int_0^{frac{pi}{4}} frac{cos ^2 x}{cos ^2 x+4 | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \in

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$-\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3} 	an ^{-1} 2$

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(C) माना $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x$. अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{\pi / 4} \frac{1}{1+4 	an ^2 x} d x$. माना $	an x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$,जिसका अर्थ है $dx = \frac{dt}{1+t^2}$. जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{4}, t=1$. अतः,$I = \int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} dt$. आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{(1+t^2)(1+4t^2)} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} ight)$. $I = \frac{1}{3} \int_0^1 \left( \frac{4}{1+4t^2} - \frac{1}{1+t^2} ight) dt$. $I = \frac{1}{3} \left[ 2 	an^{-1}(2t) - 	an^{-1}(t) ight]_0^1$. $I = \frac{1}{3} \left[ (2 	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1)) - (0 - 0) ight]$. $I = \frac{1}{3} \left[ 2 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{4} ight] = \frac{2}{3} 	an^{-1}(2) - \frac{\pi}{12}$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x+4 \sin ^2 x} d x=$

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समाकलन $\int_{-2}^{2} \frac{\sin^2 x}{[\frac{x}{\pi}] + \frac{1}{2}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[x]$ $x$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक दर्शाता है)।

यदि $\int_0^\pi \frac{d x}{1+2 \sin ^2 x}=k$ है,तो $k$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^{\frac{3}{2}} x}{\sin^{\frac{3}{2}} x + \cos^{\frac{3}{2}} x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन $-1$: समाकलन $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{1 + \sqrt{\tan x}} = \frac{\pi}{6}$ का मान है।
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