यदि L_1 और L_2 दो रेखाएँ हैं जो मूल बिंदु से | vedclass

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Question

(C) चूंकि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए उन्हें समाहित करने वाला समतल भी मूल बिंदु से होकर गुजरता है। ऐसे समतल क

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$2x - y + z = 0$

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(C) चूंकि रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए उन्हें समाहित करने वाला समतल भी मूल बिंदु से होकर गुजरता है। ऐसे समतल का समीकरण $ax + by + cz = 0$ द्वारा दिया जाता है।समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दो रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v}_1 = 3\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ का क्रॉस प्रोडक्ट है।$\vec{n} = \vec{v}_1 	imes \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 3 & 1 & -5 \ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$$\vec{n} = \hat{i}(-1 - (-15)) - \hat{j}(-3 - (-10)) + \hat{k}(9 - 2)$$\vec{n} = 14\hat{i} - 7\hat{j} + 7\hat{k}$$7$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है।अतः,समतल का समीकरण $2(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0$ है,जो सरल होकर $2x - y + z = 0$ हो जाता है।

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समांतर समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $ax + by + cz + d' = 0$ के बीच की दूरी है:

उन समतलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3$ हैं।

बिंदुओं $A(2, 2, -1)$,$B(3, 4, 2)$ और $C(7, 0, 6)$ से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतल $x + 2y - 3z + 4 = 0$ के अभिलंब की दिक्कोज्याएँ (direction cosines) ज्ञात कीजिए।

समतल $x+2y+2z+8=0$ के समांतर उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए,जो बिंदु $(1,1,2)$ से $2$ इकाई की दूरी पर हैं।

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