AP EAMCET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $12^{4+2x^2} = (24\sqrt{3})^{3x^2-2}$
$24\sqrt{3}$ ને $12$ ના આધારમાં દર્શાવતા:
$24\sqrt{3} = 12 \times 2 \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt{12} = 12^1 \times 12^{1/2} = 12^{3/2}$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$12^{4+2x^2} = (12^{3/2})^{3x^2-2}$
$12^{4+2x^2} = 12^{\frac{3}{2}(3x^2-2)}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$4+2x^2 = \frac{3}{2}(3x^2-2)$
$8+4x^2 = 9x^2-6$
$9x^2-4x^2 = 8+6$
$5x^2 = 14$
$x^2 = \frac{14}{5}$
$x = \pm \sqrt{\frac{14}{5}}$

(A) આપેલ સમીકરણ: $|x|^2 - 5|x| - 24 = 0$.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 5t - 24 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(t - 8)(t + 3) = 0$.
આથી $t = 8$ અથવા $t = -3$ મળે.
$|x| \ge 0$ હોવાથી,$t = -3$ શક્ય નથી.
તેથી,$|x| = 8$,જેનો અર્થ છે કે $x = 8$ અથવા $x = -8$.
સમીકરણના બીજ $8$ અને $-8$ છે.
બીજનો ગુણાકાર: $8 \times (-8) = -64$.
બીજનો સરવાળો: $8 + (-8) = 0$.
આમ,ગુણાકાર અને સરવાળો અનુક્રમે $-64$ અને $0$ છે.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^3+\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{16} x+\frac{1}{144}=0$ $(i)$ છે.
જો નવા સમીકરણના બીજ એ સમીકરણ $(i)$ ના બીજ કરતાં $k$ ગણા હોય,તો આપણે $x$ ને $\frac{x}{k}$ વડે બદલીએ છીએ.
$\left(\frac{x}{k}\right)^3+\frac{1}{4}\left(\frac{x}{k}\right)^2-\frac{1}{16}\left(\frac{x}{k}\right)+\frac{1}{144}=0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $k^3$ વડે ગુણતા:
$x^3+\frac{k}{4} x^2-\frac{k^2}{16} x+\frac{k^3}{144}=0$
સહગુણકો પૂર્ણાંક હોવા માટે,$k$ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી $4$ એ $k$ ને ભાગે,$16$ એ $k^2$ ને ભાગે,અને $144$ એ $k^3$ ને ભાગે.
વિકલ્પો તપાસતા:
જો $k=12$ હોય,તો $\frac{k}{4} = \frac{12}{4} = 3$,$\frac{k^2}{16} = \frac{144}{16} = 9$,અને $\frac{k^3}{144} = \frac{1728}{144} = 12$.
બધા સહગુણકો $(1, 3, -9, 12)$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k=12$ એ શક્ય કિંમત છે.

(A) આપણી પાસે $(1-x+x^2-x^3)^4 = [(1-x) + x^2(1-x)]^4 = [(1-x)(1+x^2)]^4 = (1-x)^4(1+x^2)^4$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને બંને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$.
$(1+x^2)^4 = 1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8$.
આપણે $(1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4)(1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8)$ ના ગુણાકારમાં $x^4$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
$x^4$ આપતા પદો છે:
$(1 \times 6x^4) + (6x^2 \times 4x^2) + (x^4 \times 1) = 6x^4 + 24x^4 + 1x^4 = 31x^4$.
તેથી,$x^4$ નો સહગુણક $31$ છે.

(A) આપણી પાસે છે,
$\frac{(1+i)^{2016}}{(1-i)^{2014}} = \frac{(1+i)^{2014} \times (1+i)^2}{(1-i)^{2014}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2014} \times (1+i)^2$
કારણ કે $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{2i}{2} = i$
તેથી,પદાવલિ $i^{2014} \times (1+2i+i^2)$ બને છે
$= i^{2014} \times (2i)$
કારણ કે $i^4 = 1$,$i^{2014} = (i^4)^{503} \times i^2 = 1^{503} \times (-1) = -1$
તેથી,$-1 \times 2i = -2i$

(D) આપેલ છે કે $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$ અને $|9 z_1 z_2 + 4 z_1 z_3 + z_2 z_3| = 12$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|z|^2 = z \bar{z}$,જેનો અર્થ છે $\bar{z} = \frac{|z|^2}{z}$.
આપેલ પદને $|z_1 z_2 z_3|$ વડે ભાગતા:
$|z_1 z_2 z_3| \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12$
$|z_1 z_2 z_3| = 1 \times 2 \times 3 = 6$ હોવાથી,
$6 \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12 \implies \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 2$.
$\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}, \bar{z}_2 = \frac{4}{z_2}, \bar{z}_3 = \frac{9}{z_3}$ હોવાથી,
$|\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 2$.
$|\bar{z}| = |z|$ હોવાથી,$|z_1 + z_2 + z_3| = 2$ મળે.

(C) એકમના $n$ માં મૂળ એ સમીકરણ $z^n - 1 = 0$ ના બીજ છે.
આપણે $z^n - 1$ ને આ રીતે અવયવ પાડી શકીએ:
$z^n - 1 = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1)$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1) = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
બંને બાજુ $(z - 1)$ વડે ભાગતા:
$z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1 = (z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
$z = 1$ મૂકતા:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \ldots + 1 + 1 = (1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1})$.
ડાબી બાજુ $n$ પદો હોવાથી,સરવાળો $n$ થાય છે.
તેથી,$(1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1}) = n$.

(C) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ છે.
આપેલ સમીકરણ $|z+3|^2 - |z-3|^2 = 15$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|x + iy + 3|^2 - |x + iy - 3|^2 = 15$
$|(x+3) + iy|^2 - |(x-3) + iy|^2 = 15$
$(x+3)^2 + y^2 - ((x-3)^2 + y^2) = 15$
$(x^2 + 6x + 9 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 15$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 15$
$12x = 15$
$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
કારણ કે $x = \frac{5}{4}$ એ સંકર સમતલમાં એક ઉભી રેખા દર્શાવે છે,તેથી બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(B) આ પદાવલિ ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે: $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$.
ધારો કે $k = n+16$. તો પદાવલિ $k(k+1)(k+2)(k+3)$ બને છે.
આ $4! \times \binom{k+3}{4}$ ને સમાન છે.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $\binom{k+3}{4}$ હંમેશા પૂર્ણાંક હોવાથી,કોઈપણ $r$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $r!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં,$r = 4$,તેથી પદાવલિ $4! = 24$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,તમામ $n$ માટે ગુણાકારને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $24$ છે.

(C) આપેલ અંકો $2, 3, 4, 5, 6$ છે. કુલ $n = 5$ અંકો છે.
પુનરાવર્તન વગર $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
આવી કુલ સંખ્યાઓ $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ છે.
દરેક સ્થાન (હજાર,સો,દશક,એકમ) પર દરેક અંક સમાન સંખ્યામાં આવે છે.
દરેક અંક ચોક્કસ સ્થાન પર $\frac{120}{5} = 24$ વખત આવે છે.
અંકોનો સરવાળો $S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો:
સરવાળો $= 24 \times S \times (10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)$
સરવાળો $= 24 \times 20 \times (1111)$
સરવાળો $= 480 \times 1111 = 533280$.

(C) ગણ $A$ ના દરેક ઘટક માટે $3$ શક્યતાઓ છે:
$1$. ઘટક ઉપગણ $P$ માં છે.
$2$. ઘટક ઉપગણ $Q$ માં છે.
$3$. ઘટક $P$ કે $Q$ બંનેમાં નથી.
કારણ કે ઉપગણ $P$ અને $Q$ પરસ્પર અલગ હોવા જોઈએ,તેથી કોઈ પણ ઘટક $P$ અને $Q$ બંનેમાં હોઈ શકે નહીં.
આપેલ છે કે ગણ $A$ માં $n = 5$ ઘટકો છે,તેથી દરેક $5$ ઘટકો માટે $3$ વિકલ્પો છે.
તેથી,ઉપગણ $P$ અને $Q$ પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $3^n = 3^5 = 243$ છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $\cosh(x) = \frac{5}{4}$.
હાયપરબોલિક વિધેય માટેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cosh(3x) = 4\cosh^3(x) - 3\cosh(x)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\cosh(3x) = 4\left(\frac{5}{4}\right)^3 - 3\left(\frac{5}{4}\right)$
$= 4\left(\frac{125}{64}\right) - \frac{15}{4}$
$= \frac{125}{16} - \frac{15}{4}$
$= \frac{125 - 60}{16} = \frac{65}{16}$.

(A) આપેલ છે કે $(1+\tan \alpha)(1+\tan 4 \alpha)=2$ જ્યાં $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $1 + \tan \alpha + \tan 4 \alpha + \tan \alpha \tan 4 \alpha = 2$.
પદોને ગોઠવતા: $\tan \alpha + \tan 4 \alpha = 1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha$.
બંને બાજુ $(1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha)$ વડે ભાગતા: $\frac{\tan \alpha + \tan 4 \alpha}{1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha} = 1$.
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\tan(\alpha + 4 \alpha) = 1$.
આથી: $\tan(5 \alpha) = 1$.
કારણ કે $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,તેથી $5 \alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi$.
$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$ માટે,$n=0$ લેતા,$5 \alpha = \frac{\pi}{4}$,જે આપણને $\alpha = \frac{\pi}{20}$ આપે છે.

(A) આપેલ છે,$\cos \theta = \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}$.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}$
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \beta)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \beta)}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot^2 \frac{\theta}{2} = \cot^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \frac{\beta}{2}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2}$

(D) ધારો કે પદાવલિ $E$ છે.
$E = \frac{1+\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha \tan (\alpha - \frac{3\pi}{4})} - \frac{1}{4} \sin 2 \alpha [\cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}]$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,
$E = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

(B) આપેલ છે કે $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta} \implies 6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી,$6 \cos^3 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$.
ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = \frac{1}{2}$ એ એક ઉકેલ છે.
$6x^3 + x^2 - 1$ ને $(2x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $3x^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.
$3x^2 + 2x + 1$ નો વિવેચક $D = 4 - 12 = -8 < 0$ છે,તેથી કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,નેપિયરના સાદ્રશ્યનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
આપેલ $x = \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) \tan \frac{A}{2}$ માં કિંમત મૂકતા,$x = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2} \tan \frac{A}{2} = \frac{b-c}{b+c}$ મળે.
તે જ રીતે,$y = \frac{c-a}{c+a}$ અને $z = \frac{a-b}{a+b}$ મળે.
હવે,$\frac{1+x}{1-x} = \frac{1 + \frac{b-c}{b+c}}{1 - \frac{b-c}{b+c}} = \frac{b+c+b-c}{b+c-b+c} = \frac{b}{c}$ થાય.
તે જ રીતે,$\frac{1+y}{1-y} = \frac{c}{a}$ અને $\frac{1+z}{1-z} = \frac{a}{b}$ થાય.
આ ત્રણેયનો ગુણાકાર કરતા,$\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \left(\frac{1+y}{1-y}\right) \left(\frac{1+z}{1-z}\right) = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1$ મળે.
આથી $(1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)$ થાય.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz = 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(x+y+z) = -2xyz$,એટલે કે $x+y+z = -xyz$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $x_1, x_2, x_3$ અને $y_1, y_2, y_3$ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં છે.
ધારો કે $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ અને $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$.
બિંદુઓ $A(a, b), B(ar, br), C(ar^2, br^2)$ છે.
તેઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |a(br - br^2) + ar(br^2 - b) + ar^2(b - br)|$
$= \frac{1}{2} |abr(1 - r) + abr(r^2 - 1) + abr^2(1 - r)|$
$= \frac{1}{2} |abr - abr^2 + abr^3 - abr + abr^2 - abr^3| = 0$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(C) ધારો કે મૂળ યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(X, Y)$ છે. પરિભ્રમણ રૂપાંતરણ નીચે મુજબ છે:
$x = X \cos \frac{\pi}{6} - Y \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin \frac{\pi}{6} + Y \cos \frac{\pi}{6} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
આ કિંમતોને $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right) \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right) + \sqrt{3} \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right)^2 = 0$
ગણતરી કરતા:
$0X^2 - 8XY + 8\sqrt{3}Y^2 = 0$
$-8$ વડે ભાગતા:
$XY - \sqrt{3}Y^2 = 0$
આમ,રૂપાંતરિત સમીકરણ $\sqrt{3}Y^2 - XY = 0$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a, b), B(a, c)$ અને $C(d, c)$ છે.
અહીં $A$ અને $B$ નો $x$-યામ સમાન હોવાથી બાજુ $AB$ શિરોલંબ છે અને $B$ અને $C$ નો $y$-યામ સમાન હોવાથી બાજુ $BC$ સમક્ષિતિજ છે. તેથી,$\triangle ABC$ એ $B(a, c)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે. તેથી,લંબકેન્દ્ર $B(a, c)$ છે.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{a+a+d}{3}, \frac{b+c+c}{3}\right) = \left(\frac{2 a+d}{3}, \frac{b+2 c}{3}\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને લંબકેન્દ્ર $H(a, c)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ:
$M = \left(\frac{\frac{2 a+d}{3}+a}{2}, \frac{\frac{b+2 c}{3}+c}{2}\right) = \left(\frac{5 a+d}{6}, \frac{b+5 c}{6}\right)$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(3,-2,2)$ અને $B(6,-17,-4)$ છે. ધારો કે $P(2,3,4)$ એ $AB$ ને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(2,3,4) = \left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$.
$x$-યામ સરખાવતા: $2 = \frac{6k+3}{k+1}$ $\Rightarrow 2k+2 = 6k+3$ $\Rightarrow -4k = 1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
હાર્મોનિક કોન્જુગેટ $Q$ એ $AB$ ને $-k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,જે $\frac{1}{4}:1$ એટલે કે $1:4$ બાહ્ય વિભાજન છે.
$Q$ ના યામ: $\left(\frac{1(6)+4(3)}{1+4}, \frac{1(-17)+4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4)+4(2)}{1+4}\right)$.
ગણતરી કરતા: $Q = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.

(C) રેખા $ax+by+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના પ્રતિબિંબ $(x', y')$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x'-x_1}{a} = \frac{y'-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ છે.
બિંદુ $(1,1)$ અને રેખા $x+y+5=0$ માટે, $a=1, b=1, c=5$ છે.
$\frac{x'-1}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \frac{1(1)+1(1)+5}{1^2+1^2} = -2 \frac{7}{2} = -7$.
તેથી, $x'-1 = -7 \Rightarrow x' = -6$ અને $y'-1 = -7 \Rightarrow y' = -6$.
પ્રતિબિંબ બિંદુ $(-6, -6)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $(-6, -6)$ સુધીનું અંતર $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = \sqrt{(-6-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે કે રેખાઓ $x+3y-9=0$,$4x+by-2=0$ અને $2x-y-4=0$ સંગામી છે.
સંગામી હોવાની શરત મુજબ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -9 \\ 4 & b & -2 \\ 2 & -1 & -4 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(-4b - 2) - 3(-16 + 4) - 9(-4 - 2b) = 0$
$-4b - 2 + 36 + 36 + 18b = 0$
$14b + 70 = 0$ $\Rightarrow 14b = -70$ $\Rightarrow b = -5$
હવે,$x+3y-9=0$ અને $2x-y-4=0$ ને ઉકેલીને સંગામી બિંદુ શોધીએ:
$2x-y-4=0$ પરથી,$y = 2x-4$ મળે.
$x+3y-9=0$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 3(2x-4) - 9 = 0$ $\Rightarrow x + 6x - 12 - 9 = 0$ $\Rightarrow 7x = 21$ $\Rightarrow x = 3$.
તેથી $y = 2(3) - 4 = 2$. સંગામી બિંદુ $(3, 2)$ છે.
માંગેલ રેખા $(b, 0) = (-5, 0)$ અને $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાનું સમીકરણ: $y - 0 = \frac{2-0}{3 - (-5)}(x - (-5))$
$y = \frac{2}{8}(x+5)$ $\Rightarrow y = \frac{1}{4}(x+5)$ $\Rightarrow 4y = x+5$ $\Rightarrow x - 4y + 5 = 0$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = (a \cos k, a \sin k)$,$B = (b \sin k, -b \cos k)$,અને $C = (1, 0)$ છે.
ધારો કે $G(x, y)$ એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ $x = \frac{a \cos k + b \sin k + 1}{3}$ અને $y = \frac{a \sin k - b \cos k + 0}{3}$ છે.
આના પરથી,$3x - 1 = a \cos k + b \sin k$ ... $(i)$ અને $3y = a \sin k - b \cos k$ ... $(ii)$ મળે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos k + b \sin k)^2 + (a \sin k - b \cos k)^2$.
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2(\cos^2 k + \sin^2 k) + b^2(\sin^2 k + \cos^2 k) + 2ab \cos k \sin k - 2ab \sin k \cos k$.
કારણ કે $\sin^2 k + \cos^2 k = 1$,તેથી $(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ મળે.
આ $(1 - 3x)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ ને સમાન છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $x+y=1$ અને $2y^2-xy-6x^2=0$ છે.
બીજા સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$ $\Rightarrow 2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$ $\Rightarrow (2y+3x)(y-2x)=0$.
આમ,ત્રિકોણની બાજુઓ $L_1: x+y=1$,$L_2: y-2x=0$,અને $L_3: 2y+3x=0$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $A(0,0)$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$,તેથી $B(1/3, 2/3)$.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x+(-3x/2)=1$ $\Rightarrow -x/2=1$ $\Rightarrow x=-2, y=3$,તેથી $C(-2, 3)$.
$A(0,0)$ માંથી $BC$ $(x+y=1)$ પરનો વેધ: $BC$ નો ઢાળ $-1$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $1$ થાય. સમીકરણ: $y-0=1(x-0) \Rightarrow x-y=0$.
$C(-2,3)$ માંથી $AB$ $(y-2x=0)$ પરનો વેધ: $AB$ નો ઢાળ $2$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $-1/2$ થાય. સમીકરણ: $y-3 = -1/2(x+2)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x-2$ $\Rightarrow x+2y=4$.
$x-y=0$ અને $x+2y=4$ ઉકેલતા: $y+2y=4$ $\Rightarrow 3y=4$ $\Rightarrow y=4/3$. તેથી $x=4/3$.
લંબકેન્દ્ર $\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ છે.

(NONE) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડીએ. સજાતીય ભાગ $2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ $(2x + y + c_1) = 0$ અને $(x - 2y + c_2) = 0$ છે.
$(2x + y + c_1)(x - 2y + c_2) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2c_2 + c_1)x + (c_2 - 2c_1)y + c_1c_2 = 0$ વિસ્તરણ કરતા.
$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ સાથે સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $2c_2 + c_1 = 10$ અને $c_2 - 2c_1 = 5$ મળે છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $c_1 = 0$ અને $c_2 = 5$.
તેથી રેખાઓ $2x + y = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$ છે.
છેદબિંદુ $2x + y = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$ ને ઉકેલીને મળે છે. બીજા સમીકરણમાં $y = -2x$ મૂકતા $x - 2(-2x) + 5 = 0$ મળે,તેથી $5x = -5$,જેનો અર્થ છે $x = -1$ અને $y = 2$.
રેખા $L$ એ $(0, 0)$ અને $(-1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$L$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$ છે.
કારણ કે $L$ એ $kx + y + 3 = 0$ ને લંબ છે,બીજી રેખાનો ઢાળ $m_2 = -k$ છે.
લંબ રેખાઓ માટે,$m_1 \times m_2 = -1$.
$-2 \times (-k) = -1 \Rightarrow 2k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2=9$ અને રેખા $x+y=3$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ.
$x+y=3$ હોવાથી,$\frac{x+y}{3} = 1$ મળે.
વર્તુળના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x^2+y^2 = 9(1)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{x+y}{3}\right)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{(x+y)^2}{9}\right)$
$x^2+y^2 = (x+y)^2$
$x^2+y^2 = x^2+y^2+2xy$
$2xy = 0$
$xy = 0$

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(2x + y)(x - 2y + 5) = 0$ મળે છે.
તેથી,રેખાઓ $2x + y = 0$ અને $x - 2y + 5 = 0$ છે.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(-1, 2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $(-1, 2)$ ને જોડતી રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1 = -2$ છે.
રેખા $L$ એ $kx + y + 3 = 0$ ને લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$(-2) \times (-k) = -1$ $\Rightarrow 2k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.

(B) રેખાઓ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1g + b_1f - c_1)(a_2g + b_2f - c_2)$ થાય.
આપેલ વર્તુળ: $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$,તેથી $g = -1, f = -1, c = 1$.
ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-1)^2 + (-1)^2 - 1 = 1$.
રેખાઓ $kx + 2y - 4 = 0$ અને $5x - 2y - 4 = 0$ માટે,$a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -4$ અને $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = -4$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$1(k \times 5 + 2 \times (-2)) = (k(-1) + 2(-1) - (-4))(5(-1) + (-2)(-1) - (-4))$
$5k - 4 = (-k - 2 + 4)(-5 + 2 + 4)$
$5k - 4 = (-k + 2)(1)$
$5k - 4 = -k + 2$
$6k = 6$
$k = 1$.

(C) $(1,1)$ આગળ રેખાનું સમીકરણ $x+y-2=0$ છે. આ રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.
અભિલંબ એ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,અભિલંબનો ઢાળ $1$ છે.
તેથી,$\tan \theta = 1$,જે $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપે છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે. કેન્દ્રના યામ $h = 1 \pm r \cos \theta$ અને $k = 1 \pm r \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{2}$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ હોવાથી:
$h = 1 \pm \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
$k = 1 \pm \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
તેથી,શક્ય કેન્દ્રો $(2, 2)$ અથવા $(0, 0)$ છે.
વર્તુળના સમીકરણો $x^2 + y^2 = 2$ અથવા $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$ છે.
$x^2 + y^2 - 2 = 0$ વર્તુળ માટે,$(1, 2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 2^2 - 2} = \sqrt{3}$ છે.
$(x-2)^2 + (y-2)^2 - 2 = 0$ વર્તુળ માટે,$(1, 2)$ માંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 - 2} = \sqrt{-1}$ મળે છે,જે શક્ય નથી.
તેથી,સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-2x-2y-3=0$ છે.
વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=-1$ અને $f=-1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(-g, -f) = (1, 1)$ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ હંમેશા કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી રેખાખંડ $PQ$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
તેથી,કેન્દ્ર $O(1, 1)$ એ વ્યાસ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $Q$ ના યામ $(x, y)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-1+x}{2} = 1 \implies -1+x = 2 \implies x = 3$
$\frac{2+y}{2} = 1 \implies 2+y = 2 \implies y = 0$
આમ,$Q$ ના યામ $(3, 0)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ: $x^2+y^2+4x-6y+4=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=2, f=-3, c=4$ મળે છે.
કેન્દ્ર $O = (-g, -f) = (-2, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-4} = \sqrt{9} = 3$.
ઉગમબિંદુ $P(0,0)$ થી કેન્દ્ર $O(-2,3)$ સુધીનું અંતર $d = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ છે.
ધારો કે $\alpha$ એ સ્પર્શક અને ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કાટ્રાયંગલના ગુણધર્મ મુજબ,$\sin \alpha = \frac{r}{d} = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી $\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-\frac{9}{13}} = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.
આમ,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2}$.
બંને સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha = 2 \tan^{-1} \left(\frac{3}{2}\right)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S$ આપેલા વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x^2+y^2-4x-2y+4=0$ માટે: $2g(-2) + 2f(-1) = c+4 \Rightarrow -4g-2f = c+4$ $(i)$.
$x^2+y^2-2x-4y+1=0$ માટે: $2g(-1) + 2f(-2) = c+1 \Rightarrow -2g-4f = c+1$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+2y+1=0$ માટે: $2g(2) + 2f(1) = c+1 \Rightarrow 4g+2f = c+1$ $(iii)$.
$(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$0 = 2c+5$,તેથી $c = -\frac{5}{2}$.
$c$ ની કિંમત $(iii)$ માં મુકતા: $4g+2f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 8g+4f = -3$ $(iv)$.
$c$ ની કિંમત $(ii)$ માં મુકતા: $-2g-4f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 4g+8f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $12g+12f = 0 \Rightarrow g = -f$.
$g = -f$ ને $(iv)$ માં મુકતા: $-8f+4f = -3$ $\Rightarrow -4f = -3$ $\Rightarrow f = \frac{3}{4}, g = -\frac{3}{4}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 - (-\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{40}{16}} = \sqrt{\frac{58}{16}} = \sqrt{\frac{29}{8}}$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ:
$x^2-2x+3y-2=0$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$x^2-2x = -3y+2$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા:
$x^2-2x+1 = -3y+2+1$
$(x-1)^2 = -3y+3$
$(x-1)^2 = -3(y-1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = -3$ મળે છે,તેથી $a = -\frac{3}{4}$.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $|a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $= |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 5$,તેથી $a = \frac{5}{4}$.
ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ અને $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ છે.
નાભિસ્થ જીવા માટેની શરત $t_1t_2 = -1$ છે.
તેથી $x_1x_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1t_2)^2 = a^2(-1)^2 = a^2$.
તે જ રીતે,$y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2) = 4a^2(-1) = -4a^2$.
આપણે $4x_1x_2 + y_1y_2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કિંમતો મૂકતા: $4(a^2) + (-4a^2) = 4a^2 - 4a^2 = 0$.

(A) $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં,મધ્યમ પદ $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ છે. મધ્યમ પદ સૌથી મોટું પદ હોવાથી,તે તેના પાસપાસેના પદો $T_n$ અને $T_{n+2}$ કરતા મોટું અથવા સમાન હોવું જોઈએ.
$T_{n+1} \ge T_n \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n-1} x^{n-1} \implies x \ge \frac{n}{n+1}$.
$T_{n+1} \ge T_{n+2} \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n+1} x^{n+1} \implies x \le \frac{n+1}{n}$.
આમ,$x \in \left[\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right]$. વિકલ્પો મુજબ,અંતરાલ $\left(\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right)$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \frac{3x}{(x-2)(x-1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{3x}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$.
$A$ અને $B$ માટે ઉકેલતા: $3x = A(x-1) + B(x-2)$.
$x=1$ માટે,$3 = B(-1) \Rightarrow B = -3$.
$x=2$ માટે,$6 = A(1) \Rightarrow A = 6$.
તેથી,$f(x) = \frac{6}{x-2} - \frac{3}{x-1} = -\frac{6}{2(1-x/2)} + \frac{3}{1-x} = -3(1-x/2)^{-1} + 3(1-x)^{-1}$.
$(1-u)^{-1}$ નું વિસ્તરણ $|u| < 1$ માટે માન્ય છે.
$-3(1-x/2)^{-1}$ માટે,આપણને $|x/2| < 1 \Rightarrow |x| < 2$ ની જરૂર છે.
$3(1-x)^{-1}$ માટે,આપણને $|x| < 1$ ની જરૂર છે.
વિસ્તરણ આ અંતરાલોના છેદગણમાં માન્ય છે: $|x| < 2$ અને $|x| < 1$,જે $|x| < 1$ અથવા $-1 < x < 1$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયના પ્રાચલ સમીકરણો:
$x = 3 \cos \theta$ અને $y = 4 \sin \theta$.
તેથી,$\frac{x}{3} = \cos \theta$ અને $\frac{y}{4} = \sin \theta$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 16$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2 \sqrt{b^2 - a^2} = 2 \sqrt{16 - 9} = 2 \sqrt{7}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $9(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 2y) = 164$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 2y + 1) = 164 + 36 + 25$
$9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 = 225$
$225$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
નાભિલંબના સમીકરણો $x - h = \pm ae$ છે.
$x - 2 = \pm 5 \times \frac{4}{5} = \pm 4$.
$x = 2 + 4 = 6$ અને $x = 2 - 4 = -2$.
આમ,સમીકરણો $x - 6 = 0$ અને $x + 2 = 0$ છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $y=mx+2$ છે ... $(i)$
અતિવલયનું સમીકરણ $4x^2-9y^2=36$ છે ... $(ii)$
$(ii)$ ને $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
રેખા $y=mx+c$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 - b^2$ છે.
અહીં,$a^2=9$,$b^2=4$,અને $c=2$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$2^2 = 9m^2 - 4$
$4 = 9m^2 - 4$
$9m^2 = 8$
$m^2 = \frac{8}{9}$
$m = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(C) ધારો કે $P(t, -1/t)$ એ $xy = -1$ વક્ર પરનું બિંદુ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $x(-1/t) + y(t) = -2$ છે,જે $y = x/t^2 + 2/t$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખા પરવલય $y^2 = 8x$ (જ્યાં $a = 2$) નો સ્પર્શક હોય,તો શરત $c = a/m$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$m = 1/t^2$ અને $c = 2/t$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $2/t = 2 / (1/t^2) \implies 2/t = 2t^2 \implies t^3 = 1 \implies t = 1$.
$t = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણ $y = x/t^2 + 2/t$ માં મૂકતા,આપણને $y = x + 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{x^2}$.
અંશના અવયવો પાડતા:
$6^x - 3^x - 2^x + 1 = 3^x(2^x - 1) - 1(2^x - 1) = (2^x - 1)(3^x - 1)$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)(3^x - 1)}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x - 1}{x} \right) \times \left( \frac{3^x - 1}{x} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log _e a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$l = (\log _e 2) \times (\log _e 3)$.

(B) પ્રથમ $50$ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $2, 4, 6, \ldots, 100$ છે.
મધ્યક,$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = \frac{2(1+2+3+\ldots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
વિચરણ,$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \ldots + 50^2)$.
વર્ગોના સરવાળાના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50(51)(101)}{6} = \frac{2 \times 50 \times 51 \times 101}{3} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(C) આપેલ છે,અવલોકનોની સંખ્યા,$n = 10$.
મધ્યક,$\bar{x} = 50$.
વિચલનોના વર્ગોનો સરવાળો,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 250$.
વિચરણ,$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{250}{10} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન,$\sigma = \sqrt{25} = 5$.
વિચલનાંક ($C$.$V$.) નું સૂત્ર: $\text{C.V.} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.
$\text{C.V.} = \frac{5}{50} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10$.

(D) $\triangle ABC$ માં,બાજુઓ $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = ac$.
આપેલ છે કે $C - A = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ અને સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin^2 B = \sin A \sin C$.
$2 \sin^2 B = \cos(A - C) - \cos(A + C) = \cos(60^{\circ}) - \cos(180^{\circ} - B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$2(1 - \cos^2 B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$4 \cos^2 B + 2 \cos B - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{\sqrt{13}-1}{4}$.

(B) આપેલ વક્રો $y^2+x^2=a^2 \sqrt{2}$ $(i)$ અને $x^2-y^2=a^2$ $(ii)$ છે.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x^2 = a^2(\sqrt{2}+1) \Rightarrow x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ મળે.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2y^2 = a^2(\sqrt{2}-1) \Rightarrow y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$ મળે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
વક્ર $(ii)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
છેદકોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ છે.
$m_1 = -\frac{x}{y}$ અને $m_2 = \frac{x}{y}$ મૂકતા:
$\tan \theta = |\frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})}| = |\frac{-2x/y}{1 - x^2/y^2}| = |\frac{-2xy}{y^2 - x^2}|$.
અહીં $x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ અને $y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$ હોવાથી,$y^2 - x^2 = -a^2$ થાય.
તેમજ $x^2 y^2 = \frac{a^4(2-1)}{4} = \frac{a^4}{4} \Rightarrow xy = \frac{a^2}{2}$.
$\tan \theta = |\frac{-2(a^2/2)}{-a^2}| = |\frac{-a^2}{-a^2}| = 1$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપેલ છે કે,$A+B=\frac{\pi}{3}$.
ધારો કે $y = \tan A \tan B$.
અહીં $B = \frac{\pi}{3} - A$ હોવાથી,$y = \tan A \tan(\frac{\pi}{3} - A)$ થાય.
ધન કિંમતો $\tan A$ અને $\tan B$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan A + \tan B}{2} \geq \sqrt{\tan A \tan B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos A \cos B} = \frac{\sqrt{3}/2}{\cos A \cos B}$.
વૈકલ્પિક રીતે,નિત્યસમ $\tan A \tan B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{\cos(A-B) + \cos(A+B)}$ નો ઉપયોગ કરતા.
નિશ્ચિત સરવાળા $A+B = \frac{\pi}{3}$ માટે,ગુણાકાર $\tan A \tan B$ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $A=B$ હોય.
તેથી,$A = B = \frac{\pi}{6}$.
મહત્તમ કિંમત $= \tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.

(C) આપેલ છે કે નિયમિત ષટ્કોણના $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ પસંદ કરવામાં આવે છે.
$6$ માંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,તેના શિરોબિંદુઓને જોડીને માત્ર બે જ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે,જે $\triangle ACE$ અને $\triangle BDF$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ છે.

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ અને $S_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ છે.
$S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5-c}$.
$S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 1$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{2}$.
બે વર્તુળો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$.
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ લેતા,$\frac{1}{2} = \left| \frac{4-c}{2\sqrt{5-c}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$5-c = (4-c)^2 \Rightarrow c^2 - 7c + 11 = 0$.
ઉકેલતા,$c = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^5+3x^3+4x+30$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,આપણને $f'(x) = 5x^4+9x^2+4$ મળે છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $x^4 \ge 0$ અને $x^2 \ge 0$ હોવાથી,$5x^4+9x^2+4 \ge 4 > 0$ થાય.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ તેના પ્રદેશ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે.
ચુસ્ત રીતે વધતું સતત વિધેય $x$-અક્ષને વધુમાં વધુ એક વાર છેદી શકે છે.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ અને $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,બરાબર એક વાસ્તવિક બીજ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$x-y+2z=4$
$3x+y+4z=6$
$x+y+z=1$
અહીં $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
તથા $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણોને અનંત ઉકેલો છે.

(C) આપેલ છે,$\angle A = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \frac{A}{2}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ મૂકતા:
$r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \left(\frac{90^{\circ}}{2}\right) = 4R \cos^2 45^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
આમ,$r_2 + r_3 = 4R \times \frac{1}{2} = 2R$.
હવે,પદની ગણતરી કરતા:
$\cos^{-1}\left(\frac{R}{r_2+r_3}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{R}{2R}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

(A) ધારો કે $A = \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$A = \left|\begin{array}{lll}a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b\end{array}\right| = (a+b+c) \left|\begin{array}{lll}1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$A = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c\end{array}\right|$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$A = (a+b+c) [(c-b)(b-c) - (a-c)(a-b)]$
$A = -(a+b+c) [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]$
$A = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી $(a+b+c) > 0$ અને $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ થાય. તેથી,$A < 0$ મળે.

(A) આપેલ છે,$x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ અને $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$.
$x$ માટે,ધારો કે $\tan ^{-1} 2 = \alpha$,તેથી $\tan \alpha = 2$.
તેથી $x = \sin(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2(2)}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y$ માટે,ધારો કે $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \beta$,તેથી $\tan \beta = \frac{4}{3}$.
$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (16/9)}} = \frac{1}{\sqrt{25/9}} = \frac{3}{5}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી $y = \sin(\beta/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.
આમ,$0.8 > 0.447$ હોવાથી,$x > y$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{\log_{0.5} x!}$.
વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ:
$\log_{0.5} x! \geq 0$.
અહીં લઘુગણકનો આધાર $0.5$ છે (જે $0$ અને $1$ ની વચ્ચે છે),તેથી લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતાની નિશાની બદલાઈ જશે:
$x! \leq (0.5)^0$.
$x! \leq 1$.
ફેક્ટોરિયલ $x!$ એ અઋણ પૂર્ણાંકો $x$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. આપણે કિંમતો તપાસીએ:
$x = 0$ માટે,$0! = 1 \leq 1$ (સાચું).
$x = 1$ માટે,$1! = 1 \leq 1$ (સાચું).
$x = 2$ માટે,$2! = 2 \not\leq 1$ (ખોટું).
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $\{0, 1\}$ છે.

(C) આપણી પાસે $f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ છે.
અંતરાલ $2 < x < 3$ માટે:
$|x-1| = x-1$ (કારણ કે $x > 1$)
$|x-2| = x-2$ (કારણ કે $x > 2$)
$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ (કારણ કે $x < 3$)
તેથી,$f(x) = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$.
અંતરાલ $(2, 3)$ માં,વિધેય $f(x) = x$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$f(x) = x$ હોવાથી,દરેક $x \in (2, 3)$ માટે,વિસ્તાર $(2, 3)$ મળે છે.
આમ,વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જેનો અર્થ છે કે તે એક બાયજેક્શન છે.

(B) આપેલ વિધેય,$f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < 1 \\ (1-x)(2-x), & 1 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & x > 2 \end{cases}$
$x=1$ આગળ વિધેય $f(x)$ સતત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,ડાબી બાજુની લક્ષ,જમણી બાજુની લક્ષ અને વિધેયની કિંમત તપાસીએ.
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} (1-x) = 1-1 = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} (1-x)(2-x) = (1-1)(2-1) = 0 \times 1 = 0$.
$f(1) = (1-1)(2-1) = 0$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = f(1)$ હોવાથી,વિધેય $x=1$ આગળ સતત છે.
હવે,$x=2$ આગળ સાતત્ય તપાસવા માટે:
$\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (1-x)(2-x) = (1-2)(2-2) = (-1) \times 0 = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (3-x) = 3-2 = 1$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $x=2$ આગળ અસતત છે.

(A) આપેલ વિધેય,$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c, & x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$ છે.
જો $f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો તે $x = 1$ આગળ સતત હોવું જોઈએ અને ડાબી બાજુનું વિકલન જમણી બાજુના વિકલન જેટલું હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x = 1$ આગળ સાતત્ય માટે:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$
$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + bx + c) = 1$
$1 + b + c = 1 \Rightarrow b + c = 0$ (સમીકરણ $1$).
ત્યારબાદ,$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા માટે,વિકલિતો સમાન હોવા જોઈએ:
$f'(x) = \begin{cases} 2x + b, & x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x)$
$2(1) + b = 1 \Rightarrow 2 + b = 1 \Rightarrow b = -1$.
સમીકરણ $1$ માં $b = -1$ મૂકતા:
$-1 + c = 0 \Rightarrow c = 1$.
તેથી,$b - c = -1 - 1 = -2$.

(C) આપેલ છે કે $y = \log_2(\log_2 x)$.
આધાર બદલવાના સૂત્ર $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2}$.
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$.
અહીં $\log_e(\log_e 2)$ અચળ હોવાથી તેનું વિકલન $0$ થાય.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e x \log_e 2}$.

(D) આપેલ છે કે $x=a$ એ બહુપદી સમીકરણ $f(x)=0$ નું બે ગુણકતા વાળું બીજ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x)$ ને $f(x)=(x-a)^2 g(x)$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $g(a) \neq 0$.
પ્રથમ,આપણે પ્રથમ વિકલિત $f^{\prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime}(x) = 2(x-a)g(x) + (x-a)^2 g^{\prime}(x)$.
$x=a$ આગળ કિંમત મૂકતા,આપણને $f^{\prime}(a) = 2(a-a)g(a) + (a-a)^2 g^{\prime}(a) = 0$ મળે છે.
ત્યારબાદ,આપણે દ્વિતીય વિકલિત $f^{\prime \prime}(x)$ શોધીએ:
$f^{\prime \prime}(x) = 2g(x) + 2(x-a)g^{\prime}(x) + 2(x-a)g^{\prime}(x) + (x-a)^2 g^{\prime \prime}(x) = 2g(x) + 4(x-a)g^{\prime}(x) + (x-a)^2 g^{\prime \prime}(x)$.
$x=a$ આગળ કિંમત મૂકતા,આપણને $f^{\prime \prime}(a) = 2g(a) + 4(a-a)g^{\prime}(a) + (a-a)^2 g^{\prime \prime}(a) = 2g(a)$ મળે છે.
કારણ કે $g(a) \neq 0$,તેથી $f^{\prime \prime}(a) \neq 0$ થાય.
આમ,$f(a)=0$,$f^{\prime}(a)=0$,અને $f^{\prime \prime}(a) \neq 0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x(x+3)(x-2)$.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x - 6$.
આપણને આપેલ છે કે $f^{\prime}(c) = 10$,તેથી $3c^2 + 2c - 6 = 10$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $3c^2 + 2c - 16 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $3c^2 + 8c - 6c - 16 = 0$.
$c(3c + 8) - 2(3c + 8) = 0$.
$(3c + 8)(c - 2) = 0$.
આમ,$c = -\frac{8}{3}$ અથવા $c = 2$.
આપણને $c \in (-1, 4)$ ની જરૂર હોવાથી,આપણે $c = -\frac{8}{3}$ ને નકારીએ છીએ કારણ કે તે અંતરાલની બહાર છે.
તેથી,$c = 2$ એ સાચી કિંમત છે.

(A) ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
ધારો કે $u = x^3$ અને $v = e^{5x}$.
$\int x^3 e^{5x} dx = x^3 \frac{e^{5x}}{5} - \int 3x^2 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} \int x^2 e^{5x} dx$.
હવે,$\int x^2 e^{5x} dx = x^2 \frac{e^{5x}}{5} - \int 2x \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} \int x e^{5x} dx$.
અને $\int x e^{5x} dx = x \frac{e^{5x}}{5} - \int 1 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}$.
આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\int x^3 e^{5x} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} [\frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25})] + C$.
$= \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3 x^2 e^{5x}}{25} + \frac{6 x e^{5x}}{125} - \frac{6 e^{5x}}{625} + C$.
$= \frac{e^{5x}}{625} [125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6] + C$.
અહીં $5^4 = 625$ હોવાથી,$f(x) = 125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx$.
અંશને $x = \frac{1}{2}(2x+2) - 1$ તરીકે લખો.
તેથી $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^2} dx - \int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,$u = x^2+2x+2$ લો,તેથી $du = (2x+2)dx$.
$\frac{1}{2} \int u^{-2} du = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)}$.
બીજા સંકલન માટે,$J = \int \frac{1}{((x+1)^2+1)^2} dx$ લો.
$x+1 = \tan \theta$ મૂકતા,$dx = \sec^2 \theta d\theta$.
$J = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2}(\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$.
અહીં $\tan \theta = x+1$ હોવાથી,$\theta = \tan^{-1}(x+1)$ અને $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2(x+1)}{x^2+2x+2}$.
તેથી $J = \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1) + \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} + C$.
આ બંનેને જોડતા,$I = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1) + C = -\frac{x+2}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1) + C$.

(C) ધારો કે $I = \int \log \left(a^2+x^2\right) d x$.
ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
ધારો કે $u = \log(a^2+x^2)$ અને $v = 1$.
તેથી $u' = \frac{2x}{a^2+x^2}$ અને $\int v dx = x$.
$I = x \log(a^2+x^2) - \int \frac{2x^2}{a^2+x^2} dx + C$.
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int \frac{x^2+a^2-a^2}{a^2+x^2} dx + C$.
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int (1 - \frac{a^2}{a^2+x^2}) dx + C$.
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 \int \frac{1}{a^2+x^2} dx + C$.
કારણ કે $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$,તેથી આપણને મળે છે:
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 (\frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})) + C$.
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$.
$h(x)+C$ સાથે સરખાવતા,$h(x) = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int (\log x)^5 dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
તેથી $I = \int t^5 e^t dt$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int t^n e^t dt = e^t [t^n - n t^{n-1} + n(n-1) t^{n-2} - \dots + (-1)^n n!]$.
$n = 5$ માટે,$I = e^t [t^5 - 5t^4 + 20t^3 - 60t^2 + 120t - 120] + C$.
$t = \log x$ પાછું મૂકતા,$I = x [(\log x)^5 - 5(\log x)^4 + 20(\log x)^3 - 60(\log x)^2 + 120(\log x) - 120] + C$.
આપેલ પદ સાથે સરખાવતા,સહગુણકો $A = 1, B = -5, C = 20, D = -60, E = 120, F = -120$ મળે છે.
તેથી,$A + B + C + D + E + F = 1 - 5 + 20 - 60 + 120 - 120 = -44$.

(D) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$.
આપણે આને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{2-\cos 2x} dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x}{2-\cos 2x}$. કારણ કે $f(-x) = \frac{-x}{2-\cos(-2x)} = -f(x)$,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = 0$.
હવે,$I = \frac{\pi}{4} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$. કારણ કે સંકલ્ય એક યુગ્મ વિધેય છે,$I = 2 \times \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$.
$\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} dx$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x dx$. સીમાઓ $[0, \frac{\pi}{4}]$ થી બદલાઈને $[0, 1]$ થશે.
$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+3t^2} = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}t) \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ છે.
આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$ તરીકે લખી શકીએ.
સરવાળાના લક્ષ તરીકે નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
તેથી,$S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા,$S = [\sin ^{-1} x]_0^1$.
$S = \sin ^{-1}(1) - \sin ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$.

(D) આપેલ વક્રો $y=\frac{x^2}{4 a}$ અને $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ છે.
છેદબિંદુ માટે,બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{x^2}{4 a} = \frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$
$x^2(x^2+4 a^2) = 32 a^4$
$x^4+4 a^2 x^2 - 32 a^4 = 0$
$(x^2+8 a^2)(x^2-4 a^2) = 0$
અહીં $x^2 = -8 a^2$ શક્ય નથી,તેથી $x^2 = 4 a^2$,એટલે કે $x = \pm 2 a$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_0^{2 a} (\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2} - \frac{x^2}{4 a}) dx$.
$A = 2 [8 a^3 \int_0^{2 a} \frac{1}{x^2+(2 a)^2} dx - \frac{1}{4 a} \int_0^{2 a} x^2 dx]$
$A = 2 [8 a^3 \cdot \frac{1}{2 a} \tan^{-1}(\frac{x}{2 a}) |_0^{2 a} - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{x^3}{3} |_0^{2 a}]$
$A = 2 [4 a^2 \tan^{-1}(1) - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{8 a^3}{3}]$
$A = 2 [4 a^2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2 a^2}{3}]$
$A = 2 a^2 (\pi - \frac{2}{3}) = a^2(2 \pi - \frac{4}{3})$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(2x - 4y + 3) \frac{dy}{dx} + (x - 2y + 1) = 0$.
ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x - 2y + 1}{2x - 4y + 3} = -\frac{(x - 2y) + 1}{2(x - 2y) + 3}$.
ધારો કે $v = x - 2y$. તો $\frac{dv}{dx} = 1 - 2 \frac{dy}{dx}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1 - \frac{dv}{dx})$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} (1 - \frac{dv}{dx}) = -\frac{v + 1}{2v + 3}$.
$1 - \frac{dv}{dx} = -\frac{2v + 2}{2v + 3} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{2v + 2}{2v + 3} = \frac{2v + 3 + 2v + 2}{2v + 3} = \frac{4v + 5}{2v + 3}$.
ચલ અલગ કરતા: $\frac{2v + 3}{4v + 5} dv = dx$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{4v + 6}{4v + 5} dv = 2 dx$.
$\int (1 + \frac{1}{4v + 5}) dv = \int 2 dx$.
$v + \frac{1}{4} \log |4v + 5| = 2x + C$.
$v = x - 2y$ મૂકતા: $(x - 2y) + \frac{1}{4} \log |4(x - 2y) + 5| = 2x + C$.
$\frac{1}{4} \log |4(x - 2y) + 5| = x + 2y + C$.
$\log |4(x - 2y) + 5| = 4x + 8y + C'$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$.
આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ અને $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.
સામાન્ય ઉકેલ $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{2 \tan^{-1} y}}{1+y^2} dy + C$.
ધારો કે $u = \tan^{-1} y$,તો $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int e^{2u} du + C = \frac{1}{2} e^{2u} + C = \frac{1}{2} e^{2 \tan^{-1} y} + C$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 x e^{\tan^{-1} y} = e^{2 \tan^{-1} y} + C$.

(D) આપેલ છે: $|a|=3, |b|=4$ અને ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|4a+3b|^2 = (4a+3b) \cdot (4a+3b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24(a \cdot b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24|a||b| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $16(3)^2 + 9(4)^2 + 24(3)(4) \cos(120^{\circ})$.
$= 16(9) + 9(16) + 288 \times (-1/2)$.
$= 144 + 144 - 144 = 144$.
તેથી,$|4a+3b| = \sqrt{144} = 12$.

(A) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ છે.
$a \times b = 0$ હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ સમરેખ (સમાંતર) છે.
બે સમાંતર સદિશો $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ માટે,ઘટકો પ્રમાણસર હોય છે:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{m} = \frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$
$\frac{2}{m} = \frac{-5}{12}$ પરથી,$m = \frac{2 \times 12}{-5} = -\frac{24}{5}$ મળે.
$\frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$ પરથી,$n = \frac{3 \times 12}{-5} = -\frac{36}{5}$ મળે.
તેથી,$(m, n) = \left(-\frac{24}{5}, -\frac{36}{5}\right)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$.
આખા સમીકરણનો સદિશ $\gamma$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma + b(\beta \times \gamma) \cdot \gamma + c(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$.
પુનરાવર્તિત ઘટકો ધરાવતા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવાથી,$(\beta \times \gamma) \cdot \gamma = 0$ અને $(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$ થાય.
આથી સમીકરણ $a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma = 0$ માં પરિણમે છે,જે $a[\alpha \beta \gamma] = 0$ છે.
તે જ રીતે,$\alpha$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા $b[\beta \gamma \alpha] = 0$ મળે છે,અને $\beta$ સાથે લેતા $c[\gamma \alpha \beta] = 0$ મળે છે.
$a, b, c$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણક $[\alpha \beta \gamma]$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,સદિશો $\alpha, \beta, \gamma$ સમતલીય છે.

(C) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $56x + 4y + 9z = 2016$ છે.
$2016$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$.
આ સમતલ યામ અક્ષોને $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ અને $C(0, 0, 224)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
$G = \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(B) આપેલ સમીકરણો છે:
$r = 3p + 4q$ $(i)$
$2r = p - 3q$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે $p = 2r + 3q$.
$p$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$r = 3(2r + 3q) + 4q$
$r = 6r + 9q + 4q$
$r - 6r = 13q$
$-5r = 13q$
$r = -\frac{13}{5}q$
અહીં અદિશ ગુણક ઋણ હોવાથી,$r$ અને $q$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
બંને બાજુ માન લેતા:
$|r| = |-\frac{13}{5}q| = \frac{13}{5}|q| = 2.6|q|$
$2.6 > 2$ હોવાથી,આપણને મળે છે $|r| > 2|q|$.
આમ,$|r| > 2|q|$ અને $r, q$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(B) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ છે,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
ઘનના ચાર વિકર્ણો $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ સદિશોની દિશામાં છે.
ચાર વિકર્ણોની દિશામાં એકમ સદિશો $\vec{d_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$,$\vec{d_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$,$\vec{d_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$,અને $\vec{d_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ છે.
રેખા અને વિકર્ણ સદિશ $\vec{d}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $|l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m+n|$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}|-l+m+n|$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}|l-m+n|$,અને $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m-n|$.
આનો વર્ગ કરતા,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,અને $\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$ મળે છે.
આનો સરવાળો કરતા: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2 ]$.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (1+\lambda-\mu) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$.
આ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
તેથી,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,અથવા $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ મૂકતા,આપણને $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $2x + z = 5$ થાય છે.

(A) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે $A$ સત્ય બોલે છે અને $B$ એ ઘટના છે કે $B$ સત્ય બોલે છે.
આપેલ સંભાવનાઓ છે:
$P(A) = 75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(B) = 80 \% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
તેમના નિવેદનો ત્યારે મેળ ન ખાય જો એક વ્યક્તિ સત્ય બોલે અને બીજી વ્યક્તિ જૂઠું બોલે.
આ બે રીતે થઈ શકે છે: ($A$ સત્ય બોલે અને $B$ જૂઠું બોલે) અથવા ($A$ જૂઠું બોલે અને $B$ સત્ય બોલે).
જરૂરી સંભાવના $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$
$= P(A) \times (1 - P(B)) + (1 - P(A)) \times P(B)$
$= \frac{3}{4} \times (1 - \frac{4}{5}) + (1 - \frac{3}{4}) \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$

(A) પોઈસન વિતરણ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\lambda$ એ પ્રતિ દિવસ અકસ્માતોની સરેરાશ સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $50$ દિવસમાં $10$ અકસ્માતો થાય છે,તેથી પ્રતિ દિવસ અકસ્માતોની સરેરાશ સંખ્યા $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ છે.
આપણે એક દિવસમાં ત્રણ કે તેથી વધુ અકસ્માતો થવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 3)$ છે.
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + \dots$
આને $\lambda = 0.2$ સાથે $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,સાચું પદ $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-0.2} (0.2)^k}{k !}$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np = 4$ ... $(i)$
વિચરણ $\sigma^2 = npq = 2$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4} \implies q = \frac{1}{2}$
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
સમીકરણ $(i)$ માં $p = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$n \times \frac{1}{2} = 4 \implies n = 8$
દ્વિપદી વિતરણમાં $X$ સફળતાઓની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k = 2$ માટે:
$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 28 \times \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$