यदि वक्र x = 4t^2 + 3, y = 8t^3 - 1, t in R प | vedclass

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Question

(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(4t^2 + 3, 8t^3 - 1)$ हैं। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24t^2}{8t} = 3t$ है। मान

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$(t^2 + 3, -t^3 - 1)$

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(D) बिंदु $P$ के निर्देशांक $(4t^2 + 3, 8t^3 - 1)$ हैं। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24t^2}{8t} = 3t$ है। मान लीजिए कि बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(4\lambda^2 + 3, 8\lambda^3 - 1)$ हैं। रेखा $PQ$ की ढाल $\frac{8\lambda^3 - 8t^3}{4\lambda^2 - 4t^2} = \frac{2(\lambda^3 - t^3)}{\lambda^2 - t^2} = \frac{2(\lambda - t)(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{(\lambda - t)(\lambda + t)} = \frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t}$ है। चूंकि $PQ$,$P$ पर स्पर्शरेखा है,इसलिए इसकी ढाल $3t$ होनी चाहिए। अतः,$\frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t} = 3t.$ $2\lambda^2 + 2\lambda t + 2t^2 = 3t\lambda + 3t^2.$ $2\lambda^2 - t\lambda - t^2 = 0.$ $(2\lambda + t)(\lambda - t) = 0.$ चूंकि $\lambda 
eq t$ (क्योंकि $Q$ एक अलग बिंदु है),हमें $\lambda = -t/2$ प्राप्त होता है। $\lambda = -t/2$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर,$x = 4(-t/2)^2 + 3 = t^2 + 3$ और $y = 8(-t/2)^3 - 1 = -t^3 - 1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(t^2 + 3, -t^3 - 1)$ हैं।

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