अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

सरल रेखा $x + y = \sqrt{2}p$ अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 = 36$ को स्पर्श करेगी,यदि

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के संयुग्मी अक्ष की लंबाई $5$ है और इसकी नाभियों के बीच की दूरी $13$ है,तो अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ के नाभिलंब के एक सिरे (प्रथम चतुर्थांश में) पर स्पर्श रेखा $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को क्रमशः $A$ और $B$ पर मिलती है। तो $(OA)^2 - (OB)^2$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $O$ मूल बिंदु है।

कथन: अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 = 9$ पर स्थित बिंदुओं $P(\frac{\pi}{4})$ और $P(\frac{\pi}{3})$ के बीच की दूरी $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ है।
कारण: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के प्राचलिक समीकरण हैं।

मान लीजिए कि परवलय $y^2 = 24x$ पर बिंदु $(\alpha, \beta)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा,रेखा $2x + 2y = 5$ के लंबवत है। तो अतिपरवलय $\frac{x^2}{\alpha^2} - \frac{y^2}{\beta^2} = 1$ के बिंदु $(\alpha + 4, \beta + 4)$ पर अभिलंब निम्नलिखित में से किस बिंदु से $\text{नहीं}$ गुजरता है?