$1$ से $100$ तक की संख्याओं में से दो प्राकृतिक संख्याएँ यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं और उनका गुणा किया जाता है। यदि $A$ वह घटना है कि गुणनफल एक सम संख्या है और $B$ वह घटना है कि गुणनफल $4$ से विभाज्य है,तो $P(A \cap \bar{B})=$

तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं और उन पर आने वाली संख्याओं का योग नोट किया जाता है। यदि $A$ योग $14$ से अधिक प्राप्त करने की घटना है और $B$ योग $3$ का गुणज प्राप्त करने की घटना है,तो $P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = $

यदि $7$ पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो ऊपरी फलक पर सभी छह अंक दिखाई देने की प्रायिकता किसके बराबर है -

स्तंभ-$I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ मूल बिंदु से जाने वाली एक रेखा,रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर मिलती है। यदि लंबाई $PQ=d$ है,तो $d^2$ है	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान हैं	$(q)$ $0$
$(C)$ शून्येतर सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरणों $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ और $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ है,तो $\mu$ के संभावित मान हैं	$(r)$ $4$
$(D)$ मान लीजिए $f$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक फलन है,जहाँ $f(0)=9$ और $x \neq 0$ के लिए $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ है। $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ का मान है	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

मान लीजिए $|X|$ समुच्चय $X$ में तत्वों की संख्या को दर्शाता है। मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ एक प्रतिदर्श समष्टि है,जहाँ प्रत्येक तत्व के घटित होने की संभावना समान है। यदि $A$ और $B$ $S$ से जुड़ी स्वतंत्र घटनाएँ हैं,तो क्रमित युग्मों $(A, B)$ की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $1 \leq |B| < |A|$ हो।

$\left\{1, 2, 2, 3, 3, 3\right\}$ अंकों वाले एक पासे को तीन बार फेंका जाता है। पासे के फलकों पर आने वाली संख्याओं का योग $6$ होने की प्रायिकता क्या है?