,हम व्यंजक $E = A^{2014}(A^2 - 2A - I)$ का मान ज्ञात करते हैं।
$A^2 = \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 3 \\ -9 & -2 \end{bmatrix}$.
अब,$A^2 - 2A - I = \begin{bmatrix} 13 & 3 \\ -9 & -2 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} -4 & -1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 & 5 \\ -15 & -5 \end{bmatrix}$.
इस आव्यूह का सारणिक $(20 \times -5) - (5 \times -15) = -100 + 75 = -25$ है।
यहाँ $|A| = (-4)(1) - (-1)(3) = -1$ है,इसलिए $|A^{2014}| = |A|^{2014} = (-1)^{2014} = 1$.
अतः,$|A^{2016} - 2A^{2015} - A^{2014}| = |A^{2014}| \times |A^2 - 2A - I| = 1 \times (-25) = -25$.

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ के केंद्रक का स्थिति सदिश $\vec{G}$ है। हम जानते हैं कि $\vec{G} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ होता है।
मान लीजिए $\vec{H}$ लंबकेंद्र का स्थिति सदिश है और $\vec{P}$ परिकेंद्र का स्थिति सदिश है। हमें दिया गया है कि $\vec{P} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}$ है।
किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $\vec{G}$,लंबकेंद्र $\vec{H}$ और परिकेंद्र $\vec{P}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात,$\vec{G} = \frac{2\vec{P} + 1\vec{H}}{2+1} = \frac{2\vec{P} + \vec{H}}{3}$ होता है।
इसलिए,$3\vec{G} = 2\vec{P} + \vec{H}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{H} = 3\vec{G} - 2\vec{P}$ है।
$\vec{G}$ और $\vec{P}$ के मान रखने पर:
$\vec{H} = 3\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right) - 2\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}\right)$
$\vec{H} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$
$\vec{H} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.
$1 + \sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 dt$.
यहाँ $1 - x = 1 - (t - 1)^2 = 2t - t^2$.
अतः $I = \int \frac{2 dt}{t \sqrt{2t - t^2}} = 2 \int \frac{dt}{t \sqrt{t(2 - t)}} = 2 \int \frac{dt}{t^{3/2} \sqrt{2 - t}}$.
अब $t = \frac{1}{z}$ रखने पर,$dt = -\frac{1}{z^2} dz$ प्राप्त होता है।
$I = 2 \int \frac{-dz/z^2}{(1/z)^{3/2} \sqrt{2 - 1/z}} = 2 \int \frac{-dz}{\sqrt{2z - 1}}$.
$I = -2 \int (2z - 1)^{-1/2} dz = -2 \sqrt{2z - 1} + c$.
$z = \frac{1}{1 + \sqrt{x}}$ का मान रखने पर:
$I = -2 \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{x}} - 1} + c = -2 \sqrt{\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}} + c$.

(D) मान लीजिए $p(F) = q$ और $p(S) = p$ है। दिया गया है कि $p = 2q$ है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $2q + q = 1$,जिससे $3q = 1$ प्राप्त होता है,अतः $q = \frac{1}{3}$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
यह एक द्विपद बंटन है जहाँ $n = 6$,$p = \frac{2}{3}$,और $q = \frac{1}{3}$ है।
कम से कम $5$ सफलताओं की प्रायिकता $P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
सूत्र $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 5) = {^6C_5} \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$।
$P(X = 6) = {^6C_6} \left(\frac{2}{3}\right)^6 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$।
अतः,$P(X \geq 5) = \frac{192}{729} + \frac{64}{729} = \frac{256}{729}$।

(C) दो रेखाएं $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि और केवल यदि उनके बिंदुओं के अंतर और उनके दिशा सदिशों द्वारा निर्मित सारणिक का मान शून्य हो:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दी गई रेखाएं:
रेखा $1$: $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, -3)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, \lambda^2)$
रेखा $2$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, 2, 1)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (1, \lambda^2, 2)$
सारणिक की शर्त में मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3 - 1 & 2 - 2 & 1 - (-3) \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & \lambda^2 \\ 1 & \lambda^2 & 2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(4 - \lambda^4) - 0 + 4(\lambda^2 - 2) = 0$
$8 - 2\lambda^4 + 4\lambda^2 - 8 = 0$
$-2\lambda^4 + 4\lambda^2 = 0$
$-2\lambda^2(\lambda^2 - 2) = 0$
इससे $\lambda^2 = 0$ या $\lambda^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda = 0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$।
इस प्रकार,$\lambda$ के $3$ भिन्न वास्तविक मान हैं।

(C) दिया गया है $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$.
हम जानते हैं कि $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = \frac{d}{dx} (1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x) = 0 - \frac{1}{2} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = -2\sin 2x \cos 2x = -\sin 4x$.
$f(x)$ के वर्धमान फलन होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।
अतः,$-\sin 4x > 0 \implies \sin 4x < 0$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta < 0$ के लिए $\theta \in (\pi, 2\pi)$ होता है।
इसलिए,$\pi < 4x < 2\pi$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $\left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right]$ में एक वर्धमान फलन है।

(A) दिया गया वक्र $y(x) = 1 + \sqrt{4x-3}$ है।
स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करने के लिए अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{4x-3}} \times 4 = \frac{2}{\sqrt{4x-3}}$.
बिंदु $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{2}{3}$ दी गई है,इसलिए $\frac{2}{\sqrt{4x-3}} = \frac{2}{3}$.
इसका अर्थ है $\sqrt{4x-3} = 3$,इसलिए $4x-3 = 9$,जिससे $4x = 12$ अर्थात $x = 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ को वक्र के समीकरण में रखने पर,$y = 1 + \sqrt{4(3)-3} = 1 + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ $(3, 4)$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल स्पर्शरेखा की ढाल का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: $m_{normal} = -\frac{1}{2/3} = -\frac{3}{2}$.
$(3, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{3}{2}(x - 3)$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$2y - 8 = -3x + 9$,जो $3x + 2y - 17 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(1, 7)$ के लिए: $3(1) + 2(7) - 17 = 3 + 14 - 17 = 0$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,अभिलंब $(1, 7)$ से होकर गुजरता है।

(C) वर्ग का परिमाप $= 4x$.
वृत्त का परिमाप $= 2\pi r$.
तार की कुल लंबाई $2$ इकाई है,इसलिए $4x + 2\pi r = 2$.
$2$ से भाग देने पर,$2x + \pi r = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{1 - 2x}{\pi}$.
क्षेत्रफलों का योग $A = x^2 + \pi r^2$.
$r$ का मान $x$ के पदों में रखने पर: $A = x^2 + \pi \left( \frac{1 - 2x}{\pi} \right)^2 = x^2 + \frac{(1 - 2x)^2}{\pi}$.
$x$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करने पर: $\frac{dA}{dx} = 2x + \frac{2(1 - 2x)(-2)}{\pi} = 2x - \frac{4(1 - 2x)}{\pi}$.
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर: $2x - \frac{4}{\pi} + \frac{8x}{\pi} = 0$.
$\pi$ से गुणा करने पर: $2\pi x - 4 + 8x = 0 \Rightarrow (2\pi + 8)x = 4 \Rightarrow (\pi + 4)x = 2$.
अतः,$x = \frac{2}{\pi + 4}$.
$x$ का मान परिमाप समीकरण में रखने पर: $2(\frac{2}{\pi + 4}) + \pi r = 1 \Rightarrow \pi r = 1 - \frac{4}{\pi + 4} = \frac{\pi + 4 - 4}{\pi + 4} = \frac{\pi}{\pi + 4}$.
इसलिए,$r = \frac{1}{\pi + 4}$.
$x$ और $r$ की तुलना करने पर,हमें $x = 2r$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}$.
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{dx}{\cos^3 x \sqrt{4 \sin x \cos x}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^3 x}{\sqrt{\sin x \cos x}} dx$.
अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^4 x}{\sqrt{\tan x}} dx$.
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$ और $\sec^2 x = 1 + t^2$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1+t^2}{\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int (t^{-1/2} + t^{3/2}) dt$.
$I = \frac{1}{2} [2t^{1/2} + \frac{2}{5} t^{5/2}] + k = t^{1/2} + \frac{1}{5} t^{5/2} + k$.
$t = \tan x$ रखने पर,$I = (\tan x)^{1/2} + \frac{1}{5}(\tan x)^{5/2} + k$.
$(\tan x)^A + C(\tan x)^B + k$ से तुलना करने पर,$A = 1/2$,$B = 5/2$,और $C = 1/5$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B+C = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} + \frac{1}{5} = 3 + \frac{1}{5} = \frac{16}{5}$.

(A) माना वक्र पर स्थित बिंदु $P(x, y) = (x, x^2-4)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी का वर्ग $D^2 = S = x^2 + y^2 = x^2 + (x^2-4)^2$ है।
$S = x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = x^4 - 7x^2 + 16$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$S$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{dS}{dx} = 4x^3 - 14x = 0$।
$2x(2x^2 - 7) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x^2 = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$,तो $S = 16$। यदि $x^2 = \frac{7}{2}$,तो $S = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = 16 - \frac{49}{4} = \frac{64-49}{4} = \frac{15}{4}$।
न्यूनतम दूरी $\sqrt{S} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ है।