int_{-frac{pi}{4}}^{frac{pi}{4}} left( frac{x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$. આપણે આને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{-\frac

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$. આપણે આને બે સંકલનમાં વિભાજિત કરી શકીએ: $I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{2-\cos 2x} dx + \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} dx$. ધારો કે $f(x) = \frac{x}{2-\cos 2x}$. કારણ કે $f(-x) = \frac{-x}{2-\cos(-2x)} = -f(x)$,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} f(x) dx = 0$. હવે,$I = \frac{\pi}{4} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$. કારણ કે સંકલ્ય એક યુગ્મ વિધેય છે,$I = 2 	imes \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2-\cos 2x} dx$. $\cos 2x = \frac{1-	an^2 x}{1+	an^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+	an^2 x}{2(1+	an^2 x) - (1-	an^2 x)} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^2 x}{1+3	an^2 x} dx$. ધારો કે $t = 	an x$,તો $dt = \sec^2 x dx$. સીમાઓ $[0, \frac{\pi}{4}]$ થી બદલાઈને $[0, 1]$ થશે. $I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+3t^2} = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3}t) ight]_{0}^{1} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} 	an^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} 	imes \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$.

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2x} \right) dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\tan ^{7} x}{\cot ^{7} x+\tan ^{7} x} d x $ ની કિંમત શોધો.

સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_{-1}^{1} \left[ \sqrt{1+x+x^{2}} - \sqrt{1-x+x^{2}} \right] dx$

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=$

$\int_{-1/2}^{1/2} (\cos x) \left[ \log \left( \frac{1-x}{1+x} \right) \right] dx = $

$\int_{0}^{\pi} \frac{x \cos x \sin x}{\cos^{3} x + \cos x} dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module