यदि m times n कोटि के आव्यूह P में k कोटि का | vedclass

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Question

(C) आव्यूह $P$ की कोटि $m 	imes n$ है। आव्यूह $P$ की रैंक,जिसे $ho$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसके आयामों के न्यूनतम मान से अधिक नहीं हो सकती है। इसलि

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$k \leq \rho \leq \min \{m, n\}$ को संतुष्ट करती है

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(C) आव्यूह $P$ की कोटि $m 	imes n$ है। आव्यूह $P$ की रैंक,जिसे $ho$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसके आयामों के न्यूनतम मान से अधिक नहीं हो सकती है। इसलिए,$ho \leq \min(m, n)$ ...$(i)$ परिभाषा के अनुसार,एक आव्यूह की रैंक सबसे बड़े व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह की कोटि होती है। चूंकि $k$ कोटि का एक व्युत्क्रमणीय उप-आव्यूह विद्यमान है,इसलिए रैंक $ho$ कम से कम $k$ होनी चाहिए। इसलिए,$ho \geq k$ ...(ii) समीकरण $(i)$ और (ii) को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है: $k \leq ho \leq \min(m, n)$.

यदि $m \times n$ कोटि के आव्यूह $P$ में $k$ कोटि का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) उप-आव्यूह विद्यमान है,तो $P$ की कोटि (rank) $(\rho)$

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आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) है

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2\sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \tan x \\ x^3 & x^2 & x \\ 2x & 1 & x \end{array} \right|$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\left|\begin{array}{ccc}x^2+3x & x+1 & x-3 \\ x-1 & 2-x & x+4 \\ x-3 & x-3 & 3x\end{array}\right|=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$ है,तो $(a_1+a_3)+2(a_0+a_2+a_4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\Delta(x) = \begin{vmatrix} x-2 & (x-1)^2 & x^3 \\ x-1 & x^2 & (x+1)^3 \\ x & (x+1)^2 & (x+2)^3 \end{vmatrix}$ है,तो $\Delta(x)$ में $x$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

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