AIEEE 2002 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ અસમતા: $|z - 4| < |z - 2|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|z - 4|^2 < |z - 2|^2$
ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|(x - 4) + iy|^2 < |(x - 2) + iy|^2$
$(x - 4)^2 + y^2 < (x - 2)^2 + y^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2$
$-8x + 16 < -4x + 4$
$12 < 4x$
$x > 3$
અહીં $x = \text{Re}(z)$ હોવાથી,પ્રદેશ $\text{Re}(z) > 3$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $z = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ અને $w = r(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$,જ્યાં $|z| = |w| = r$ છે.
આપેલ છે કે $arg(z) + arg(w) = \theta_1 + \theta_2 = \pi$,તેથી $\theta_1 = \pi - \theta_2$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા:
$z = r(\cos(\pi - \theta_2) + i \sin(\pi - \theta_2))$
$z = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$
કારણ કે $\overline{w} = r(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$,તેથી $-\overline{w} = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ થાય.
આમ,$z = -\overline{w}$.

(B) ધારો કે $G.P.$ ના $9$ પદો $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ છે.
પાંચમું પદ $a = 2$ આપેલ છે.
આ $9$ પદોનો ગુણાકાર $P = a^9$ થાય.
તેથી,$P = 2^9 = 512$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ છે. અનંત $G.P.$ નો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = 20 \quad (i)$ છે.
પદોના વર્ગોનો સરવાળો $\frac{a^2}{1-r^2} = 100 \quad (ii)$ છે.
આપણે $(ii)$ ને $\frac{a}{1-r} \times \frac{a}{1+r} = 100$ તરીકે લખી શકીએ.
$(i)$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $20 \times \frac{a}{1+r} = 100$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{a}{1+r} = 5 \quad (iii)$ થાય છે.
$(i)$ પરથી,$a = 20(1-r)$. આ કિંમત $(iii)$ માં મૂકતા:
$\frac{20(1-r)}{1+r} = 5$
$4(1-r) = 1+r$
$4 - 4r = 1 + r$
$3 = 5r$
$r = 3/5$.

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $P = 2^{1/4} \cdot 4^{1/8} \cdot 8^{1/16} \cdot 16^{1/32} \cdots$ છે.
બધા પદોને $2$ ના આધારમાં ફેરવતા:
$P = 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} \cdot (2^3)^{1/16} \cdot (2^4)^{1/32} \cdots$
$P = 2^{1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + \cdots} = 2^S$,જ્યાં $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}$.
$S = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \cdots$ $(i)$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{8} + \frac{2}{16} + \frac{3}{32} + \cdots$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + (\frac{2}{8} - \frac{1}{8}) + (\frac{3}{16} - \frac{2}{16}) + \cdots$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $a = 1/4$ અને $r = 1/2$ છે.
$\frac{1}{2}S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$S = 1$.
તેથી,$P = 2^1 = 2$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $p + q = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $pq = q$ થાય.
$pq = q$ પરથી,આપણને $q(p - 1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = 0$ અથવા $p = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $q = 0$ હોય,તો $p + 0 = -p$,જે $2p = 0$ આપે છે,તેથી $p = 0$. આનાથી બીજ $(0, 0)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $p = 1$ હોય,તો $1 + q = -1$,જે $q = -2$ આપે છે. આનાથી બીજ $(1, -2)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડી $p = 1, q = -2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ અને $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = 5$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = 3$
આપણે તે સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો: $S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
જરૂરી સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - 19x + 3 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ ${t^2}{x^2} + |x| + 9 = 0$ છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $t$ અને $x$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે ${t^2}{x^2} \ge 0$ અને $|x| \ge 0$.
તેથી,${t^2}{x^2} + |x| + 9 \ge 9$.
આમ,પદાવલિ હંમેશા $9$ કે તેથી મોટી હોવાથી,તે ક્યારેય $0$ થઈ શકે નહીં.
આથી,સમીકરણને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી.
પરિણામે,વાસ્તવિક બીજનો ગુણાકાર અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(B) આ સંખ્યાઓ $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવેલી $4$-અંકની સંખ્યાઓ છે.
સંખ્યા $1000$ થી મોટી અને $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ,તેથી પ્રથમ અંક $1, 2, 3,$ અથવા $4$ હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ અંક $1, 2,$ અથવા $3$ છે.
આ $3$ વિકલ્પોમાંથી દરેક માટે,બાકીના $3$ સ્થાનો $5$ રીતે ભરી શકાય છે (અંકો $0, 1, 2, 3, 4$).
આ કિસ્સાઓ માટે કુલ સંખ્યા $= 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$.
જો કે,આપણે $1000$ વાળી સંખ્યાને બાદ કરવી પડશે (કારણ કે તે $1000$ થી મોટી હોવી જોઈએ).
તેથી,$375 - 1 = 374$ સંખ્યાઓ.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ અંક $4$ છે.
$4$ થી શરૂ થતી $4000$ થી નાની અથવા તેના જેટલી એકમાત્ર સંખ્યા $4000$ છે.
આને આપણી ગણતરીમાં ઉમેરતા: $374 + 1 = 375$.
આમ,કુલ સંખ્યા $375$ છે.

(D) ચાર અંકની સંખ્યાને $d_1 d_2 d_3 d_4$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
સંખ્યા એકી હોવા માટે,છેલ્લા અંક $d_4$ ને $\{1, 3, 5, 7\}$ ગણમાંથી પસંદ કરવો આવશ્યક છે. $d_4$ ભરવા માટે $4$ રીતો છે.
પ્રથમ અંક $d_1$ માટે,તે $0$ હોઈ શકે નહીં (નહીંતર તે ત્રણ અંકની સંખ્યા બની જશે). આમ,$d_1$ ને $\{1, 2, 3, 5, 7\}$ માંથી પસંદ કરી શકાય છે,જે $5$ રીતો આપે છે.
બીજા અંક $d_2$ અને ત્રીજા અંક $d_3$ માટે,પુનરાવર્તન માન્ય હોવાથી,દરેકને $6$ અંકો $\{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$ માંથી કોઈપણ દ્વારા ભરી શકાય છે. આમ,$d_2$ માટે $6$ રીતો અને $d_3$ માટે $6$ રીતો છે.
ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,આવી એકી સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા $5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$ છે.

(A) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. આપેલા તમામ અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ નો સરવાળો $15$ છે. $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે એક અંકને એવી રીતે બાકાત રાખવો જોઈએ કે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે (જ્યાં $0$ પ્રથમ સ્થાને હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતાં).
કુલ રીતો = $120 + 96 = 216$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ અને $2 < e < 3$.
$n = 10000$ માટે,પદાવલિ $(1 + \frac{1}{10000})^{10000} = (1 + 0.0001)^{10000}$ થાય.
શ્રેણી $(1 + \frac{1}{n})^n$ એ વધતી જતી શ્રેણી છે અને $e$ ની નજીક પહોંચે છે,તેથી $(1 + 0.0001)^{10000} < e < 3$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 0.0001)^{10000} = 1 + 10000(0.0001) + \frac{10000 \times 9999}{2!} (0.0001)^2 + \dots = 1 + 1 + \frac{0.9999}{2} + \dots > 2$.
આમ,$2 < (1 + 0.0001)^{10000} < 3$.
$(1 + 0.0001)^{10000}$ થી તરત જ મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = ^nC_r x^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1 + x)^{p+q}$ ના વિસ્તરણ માટે,$x^p$ નો સહગુણક $^{p+q}C_p$ છે.
તે જ રીતે,$x^q$ નો સહગુણક $^{p+q}C_q$ છે.
દ્વિપદી સહગુણકોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$^nC_r = ^nC_{n-r}$,આપણને મળે છે:
$^{p+q}C_p = ^{p+q}C_{(p+q)-p} = ^{p+q}C_q$.
તેથી,$x^p$ અને $x^q$ ના સહગુણકો સમાન છે.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ છે: ${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} + {\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે બંને પદોનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( \frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 - \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
${\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( -\frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( -\frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 + \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
આ બંને વિસ્તરણોનો સરવાળો કરતા,એકી ઘાતવાળા પદો (જેમાં $x/a$ છે) ઉડી જાય છે:
$(1 + 1) + (-\frac{x}{2a} + \frac{x}{2a}) + (\frac{3x^2}{8a^2} + \frac{3x^2}{8a^2}) + \dots = 2 + \frac{6x^2}{8a^2} + \dots = 2 + \frac{3x^2}{4a^2} + \dots$

(B) $(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકવાથી મળે છે,જે $(1 + 1)^n = 2^n$ છે.
આપેલ છે કે $2^n = 4096 = 2^{12}$,તેથી $n = 12$.
જ્યારે $n$ બેકી સંખ્યા હોય ત્યારે $(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક મધ્યમ પદનો સહગુણક હોય છે,જે $^nC_{n/2}$ છે.
$n = 12$ માટે,સૌથી મોટો સહગુણક $^{12}C_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\cos(kx)$ નો આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{|k|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = 2$ છે,તેથી આવર્તકાળ $\frac{2\pi}{2} = \pi$ થાય.
આમ,$\sin^2 x$ નો આવર્તકાળ $\pi$ છે.

(C) ધારો કે બાજુઓ $a = 3x + 4y$,$b = 4x + 3y$ અને $c = 5x + 5y$ છે.
$x, y > 0$ હોવાથી,$c = 5x + 5y$ એ સૌથી મોટી બાજુ છે.
ત્રિકોણ ગુરુકોણ હોવા માટે,સૌથી મોટી બાજુનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા કરતાં મોટો હોવો જોઈએ $(c^2 > a^2 + b^2)$.
$a^2 + b^2 = (3x + 4y)^2 + (4x + 3y)^2 = 25x^2 + 48xy + 25y^2$.
$c^2 = (5x + 5y)^2 = 25x^2 + 50xy + 25y^2$.
અહીં $c^2 > a^2 + b^2$ હોવાથી,ત્રિકોણ ગુરુકોણ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(4, 0)$,$B(-1, -1)$,અને $C(3, 5)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$AC = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{52}$.
અહીં $AB = AC = \sqrt{26}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
વળી,$AB^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52$ અને $BC^2 = 52$.
$AB^2 + AC^2 = BC^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ અને કાટકોણ છે.

(B) આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
$x$-અંતઃખંડ માટે $y = 0$ લેતા,$x = \frac{p}{\cos \alpha}$ મળે. તેથી બિંદુ $A = (\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ માટે $x = 0$ લેતા,$y = \frac{p}{\sin \alpha}$ મળે. તેથી બિંદુ $B = (0, \frac{p}{\sin \alpha})$.
ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{p}{2 \cos \alpha}$ અને $k = \frac{p}{2 \sin \alpha}$ થાય.
આથી $\cos \alpha = \frac{p}{2h}$ અને $\sin \alpha = \frac{p}{2k}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{p}{2k})^2 + (\frac{p}{2h})^2 = 1$.
$\frac{p^2}{4k^2} + \frac{p^2}{4h^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ મળે છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટેની શરત એ છે કે $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $A + B = 0$.
આપેલ સમીકરણ $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ માં,$A = 3a$ અને $B = a^2 - 2$ છે.
$A + B = 0$ લેતા,આપણને $3a + a^2 - 2 = 0$ મળે છે,જે $a^2 + 3a - 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
આ $a$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$ છે.
$D > 0$ હોવાથી,$a^2 + 3a - 2 = 0$ સમીકરણને $a$ માટે બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો છે.
તેથી,રેખાઓ $a$ ના બે મૂલ્યો માટે એકબીજાને લંબ છે.

(C) જીવા દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો એ ગુરુ વૃત્તખંડ પર આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
ગુરુ વૃત્તખંડ પરનો ખૂણો ${45^\circ}$ હોવાથી,કેન્દ્ર $C(0,0)$ પરનો ખૂણો $2 \times {45^\circ} = {90^\circ}$ થશે.
ધારો કે $P$ એ કેન્દ્ર $C(0,0)$ થી જીવા $y = mx + 1$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $CPR$ માં,જ્યાં $CR$ એ ત્રિજ્યા $r = 1$ છે,ખૂણો $\angle PCR = {45^\circ}$ છે.
તેથી,$CP = r \cos({45^\circ}) = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા $mx - y + 1 = 0$ નું લંબ અંતર $\frac{|m(0) - 0 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
$CP$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$m^2 + 1 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $-1$ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $-1$ છે.

(D) સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્ર એ પરિકેન્દ્ર સાથે સંપાતી હોય છે.
આપેલ છે કે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે જે શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર છે.
મધ્યકેન્દ્ર મધ્યગાનું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
મધ્યગાની લંબાઈ $3a$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર (જે પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ છે) $R = \frac{2}{3} \times 3a = 2a$ થાય.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $R = 2a$ વાળા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$ થાય.
આપેલ વિકલ્પોમાં $4a^2$ ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(B) ધારો કે માંગેલ વર્તુળ $S_2$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
તે $(0, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{1}{2}, k)$ થશે.
ત્રિજ્યા $r^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = \frac{1}{4} + k^2$.
વર્તુળ $S_2$ એ $x^2 + y^2 = 9$ (કેન્દ્ર $(0, 0)$,ત્રિજ્યા $R = 3$) ને સ્પર્શે છે.
આંતરિક સ્પર્શ માટે,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R - r$ થાય.
$d^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = r^2$.
તેથી $r^2 = (3 - r)^2 = 9 - 6r + r^2$,જે $6r = 9$ આપે છે,એટલે કે $r = \frac{3}{2}$.
$r^2 = \frac{9}{4}$ ને $r^2 = \frac{1}{4} + k^2$ માં મૂકતા,$\frac{9}{4} = \frac{1}{4} + k^2$,તેથી $k^2 = 2$,$k = \pm \sqrt{2}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ મળે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\left( \frac{1}{2}, -\sqrt{2} \right)$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ મળે છે.
આમ,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ બને છે.
જમણી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^+)$,$|\sin x| = \sin x$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
ડાબી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^-)$,$|\sin x| = -\sin x$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(C) ધારો કે $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$.
અંશમાં $2f(2)$ ઉમેરતા અને બાદ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(2) + 2f(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ \frac{f(2)(x - 2)}{x - 2} - 2\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \right]$
$L = f(2) - 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$
$L = f(2) - 2f'(2)$
આપેલ છે કે $f(2) = 4$ અને $f'(2) = 4$:
$L = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.

(A) આપણને લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n} - [x]}}{{[x]}}$ આપેલ છે.
આને $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} - \frac{{[x]}}{{[x]}} \right)$ તરીકે લખી શકાય.
જેમ $x \to \infty,$ $[x] \approx x$ થાય.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n \log x}}{x} = 0.$
આમ,અંતિમ જવાબ $0 - 1 = -1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$.
અંશ અને છેદને $(\sqrt{f(x)} + 1)$ અને $(\sqrt{x} + 1)$ વડે ગુણતા:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt{f(x)} - 1)(\sqrt{f(x)} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
$f(1) = 1$ હોવાથી,$f(x) - 1$ ને $f(x) - f(1)$ તરીકે લખી શકાય:
$y = \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1} \right)$
$y = f'(1) \times \frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt{f(1)} + 1} = 2 \times \frac{2}{1 + 1} = 2 \times 1 = 2$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} f'(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f'(x) \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(1) \sqrt{1}}{\sqrt{f(1)}} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$.

(A) ધારો કે $P(A), P(B),$ અને $P(C)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B,$ અને $C$ દ્વારા દાખલો ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
$A$ દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
$B$ દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$C$ દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
કોઈના દ્વારા પણ દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{none}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ છે.
દાખલો ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(\text{solved}) = 1 - P(\text{none}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.

(A) આપેલ છે: $P(A \cup B) = 3/4,$ $P(A \cap B) = 1/4,$ અને $P(\bar{A}) = 2/3.$
પ્રથમ,$P(A)$ શોધો:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 2/3 = 1/3.$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
$3/4 = 1/3 + P(B) - 1/4.$
$P(B) = 3/4 + 1/4 - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3.$
હવે,$P(\bar{A} \cap B)$ ની ગણતરી કરો:
$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B).$
$P(\bar{A} \cap B) = 2/3 - 1/4 = (8 - 3)/12 = 5/12.$

(B) ધારો કે છોકરીઓના સરેરાશ ગુણ $x$ છે.
કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $100$.
છોકરાઓની સંખ્યા = $70$,તેથી છોકરીઓની સંખ્યા = $100 - 70 = 30$.
વર્ગના કુલ ગુણ = $100 \times 72 = 7200$.
છોકરાઓના કુલ ગુણ = $70 \times 75 = 5250$.
છોકરીઓના કુલ ગુણ = $7200 - 5250 = 1950$.
છોકરીઓના સરેરાશ ગુણ = $\frac{1950}{30} = 65$.

(C) $(1 + x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં,$x^k$ નો સહગુણક $^{2n}C_k$ છે,જ્યાં $0 \le k \le 2n$ છે.
આપેલ છે કે $x^{3r}$ અને $x^{r+2}$ ના સહગુણકો સમાન છે,તેથી $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$.
ગુણધર્મ $^{n}C_a = ^{n}C_b$ નો ઉપયોગ કરતા,જેનો અર્થ $a = b$ અથવા $a + b = n$ થાય છે,આપણને બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$. જોકે,આપેલ છે કે $r > 1$,તેથી આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
કિસ્સો $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$.
આમ,સાચો સંબંધ $n = 2r + 1$ છે.

(A) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax + 2hy + 2g = 0 \implies ax + hy + g = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2hx + 2by + 2f = 0 \implies hx + by + f = 0$
રેખાઓ $y$-અક્ષ પર છેદતી હોવાથી,છેદબિંદુનો $x$-યામ $x = 0$ છે.
$x = 0$ ને પ્રથમ આંશિક વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા: $h(y) + g = 0 \implies y = -g/h$.
હવે,$(0, -g/h)$ ને મૂળ સમીકરણ $f(x, y) = 0$ માં મૂકતા:
$a(0)^2 + 2h(0)(-g/h) + b(-g/h)^2 + 2g(0) + 2f(-g/h) + c = 0$
$b(g^2/h^2) - 2fg/h + c = 0$
$h^2$ વડે ગુણતા,આપણને $bg^2 - 2fgh + ch^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $bg^2 + ch^2 = 2fgh$ થાય છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ $r = 3$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. આવા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 3^2 = 9$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $x^2 + y^2 = 25$ વર્તુળ પર આવેલું હોવાથી,ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર $\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ છે.
$3$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ એ શરત સંતોષે છે કે તેનું $(h, k)$ થી અંતર $3$ છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,ઉગમબિંદુથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર $d$ એ $|\sqrt{h^2 + k^2} - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le \sqrt{h^2 + k^2} + 3$ શરત સંતોષે છે.
$\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ મૂકતા,આપણને $|5 - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 5 + 3$ મળે છે.
આથી $2 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 8$ મળે છે.
વર્ગ કરતા,$4 \le x^2 + y^2 \le 64$ મળે છે.

(B) પરવલય ${y^2} = 8ax$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2a}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ નો પણ સ્પર્શક છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{2a}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}a$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|\frac{2a}{m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{4a^2}{m^2(m^2 + 1)} = 2a^2$.
આનું સાદું રૂપ $m^4 + m^2 - 2 = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(m^2 - 1)(m^2 + 2) = 0$.
$m^2 = 1$ લેતા,$m = \pm 1$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકોનું સમીકરણ $y = \pm (x + 2a)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો સ્વરૂપ $1^\infty$ હોય,તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x)}$ થાય.
અહીં,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2 + x + 3} = 1$ છે.
તેથી,આ પદાવલિ $1^\infty$ સ્વરૂપમાં છે.
ધારો કે $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2 + x + 3} - 1 = \frac{4x}{x^2 + x + 3}$.
ત્યારબાદ,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{4x}{x^2 + x + 3} \cdot x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{4x^2}{x^2 + x + 3}$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{4}{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{4}{1 + 0 + 0} = 4$ મળે છે.
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય $e^4$ છે.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta$ એ $x^2+ax+b=0$ ના બીજ છે અને $\gamma, \delta$ એ $x^2+bx+a=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha+\beta = -a, \alpha\beta = b$
$\gamma+\delta = -b, \gamma\delta = a$
આપેલ છે કે બીજ વચ્ચેનો તફાવત સમાન છે:
$|\alpha-\beta| = |\gamma-\delta|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\alpha-\beta)^2 = (\gamma-\delta)^2$
$(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta$
$(-a)^2 - 4b = (-b)^2 - 4a$
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$
$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$
$(a-b)(a+b) + 4(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b+4) = 0$
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$a-b \neq 0$ થાય.
તેથી,$a+b+4 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ માટે $2b = a + c$ હોવાથી:
$2 \log _9(3^{1-x}+2) = 1 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
ગુણધર્મ $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log _3(3^{1-x}+2) = \log _3 3 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
$\log _3(3^{1-x}+2) = \log _3(3(4 \cdot 3^x-1))$
$3^{1-x}+2 = 12 \cdot 3^x - 3$
ધારો કે $3^x = t$. તેથી $\frac{3}{t} + 2 = 12t - 3$
$3 + 2t = 12t^2 - 3t$
$12t^2 - 5t - 3 = 0$
$(4t - 3)(3t + 1) = 0$
$t = 3^x > 0$ હોવાથી,$t = \frac{3}{4}$.
$3^x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$.

(A) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$.
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$ વ્યાખ્યાયિત કરો.
સ્પષ્ટ છે કે $F(0) = 0$.
વળી,$F(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$.
આપેલ છે કે $2a + 3b + 6c = 0$,તેથી $F(1) = 0$.
$F(0) = F(1) = 0$ હોવાથી અને $F(x)$ એ બહુપદી હોવાથી,રોલના પ્રમેય મુજબ,$(0, 1)$ ની વચ્ચે ઓછામાં ઓછું એક $x$ એવું મળે કે જેથી $F'(x) = 0$ થાય.
$F'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ હોવાથી,$ax^2 + bx + c = 0$ નું ઓછામાં ઓછું એક બીજ અંતરાલ $(0, 1)$ માં મળે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \to R_3 - xR_1 - R_2$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ 0 & 0 & -(ax^2 + 2bx + c) \end{array} \right|$.
ત્રીજી હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(ax^2 + 2bx + c) \times (ac - b^2) = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$.
આપેલ છે કે વિવેચક $D = (2b)^2 - 4ac = 4(b^2 - ac) < 0$,તેથી $b^2 - ac < 0$ થાય.
કારણ કે $a > 0$ અને વિવેચક ઋણ છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + 2bx + c$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,$\Delta = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$ એ એક ઋણ કિંમત અને એક ધન કિંમતનો ગુણાકાર છે,જેનું પરિણામ ઋણ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ સંહતિ નીચે મુજબ છે:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 12$
સુરેખ સમીકરણ સંહતિ $AX = B$ અસંગત હોય જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = 0$ હોય અને ક્રેમરના નિયમના નિશ્ચાયકો $(D_x, D_y, D_z)$ માંથી ઓછામાં ઓછો એક શૂન્યતર હોય.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $D$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2)$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0$
$D = \lambda - 3$
સંહતિ અસંગત હોવા માટે,આપણે $D = 0$ લઈએ:
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
હવે,$\lambda = 3$ માટે $D_z$ ની ગણતરી કરીને ચકાસીએ:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 1 & 2 & 12 \end{vmatrix}$
$D_z = 1(24 - 20) - 1(12 - 10) + 6(2 - 2)$
$D_z = 1(4) - 1(2) + 6(0) = 4 - 2 = 2$
અહીં $D = 0$ અને $D_z \neq 0$ હોવાથી,$\lambda = 3$ માટે સંહતિ અસંગત છે.

(D) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પદ છે અને $R$ એ $G$.$P$. નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. તો,
$l = A R^{p-1} \Rightarrow \log l = \log A + (p-1) \log R$ ... $(i)$
$m = A R^{q-1} \Rightarrow \log m = \log A + (q-1) \log R$ ... $(ii)$
$n = A R^{r-1} \Rightarrow \log n = \log A + (r-1) \log R$ ... $(iii)$
ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log l & p & 1 \\ \log m & q & 1 \\ \log n & r & 1 \end{array} \right|$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \to C_1 - (\log A) C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે કે પ્રથમ સ્તંભના ઘટકો $(p-1)\log R, (q-1)\log R, (r-1)\log R$ છે. આ સ્તંભ બીજા અને ત્રીજા સ્તંભના સુરેખ સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: $\cot^{-1}[(\cos \alpha)^{1/2}] - \tan^{-1}[(\cos \alpha)^{1/2}] = x$
નિત્યસમ $\cot^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{1}{y})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}[\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}] - \tan^{-1}[\sqrt{\cos \alpha}] = x$
સૂત્ર $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}[\frac{\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}} - \sqrt{\cos \alpha}}{1 + (\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}})(\sqrt{\cos \alpha})}] = x$
$\tan^{-1}[\frac{\frac{1-\cos \alpha}{\sqrt{\cos \alpha}}}{1+1}] = x$
$\tan x = \frac{1-\cos \alpha}{2\sqrt{\cos \alpha}}$
હવે,આપણે $\sin x$ શોધવાની જરૂર છે. કાટકોણ ત્રિકોણની મદદથી જ્યાં સામેની બાજુ $1-\cos \alpha$ અને પાસેની બાજુ $2\sqrt{\cos \alpha}$ છે:
કર્ણ = $\sqrt{(1-\cos \alpha)^2 + (2\sqrt{\cos \alpha})^2} = \sqrt{1 - 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha + 4\cos \alpha} = \sqrt{1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha} = \sqrt{(1+\cos \alpha)^2} = 1+\cos \alpha$
તેથી,$\sin x = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

(A) ધારો કે બે બળો $P$ અને $Q$ છે,જ્યાં $Q > P$ છે.
આપેલ છે કે બળોનો સરવાળો $P + Q = 18 \ N$ છે.
ધારો કે પરિણામી બળ $R = 12 \ N$ એ નાના બળ $P$ ને લંબ છે.
પરિણામી બળ $R$ અને બળ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
પરિણામી બળની દિશાનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પરિણામી બળ $P$ ને લંબ હોવાથી,$\tan 90^o = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $P + Q \cos \theta = 0$,અથવા $\cos \theta = -\frac{P}{Q}$.
પરિણામી બળના મૂલ્ય માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{P}{Q}$ મૂકતા:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(-\frac{P}{Q}) = P^2 + Q^2 - 2P^2 = Q^2 - P^2$.
$144 = (Q - P)(Q + P)$.
$Q + P = 18$ હોવાથી,$144 = (Q - P) \times 18$,તેથી $Q - P = 8$.
$Q + P = 18$ અને $Q - P = 8$ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2Q = 26 \Rightarrow Q = 13 \ N$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2P = 10 \Rightarrow P = 5 \ N$.
આમ,બે બળોના મૂલ્યો $13 \ N$ અને $5 \ N$ છે.

(D) આપેલ છે કે $|a| = 3$,$|b| = 4$,અને $|c| = 5$.
વળી,$a + b + c = 0$.
સમીકરણ $a + b + c = 0$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|a + b + c|^2 = 0^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$9 + 16 + 25 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$50 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -50$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -25$.

(C) આપેલ છે કે,$a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = |-c|^2$ મળે.
$|u|^2 = u \cdot u$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ મળે.
અહીં $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$.
આપેલ કિંમતો $|a| = 3, |b| = 5, |c| = 7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^\circ$.

(C) આપેલ છે કે $a + b + c = 0.$
બંને બાજુ $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$a \times (a + b + c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
કારણ કે $a \times a = 0,$ તેથી $a \times b + a \times c = 0,$ જે સૂચવે છે કે $a \times b = - (a \times c) = c \times a$ .....$(i)$
તે જ રીતે,બંને બાજુ $b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$b \times (a + b + c) = b \times 0$
$b \times a + b \times b + b \times c = 0$
કારણ કે $b \times b = 0,$ તેથી $b \times a + b \times c = 0,$ જે સૂચવે છે કે $-(a \times b) = b \times c,$ અથવા $a \times b = b \times c$ .....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $a \times b = b \times c = c \times a$ મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|a| = 4$,$|b| = 2$,અને $\theta = \frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $|a \times b| = 4 \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $|a \times b| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
આમ,$|a \times b|^2 = 4^2 = 16$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રણ સદિશો $x, y, z$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $x = a \times b$,$y = b \times c$,અને $z = c \times a$.
તેથી $[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ((b \times c) \times (c \times a))$.
સદિશ ત્રિગુણક નિત્યસમ $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(b \times c) \times (c \times a) = ([b, c, a]c - [b, c, c]a)$.
કારણ કે $[b, c, c] = 0$ અને $[b, c, a] = [a, b, c]$,આપણને મળે છે:
$(b \times c) \times (c \times a) = [a, b, c]c$.
આ કિંમતને અભિવ્યક્તિમાં મૂકતા:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ([a, b, c]c) = [a, b, c] (a \times b) \cdot c = [a, b, c] [a, b, c]$.
આપેલ છે કે $[a, b, c] = 4$,તેથી:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = 4 \times 4 = 16$.

(A) બિંદુ $(3, 2, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 0) = 0 \dots (i)$ છે.
સમતલ રેખા $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તે રેખા પરના બિંદુ $(3, 6, 4)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
$(3, 6, 4)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$A(3 - 3) + B(6 - 2) + C(4 - 0) = 0$,જે $4B + 4C = 0$ એટલે કે $B + C = 0 \dots (ii)$ આપે છે.
વળી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $(A, B, C)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $(1, 5, 4)$ ને લંબ હોય છે. તેથી,$1A + 5B + 4C = 0 \dots (iii)$.
$(ii)$ પરથી,$C = -B$. તેને $(iii)$ માં મૂકતા,$A + 5B - 4B = 0$,એટલે કે $A = -B$.
ધારો કે $B = -1$,તો $A = 1$ અને $C = 1$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા,$1(x - 3) - 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x - y + z = 1$ મળે છે.

(B) $(1, 0, 0)$ અને $(0, 1, 0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{c} = 1$ લખી શકાય,જ્યાં $c$ એ $z$-અંતઃખંડ છે.
આ સમીકરણ $x + y + \frac{z}{c} = 1$ થાય છે.
આ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(1, 1, \frac{1}{c})$ છે.
આપેલ સમતલ $x + y = 3$ છે,અને તેના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(1, 1, 0)$ છે.
બે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1(1) + 1(1) + \frac{1}{c}(0)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (\frac{1}{c})^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} \cdot \sqrt{2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$1 = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2 + \frac{1}{c^2} = 4$.
$\frac{1}{c^2} = 2 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી દિકગુણોત્તરો $(1, 1, \frac{1}{c}) = (1, 1, \sqrt{2})$ મળે છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin^{-1} \left[ \log_3 \left( \frac{x}{3} \right) \right]$ છે.
વિધેય $\sin^{-1}(u)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો ચલ $u$ એ $-1 \le u \le 1$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે $-1 \le \log_3 \left( \frac{x}{3} \right) \le 1$ લેવું પડે.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આધાર $3$ લેતા:
$3^{-1} \le \frac{x}{3} \le 3^1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{3} \le \frac{x}{3} \le 3$ મળે છે.
આખી અસમતાને $3$ વડે ગુણતા,આપણને $1 \le x \le 9$ મળે છે.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $x \in [1, 9]$ છે.

(A) આપેલ છે કે $y = (x + \sqrt{1 + x^2})^n$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})$
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{n(x + \sqrt{1 + x^2})^n}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$.
બંને બાજુ ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(ny)$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = n \frac{dy}{dx}$
બંને બાજુ $\sqrt{1 + x^2}$ વડે ગુણતા:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n \sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}$
કારણ કે $\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n(ny) = n^2y$.

(D) આપેલ છે કે $f''(x) - g''(x) = 0$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f'(x) - g'(x) = c$ મળે છે,જ્યાં $c$ એક અચળાંક છે.
$x = 1$ પર,$f'(1) - g'(1) = c \implies 2 - 4 = c \implies c = -2$.
આમ,$f'(x) - g'(x) = -2$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $f(x) - g(x) = -2x + c_1$ મળે છે,જ્યાં $c_1$ એક અચળાંક છે.
$x = 2$ પર,$f(2) - g(2) = -2(2) + c_1 \implies 3 - 9 = -4 + c_1 \implies -6 = -4 + c_1 \implies c_1 = -2$.
તેથી,$f(x) - g(x) = -2x - 2$.
$x = 3/2$ પર,$f(3/2) - g(3/2) = -2(3/2) - 2 = -3 - 2 = -5$.

(C) આપેલ વિધેય સમીકરણ $f(x + y) = f(x)f(y)$ છે.
$y = 0$ લેતા,આપણને $f(x + 0) = f(x)f(0)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = f(x)f(0)$. કારણ કે $f(5) = 2$,તેથી $f(x)$ શૂન્ય નથી,માટે $f(0) = 1$.
વિકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
$f(x + h) = f(x)f(h)$ મૂકતા,આપણને $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ મળે છે.
કારણ કે $f(0) = 1$,આ $f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f(x)f'(0)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $f(5) = 2$ અને $f'(0) = 3$,તેથી $f'(5) = f(5)f'(0) = 2 \times 3 = 6$.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$.
કારણ કે વિધેય $[x^2]$ એવા બિંદુઓ પર તેનું મૂલ્ય બદલે છે જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક હોય,તેથી આપણે અંતરાલ $[0, \sqrt{2}]$ ને વિભાજિત કરીએ છીએ.
$0 \le x < 1$ માટે,$0 \le x^2 < 1$,તેથી $[x^2] = 0$.
$1 \le x \le \sqrt{2}$ માટે,$1 \le x^2 \le 2$,તેથી $[x^2] = 1$.
આમ,$I = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 \, dx$.
$I = 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}}$.
$I = \sqrt{2} - 1$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}$
આને સરવાળાના સંકેતમાં આ રીતે લખી શકાય: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 1}^n {\left( {\frac{r}{n}} \right)^p}$
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 1}^n {f\left( {\frac{r}{n}} \right)} = \int_0^1 {f(x)dx}$,જ્યાં $f(x) = x^p$ છે.
તેથી,સંકલન આ મુજબ થશે: $\int_0^1 {x^p dx}$
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $\left[ {\frac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}} \right]_0^1 = \frac{1^{p+1}}{p+1} - \frac{0^{p+1}}{p+1} = \frac{1}{{p + 1}}$.

(B) આપેલ છે કે ${I_n} = \int_{0}^{\pi /4} {\tan^n x} \,dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
તેથી,${I_n} = \int_{0}^{\pi /4} {\tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1)} \,dx$.
${I_n} = \int_{0}^{\pi /4} {\tan^{n-2} x \sec^2 x} \,dx - \int_{0}^{\pi /4} {\tan^{n-2} x} \,dx$.
${I_n} = \left[ \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} \right]_{0}^{\pi /4} - {I_{n-2}}$.
કારણ કે $\tan(\pi/4) = 1$ અને $\tan(0) = 0$,તેથી ${I_n} = \frac{1}{n-1} - {I_{n-2}}$.
આમ,${I_n} + {I_{n-2}} = \frac{1}{n-1}$.
હવે,આપણે $\lim_{n \to \infty} n[{I_n} + {I_{n-2}}]$ શોધવાનું છે.
$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n-1} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - 1/n} = 1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\ln x$ એ $x > 0$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને $\ln |x|$ એ તમામ $x \in \mathbb{R} - \{0\}$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
વળી,$|\ln x| \ge 0$ અને $|\ln |x|| \ge 0$.
આ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલો પ્રદેશ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
ક્ષેત્રફળ $4 \times \int_{0}^{1} |\ln x| \, dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $x \in (0, 1)$ માટે,$\ln x < 0$ છે,તેથી $|\ln x| = -\ln x$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $= -4 \int_{0}^{1} \ln x \, dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int \ln x \, dx = x \ln x - x$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $= -4 [x \ln x - x]_{0}^{1} = -4 [(1 \ln 1 - 1) - (\lim_{x \to 0^+} x \ln x - 0)]$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $= -4 [0 - 1 - 0] = -4(-1) = 4 \, sq. \, units$ થાય.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $f(x) = |\sin x|$ એ $\pi$ આવર્તમાન ધરાવે છે.
ગુણધર્મ $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $T$ એ આવર્તમાન છે:
$\int_{\,\pi }^{\,10\pi } {|\sin x|dx} = \int_{\,0}^{\,9\pi } {|\sin x|dx}$ (સીમાઓને $-\pi$ જેટલી ખસેડતા).
આવર્તમાન $\pi$ હોવાથી,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$9 \int_{\,0}^{\,\pi } {|\sin x|dx} = 9 \int_{\,0}^{\,\pi } {\sin x dx}$ (કારણ કે $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ છે).
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$9 [-\cos x]_{0}^{\pi} = 9 (-(\cos \pi) + \cos 0) = 9 (-(-1) + 1) = 9(1 + 1) = 18$.

(B) ધારો કે $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.
આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} + \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.
પ્રથમ ભાગ માટે,$f(x) = \frac{2x}{1 + \cos^2 x}$ લો. અહીં $f(-x) = \frac{-2x}{1 + \cos^2(-x)} = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય અયુગ્મ છે. તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$.
બીજા ભાગ માટે,$g(x) = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x}$ લો. અહીં $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1 + \cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} = g(x)$ હોવાથી,આ વિધેય યુગ્મ છે. તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx = 2 \int_0^{\pi} g(x) dx$.
આથી,$I = 2 \int_0^{\pi} \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(i)$.
ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.
$I = 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.
ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.
$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = 2\pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$.
$I = 2\pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = 2\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 2\pi (\frac{\pi}{2}) = \pi^2$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-2x}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{d^2y}{dx^2} dx = \int e^{-2x} dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2x}}{-2} + c = -\frac{1}{2}e^{-2x} + c$.
ફરીથી બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int \frac{dy}{dx} dx = \int (-\frac{1}{2}e^{-2x} + c) dx$
$y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} + cx + d$
$y = \frac{1}{4}e^{-2x} + cx + d$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) વિકલ સમીકરણનો ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંક ઘાતાંકને દૂર કરવા માટે બંને બાજુ $3$ ની ઘાત લેવી પડશે.
આપેલ સમીકરણ: ${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$
બંને બાજુ ઘન કરતા:
${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {\left( {4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}} \right)^3}$
હવે,આ સમીકરણ વિકલિતોના સંદર્ભમાં બહુપદી છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ તેમાં રહેલ સર્વોચ્ચ વિકલિત છે,જે $\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ છે,તેથી ક્રમ $3$ છે.
વિકલ સમીકરણની ઘાત એ સર્વોચ્ચ ક્રમના વિકલિતની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી તરીકે દર્શાવવામાં આવે. અહીં,$\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ ની ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ $3$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ પ્રયત્નો કરવામાં આવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા (સફળતા) મળવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Variance} = npq$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Variance} = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(B) આપેલ સદિશો $a = 3i - 5j$ અને $b = 6i + 3j$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $c = a \times b$ શોધીએ:
$c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(9 - (-30)) = 39k$.
હવે,આપણે સદિશોના માન શોધીએ:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$|c| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 39^2} = 39$.
તેથી,ગુણોત્તર $|a|:|b|:|c|$ એ $\sqrt{34} : \sqrt{45} : 39$ થાય.