वक्र y=frac{2}{3} x^3+frac{1}{2} x^2 पर वे बि | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$ प्राप्त होता है। चूंकि स्पर्श

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$\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{24}\right)$ और $\left(-1, \frac{-1}{6}\right)$

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(A) दिया गया वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = 2x^2 + x$ प्राप्त होता है। चूंकि स्पर्श रेखाएं निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं,इसलिए स्पर्श रेखा की ढाल $\pm 1$ होनी चाहिए। स्थिति $1$: $\frac{d y}{d x} = 1 \Rightarrow 2x^2 + x = 1 \Rightarrow 2x^2 + x - 1 = 0$. इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2x - 1)(x + 1) = 0$,अतः $x = \frac{1}{2}$ या $x = -1$. $x = \frac{1}{2}$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(\frac{1}{8}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{4}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}$. $x = -1$ के लिए,$y = \frac{2}{3}(-1) + \frac{1}{2}(1) = -\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$. स्थिति $2$: $\frac{d y}{d x} = -1 \Rightarrow 2x^2 + x = -1 \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 0$. विविक्तकर $D = 1^2 - 4(2)(1) = 1 - 8 = -7 अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{24}\right)$ और $\left(-1, \frac{-1}{6}\right)$ हैं।

वक्र $y=\frac{2}{3} x^3+\frac{1}{2} x^2$ पर वे बिंदु,जहाँ स्पर्श रेखाएँ निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती हैं,हैं

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सिद्ध कीजिए कि वक्र $xy=4$ और $x^{2}+y^{2}=8$ एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

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