एक समचतुर्भुज की दो भुजाएँ रेखाओं x - y + 1 = | vedclass

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Question

(A) समचतुर्भुज की दो भुजाओं वाली रेखाओं के समीकरण $L_1: x - y + 1 = 0$ और $L_2: 7x - y - 5 = 0$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्ष $A$ है। $

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$\left( \frac{1}{3}, - \frac{8}{3} \right)$

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(A) समचतुर्भुज की दो भुजाओं वाली रेखाओं के समीकरण $L_1: x - y + 1 = 0$ और $L_2: 7x - y - 5 = 0$ हैं। इन दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु शीर्ष $A$ है। $x - y = -1$ और $7x - y = 5$ को हल करने पर $6x = 6$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 1$ और $y = 2$ है। अतः,$A = (1, 2)$ है। समचतुर्भुज के विकर्ण भुजाओं के बीच के कोणों को समद्विभाजित करते हैं। कोण समद्विभाजकों के समीकरण $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{7x - y - 5}{\sqrt{7^2 + (-1)^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं। यह $5(x - y + 1) = \pm (7x - y - 5)$ में सरल हो जाता है। स्थिति $1$: $5x - 5y + 5 = 7x - y - 5 \Rightarrow x + 2y - 5 = 0$। स्थिति $2$: $5x - 5y + 5 = -7x + y + 5 \Rightarrow 2x - y = 0$। चूंकि विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -2)$ से गुजरते हैं,इसलिए विकर्णों के समीकरण $x + 2y + 5 = 0$ और $2x - y = 0$ हैं। विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $\left( \frac{1}{3}, - \frac{8}{3} \right)$ रेखा $x + 2y + 5 = 0$ पर स्थित है।

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