मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(A) दिया गया है: $f(x) = \frac{2x+1}{3}$ ...$(i)$साथ ही,$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$।फलन की परिभाषा में $\alpha$ रखने पर:$\frac{2\alpha+1}{3} = \fra

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$\frac{-1}{2}$

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(A) दिया गया है: $f(x) = \frac{2x+1}{3}$ ...$(i)$साथ ही,$f(\alpha) = \frac{1}{\alpha}$।फलन की परिभाषा में $\alpha$ रखने पर:$\frac{2\alpha+1}{3} = \frac{1}{\alpha}$$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha = 3$$\Rightarrow 2\alpha^2 + \alpha - 3 = 0$द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:$2\alpha^2 + 3\alpha - 2\alpha - 3 = 0$$\Rightarrow \alpha(2\alpha + 3) - 1(2\alpha + 3) = 0$$\Rightarrow (\alpha - 1)(2\alpha + 3) = 0$अतः,$\alpha$ के संभावित मान $\alpha = 1$ और $\alpha = -\frac{3}{2}$ हैं।$\alpha$ के सभी संभावित मानों का योग $1 + (-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ है।

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यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x+y)=f(x)+f(y)$,$\forall x, y \in R$ और $f(1)=5$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $\sum_{r=1}^n f(r)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ सभी $x, y \in R$ के लिए है। यदि $f(3)=3$ और $f^{\prime}(0)=11$ है,तो $f^{\prime}(3)$ का मान ज्ञात कीजिए।

वास्तव में ऐसे कितने फलन $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ मौजूद हैं कि सभी $x, y \in \mathbb{Q}$ के लिए $f(x+y) = f(x) + f(y)$ और $f(xy) = f(x)f(y)$ हो?

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