यदि एक वक्र y = f(x) बिंदु (1, -1) से गुजरता | vedclass

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Question

(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1 + xy)dx = xdy$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $ydx + xy^2 dx = xdy$.
$xy^2 dx = xdy - ydx$.
दोनों पक्षों को $xy

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$\frac{4}{11}$

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(NONE) दिया गया अवकल समीकरण: $y(1 + xy)dx = xdy$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $ydx + xy^2 dx = xdy$.
$xy^2 dx = xdy - ydx$.
दोनों पक्षों को $xy^2$ से विभाजित करने पर: $dx = \frac{xdy - ydx}{xy^2} = \frac{1}{x} \cdot \frac{xdy - ydx}{y^2}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $dx = \frac{1}{x} d(\frac{x}{y})$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{xdy - ydx}{y^2} = x dx$.
यह $d(\frac{x}{y}) = x dx$ है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{x}{y} = \frac{x^2}{2} + C$.
चूंकि वक्र $(1, -1)$ से गुजरता है,$x=1, y=-1$ रखने पर: $\frac{1}{-1} = \frac{1^2}{2} + C$.
$-1 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{3}{2}$.
अतः,$\frac{x}{y} = \frac{x^2 - 3}{2} \Rightarrow y = \frac{2x}{x^2 - 3}$.
अब,$f(-\frac{1}{2})$ ज्ञात करने पर: $f(-\frac{1}{2}) = \frac{2(-\frac{1}{2})}{(-\frac{1}{2})^2 - 3} = \frac{-1}{\frac{1}{4} - 3} = \frac{-1}{-\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}$.

यदि एक वक्र $y = f(x)$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरता है और अवकल समीकरण $y(1 + xy)dx = xdy$ को संतुष्ट करता है,तो $f(-\frac{1}{2}) = $ . . . . .

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