જો $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$,$b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ અને $a \times b=0$ હોય,તો $(m, n)$ ની કિંમત શોધો.

સદિશોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=\hat{i}+5\hat{j}+\alpha\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+3\hat{j}+\beta\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે,જેથી $|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|=5\sqrt{3}$ અને $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ ને લંબ છે. તો $|\vec{a}|^{2}$ ની મહત્તમ કિંમત .... છે.

જો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ હોય તેવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15$ ચોરસ એકમ હોય,તો $3 \bar{a} + 2 \bar{b}$ અને $\bar{a} + 3 \bar{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ હોય તેવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે,તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ થાય.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$,જ્યાં $\lambda \in \mathbb{Z}$,બે સદિશો છે. ધારો કે $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{d}$ એ $yz$-સમતલમાં $2$ માન ધરાવતો સદિશ છે. જો $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$ હોય,તો $(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})^2$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?