AP EAMCET 2016 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया समीकरण: $12^{4+2x^2} = (24\sqrt{3})^{3x^2-2}$
$24\sqrt{3}$ को $12$ के आधार में व्यक्त करने पर:
$24\sqrt{3} = 12 \times 2 \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 12 \times \sqrt{12} = 12^1 \times 12^{1/2} = 12^{3/2}$
समीकरण में मान रखने पर:
$12^{4+2x^2} = (12^{3/2})^{3x^2-2}$
$12^{4+2x^2} = 12^{\frac{3}{2}(3x^2-2)}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$4+2x^2 = \frac{3}{2}(3x^2-2)$
$8+4x^2 = 9x^2-6$
$9x^2-4x^2 = 8+6$
$5x^2 = 14$
$x^2 = \frac{14}{5}$
$x = \pm \sqrt{\frac{14}{5}}$

(A) दिया गया समीकरण: $|x|^2 - 5|x| - 24 = 0$.
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$.
समीकरण $t^2 - 5t - 24 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 8)(t + 3) = 0$.
इससे $t = 8$ या $t = -3$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|x| \ge 0$,इसलिए $t = -3$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x| = 8$,जिसका अर्थ है $x = 8$ या $x = -8$.
समीकरण के मूल $8$ और $-8$ हैं।
मूलों का गुणनफल: $8 \times (-8) = -64$.
मूलों का योगफल: $8 + (-8) = 0$.
अतः,गुणनफल और योगफल क्रमशः $-64$ और $0$ हैं।

(B) माना दिया गया समीकरण $x^3+\frac{1}{4} x^2-\frac{1}{16} x+\frac{1}{144}=0$ $(i)$ है।
यदि नए समीकरण के मूल समीकरण $(i)$ के मूलों के $k$ गुना हैं,तो हम $x$ को $\frac{x}{k}$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$\left(\frac{x}{k}\right)^3+\frac{1}{4}\left(\frac{x}{k}\right)^2-\frac{1}{16}\left(\frac{x}{k}\right)+\frac{1}{144}=0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $k^3$ से गुणा करने पर:
$x^3+\frac{k}{4} x^2-\frac{k^2}{16} x+\frac{k^3}{144}=0$
गुणांकों के पूर्णांक होने के लिए,$k$ ऐसा होना चाहिए कि $4$,$k$ को विभाजित करे,$16$,$k^2$ को विभाजित करे,और $144$,$k^3$ को विभाजित करे।
विकल्पों की जाँच करने पर:
यदि $k=12$ है,तो $\frac{k}{4} = \frac{12}{4} = 3$,$\frac{k^2}{16} = \frac{144}{16} = 9$,और $\frac{k^3}{144} = \frac{1728}{144} = 12$.
चूंकि सभी गुणांक $(1, 3, -9, 12)$ पूर्णांक हैं,इसलिए $k=12$ एक संभावित मान है।

(A) हमारे पास $(1-x+x^2-x^3)^4 = [(1-x) + x^2(1-x)]^4 = [(1-x)(1+x^2)]^4 = (1-x)^4(1+x^2)^4$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दोनों पदों का विस्तार करने पर:
$(1-x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$।
$(1+x^2)^4 = 1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8$।
हमें $(1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4)(1 + 4x^2 + 6x^4 + 4x^6 + x^8)$ के गुणनफल में $x^4$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$x^4$ देने वाले पद हैं:
$(1 \times 6x^4) + (6x^2 \times 4x^2) + (x^4 \times 1) = 6x^4 + 24x^4 + 1x^4 = 31x^4$।
अतः,$x^4$ का गुणांक $31$ है।

(A) हमारे पास है,
$\frac{(1+i)^{2016}}{(1-i)^{2014}} = \frac{(1+i)^{2014} \times (1+i)^2}{(1-i)^{2014}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{2014} \times (1+i)^2$
चूँकि $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{2i}{2} = i$
अतः,व्यंजक $i^{2014} \times (1+2i+i^2)$ हो जाता है
$= i^{2014} \times (2i)$
चूँकि $i^4 = 1$,$i^{2014} = (i^4)^{503} \times i^2 = 1^{503} \times (-1) = -1$
इसलिए,$-1 \times 2i = -2i$

(D) दिया गया है कि $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$ और $|9 z_1 z_2 + 4 z_1 z_3 + z_2 z_3| = 12$ है।
हम जानते हैं कि $|z|^2 = z \bar{z}$,जिसका अर्थ है $\bar{z} = \frac{|z|^2}{z}$।
दिए गए व्यंजक को $|z_1 z_2 z_3|$ से विभाजित करने पर:
$|z_1 z_2 z_3| \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12$
चूंकि $|z_1 z_2 z_3| = 1 \times 2 \times 3 = 6$,
$6 \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 12 \implies \left| \frac{9}{z_3} + \frac{4}{z_2} + \frac{1}{z_1} \right| = 2$।
चूंकि $\bar{z}_1 = \frac{1}{z_1}, \bar{z}_2 = \frac{4}{z_2}, \bar{z}_3 = \frac{9}{z_3}$,
अतः $|\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 2$।
चूंकि $|\bar{z}| = |z|$,इसलिए $|z_1 + z_2 + z_3| = 2$ प्राप्त होता है।

(C) इकाई के $n$ वें मूल समीकरण $z^n - 1 = 0$ के मूल हैं।
हम $z^n - 1$ का गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:
$z^n - 1 = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
हम जानते हैं कि $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1)$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$(z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1) = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
दोनों पक्षों को $(z - 1)$ से विभाजित करने पर:
$z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1 = (z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
$z = 1$ रखने पर:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \ldots + 1 + 1 = (1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1})$.
चूंकि बाईं ओर $n$ पद हैं,इसलिए योग $n$ है।
अतः,$(1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1}) = n$.

(C) माना सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ है।
दिया गया समीकरण $|z+3|^2 - |z-3|^2 = 15$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|x + iy + 3|^2 - |x + iy - 3|^2 = 15$
$|(x+3) + iy|^2 - |(x-3) + iy|^2 = 15$
$(x+3)^2 + y^2 - ((x-3)^2 + y^2) = 15$
$(x^2 + 6x + 9 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 15$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 15$
$12x = 15$
$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
चूंकि $x = \frac{5}{4}$ सम्मिश्र तल में एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है,इसलिए बिंदुपथ एक सीधी रेखा है।

(B) यह व्यंजक चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है: $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$.
माना $k = n+16$. तब व्यंजक $k(k+1)(k+2)(k+3)$ हो जाता है।
यह $4! \times \binom{k+3}{4}$ के बराबर है।
चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $\binom{k+3}{4}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए किन्हीं $r$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।
यहाँ,$r = 4$,इसलिए व्यंजक $4! = 24$ से विभाज्य है।
अतः,वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी $n$ के लिए गुणनफल को विभाजित करता है,$24$ है।

(C) दिए गए अंक $2, 3, 4, 5, 6$ हैं। कुल $n = 5$ अंक हैं।
हमें बिना पुनरावृत्ति के $4$-अंकीय संख्याएँ बनानी हैं।
ऐसी कुल संख्याएँ $P(5, 4) = \frac{5!}{(5-4)!} = 120$ हैं।
प्रत्येक स्थान (हजार,सैकड़ा,दहाई,इकाई) पर प्रत्येक अंक समान बार आता है।
प्रत्येक अंक एक विशिष्ट स्थान पर $\frac{120}{5} = 24$ बार आता है।
अंकों का योग $S = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20$ है।
संख्याओं का योग:
योग $= 24 \times S \times (10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)$
योग $= 24 \times 20 \times (1111)$
योग $= 480 \times 1111 = 533280$.

(C) समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव के लिए $3$ संभावनाएं हैं:
$1$. अवयव उपसमुच्चय $P$ में है।
$2$. अवयव उपसमुच्चय $Q$ में है।
$3$. अवयव न तो $P$ में है और न ही $Q$ में।
चूंकि उपसमुच्चय $P$ और $Q$ परस्पर असंयुक्त होने चाहिए,इसलिए कोई भी अवयव $P$ और $Q$ दोनों में नहीं हो सकता है।
दिया गया है कि समुच्चय $A$ में $n = 5$ अवयव हैं,प्रत्येक $5$ अवयव के लिए $3$ विकल्प हैं।
अतः,उपसमुच्चय $P$ और $Q$ को चुनने के कुल तरीकों की संख्या $3^n = 3^5 = 243$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $\cosh(x) = \frac{5}{4}$ है।
हाइपरबोलिक फलन के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$\cosh(3x) = 4\cosh^3(x) - 3\cosh(x)$.
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cosh(3x) = 4\left(\frac{5}{4}\right)^3 - 3\left(\frac{5}{4}\right)$
$= 4\left(\frac{125}{64}\right) - \frac{15}{4}$
$= \frac{125}{16} - \frac{15}{4}$
$= \frac{125 - 60}{16} = \frac{65}{16}$.

(A) दिया गया है कि $(1+\tan \alpha)(1+\tan 4 \alpha)=2$ जहाँ $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $1 + \tan \alpha + \tan 4 \alpha + \tan \alpha \tan 4 \alpha = 2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \alpha + \tan 4 \alpha = 1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha$.
दोनों पक्षों को $(1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\tan \alpha + \tan 4 \alpha}{1 - \tan \alpha \tan 4 \alpha} = 1$.
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर: $\tan(\alpha + 4 \alpha) = 1$.
यह सरल होकर: $\tan(5 \alpha) = 1$ हो जाता है।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $5 \alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi$ है।
$\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{16}\right)$ के लिए,$n=0$ लेने पर,$5 \alpha = \frac{\pi}{4}$,जिससे $\alpha = \frac{\pi}{20}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$\cos \theta = \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}{1 - \frac{\cos \alpha - \cos \beta}{1 - \cos \alpha \cos \beta}}$
$\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \beta)}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \beta)}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cot^2 \frac{\theta}{2} = \cot^2 \frac{\alpha}{2} \tan^2 \frac{\beta}{2}$
दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2}$
वर्गमूल लेने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} = \tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2}$

(D) माना व्यंजक $E$ है।
$E = \frac{1+\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha \tan (\alpha - \frac{3\pi}{4})} - \frac{1}{4} \sin 2 \alpha [\cot \frac{\alpha}{2} - \tan \frac{\alpha}{2}]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,
$E = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$.

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अतः,$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \cdot \tan \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{6 \cos \theta} \implies 6 \cos^3 \theta = \sin^2 \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$,इसलिए $6 \cos^3 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$.
माना $x = \cos \theta$. तब $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$x = \frac{1}{2}$ एक मूल है।
$6x^3 + x^2 - 1$ को $(2x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $3x^2 + 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$3x^2 + 2x + 1$ का विविक्तकर $D = 4 - 12 = -8 < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है।

(B) $\triangle ABC$ में,नेपियर के सादृश्य (Napier's analogy) का उपयोग करते हुए: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$।
दिया गया है $x = \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) \tan \frac{A}{2}$,मान रखने पर $x = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2} \tan \frac{A}{2} = \frac{b-c}{b+c}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = \frac{c-a}{c+a}$ और $z = \frac{a-b}{a+b}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{1+x}{1-x} = \frac{1 + \frac{b-c}{b+c}}{1 - \frac{b-c}{b+c}} = \frac{b+c+b-c}{b+c-b+c} = \frac{b}{c}$ होता है।
इसी प्रकार,$\frac{1+y}{1-y} = \frac{c}{a}$ और $\frac{1+z}{1-z} = \frac{a}{b}$ होता है।
इनका गुणा करने पर,$\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \left(\frac{1+y}{1-y}\right) \left(\frac{1+z}{1-z}\right) = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $(1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz = 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz$।
सरल करने पर,$2(x+y+z) = -2xyz$,जिसका अर्थ है $x+y+z = -xyz$।

(D) दिया गया है कि $x_1, x_2, x_3$ और $y_1, y_2, y_3$ समान सार्व अनुपात $r$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं।
माना $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ और $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$ है।
बिंदु $A(a, b), B(ar, br), C(ar^2, br^2)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संरेख हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |a(br - br^2) + ar(br^2 - b) + ar^2(b - br)|$
$= \frac{1}{2} |abr(1 - r) + abr(r^2 - 1) + abr^2(1 - r)|$
$= \frac{1}{2} |abr - abr^2 + abr^3 - abr + abr^2 - abr^3| = 0$.
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।

(C) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं। घूर्णन रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \frac{\pi}{6} - Y \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin \frac{\pi}{6} + Y \cos \frac{\pi}{6} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
इन्हें $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right) \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right) + \sqrt{3} \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right)^2 = 0$
गणना करने पर:
$0X^2 - 8XY + 8\sqrt{3}Y^2 = 0$
$-8$ से भाग देने पर:
$XY - \sqrt{3}Y^2 = 0$
अतः,रूपांतरित समीकरण $\sqrt{3}Y^2 - XY = 0$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(a, b), B(a, c)$ और $C(d, c)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ का $x$-निर्देशांक समान है,भुजा $AB$ ऊर्ध्वाधर है और $B$ और $C$ का $y$-निर्देशांक समान है,भुजा $BC$ क्षैतिज है। अतः,$\triangle ABC$ शीर्ष $B(a, c)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। अतः,लंबकेंद्र $B(a, c)$ है।
त्रिभुज का केंद्रक $G = \left(\frac{a+a+d}{3}, \frac{b+c+c}{3}\right) = \left(\frac{2 a+d}{3}, \frac{b+2 c}{3}\right)$ है।
केंद्रक $G$ और लंबकेंद्र $H(a, c)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु:
$M = \left(\frac{\frac{2 a+d}{3}+a}{2}, \frac{\frac{b+2 c}{3}+c}{2}\right) = \left(\frac{5 a+d}{6}, \frac{b+5 c}{6}\right)$.

(B) माना बिंदु $A(3,-2,2)$ और $B(6,-17,-4)$ हैं। माना $P(2,3,4)$,$AB$ को $k:1$ अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $(2,3,4) = \left(\frac{6k+3}{k+1}, \frac{-17k-2}{k+1}, \frac{-4k+2}{k+1}\right)$.
$x$-निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2 = \frac{6k+3}{k+1}$ $\Rightarrow 2k+2 = 6k+3$ $\Rightarrow -4k = 1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{4}$.
हार्मोनिक संयुग्मी $Q$,$AB$ को $-k:1$ अनुपात में विभाजित करता है,जो $\frac{1}{4}:1$ या $1:4$ बाह्य विभाजन है।
$Q$ के निर्देशांक: $\left(\frac{1(6)+4(3)}{1+4}, \frac{1(-17)+4(-2)}{1+4}, \frac{1(-4)+4(2)}{1+4}\right)$.
गणना करने पर: $Q = \left(\frac{6+12}{5}, \frac{-17-8}{5}, \frac{-4+8}{5}\right) = \left(\frac{18}{5}, -5, \frac{4}{5}\right)$.

(C) रेखा $ax+by+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब $(x', y')$ का सूत्र $\frac{x'-x_1}{a} = \frac{y'-y_1}{b} = -2 \frac{ax_1+by_1+c}{a^2+b^2}$ है।
बिंदु $(1,1)$ और रेखा $x+y+5=0$ के लिए, $a=1, b=1, c=5$ है।
$\frac{x'-1}{1} = \frac{y'-1}{1} = -2 \frac{1(1)+1(1)+5}{1^2+1^2} = -2 \frac{7}{2} = -7$.
अतः, $x'-1 = -7 \Rightarrow x' = -6$ और $y'-1 = -7 \Rightarrow y' = -6$.
प्रतिबिंब बिंदु $(-6, -6)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से बिंदु $(-6, -6)$ की दूरी $D$ इस प्रकार है:
$D = \sqrt{(-6-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.

(D) दिया गया है कि रेखाएँ $x+3y-9=0$,$4x+by-2=0$ और $2x-y-4=0$ संगामी हैं।
संगामी होने की शर्त यह है कि गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -9 \\ 4 & b & -2 \\ 2 & -1 & -4 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-4b - 2) - 3(-16 + 4) - 9(-4 - 2b) = 0$
$-4b - 2 + 36 + 36 + 18b = 0$
$14b + 70 = 0$ $\Rightarrow 14b = -70$ $\Rightarrow b = -5$
अब,$x+3y-9=0$ और $2x-y-4=0$ को हल करके संगामी बिंदु ज्ञात करते हैं:
$2x-y-4=0$ से,$y = 2x-4$ प्राप्त होता है।
$x+3y-9=0$ में मान रखने पर: $x + 3(2x-4) - 9 = 0$ $\Rightarrow x + 6x - 12 - 9 = 0$ $\Rightarrow 7x = 21$ $\Rightarrow x = 3$.
अतः $y = 2(3) - 4 = 2$. संगामी बिंदु $(3, 2)$ है।
अभीष्ट रेखा $(b, 0) = (-5, 0)$ और $(3, 2)$ से गुजरती है।
रेखा का समीकरण: $y - 0 = \frac{2-0}{3 - (-5)}(x - (-5))$
$y = \frac{2}{8}(x+5)$ $\Rightarrow y = \frac{1}{4}(x+5)$ $\Rightarrow 4y = x+5$ $\Rightarrow x - 4y + 5 = 0$.

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = (a \cos k, a \sin k)$,$B = (b \sin k, -b \cos k)$,और $C = (1, 0)$ हैं।
माना $G(x, y)$ त्रिभुज का केंद्रक है।
केंद्रक के निर्देशांक $x = \frac{a \cos k + b \sin k + 1}{3}$ और $y = \frac{a \sin k - b \cos k + 0}{3}$ हैं।
इससे,हमें $3x - 1 = a \cos k + b \sin k$ ... $(i)$ और $3y = a \sin k - b \cos k$ ... $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos k + b \sin k)^2 + (a \sin k - b \cos k)^2$.
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2(\cos^2 k + \sin^2 k) + b^2(\sin^2 k + \cos^2 k) + 2ab \cos k \sin k - 2ab \sin k \cos k$.
चूंकि $\sin^2 k + \cos^2 k = 1$,हमें $(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
यह $(1 - 3x)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ के बराबर है।

(A) दी गई रेखाएँ $x+y=1$ और $2y^2-xy-6x^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2y^2-4xy+3xy-6x^2=0$ $\Rightarrow 2y(y-2x)+3x(y-2x)=0$ $\Rightarrow (2y+3x)(y-2x)=0$.
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $L_1: x+y=1$,$L_2: y-2x=0$,और $L_3: 2y+3x=0$ हैं।
शीर्ष ज्ञात करना:
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(0,0)$ है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+2x=1 \Rightarrow x=1/3, y=2/3$,अतः $B(1/3, 2/3)$.
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु: $x+(-3x/2)=1$ $\Rightarrow -x/2=1$ $\Rightarrow x=-2, y=3$,अतः $C(-2, 3)$.
$A(0,0)$ से $BC$ $(x+y=1)$ पर शीर्षलंब: $BC$ की ढाल $-1$ है,इसलिए शीर्षलंब की ढाल $1$ है। समीकरण: $y-0=1(x-0) \Rightarrow x-y=0$.
$C(-2,3)$ से $AB$ $(y-2x=0)$ पर शीर्षलंब: $AB$ की ढाल $2$ है,इसलिए शीर्षलंब की ढाल $-1/2$ है। समीकरण: $y-3 = -1/2(x+2)$ $\Rightarrow 2y-6 = -x-2$ $\Rightarrow x+2y=4$.
$x-y=0$ और $x+2y=4$ को हल करने पर: $y+2y=4$ $\Rightarrow 3y=4$ $\Rightarrow y=4/3$. अतः $x=4/3$.
लंबकेंद्र $\left(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ है।

(NONE) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं। समरूप भाग $2x^2 - 3xy - 2y^2 = (2x + y)(x - 2y)$ है।
मान लीजिए रेखाएँ $(2x + y + c_1) = 0$ और $(x - 2y + c_2) = 0$ हैं।
$(2x + y + c_1)(x - 2y + c_2) = 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2c_2 + c_1)x + (c_2 - 2c_1)y + c_1c_2 = 0$ का विस्तार करने पर।
$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ के साथ गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $2c_2 + c_1 = 10$ और $c_2 - 2c_1 = 5$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $c_1 = 0$ और $c_2 = 5$ प्राप्त होता है।
अतः रेखाएँ $2x + y = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $2x + y = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ को हल करके प्राप्त होता है। दूसरे समीकरण में $y = -2x$ रखने पर $x - 2(-2x) + 5 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $5x = -5$,जिसका अर्थ है $x = -1$ और $y = 2$।
रेखा $L$,$(0, 0)$ और $(-1, 2)$ से होकर गुजरती है।
$L$ की ढाल $m_1 = \frac{2 - 0}{-1 - 0} = -2$ है।
चूंकि $L$,$kx + y + 3 = 0$ के लंबवत है,दूसरी रेखा की ढाल $m_2 = -k$ है।
लंबवत रेखाओं के लिए,$m_1 \times m_2 = -1$ होता है।
$-2 \times (-k) = -1 \Rightarrow 2k = -1 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=9$ और रेखा $x+y=3$ है।
मूल बिंदु को प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात (homogenize) बनाते हैं।
चूंकि $x+y=3$,इसलिए $\frac{x+y}{3} = 1$ है।
वृत्त के समीकरण में मान रखने पर:
$x^2+y^2 = 9(1)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{x+y}{3}\right)^2$
$x^2+y^2 = 9\left(\frac{(x+y)^2}{9}\right)$
$x^2+y^2 = (x+y)^2$
$x^2+y^2 = x^2+y^2+2xy$
$2xy = 0$
$xy = 0$

(B) दिया गया समीकरण $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 10x + 5y = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(2x + y)(x - 2y + 5) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएं $2x + y = 0$ और $x - 2y + 5 = 0$ हैं।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 2)$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ और $(-1, 2)$ को जोड़ने वाली रेखा $L$ की ढाल $m_1 = -2$ है।
चूंकि $L$,रेखा $kx + y + 3 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा।
$(-2) \times (-k) = -1$ $\Rightarrow 2k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.

(B) रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1g + b_1f - c_1)(a_2g + b_2f - c_2)$ हो।
दिया गया वृत्त: $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$,अतः $g = -1, f = -1, c = 1$.
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-1)^2 + (-1)^2 - 1 = 1$.
रेखाओं $kx + 2y - 4 = 0$ और $5x - 2y - 4 = 0$ के लिए,$a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -4$ और $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = -4$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$1(k \times 5 + 2 \times (-2)) = (k(-1) + 2(-1) - (-4))(5(-1) + (-2)(-1) - (-4))$
$5k - 4 = (-k - 2 + 4)(-5 + 2 + 4)$
$5k - 4 = (-k + 2)(1)$
$5k - 4 = -k + 2$
$6k = 6$
$k = 1$.

(C) $(1,1)$ पर रेखा का समीकरण $x+y-2=0$ है। इस रेखा की ढाल $-1$ है।
चूंकि अभिलंब स्पर्श रेखा के लंबवत होता है,इसलिए अभिलंब की ढाल $1$ है।
अतः,$\tan \theta = 1$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। केंद्र के निर्देशांक $h = 1 \pm r \cos \theta$ और $k = 1 \pm r \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
$r = \sqrt{2}$ और $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिए जाने पर:
$h = 1 \pm \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
$k = 1 \pm \sqrt{2} \sin \frac{\pi}{4} = 1 \pm 1 = 2, 0$.
अतः,संभावित केंद्र $(2, 2)$ या $(0, 0)$ हैं।
वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = 2$ या $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$ हैं।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2 = 0$ के लिए,$(1, 2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{1^2 + 2^2 - 2} = \sqrt{3}$ है।
वृत्त $(x-2)^2 + (y-2)^2 - 2 = 0$ के लिए,$(1, 2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 - 2} = \sqrt{-1}$ प्राप्त होती है,जो संभव नहीं है।
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{3}$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-2x-2y-3=0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=-1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $O(-g, -f) = (1, 1)$ है।
चूंकि वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए रेखाखंड $PQ$ वृत्त का व्यास है।
अतः,केंद्र $O(1, 1)$ व्यास $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
मान लीजिए $Q$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{-1+x}{2} = 1 \implies -1+x = 2 \implies x = 3$
$\frac{2+y}{2} = 1 \implies 2+y = 2 \implies y = 0$
इस प्रकार,$Q$ के निर्देशांक $(3, 0)$ हैं।

(A) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2+4x-6y+4=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=2, f=-3, c=4$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-g, -f) = (-2, 3)$।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-4} = \sqrt{9} = 3$।
मूल बिंदु $P(0,0)$ से केंद्र $O(-2,3)$ की दूरी $d = \sqrt{(-2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ है।
माना $\alpha$ स्पर्श रेखा और मूल बिंदु को केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण है।
त्रिभुज के गुणधर्म से,$\sin \alpha = \frac{r}{d} = \frac{3}{\sqrt{13}}$।
तब $\cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-\frac{9}{13}} = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2}$।
दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\alpha = 2 \tan^{-1} \left(\frac{3}{2}\right)$ है।

(A) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं।
$x^2+y^2-4x-2y+4=0$ के लिए: $2g(-2) + 2f(-1) = c+4 \Rightarrow -4g-2f = c+4$ $(i)$.
$x^2+y^2-2x-4y+1=0$ के लिए: $2g(-1) + 2f(-2) = c+1 \Rightarrow -2g-4f = c+1$ $(ii)$.
$x^2+y^2+4x+2y+1=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(1) = c+1 \Rightarrow 4g+2f = c+1$ $(iii)$.
$(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$0 = 2c+5$,अतः $c = -\frac{5}{2}$.
$c$ का मान $(iii)$ में रखने पर: $4g+2f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 8g+4f = -3$ $(iv)$.
$c$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $-2g-4f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 4g+8f = 3$ $(v)$.
$(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $12g+12f = 0 \Rightarrow g = -f$.
$g = -f$ को $(iv)$ में रखने पर: $-8f+4f = -3$ $\Rightarrow -4f = -3$ $\Rightarrow f = \frac{3}{4}, g = -\frac{3}{4}$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 - (-\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{40}{16}} = \sqrt{\frac{58}{16}} = \sqrt{\frac{29}{8}}$.

(B) परवलय का दिया गया समीकरण:
$x^2-2x+3y-2=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2-2x = -3y+2$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$x^2-2x+1 = -3y+2+1$
$(x-1)^2 = -3y+3$
$(x-1)^2 = -3(y-1)$
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = -3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -\frac{3}{4}$।
शीर्ष $(h, k)$ और नाभि के बीच की दूरी $|a|$ द्वारा दी जाती है।
दूरी $= |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 5$,इसलिए $a = \frac{5}{4}$ है।
माना नाभीय जीवा के अंतिम बिंदु $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ और $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ हैं।
नाभीय जीवा के लिए शर्त $t_1t_2 = -1$ होती है।
तब $x_1x_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1t_2)^2 = a^2(-1)^2 = a^2$ होगा।
साथ ही,$y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2) = 4a^2(-1) = -4a^2$ होगा।
हमें $4x_1x_2 + y_1y_2$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $4(a^2) + (-4a^2) = 4a^2 - 4a^2 = 0$।

(A) $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में,मध्य पद $T_{n+1} = {}^{2n}C_n x^n$ है। चूँकि मध्य पद सबसे बड़ा पद है,इसलिए यह अपने आसन्न पदों $T_n$ और $T_{n+2}$ से बड़ा या बराबर होना चाहिए।
$T_{n+1} \ge T_n \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n-1} x^{n-1} \implies x \ge \frac{n}{n+1}$.
$T_{n+1} \ge T_{n+2} \implies {}^{2n}C_n x^n \ge {}^{2n}C_{n+1} x^{n+1} \implies x \le \frac{n+1}{n}$.
अतः,$x \in \left[\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right]$। विकल्पों के अनुसार,अंतराल $\left(\frac{n}{n+1}, \frac{n+1}{n}\right)$ है।

(C) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \frac{3x}{(x-2)(x-1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए: $\frac{3x}{(x-2)(x-1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$.
$A$ और $B$ के लिए हल करने पर: $3x = A(x-1) + B(x-2)$.
$x=1$ के लिए,$3 = B(-1) \Rightarrow B = -3$.
$x=2$ के लिए,$6 = A(1) \Rightarrow A = 6$.
अतः,$f(x) = \frac{6}{x-2} - \frac{3}{x-1} = -\frac{6}{2(1-x/2)} + \frac{3}{1-x} = -3(1-x/2)^{-1} + 3(1-x)^{-1}$.
$(1-u)^{-1}$ का विस्तार $|u| < 1$ के लिए मान्य है।
$-3(1-x/2)^{-1}$ के लिए,हमें $|x/2| < 1 \Rightarrow |x| < 2$ की आवश्यकता है।
$3(1-x)^{-1}$ के लिए,हमें $|x| < 1$ की आवश्यकता है।
विस्तार इन अंतरालों के प्रतिच्छेदन में मान्य है: $|x| < 2$ और $|x| < 1$,जो $|x| < 1$ या $-1 < x < 1$ है।

(A) दीर्घवृत्त के प्राचलिक समीकरण दिए गए हैं:
$x = 3 \cos \theta$ और $y = 4 \sin \theta$.
अतः,$\frac{x}{3} = \cos \theta$ और $\frac{y}{4} = \sin \theta$.
इनका वर्ग करके जोड़ने पर:
$\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{4}\right)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
इस प्रकार,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 16$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2 \sqrt{b^2 - a^2} = 2 \sqrt{16 - 9} = 2 \sqrt{7}$ होगी।

(B) दिया गया समीकरण: $9x^2 + 25y^2 - 36x + 50y - 164 = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $9(x^2 - 4x) + 25(y^2 + 2y) = 164$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x^2 - 4x + 4) + 25(y^2 + 2y + 1) = 164 + 36 + 25$
$9(x-2)^2 + 25(y+1)^2 = 225$
$225$ से भाग देने पर: $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y+1)^2}{9} = 1$
यहाँ,$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 5$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ है।
नाभिलंब के समीकरण $x - h = \pm ae$ होते हैं।
$x - 2 = \pm 5 \times \frac{4}{5} = \pm 4$
$x = 2 + 4 = 6$ और $x = 2 - 4 = -2$
अतः,समीकरण $x - 6 = 0$ और $x + 2 = 0$ हैं।

(B) रेखा का समीकरण $y=mx+2$ है ... $(i)$
अतिपरवलय का समीकरण $4x^2-9y^2=36$ है ... $(ii)$
$(ii)$ को $36$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ,$a^2=9$,$b^2=4$,और $c=2$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2^2 = 9m^2 - 4$
$4 = 9m^2 - 4$
$9m^2 = 8$
$m^2 = \frac{8}{9}$
$m = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(C) माना $P(t, -1/t)$ वक्र $xy = -1$ पर एक बिंदु है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(-1/t) + y(t) = -2$ है,जिसे $y = x/t^2 + 2/t$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा परवलय $y^2 = 8x$ (जहाँ $a = 2$) की स्पर्श रेखा है,तो शर्त $c = a/m$ संतुष्ट होनी चाहिए।
यहाँ,$m = 1/t^2$ और $c = 2/t$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $2/t = 2 / (1/t^2) \implies 2/t = 2t^2 \implies t^3 = 1 \implies t = 1$।
$t = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = x/t^2 + 2/t$ में रखने पर,हमें $y = x + 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6^x-3^x-2^x+1}{x^2}$.
अंश का गुणनखंड करने पर:
$6^x - 3^x - 2^x + 1 = 3^x(2^x - 1) - 1(2^x - 1) = (2^x - 1)(3^x - 1)$.
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर:
$l = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2^x - 1)(3^x - 1)}{x^2} = \lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{2^x - 1}{x} \right) \times \left( \frac{3^x - 1}{x} \right)$.
मानक सीमा सूत्र $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log _e a$ का उपयोग करने पर:
$l = (\log _e 2) \times (\log _e 3)$.

(B) प्रथम $50$ सम प्राकृत संख्याएँ $2, 4, 6, \ldots, 100$ हैं।
माध्य,$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{50} x_i}{50} = \frac{2(1+2+3+\ldots+50)}{50} = \frac{2 \times \frac{50 \times 51}{2}}{50} = 51$.
प्रसरण,$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + \ldots + 100^2 = 4(1^2 + 2^2 + \ldots + 50^2)$.
वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:
$\sum x_i^2 = 4 \times \frac{50(51)(101)}{6} = \frac{2 \times 50 \times 51 \times 101}{3} = 171700$.
$\sigma^2 = \frac{171700}{50} - (51)^2 = 3434 - 2601 = 833$.

(C) दिया गया है,प्रेक्षणों की संख्या,$n = 10$.
माध्य,$\bar{x} = 50$.
विचलनों के वर्गों का योग,$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 250$.
प्रसरण (Variance),$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{250}{10} = 25$.
मानक विचलन,$\sigma = \sqrt{25} = 5$.
विचरण गुणांक ($C$.$V$.) का सूत्र: $\text{C.V.} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$.
$\text{C.V.} = \frac{5}{50} \times 100 = 0.1 \times 100 = 10$.

(D) $\triangle ABC$ में,भुजाएँ $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,अतः $b^2 = ac$.
दिया गया है $C - A = 60^{\circ}$.
कोसाइन और साइन नियम का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 B = \sin A \sin C$ प्राप्त होता है।
$2 \sin^2 B = \cos(A - C) - \cos(A + C) = \cos(60^{\circ}) - \cos(180^{\circ} - B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$2(1 - \cos^2 B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$4 \cos^2 B + 2 \cos B - 3 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{\sqrt{13}-1}{4}$.

(B) दिए गए वक्र $y^2+x^2=a^2 \sqrt{2}$ $(i)$ और $x^2-y^2=a^2$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2x^2 = a^2(\sqrt{2}+1) \Rightarrow x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$2y^2 = a^2(\sqrt{2}-1) \Rightarrow y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$ प्राप्त होता है।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$।
प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ है।
$m_1 = -\frac{x}{y}$ और $m_2 = \frac{x}{y}$ रखने पर:
$\tan \theta = |\frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})}| = |\frac{-2x/y}{1 - x^2/y^2}| = |\frac{-2xy}{y^2 - x^2}|$।
चूंकि $x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ और $y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$,इसलिए $y^2 - x^2 = -a^2$ है।
साथ ही $x^2 y^2 = \frac{a^4(2-1)}{4} = \frac{a^4}{4} \Rightarrow xy = \frac{a^2}{2}$।
$\tan \theta = |\frac{-2(a^2/2)}{-a^2}| = |\frac{-a^2}{-a^2}| = 1$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(B) दिया गया है,$A+B=\frac{\pi}{3}$.
माना $y = \tan A \tan B$.
चूँकि $B = \frac{\pi}{3} - A$,इसलिए $y = \tan A \tan(\frac{\pi}{3} - A)$ है।
धनात्मक मानों $\tan A$ और $\tan B$ के लिए $AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{2} \geq \sqrt{\tan A \tan B}$.
हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} = \frac{\sin(\pi/3)}{\cos A \cos B} = \frac{\sqrt{3}/2}{\cos A \cos B}$.
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिका $\tan A \tan B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{\cos(A-B) + \cos(A+B)}$ का उपयोग करने पर।
निश्चित योग $A+B = \frac{\pi}{3}$ के लिए,गुणनफल $\tan A \tan B$ तब अधिकतम होता है जब $A=B$ हो।
अतः,$A = B = \frac{\pi}{6}$.
अधिकतम मान $= \tan(\frac{\pi}{6}) \tan(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{1}{3}$.

(C) दिया गया है कि एक सम षट्भुज के $6$ शीर्षों में से $3$ शीर्ष चुने जाते हैं।
$6$ में से $3$ शीर्ष चुनने के कुल तरीके $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
एक सम षट्भुज में,इसके शीर्षों को जोड़कर केवल दो समबाहु त्रिभुज बनाए जा सकते हैं,जो $\triangle ACE$ और $\triangle BDF$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ है।

(C) वृत्तों के समीकरण $S_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $S_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ रखने पर,$\frac{1}{2} = \left| \frac{4-c}{2\sqrt{5-c}} \right|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$5-c = (4-c)^2 \Rightarrow c^2 - 7c + 11 = 0$।
हल करने पर,$c = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$।

(A) माना $f(x) = x^5+3x^3+4x+30$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = 5x^4+9x^2+4$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^4 \ge 0$ और $x^2 \ge 0$ है,इसलिए $5x^4+9x^2+4 \ge 4 > 0$ होगा।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ अपने प्रांत पर निरंतर वर्धमान है।
एक निरंतर वर्धमान सतत फलन $x$-अक्ष को अधिकतम एक बार काट सकता है।
चूंकि $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ और $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,केवल एक वास्तविक मूल मौजूद है।

(B) दिए गए समीकरण:
$x-y+2z=4$
$3x+y+4z=6$
$x+y+z=1$
यहाँ $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
तथा $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ है,इसलिए इन समीकरणों के अनंत हल हैं।

(C) दिया है,$\angle A = 90^{\circ}$.
$\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \frac{A}{2}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ रखने पर:
$r_2 + r_3 = 4R \cos^2 \left(\frac{90^{\circ}}{2}\right) = 4R \cos^2 45^{\circ}$.
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r_2 + r_3 = 4R \times \frac{1}{2} = 2R$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\cos^{-1}\left(\frac{R}{r_2+r_3}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{R}{2R}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ}$.

(A) माना $A = \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right|$.
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$A = \left|\begin{array}{lll}a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b\end{array}\right| = (a+b+c) \left|\begin{array}{lll}1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b\end{array}\right|$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$A = (a+b+c) \left|\begin{array}{ccc}1 & b & c \\ 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-b & b-c\end{array}\right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$A = (a+b+c) [(c-b)(b-c) - (a-c)(a-b)]$
$A = -(a+b+c) [a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca]$
$A = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
चूँकि $a, b, c$ भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए $(a+b+c) > 0$ और $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ होगा। अतः,$A < 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ और $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$.
$x$ के लिए,मान लीजिए $\tan ^{-1} 2 = \alpha$,अतः $\tan \alpha = 2$.
तब $x = \sin(2\alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2(2)}{1 + 2^2} = \frac{4}{5} = 0.8$.
$y$ के लिए,मान लीजिए $\tan ^{-1} \frac{4}{3} = \beta$,अतः $\tan \beta = \frac{4}{3}$.
$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (16/9)}} = \frac{1}{\sqrt{25/9}} = \frac{3}{5}$ का उपयोग करते हुए.
तब $y = \sin(\beta/2) = \sqrt{\frac{1 - \cos \beta}{2}} = \sqrt{\frac{1 - 3/5}{2}} = \sqrt{\frac{2/5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.
चूंकि $0.8 > 0.447$,इसलिए $x > y$ प्राप्त होता है।

(D) हमारे पास $f(x) = \sqrt{\log_{0.5} x!}$ है।
$f(x)$ के परिभाषित होने के लिए,वर्गमूल के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए:
$\log_{0.5} x! \geq 0$.
चूंकि लघुगणक का आधार $0.5$ है (जो $0$ और $1$ के बीच है),इसलिए लघुगणक को हटाने पर असमिका का चिह्न बदल जाएगा:
$x! \leq (0.5)^0$.
$x! \leq 1$.
क्रमगुणित (factorial) $x!$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $x$ के लिए परिभाषित है। हम मानों की जाँच करते हैं:
$x = 0$ के लिए,$0! = 1 \leq 1$ (सत्य)।
$x = 1$ के लिए,$1! = 1 \leq 1$ (सत्य)।
$x = 2$ के लिए,$2! = 2 \not\leq 1$ (असत्य)।
अतः,फलन का प्रांत $\{0, 1\}$ है।

(C) हमारे पास $f(x) = |x-1| + |x-2| + |x-3|$ है।
अंतराल $2 < x < 3$ के लिए:
$|x-1| = x-1$ (चूंकि $x > 1$)
$|x-2| = x-2$ (चूंकि $x > 2$)
$|x-3| = -(x-3) = 3-x$ (चूंकि $x < 3$)
अतः,$f(x) = (x-1) + (x-2) + (3-x) = x$.
अंतराल $(2, 3)$ में,फलन $f(x) = x$ निरंतर वर्धमान है।
चूंकि $f(x) = x$,प्रत्येक $x \in (2, 3)$ के लिए,परिसर $(2, 3)$ है।
इस प्रकार,फलन एकैकी और आच्छादक है,जिसका अर्थ है कि यह एक बाइजेक्शन है।

(B) दिया गया फलन,$f(x) = \begin{cases} 1-x, & x < 1 \\ (1-x)(2-x), & 1 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & x > 2 \end{cases}$
$x=1$ पर फलन $f(x)$ की सांतत्यता की जाँच करने के लिए,हम बाएँ पक्ष की सीमा,दाएँ पक्ष की सीमा और फलन का मान देखते हैं।
$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^-} (1-x) = 1-1 = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} (1-x)(2-x) = (1-1)(2-1) = 0 \times 1 = 0$.
$f(1) = (1-1)(2-1) = 0$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = f(1)$,इसलिए फलन $x=1$ पर संतत है।
अब,$x=2$ पर सांतत्यता की जाँच करने के लिए:
$\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^-} (1-x)(2-x) = (1-2)(2-2) = (-1) \times 0 = 0$.
$\lim_{x \rightarrow 2^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} (3-x) = 3-2 = 1$.
चूँकि $\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)$,इसलिए फलन $x=2$ पर असंतत है।

(A) दिया गया फलन,$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c, & x < 1 \\ x, & x \geq 1 \end{cases}$ है।
यदि $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय है,तो इसे $x = 1$ पर सतत होना चाहिए और बाएँ पक्ष का अवकलज दाएँ पक्ष के अवकलज के बराबर होना चाहिए।
सबसे पहले,$x = 1$ पर सांतत्य के लिए:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$
$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + bx + c) = 1$
$1 + b + c = 1 \Rightarrow b + c = 0$ (समीकरण $1$)।
इसके बाद,$x = 1$ पर अवकलनीयता के लिए,अवकलज समान होने चाहिए:
$f'(x) = \begin{cases} 2x + b, & x < 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases}$
$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x)$
$2(1) + b = 1 \Rightarrow 2 + b = 1 \Rightarrow b = -1$.
समीकरण $1$ में $b = -1$ रखने पर:
$-1 + c = 0 \Rightarrow c = 1$.
अतः,$b - c = -1 - 1 = -2$.

(C) दिया गया है $y = \log_2(\log_2 x)$.
आधार परिवर्तन सूत्र $\log_a b = \frac{\log_e b}{\log_e a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{\log_e(\log_2 x)}{\log_e 2} = \frac{\log_e(\frac{\log_e x}{\log_e 2})}{\log_e 2}$.
$y = \frac{\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)}{\log_e 2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{d}{dx} [\log_e(\log_e x) - \log_e(\log_e 2)]$.
चूँकि $\log_e(\log_e 2)$ एक अचर है,इसलिए इसका अवकलन $0$ होगा।
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{d}{dx}(\log_e x)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{\log_e x} \cdot \frac{1}{x}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log_e x \log_e 2}$.

(D) दिया गया है कि $x=a$ एक बहुपद समीकरण $f(x)=0$ का दो बहुलता वाला मूल है।
इसका अर्थ है कि $f(x)$ को $f(x)=(x-a)^2 g(x)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $g(a) \neq 0$ है।
सबसे पहले,हम प्रथम अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 2(x-a)g(x) + (x-a)^2 g^{\prime}(x)$.
$x=a$ पर मान रखने पर,हमें $f^{\prime}(a) = 2(a-a)g(a) + (a-a)^2 g^{\prime}(a) = 0$ प्राप्त होता है।
इसके बाद,हम द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime \prime}(x) = 2g(x) + 2(x-a)g^{\prime}(x) + 2(x-a)g^{\prime}(x) + (x-a)^2 g^{\prime \prime}(x) = 2g(x) + 4(x-a)g^{\prime}(x) + (x-a)^2 g^{\prime \prime}(x)$.
$x=a$ पर मान रखने पर,हमें $f^{\prime \prime}(a) = 2g(a) + 4(a-a)g^{\prime}(a) + (a-a)^2 g^{\prime \prime}(a) = 2g(a)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $g(a) \neq 0$,इसलिए $f^{\prime \prime}(a) \neq 0$ होता है।
अतः,$f(a)=0$,$f^{\prime}(a)=0$,और $f^{\prime \prime}(a) \neq 0$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = x(x+3)(x-2)$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $f(x) = x(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2x - 6$.
हमें दिया गया है $f^{\prime}(c) = 10$,इसलिए $3c^2 + 2c - 6 = 10$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $3c^2 + 2c - 16 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3c^2 + 8c - 6c - 16 = 0$.
$c(3c + 8) - 2(3c + 8) = 0$.
$(3c + 8)(c - 2) = 0$.
इस प्रकार,$c = -\frac{8}{3}$ या $c = 2$.
चूंकि हमें $c \in (-1, 4)$ की आवश्यकता है,हम $c = -\frac{8}{3}$ को अस्वीकार करते हैं क्योंकि यह अंतराल के बाहर है।
अतः,$c = 2$ सही मान है।

(A) खंडशः समाकलन (Integration by parts) के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.
मान लीजिए $u = x^3$ और $v = e^{5x}$.
$\int x^3 e^{5x} dx = x^3 \frac{e^{5x}}{5} - \int 3x^2 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} \int x^2 e^{5x} dx$.
अब,$\int x^2 e^{5x} dx = x^2 \frac{e^{5x}}{5} - \int 2x \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} \int x e^{5x} dx$.
और $\int x e^{5x} dx = x \frac{e^{5x}}{5} - \int 1 \frac{e^{5x}}{5} dx = \frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25}$.
इन मानों को वापस रखने पर:
$\int x^3 e^{5x} dx = \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3}{5} [\frac{x^2 e^{5x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5x}}{5} - \frac{e^{5x}}{25})] + C$.
$= \frac{x^3 e^{5x}}{5} - \frac{3 x^2 e^{5x}}{25} + \frac{6 x e^{5x}}{125} - \frac{6 e^{5x}}{625} + C$.
$= \frac{e^{5x}}{625} [125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6] + C$.
चूंकि $5^4 = 625$,इसलिए $f(x) = 125 x^3 - 75 x^2 + 30 x - 6$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx$ है।
अंश को $x = \frac{1}{2}(2x+2) - 1$ के रूप में लिखें।
तब $I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{(x^2+2x+2)^2} dx - \int \frac{1}{(x^2+2x+2)^2} dx$।
प्रथम समाकलन के लिए,$u = x^2+2x+2$ लें,जिससे $du = (2x+2)dx$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{2} \int u^{-2} du = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)}$।
दूसरे समाकलन के लिए,$J = \int \frac{1}{((x+1)^2+1)^2} dx$ लें।
$x+1 = \tan \theta$ रखने पर,$dx = \sec^2 \theta d\theta$।
$J = \int \frac{\sec^2 \theta}{\sec^4 \theta} d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2}(\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}) + C$।
चूँकि $\tan \theta = x+1$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(x+1)$ और $\sin 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2(x+1)}{x^2+2x+2}$।
अतः $J = \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1) + \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} + C$।
इन दोनों को संयोजित करने पर,$I = -\frac{1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{x+1}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1) + C = -\frac{x+2}{2(x^2+2x+2)} - \frac{1}{2} \tan^{-1}(x+1) + C$।

(C) माना $I = \int \log \left(a^2+x^2\right) d x$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$।
माना $u = \log(a^2+x^2)$ और $v = 1$ है।
तब $u' = \frac{2x}{a^2+x^2}$ और $\int v dx = x$ होगा।
$I = x \log(a^2+x^2) - \int \frac{2x^2}{a^2+x^2} dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int \frac{x^2+a^2-a^2}{a^2+x^2} dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2 \int (1 - \frac{a^2}{a^2+x^2}) dx + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 \int \frac{1}{a^2+x^2} dx + C$।
चूँकि $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a^2 (\frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})) + C$।
$I = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$।
$h(x)+C$ के साथ तुलना करने पर,$h(x) = x \log(a^2+x^2) - 2x + 2a \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int (\log x)^5 dx$ है।
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int t^5 e^t dt$।
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int t^n e^t dt = e^t [t^n - n t^{n-1} + n(n-1) t^{n-2} - \dots + (-1)^n n!]$।
$n = 5$ के लिए,$I = e^t [t^5 - 5t^4 + 20t^3 - 60t^2 + 120t - 120] + C$।
$t = \log x$ वापस रखने पर,$I = x [(\log x)^5 - 5(\log x)^4 + 20(\log x)^3 - 60(\log x)^2 + 120(\log x) - 120] + C$।
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर,गुणांक $A = 1, B = -5, C = 20, D = -60, E = 120, F = -120$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$A + B + C + D + E + F = 1 - 5 + 20 - 60 + 120 - 120 = -44$।

(D) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$.
हम इसे दो समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{2-\cos 2x} dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$.
माना $f(x) = \frac{x}{2-\cos 2x}$. चूँकि $f(-x) = \frac{-x}{2-\cos(-2x)} = -f(x)$,$f(x)$ एक विषम फलन है। अतः,$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = 0$.
अब,$I = \frac{\pi}{4} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$. चूँकि समाकल्य एक सम फलन है,$I = 2 \times \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$.
$\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\tan^2 x}{2(1+\tan^2 x) - (1-\tan^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3\tan^2 x} dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x dx$. सीमाएँ $[0, \frac{\pi}{4}]$ से बदलकर $[0, 1]$ हो जाएँगी।
$I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+3t^2} = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}t) \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$.

(B) दिया गया व्यंजक $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-r^2}}$ है।
हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n-1} \frac{1}{n \sqrt{1-(\frac{r}{n})^2}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n-1} f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।
यहाँ,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ है।
अतः,$S = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$।
समाकल का मान ज्ञात करने पर,$S = [\sin ^{-1} x]_0^1$ प्राप्त होता है।
$S = \sin ^{-1}(1) - \sin ^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$।

(D) दिए गए वक्र $y=\frac{x^2}{4 a}$ और $y=\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,दोनों समीकरणों को बराबर करने पर:
$\frac{x^2}{4 a} = \frac{8 a^3}{x^2+4 a^2}$
$x^2(x^2+4 a^2) = 32 a^4$
$x^4+4 a^2 x^2 - 32 a^4 = 0$
$(x^2+8 a^2)(x^2-4 a^2) = 0$
चूंकि $x^2 = -8 a^2$ संभव नहीं है,इसलिए $x^2 = 4 a^2$,अर्थात $x = \pm 2 a$.
क्षेत्रफल $A = 2 \int_0^{2 a} (\frac{8 a^3}{x^2+4 a^2} - \frac{x^2}{4 a}) dx$.
$A = 2 [8 a^3 \int_0^{2 a} \frac{1}{x^2+(2 a)^2} dx - \frac{1}{4 a} \int_0^{2 a} x^2 dx]$
$A = 2 [8 a^3 \cdot \frac{1}{2 a} \tan^{-1}(\frac{x}{2 a}) |_0^{2 a} - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{x^3}{3} |_0^{2 a}]$
$A = 2 [4 a^2 \tan^{-1}(1) - \frac{1}{4 a} \cdot \frac{8 a^3}{3}]$
$A = 2 [4 a^2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{2 a^2}{3}]$
$A = 2 a^2 (\pi - \frac{2}{3}) = a^2(2 \pi - \frac{4}{3})$.

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x - 4y + 3) \frac{dy}{dx} + (x - 2y + 1) = 0$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x - 2y + 1}{2x - 4y + 3} = -\frac{(x - 2y) + 1}{2(x - 2y) + 3}$.
माना $v = x - 2y$. तब $\frac{dv}{dx} = 1 - 2 \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1 - \frac{dv}{dx})$.
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} (1 - \frac{dv}{dx}) = -\frac{v + 1}{2v + 3}$.
$1 - \frac{dv}{dx} = -\frac{2v + 2}{2v + 3} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{2v + 2}{2v + 3} = \frac{2v + 3 + 2v + 2}{2v + 3} = \frac{4v + 5}{2v + 3}$.
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v + 3}{4v + 5} dv = dx$.
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{4v + 6}{4v + 5} dv = 2 dx$.
$\int (1 + \frac{1}{4v + 5}) dv = \int 2 dx$.
$v + \frac{1}{4} \log |4v + 5| = 2x + C$.
$v = x - 2y$ रखने पर: $(x - 2y) + \frac{1}{4} \log |4(x - 2y) + 5| = 2x + C$.
$\frac{1}{4} \log |4(x - 2y) + 5| = x + 2y + C$.
$\log |4(x - 2y) + 5| = 4x + 8y + C'$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(1+y^2) + (x - e^{\tan^{-1} y}) \frac{dx}{dy} = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$.
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF) = e^{\int P(y) dy} = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan^{-1} y}$.
सामान्य हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।
मान रखने पर: $x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{\tan^{-1} y}}{1+y^2} \cdot e^{\tan^{-1} y} dy + C$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int \frac{e^{2 \tan^{-1} y}}{1+y^2} dy + C$.
माना $u = \tan^{-1} y$,तो $du = \frac{1}{1+y^2} dy$.
$x e^{\tan^{-1} y} = \int e^{2u} du + C = \frac{1}{2} e^{2u} + C = \frac{1}{2} e^{2 \tan^{-1} y} + C$.
$2$ से गुणा करने पर: $2 x e^{\tan^{-1} y} = e^{2 \tan^{-1} y} + C$.

(D) दिया है: $|a|=3, |b|=4$ और कोण $\theta = 120^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $|4a+3b|^2 = (4a+3b) \cdot (4a+3b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24(a \cdot b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24|a||b| \cos \theta$.
मान रखने पर: $16(3)^2 + 9(4)^2 + 24(3)(4) \cos(120^{\circ})$.
$= 16(9) + 9(16) + 288 \times (-1/2)$.
$= 144 + 144 - 144 = 144$.
अतः,$|4a+3b| = \sqrt{144} = 12$.

(A) दिए गए सदिश $a=2 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}$ और $b=m \hat{i}+n \hat{j}+12 \hat{k}$ हैं।
चूंकि $a \times b = 0$,इसलिए सदिश $a$ और $b$ संरेख (समांतर) हैं।
दो समांतर सदिशों $a = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $b = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ के लिए,घटक समानुपाती होते हैं:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{2}{m} = \frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$
$\frac{2}{m} = \frac{-5}{12}$ से,$m = \frac{2 \times 12}{-5} = -\frac{24}{5}$ प्राप्त होता है।
$\frac{3}{n} = \frac{-5}{12}$ से,$n = \frac{3 \times 12}{-5} = -\frac{36}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(m, n) = \left(-\frac{24}{5}, -\frac{36}{5}\right)$।

(C) दिया गया समीकरण: $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$.
पूरे समीकरण का सदिश $\gamma$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma + b(\beta \times \gamma) \cdot \gamma + c(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$.
चूंकि दोहराए गए घटकों वाले सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए $(\beta \times \gamma) \cdot \gamma = 0$ और $(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$ है।
यह समीकरण $a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma = 0$ में सरल हो जाता है,जो $a[\alpha \beta \gamma] = 0$ है।
इसी प्रकार,$\alpha$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर $b[\beta \gamma \alpha] = 0$ प्राप्त होता है,और $\beta$ के साथ लेने पर $c[\gamma \alpha \beta] = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ में से कम से कम एक अशून्य है,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[\alpha \beta \gamma]$ शून्य होना चाहिए।
अतः,सदिश $\alpha, \beta, \gamma$ समतलीय हैं।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $56x + 4y + 9z = 2016$ है।
$2016$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x}{36} + \frac{y}{504} + \frac{z}{224} = 1$.
यह समतल निर्देशांक अक्षों को $A(36, 0, 0)$,$B(0, 504, 0)$ और $C(0, 0, 224)$ पर काटता है।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $G$ सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$G = \left(\frac{36+0+0}{3}, \frac{0+504+0}{3}, \frac{0+0+224}{3}\right) = \left(12, 168, \frac{224}{3}\right)$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$r = 3p + 4q$ $(i)$
$2r = p - 3q$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है $p = 2r + 3q$.
$p$ का यह मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$r = 3(2r + 3q) + 4q$
$r = 6r + 9q + 4q$
$r - 6r = 13q$
$-5r = 13q$
$r = -\frac{13}{5}q$
चूंकि अदिश गुणक ऋणात्मक है,इसलिए $r$ और $q$ विपरीत दिशा में हैं।
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर:
$|r| = |-\frac{13}{5}q| = \frac{13}{5}|q| = 2.6|q|$
चूंकि $2.6 > 2$,इसलिए हमें प्राप्त होता है $|r| > 2|q|$.
अतः,$|r| > 2|q|$ और $r, q$ विपरीत दिशा में हैं।

(B) मान लीजिए रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ हैं,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
घन के चार विकर्ण $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ सदिशों की दिशा में हैं।
चार विकर्णों की दिशा में इकाई सदिश $\vec{d_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$,$\vec{d_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}(-1, 1, 1)$,$\vec{d_3} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, -1, 1)$,और $\vec{d_4} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ हैं।
रेखा और विकर्ण सदिश $\vec{d}$ के बीच के कोण $\theta$ की कोज्या $|l \cdot d_x + m \cdot d_y + n \cdot d_z|$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m+n|$,$\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}|-l+m+n|$,$\cos \gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}|l-m+n|$,और $\cos \delta = \frac{1}{\sqrt{3}}|l+m-n|$।
इनका वर्ग करने पर,$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}(l+m+n)^2$,$\cos^2 \beta = \frac{1}{3}(-l+m+n)^2$,$\cos^2 \gamma = \frac{1}{3}(l-m+n)^2$,और $\cos^2 \delta = \frac{1}{3}(l+m-n)^2$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ (l+m+n)^2 + (-l+m+n)^2 + (l-m+n)^2 + (l+m-n)^2 ]$।
वर्गों का विस्तार करने पर: $\sum \cos^2 \alpha = \frac{1}{3} [ 4(l^2+m^2+n^2) ] = \frac{4}{3}(1) = \frac{4}{3}$।
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sum \sin^2 \alpha = 4 - \sum \cos^2 \alpha = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सदिश समीकरण $\vec{r} = (1+\lambda-\mu) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (3-2 \lambda+2 \mu) \hat{k}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 2\hat{k})$.
यह $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ के रूप में है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$,और $\vec{c} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 0) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{k}$.
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = (1)(-2) + (2)(0) + (3)(-1) = -2 - 3 = -5$.
अतः,$\vec{r} \cdot (-2\hat{i} - \hat{k}) = -5$,या $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$.
$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{k}) = 5$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2x + z = 5$ हो जाता है।

(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि $A$ सच बोलता है और $B$ वह घटना है कि $B$ सच बोलता है।
दी गई प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = 75 \% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$P(B) = 80 \% = \frac{80}{100} = \frac{4}{5}$
उनके बयान तब मेल नहीं खाते हैं यदि एक व्यक्ति सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
यह दो तरीकों से हो सकता है: ($A$ सच बोलता है और $B$ झूठ बोलता है) या ($A$ झूठ बोलता है और $B$ सच बोलता है)।
आवश्यक प्रायिकता $= P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B)$
$= P(A) \times (1 - P(B)) + (1 - P(A)) \times P(B)$
$= \frac{3}{4} \times (1 - \frac{4}{5}) + (1 - \frac{3}{4}) \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{4}{5}$
$= \frac{3}{20} + \frac{4}{20} = \frac{7}{20}$

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda$ प्रति दिन दुर्घटनाओं की औसत संख्या है।
यह दिया गया है कि $50$ दिनों में $10$ दुर्घटनाएं होती हैं,इसलिए प्रति दिन दुर्घटनाओं की औसत संख्या $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ है।
हमें एक दिन में तीन या अधिक दुर्घटनाएं होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 3)$ है।
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + \dots$
इसे $\lambda = 0.2$ के साथ $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही व्यंजक $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-0.2} (0.2)^k}{k !}$ है।

(D) द्विपद बंटन के लिए,माध्य $\mu = np = 4$ ... $(i)$
प्रसरण $\sigma^2 = npq = 2$ ... (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{npq}{np} = \frac{2}{4} \implies q = \frac{1}{2}$
चूँकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
समीकरण $(i)$ में $p = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$n \times \frac{1}{2} = 4 \implies n = 8$
द्विपद बंटन में $X$ सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ है।
$k = 2$ के लिए:
$P(X=2) = { }^8 C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^6 = 28 \times \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$