बिंदु $O(\vec{0})$ की समतल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=5$ से सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ के समांतर मापी गई दूरी क्या है?

$k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-k}{2}$ समतल $2x-4y+z=7$ में स्थित है:

$a$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रेखाओं $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j})+\lambda(\hat{i}+a\hat{j}-\hat{k})$ और $\vec{r}=(\hat{i}+\hat{j})+\mu(-\hat{i}+\hat{j}-a\hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल की बिंदु $(2,1,4)$ से लंबवत दूरी $\sqrt{3}$ है।

बिंदु $(-1, -5, -10)$ की रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ और समतल $x - y + z = 5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी ज्ञात कीजिए।

समतलों $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 1$ और $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}) = 2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और बिंदु $\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतलों $x + 2y + z - 1 = 0$ और $2x + y + 3z - 2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और समतल $x + y + z - 1 = 0$ के लंबवत समतल का समीकरण है। यदि यह समतल $x + ky + 3z - 1 = 0$ के समानांतर है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।