text{दिया गया है, } frac{sin 1^{circ}}{sin x^ | vedclass

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Question

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}$.दोनों पक्षों को $\sin 1^

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$\operatorname{cosec} 1^{\circ}$

Vedclass · Answer

(D) हमें सर्वसमिका दी गई है: $\frac{\sin 1^{\circ}}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}$.दोनों पक्षों को $\sin 1^{\circ}$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}} = \frac{\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ}}{\sin 1^{\circ}}$.माना $S = \sum_{x=45}^{89} \frac{1}{\sin x^{\circ} \sin (x+1)^{\circ}}$.सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{x=45}^{89} (\cot x^{\circ} - \cot (x+1)^{\circ})$.यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 46^{\circ} - \cot 47^{\circ}) + \dots + (\cot 89^{\circ} - \cot 90^{\circ})]$.सभी मध्यवर्ती पद कट जाएंगे: $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ} - \cot 90^{\circ})$.चूंकि $\cot 45^{\circ} = 1$ और $\cot 90^{\circ} = 0$,इसलिए $S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} = \operatorname{cosec} 1^{\circ}$.

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