यदि P = begin{bmatrix} frac{sqrt{3}}{2} & fra | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $Q = PAP^T$। ध्यान दें कि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $PP^T = I$ और $P^T = P^{-1}$।हमें $X = P^T Q^{2005} P$ की गणना करनी है।च

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$\begin{bmatrix} 1 & 2005 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $Q = PAP^T$। ध्यान दें कि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $PP^T = I$ और $P^T = P^{-1}$।हमें $X = P^T Q^{2005} P$ की गणना करनी है।चूँकि $Q = PAP^T$,हमारे पास $Q^n = (PAP^T)(PAP^T)...(PAP^T) = PA^n P^T$ है।इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$X = P^T (PA^{2005}P^T) P$$X = (P^T P) A^{2005} (P^T P)$चूँकि $P^T P = I$,हमें $X = I A^{2005} I = A^{2005}$ प्राप्त होता है।दिए गए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,इस मैट्रिक्स का गुणधर्म है: $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \ 0 & 1 \end{bmatrix}$।अतः,$A^{2005} = \begin{bmatrix} 1 & 2005 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$।इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।

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