x in R, x ne 0 के लिए,यदि y(x) एक अवकलनीय फलन | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$. लेबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने प

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$\frac{C e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}$

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(D) दिया गया समीकरण: $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$. लेबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\int_{1}^{x} y(t) dt + x y(x) = \int_{1}^{x} t y(t) dt + (x + 1) x y(x)$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $\int_{1}^{x} y(t) dt - \int_{1}^{x} t y(t) dt = (x^2 + x - x) y(x) = x^2 y(x)$. $x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $y(x) - x y(x) = 2x y(x) + x^2 y'(x)$. सरल करने पर: $y(x) (1 - x - 2x) = x^2 y'(x) \implies y(x) (1 - 3x) = x^2 y'(x)$. चरों को अलग करने पर: $\frac{y'(x)}{y(x)} = \frac{1 - 3x}{x^2} = \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|y(x)| = -\frac{1}{x} - 3 \ln|x| + K$. $\ln|y(x)| + \ln|x^3| = -\frac{1}{x} + K$. $\ln|y(x) x^3| = -\frac{1}{x} + K$. $y(x) x^3 = C e^{-\frac{1}{x}}$. अतः,$y(x) = \frac{C e^{-\frac{1}{x}}}{x^3}$.

$x \in R, x \ne 0$ के लिए,यदि $y(x)$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $x \int_{1}^{x} y(t) dt = (x + 1) \int_{1}^{x} t y(t) dt$,तो $y(x)$ का मान क्या होगा? (जहाँ $C$ एक स्थिरांक है)

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