यदि फलन f(x) = begin{cases} -x, & x

Question

(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) = f(1)$$-1 = a + \cos^{-1}(1

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$\frac{\pi + 2}{2}$

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(A) $f(x)$ के $x = 1$ पर अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए।$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} f(x) = f(1)$$-1 = a + \cos^{-1}(1 + b) \implies \cos^{-1}(1 + b) = -1 - a \quad \dots(1)$अवकलनीयता के लिए,$x = 1$ पर $LHD = RHD$ होना चाहिए।$LHD = \frac{d}{dx}(-x) = -1$.$RHD = \frac{d}{dx}(a + \cos^{-1}(x + b)) = \frac{-1}{\sqrt{1 - (x + b)^2}}$.$x = 1$ पर,$RHD = \frac{-1}{\sqrt{1 - (1 + b)^2}}$.$LHD = RHD$ को बराबर करने पर: $-1 = \frac{-1}{\sqrt{1 - (1 + b)^2}} \implies \sqrt{1 - (1 + b)^2} = 1$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 - (1 + b)^2 = 1 \implies (1 + b)^2 = 0 \implies b = -1$.$b = -1$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर: $\cos^{-1}(0) = -1 - a$.चूंकि $\cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\frac{\pi}{2} = -1 - a \implies a = -1 - \frac{\pi}{2} = \frac{-\pi - 2}{2}$.अतः,$\frac{a}{b} = \frac{(-\pi - 2)/2}{-1} = \frac{\pi + 2}{2}$.

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} -x, & x < 1 \\ a + \cos^{-1}(x + b), & 1 \le x \le 2 \end{cases}$ बिंदु $x = 1$ पर अवकलनीय है,तो $\frac{a}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = x |\sin x|$,$x \in R$ है। तो,

$f(x) = \begin{cases} 4, & -\infty < x < -\sqrt{5} \\ x^2-1, & -\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{5} \\ 4, & \sqrt{5} < x < \infty \end{cases}$
यदि $k$ उन बिंदुओं की संख्या है जहाँ $f(x)$ अवकलनीय नहीं है,तो $k-2=$

$(0, 2\pi)$ में $f(x) = \min \{ |\sin x|, |\cos x|, \frac{1}{4} \}$ के अवकलनीयता न होने वाले बिंदुओं की कुल संख्या क्या है?

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