बिंदुओं $(2,1,5)$,$(3,2,3)$ और $(4,0,4)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L$ रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z+3}{6}$ है और $S$,$L$ पर स्थित उन सभी बिंदुओं $(a, b, c)$ का समुच्चय है,जिनकी बिंदु $P(-1, -1, -9)$ से दूरी $7$ है। तो $\sum_{(a,b,c)\in S} (a+b+c)$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक रेखा $A(4, -6, -2)$ और $B(16, -2, 4)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ पर स्थित बिंदु $P(a, b, c)$,जहाँ $a, b, c$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं,बिंदु $A$ से $21$ इकाई की दूरी पर है। बिंदुओं $P(a, b, c)$ और $Q(4, -12, 3)$ के बीच की दूरी ........... है।

मान लीजिए कि $Q$ और $R$ रेखा $\frac{x+1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-1}{2}$ पर स्थित दो बिंदु हैं जो बिंदु $P(4, 2, 7)$ से $\sqrt{26}$ की दूरी पर हैं। तो त्रिभुज $PQR$ के क्षेत्रफल का वर्ग $....$ है।

यदि रेखाओं $\vec{r}_{1}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R, \alpha>0$ और $\vec{r}_{2}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}), \mu \in R$ के बीच की न्यूनतम दूरी $9$ है,तो $\alpha$ का मान $.....$ है।

उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्कोज्याएँ समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करती हैं।