दिक् अनुपात $(2, 5, 1)$ वाली रेखा और समतल $8x + 2y - z = 4$ के बीच का कोण है

माना रेखा $\ell: x = \frac{1-y}{-2} = \frac{z-3}{\lambda}, \lambda \in R$ समतल $P: x + 2y + 3z = 4$ को बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ पर मिलती है। यदि रेखा $\ell$ और समतल $P$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ है,तो $\alpha + 2\beta + 6\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु $(7,5,2)$ की समतल $3x+4y+z-8=0$ से रेखा $\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{6}=\frac{z+1}{2}$ के समांतर मापी गई दूरी ज्ञात कीजिए।

समतलों $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\overrightarrow{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j}) = -2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $(1, 0, 2)$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि एक रेखा $L_1$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ और $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ के लंबवत है,जहाँ $t, s \in R$ है। यदि $(a, b, c)$,जहाँ $a \in Z$,$L_3$ पर स्थित वह बिंदु है जो $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से $\sqrt{17}$ की दूरी पर है,तो $(a+b+c)^2$ का मान . . . . . . . है।

रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से बिंदु $(-1, -5, -10)$ की दूरी ज्ञात कीजिए।