AIEEE 2002 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \times m \times \Delta v \geq \frac{h}{4\pi}$.
दिया गया है: $\Delta x = 10^{-5} \ m$,$m = 0.25 \ g$,$h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \ s$.
वेग में अनिश्चितता $\Delta v$ के लिए सूत्र: $\Delta v = \frac{h}{4 \times \pi \times \Delta x \times m}$.
मान रखने पर: $\Delta v = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.25} = 2.1 \times 10^{-29} \ m/s$.

(C) चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)$ चुने गए अक्ष के सापेक्ष अंतरिक्ष में कक्षकों के स्थानिक अभिविन्यास (spatial orientation) को निर्दिष्ट करती है।

(D) $P_4O_{10}$ की संरचना में एक $P_4$ चतुष्फलक होता है जहाँ प्रत्येक किनारे पर एक ऑक्सीजन परमाणु ($P-O-P$ बंध) सेतु के रूप में होता है।
ऐसे $6$ $P-O-P$ सेतु होते हैं,जो $12$ सिग्मा बंधों का योगदान करते हैं।
इसके अतिरिक्त,प्रत्येक $4$ फास्फोरस परमाणु एक द्वि-आबंध $(P=O)$ के माध्यम से एक टर्मिनल ऑक्सीजन परमाणु से जुड़े होते हैं।
प्रत्येक $P=O$ बंध में $1$ सिग्मा बंध और $1$ पाई बंध होता है।
इस प्रकार,$P=O$ समूहों से $4$ सिग्मा बंध प्राप्त होते हैं।
सिग्मा बंधों की कुल संख्या = $12$ ($P-O-P$ सेतु से) + $4$ ($P=O$ बंध से) = $16$ सिग्मा बंध।

(B) $109^o 28'$ का बंध कोण चतुष्फलकीय ज्यामिति की विशेषता है,जो उन प्रजातियों में होती है जिनमें $sp^3$ संकरण होता है और केंद्रीय परमाणु पर कोई एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) नहीं होता है।
$(NH_4)^+$ में,नाइट्रोजन परमाणु $sp^3$ संकरित है जिसमें चार बंध युग्म हैं और शून्य एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म हैं,जिसके परिणामस्वरूप $109^o 28'$ के बंध कोण के साथ चतुष्फलकीय ज्यामिति प्राप्त होती है।
$(BF_4)^-$ में,बोरॉन परमाणु $sp^3$ संकरित है जिसमें चार बंध युग्म हैं और शून्य एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म हैं,जिसके परिणामस्वरूप $109^o 28'$ के बंध कोण के साथ चतुष्फलकीय ज्यामिति प्राप्त होती है।
अतः,$(NH_4)^+$ और $(BF_4)^-$ दोनों यह बंध कोण प्रदर्शित करते हैं।

(C) $A.$ विद्युत ऋणात्मकता में अंतर के कारण ध्रुवीयता का क्रम $HI < HBr < HCl < HF$ है। $HF$,$HBr$ से अधिक ध्रुवीय है,इसलिए विकल्प $A$ गलत है।
$B.$ यह कथन कि पूर्णतः शुद्ध जल में कोई आयन नहीं होते हैं,गलत है क्योंकि शुद्ध जल का स्वतः-आयनन $(2H_2O \rightleftharpoons H_3O^+ + OH^-)$ होता है,जिससे इसमें आयनों की थोड़ी सांद्रता मौजूद होती है।
$C.$ रासायनिक बंध का निर्माण तब होता है जब परमाणुओं या आयनों के बीच आकर्षण बल प्रतिकर्षण बलों पर हावी हो जाते हैं,जिससे एक स्थिर,निम्न-ऊर्जा अवस्था प्राप्त होती है। यह कथन सत्य है।
$D.$ सहसंयोजकता में इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के बीच साझा किए जाते हैं,न कि स्थानांतरित। इलेक्ट्रॉनों का स्थानांतरण आयनिक बंध की विशेषता है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$P$ दाब है,$V$ आयतन है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ गैस नियतांक है,और $T$ तापमान है।
हमें प्रति लीटर मोलों की संख्या ज्ञात करनी है,जो कि मोलर सांद्रता $\frac{n}{V}$ है।
आदर्श गैस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{n}{V} = \frac{P}{RT}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) ली शातेलिए के सिद्धांत के अनुसार,निकाय के आयतन में परिवर्तन साम्यावस्था को केवल तभी प्रभावित करता है यदि गैसीय प्रजातियों के मोलों की कुल संख्या में परिवर्तन हो $(\Delta n_g \neq 0)$।
अभिक्रिया $N_{2(g)} + O_{2(g)} \rightleftharpoons 2NO_{(g)}$ के लिए,गैसीय मोलों में परिवर्तन $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$ है।
चूंकि $\Delta n_g = 0$ है,इसलिए आयतन में परिवर्तन साम्यावस्था को विस्थापित नहीं करेगा और मोलों की संख्या अपरिवर्तित रहेगी।

(C) साम्यावस्था पर मोलों की संख्या स्थिर तापमान पर आयतन में परिवर्तन से अप्रभावित रहे,इसके लिए अभिक्रिया में $\Delta n_g = 0$ होना चाहिए (जहाँ $\Delta n_g$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन है)।
दी गई अभिक्रियाओं के लिए $\Delta n_g$ की गणना:
$A$) $2NH_{3(g)} \rightleftharpoons N_{2(g)} + 3H_{2(g)}$; $\Delta n_g = (1 + 3) - 2 = 2 \neq 0$.
$B$) $C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightleftharpoons CO_{(g)}$; $\Delta n_g = 1 - 0.5 = 0.5 \neq 0$.
$C$) $H_{2(g)} + I_{2(g)} \rightleftharpoons 2HI_{(g)}$; $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
चूंकि अभिक्रिया $C$ में $\Delta n_g = 0$ है,इसलिए आयतन में परिवर्तन से साम्यावस्था प्रभावित नहीं होती है। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) वे स्पीशीज जो $H^{+}$ आयन को स्वीकार भी कर सकती हैं और दान भी कर सकती हैं,उन्हें उभयधर्मी (amphoteric) स्पीशीज कहा जाता है और वे अम्ल और क्षार दोनों के रूप में कार्य कर सकती हैं।
$HSO_4^- + H^{+} \rightleftharpoons H_2SO_4$ (क्षार के रूप में)
$HSO_4^- \rightleftharpoons SO_4^{2-} + H^{+}$ (अम्ल के रूप में)

(A) $Mg(OH)_2$ का जलीय विलयन में वियोजन इस प्रकार होता है:
$Mg(OH)_2(s) \rightleftharpoons Mg^{2+}(aq) + 2OH^-(aq)$
यदि विलेयता $x$ है,तो साम्यावस्था पर आयनों की सांद्रता होगी:
$[Mg^{2+}] = x$
$[OH^-] = 2x$
विलेयता गुणनफल $K_{sp}$ का मान है:
$K_{sp} = [Mg^{2+}][OH^-]^2$
मान रखने पर:
$K_{sp} = (x)(2x)^2 = (x)(4x^2) = 4x^3$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) बफर विलयन वह होता है जो अम्ल या क्षार की थोड़ी मात्रा मिलाने पर $pH$ में होने वाले परिवर्तन का विरोध करता है। इसमें आमतौर पर एक दुर्बल अम्ल और उसका संयुग्मी क्षार,या एक दुर्बल क्षार और उसका संयुग्मी अम्ल होता है।
$HCl$ एक प्रबल अम्ल है और $NaCl$ एक प्रबल अम्ल और प्रबल क्षार का लवण है।
चूंकि $HCl$ एक प्रबल अम्ल है,यह पानी में पूरी तरह से वियोजित हो जाता है,जिससे विलयन की $pH < 7$ हो जाती है।
चूंकि यहाँ कोई दुर्बल अम्ल-संयुग्मी क्षार युग्म मौजूद नहीं है,इसलिए यह मिश्रण बफर विलयन के रूप में कार्य नहीं करता है।
अतः,यह एक बफर विलयन नहीं है और इसकी $pH < 7$ है।

(D) ऊष्मागतिकी का $1^{st}$ नियम बताता है कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = q + w$ है। एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,$\Delta U = 0$,इसलिए $q = -w$। यहाँ,कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_1 + Q_2$ है और किया गया कार्य $W = Q_1 + Q_2$ है। चूँकि $W = Q_{total}$ है,इसलिए $1^{st}$ नियम संतुष्ट होता है। हालाँकि,यह प्रक्रिया ऊष्मागतिकी के $2^{nd}$ नियम का उल्लंघन करती है,जो बताता है कि किसी अन्य प्रभाव के बिना चक्रीय प्रक्रिया में ऊष्मा को पूरी तरह से कार्य में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।

(B) किसी पिंड के तापमान को $1 \, K$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा को उस पिंड की ऊष्मा धारिता (Thermal capacity) कहा जाता है।

(C) $KMnO_4$ में,$Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+7$ है।
स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $Mn$ की ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन के बराबर होती है।
$1$. $[MnO_4]^{2-}$ के लिए,$Mn$ $+6$ है। परिवर्तन $= |7 - 6| = 1$।
$2$. $MnO_2$ के लिए,$Mn$ $+4$ है। परिवर्तन $= |7 - 4| = 3$।
$3$. $Mn_2O_3$ के लिए,$Mn$ $+3$ है। $Mn$ के प्रति परमाणु परिवर्तन $= |7 - 3| = 4$।
$4$. $Mn^{2+}$ के लिए,$Mn$ $+2$ है। परिवर्तन $= |7 - 2| = 5$।
अतः,स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $1, 3, 4, 5$ है।

(D) रेडॉक्स अभिक्रिया वह है जिसमें ऑक्सीकरण और अपचयन दोनों एक साथ होते हैं,जिसमें तत्वों की ऑक्सीकरण अवस्था में परिवर्तन होता है।
अभिक्रिया $Zn + 2AgCN \to 2Ag + Zn(CN)_2$ में:
$1$. $Zn$ की ऑक्सीकरण अवस्था $0$ से बढ़कर $+2$ हो जाती है (ऑक्सीकरण)।
$2$. $Ag$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+1$ से घटकर $0$ हो जाती है (अपचयन)।
चूंकि ऑक्सीकरण और अपचयन दोनों होते हैं,इसलिए यह एक रेडॉक्स अभिक्रिया है।
अन्य विकल्प द्वि-विस्थापन या अम्ल-क्षार अभिक्रियाओं को दर्शाते हैं जिनमें ऑक्सीकरण अवस्था में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) के लिए दहन की एन्थैल्पी $-393 \ J$ है और $Zn$ के लिए $-206 \ J$ प्रति मोल $O_2$ है (चूंकि $2Zn + O_2 \to 2ZnO$ में $-412 \ J$ मुक्त होती है,इसलिए $Zn$ के प्रति मोल का मान $-206 \ J$ है)।
मानों की तुलना करने पर,$Zn$ का ऑक्सीकरण $C$ के ऑक्सीकरण की तुलना में अधिक ऊष्माक्षेपी है।
इसलिए,$Zn$ की ऑक्सीजन के प्रति आकर्षण शक्ति $C$ से अधिक है,जिसका अर्थ है कि $Zn$ कार्बन का ऑक्सीकरण कर सकता है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) धातु $M$,$Be$ (बेरिलियम) है।
$1$. $BeSO_4$ जल में घुलनशील है।
$2$. $BeO$ (बेरिलियम ऑक्साइड) उभयधर्मी है और उच्च ताप पर गर्म करने पर निष्क्रिय हो जाता है।
$3$. $Be(OH)_2$ उभयधर्मी है और $NaOH$ में घुलकर सोडियम बेरिलैट,$Na_2[Be(OH)_4]$ या $Na_2BeO_2$ बनाता है।

(A) $KO_2$ (पोटेशियम सुपरऑक्साइड) का उपयोग ऑक्सीजन सिलेंडर में किया जाता है क्योंकि यह $CO_2$ के साथ प्रतिक्रिया करके $O_2$ और पोटेशियम कार्बोनेट $(K_2CO_3)$ उत्पन्न करता है।
रासायनिक अभिक्रिया इस प्रकार है: $4KO_2 + 2CO_2 \rightarrow 2K_2CO_3 + 3O_2$.
यह प्रक्रिया एक साथ $CO_2$ को हटाती है और $O_2$ के स्तर को बढ़ाती है।

(C) जब $H_2S$ गैस को $Hg_2^{2+}$ आयनों वाले विलयन से गुजारा जाता है,तो एक असमानुपातन (disproportionation) अभिक्रिया होती है।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $Hg_2^{2+} + H_2S \longrightarrow HgS + Hg + 2H^+$.
इस अभिक्रिया में,$Hg_2^{2+}$ का एक साथ $Hg^{2+}$ (जो $HgS$ बनाता है) में ऑक्सीकरण और धात्विक $Hg$ में अपचयन होता है।

(D) प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $CH_3-CH_2-CH_2-COOCH_2CH_3$ एक एस्टर है। ऑक्सीजन से जुड़ा एल्काइल समूह एथिल है और एसिड भाग ब्यूटेनोट है। नाम सही है।
$B$: $CH_3-CH(CH_3)-CH_2-CHO$ में सबसे लंबी श्रृंखला में $4$ कार्बन हैं। मेथिल समूह $3$ नंबर पर है। $3$-मेथिलब्यूटेनैल नाम सही है।
$C$: $CH_3-CH(OH)-CH(CH_3)-CH_3$ में सबसे लंबी श्रृंखला में $4$ कार्बन हैं। हाइड्रॉक्सिल समूह $2$ नंबर पर और मेथिल समूह $3$ नंबर पर है। $3$-मेथिलब्यूटेन-$2$-ऑल नाम सही है।
$D$: $CH_3-CH(CH_3)-CO-CH_2-CH_3$ में सबसे लंबी श्रृंखला में $5$ कार्बन हैं। कीटोन समूह $3$ नंबर पर है और मेथिल समूह $2$ नंबर पर है। $2$-मेथिलपेंटेन-$3$-ओन नाम सही है। अतः,सभी नाम सही हैं।

(B) रेखांकित कार्बन परमाणु के संकरण को निर्धारित करने के लिए,हम उससे जुड़े सिग्मा बंधों और एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या की गणना करते हैं।
$(A)$ $CH_3-\underline{C}OOH$ में,रेखांकित कार्बन एक ऑक्सीजन के साथ द्वि-बंध और एक ऑक्सीजन के साथ एकल-बंध से जुड़ा है,इसलिए यह $sp^2$ संकरित है।
$(B)$ $CH_3-\underline{C}H_2OH$ में,रेखांकित कार्बन चार परमाणुओं (एक $C$,दो $H$,और एक $O$) के साथ एकल-बंधों द्वारा जुड़ा है। इसमें $4$ सिग्मा बंध हैं,इसलिए यह $sp^3$ संकरित है।
$(C)$ $CH_3-\underline{C}OCH_3$ में,रेखांकित कार्बन एक कार्बोनिल समूह $(C=O)$ का हिस्सा है,इसलिए यह $sp^2$ संकरित है।
$(D)$ $CH_2=\underline{C}H-CH_3$ में,रेखांकित कार्बन एक $C$ के साथ द्वि-बंध और एक $C$ के साथ एकल-बंध से जुड़ा है,इसलिए यह $sp^2$ संकरित है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एल्किल समूहों का प्रेरणिक प्रभाव ($+I$ प्रभाव) अल्फा-कार्बन परमाणु से जुड़ी एल्किल शाखाओं की संख्या में वृद्धि के साथ बढ़ता है।
दिए गए एल्किल समूहों के लिए $+I$ प्रभाव का क्रम है:
$Primary \ (CH_3-CH_2-CH_2-) < Secondary \ ((CH_3)_2CH-) < Tertiary \ ((CH_3)_3C-)$.
अतः,प्रेरणिक प्रभाव का बढ़ता क्रम $CH_3-CH_2-CH_2- < (CH_3)_2CH- < (CH_3)_3C-$ है।

(C) प्रकाशिक समावयवता और ज्यामितीय समावयवता दोनों त्रिविम समावयवता के प्रकार हैं,जहाँ परमाणुओं की संयोजकता समान होती है लेकिन उनकी त्रिविम व्यवस्था भिन्न होती है।

(B) $ (b) $ रेसेमिक मिश्रण दो एनैन्शियोमर्स का सममोलर मिश्रण होता है,जो एक-दूसरे के गैर-अध्यारोपित दर्पण प्रतिबिंब होते हैं।
चूंकि एक एनैन्शियोमर द्वारा उत्पन्न घूर्णन दूसरे द्वारा निरस्त हो जाता है,इसलिए परिणामी मिश्रण प्रकाशिक रूप से निष्क्रिय होता है।

(C) ज्यामितीय समावयवता प्रदर्शित करने के लिए,द्वि-आबंध के प्रत्येक कार्बन परमाणु से दो अलग-अलग समूह जुड़े होने चाहिए।
$1, 1-$डाइक्लोरो$-1-$पेंटीन $(Cl_2C=CH-CH_2-CH_2-CH_3)$ में,द्वि-आबंध के पहले कार्बन परमाणु से दो समान क्लोरीन परमाणु जुड़े हुए हैं।
इसलिए,यह ज्यामितीय समावयवता प्रदर्शित नहीं कर सकता है।

(A) एसिटिलीन $(HC \equiv CH)$ एक टर्मिनल एल्काइन है जिसमें अम्लीय हाइड्रोजन परमाणु होते हैं।
$1$. यह एसिटिलाइड बनाने के लिए $NaNH_2$ जैसे मजबूत क्षार या $Na$ जैसी धातुओं के साथ अभिक्रिया करता है।
$2$. यह सिल्वर एसिटिलाइड का सफेद अवक्षेप बनाने के लिए अमोनिकल $AgNO_3$ (टोलेंस अभिकर्मक) के साथ अभिक्रिया करता है।
$3$. यह इलेक्ट्रोफिलिक योग द्वारा $HCl$ के साथ अभिक्रिया करके विनाइल क्लोराइड बनाता है।
$4$. $NaOH$ एक मजबूत क्षार है लेकिन यह सामान्य परिस्थितियों में एसिटिलीन से प्रोटॉन हटाने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं है और यह एल्काइन के साथ योग अभिक्रिया नहीं करता है। इसलिए,यह एसिटिलीन के साथ अभिक्रिया नहीं करता है।

(C) एसिटिलीन $(HC \equiv CH)$ हाइपोक्लोरस अम्ल $(HOCl)$ के साथ दो-चरणीय योगात्मक अभिक्रिया करता है।
सबसे पहले,$HOCl$ त्रि-आबंध पर जुड़कर एक मध्यवर्ती बनाता है।
अतिरिक्त $HOCl$ के साथ अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$HC \equiv CH + 2 \, HOCl \to [CHCl_2 - CH(OH)_2]$.
यह जेम-डायोल मध्यवर्ती अस्थिर होता है और निर्जलीकरण ($H_2O$ का निष्कासन) के माध्यम से $Cl_2CH - CHO$ बनाता है,जिसे डाइक्लोरोएसीटैल्डिहाइड कहा जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ का मान प्रयुक्त इकाइयों पर निर्भर करता है।
जब दाब $atm$ में और आयतन $L$ में हो,तो $R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$ होता है।
$SI$ इकाइयों में,जहाँ दाब $Pa$ $(N/m^2)$ में और आयतन $m^3$ में हो,तो $R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$ होता है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही मान $L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$ में दर्शाता है।

(D) गर्म क्षारीय $KMnO_4$ के साथ एल्कीन का तीव्र ऑक्सीकरण $C=C$ द्वि-आबंध के विदलन (cleavage) की ओर ले जाता है।
एल्कीन $(CH_3)_2C = CH - CH_2CH_2CH_3$ ($2$-मिथाइलहेक्स$-2-$ईन) के लिए,विदलन द्वि-आबंध पर होता है:
$1$. $(CH_3)_2C=$ भाग एसीटोन,$(CH_3)_2C=O$ में ऑक्सीकृत हो जाता है।
$2$. $=CH-CH_2CH_2CH_3$ भाग कार्बोक्सिलिक एसिड,$CH_3CH_2CH_2COOH$ (ब्यूटेनोइक एसिड) में ऑक्सीकृत हो जाता है।
दिए गए विकल्पों में,विकल्प $D$ एसीटोन और प्रोपेनोइक एसिड का निर्माण दर्शाता है,जो संरचनात्मक रूप से निकटतम विकल्प है।

(B) दी गई संरचना $2$-एसीटॉक्सीबेंजोइक एसिड है,जिसे आमतौर पर एस्पिरिन के रूप में जाना जाता है।
इसका उपयोग व्यापक रूप से दर्दनाशक (analgesic) और सूजन-रोधी (anti-inflammatory) एजेंट के रूप में किया जाता है।
हालाँकि,मानक रसायन विज्ञान पाठ्यक्रम के संदर्भ में,एस्पिरिन को मुख्य रूप से इसके दर्दनाशक और ज्वरनाशक गुणों के लिए पहचाना जाता है।

(B) दी गई संरचना $2$-एसीटॉक्सीबेन्ज़ोइक एसिड है,जिसे आमतौर पर एस्पिरिन के रूप में जाना जाता है।
यह एक पीड़ाहारी (Analgesic) और ज्वरनाशक (Antipyretic) के रूप में कार्य करता है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) दिए गए पद $A.P.$ में हैं।
अतः $2 \log_9(3^{1-x} + 2) = \log_3(4 \cdot 3^x - 1) + 1$
$2 \log_{3^2}(3^{1-x} + 2) = \log_3(4 \cdot 3^x - 1) + \log_3 3$
$\log_3(3^{1-x} + 2) = \log_3(3(4 \cdot 3^x - 1))$
$3^{1-x} + 2 = 12 \cdot 3^x - 3$
माना $y = 3^x$,तब $\frac{3}{y} + 2 = 12y - 3$
$12y^2 - 5y - 3 = 0$
$(4y - 3)(3y + 1) = 0$
$y = 3^x = \frac{3}{4}$ (चूंकि $y > 0$)
$x = \log_3(\frac{3}{4}) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$.

(A) माना ${x^2} + ax + b = 0$ के मूल ${\alpha _1}, {\beta _1}$ हैं। मूलों का अंतर $|{\alpha _1} - {\beta _1}| = \sqrt{a^2 - 4b}$ है।
माना ${x^2} + bx + a = 0$ के मूल ${\alpha _2}, {\beta _2}$ हैं। मूलों का अंतर $|{\alpha _2} - {\beta _2}| = \sqrt{b^2 - 4a}$ है।
दिया गया है कि अंतर समान है,इसलिए $\sqrt{a^2 - 4b} = \sqrt{b^2 - 4a}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 - 4b = b^2 - 4a$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a - b)(a + b) + 4(a - b) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \ne b$,इसलिए $(a - b)$ से विभाजित करने पर $a + b + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $a + b + c = 0$,जिसे हम $a + b = -c$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a + b|^2 = |-c|^2$ प्राप्त होता है।
$|x|^2 = x \cdot x$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है,समीकरण $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$ बन जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 60^\circ$।

(A) माना $\alpha_1, \beta_1$ समीकरण $x^2 + ax + b = 0$ के मूल हैं। मूलों का अंतर $|\alpha_1 - \beta_1| = \sqrt{a^2 - 4b}$ है।
माना $\alpha_2, \beta_2$ समीकरण $x^2 + bx + a = 0$ के मूल हैं। मूलों का अंतर $|\alpha_2 - \beta_2| = \sqrt{b^2 - 4a}$ है।
दिया गया है कि अंतर समान है,इसलिए $\sqrt{a^2 - 4b} = \sqrt{b^2 - 4a}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 - 4b = b^2 - 4a$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2 - b^2 = 4b - 4a$।
$(a - b)(a + b) = -4(a - b)$।
चूंकि $a \neq b$,हम $(a - b)$ से विभाजित कर सकते हैं,जिससे $a + b = -4$ या $a + b + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ और $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$,अतः $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार,$\alpha + \beta = 5$ और $\alpha\beta = 3$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
मूलों का योग $= \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$ है।
मूलों का गुणनफल $= \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$ है।
अभीष्ट समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
$x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$ है।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - 19x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) ज्यामितीय समावयवता उन एल्कीन द्वारा प्रदर्शित की जाती है जिनमें द्वि-आबंध के प्रत्येक कार्बन परमाणु दो अलग-अलग समूहों से जुड़े होते हैं।
$1, 1-\text{डाइक्लोरो}-1-\text{पेंटीन}$ $(CH_2=C(Cl)-CH_2-CH_2-CH_3)$ में,पहला कार्बन परमाणु दो समान हाइड्रोजन परमाणुओं से जुड़ा होता है।
चूंकि पहले कार्बन पर दोनों समूह समान हैं,इसलिए यह ज्यामितीय समावयवता प्रदर्शित नहीं कर सकता है।
अन्य विकल्पों में,द्वि-आबंध के दोनों कार्बन परमाणु दो अलग-अलग समूहों से जुड़े होते हैं,जो ज्यामितीय समावयवता की अनुमति देते हैं।

(C) $K_p$ और $K_c$ के बीच संबंध सूत्र $K_p = K_c(RT)^{\Delta n_g}$ द्वारा दिया जाता है।
अभिक्रिया $CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightleftharpoons CO_{2(g)}$ के लिए,गैसीय उत्पादों और अभिकारकों के मोलों की संख्या में परिवर्तन $\Delta n_g = n_p - n_r = 1 - (1 + 0.5) = 1 - 1.5 = -0.5$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $K_p = K_c(RT)^{-0.5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{K_p}{K_c} = (RT)^{-0.5} = \frac{1}{(RT)^{0.5}} = \frac{1}{\sqrt{RT}}$।

(B) अभिक्रिया के स्वतःप्रवर्तित होने के लिए,गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$ ऋणात्मक होना चाहिए $(\Delta G < 0)$।
दिया गया है कि अभिक्रिया ऊष्माशोषी है,अतः $\Delta H > 0$ (धनात्मक)।
जल के हिमांक पर $(T = 273 \ K)$,अभिक्रिया अस्वतःप्रवर्तित है,जिसका अर्थ है $\Delta G > 0$,इसलिए $\Delta H > T\Delta S$।
जल के क्वथनांक पर $(T = 373 \ K)$,अभिक्रिया संभव हो जाती है,जिसका अर्थ है $\Delta G < 0$,इसलिए $\Delta H < T\Delta S$।
चूंकि $\Delta H$ धनात्मक है,इसलिए जैसे-जैसे $T$ बढ़ता है,$\Delta G$ को ऋणात्मक होने के लिए $\Delta S$ का भी धनात्मक होना आवश्यक है। अतः,$\Delta H$ और $\Delta S$ दोनों धनात्मक हैं।

(C) $1$. प्रत्येक तत्व के मोलों की सापेक्ष संख्या ज्ञात करने के लिए भार अनुपात को उनके परमाणु भार से विभाजित करें:
$C = 9/12 = 0.75$,$H = 1/1 = 1$,$N = 3.5/14 = 0.25$.
$2$. सबसे छोटी संख्या $(0.25)$ से विभाजित करके सरल मोलर अनुपात प्राप्त करें:
$C = 0.75/0.25 = 3$,$H = 1/0.25 = 4$,$N = 0.25/0.25 = 1$.
$3$. मूलानुपाती सूत्र $C_3H_4N$ है।
$4$. मूलानुपाती सूत्र भार: $(3 \times 12) + (4 \times 1) + (1 \times 14) = 36 + 4 + 14 = 54$.
$5$. $n$ का मान ज्ञात करें: $n = \text{आणविक भार} / \text{मूलानुपाती सूत्र भार} = 108 / 54 = 2$.
$6$. आणविक सूत्र $n \times (C_3H_4N) = 2 \times (C_3H_4N) = C_6H_8N_2$ है।

(C) दो गैसों के मिश्रण के लिए रुद्धोष्म घातांक (adiabatic exponent) $\gamma_m$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{n_1 + n_2}{\gamma_m - 1} = \frac{n_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{n_2}{\gamma_2 - 1}$
यहाँ $n_1 = 1, \gamma_1 = 7/5$ और $n_2 = 1, \gamma_2 = 5/3$ दिया गया है:
$\frac{1 + 1}{\gamma_m - 1} = \frac{1}{(7/5) - 1} + \frac{1}{(5/3) - 1}$
$\frac{2}{\gamma_m - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{2/3}$
$\frac{2}{\gamma_m - 1} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\gamma_m - 1 = \frac{2}{4} = 0.5$
$\gamma_m = 1 + 0.5 = 1.5 = 3/2$

(A) एनोड वह इलेक्ट्रोड है जहाँ ऑक्सीकरण होता है। ऑक्सीकरण में इलेक्ट्रॉनों का त्याग होता है।
विकल्प $A$ में,अभिक्रिया $2Cr^{3+} + 7H_2O \rightarrow Cr_2O_7^{2-} + 14H^{+} + 6e^{-}$ है। यहाँ,$Cr$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ से बढ़कर $+6$ हो जाती है और इलेक्ट्रॉन मुक्त होते हैं,जो ऑक्सीकरण प्रक्रिया को दर्शाता है।
विकल्प $B$ में,$F_2$ इलेक्ट्रॉन ग्रहण करके $F^{-}$ बनाता है,जो एक अपचयन (रिडक्शन) प्रक्रिया है।
विकल्प $C$ में,$O_2$ इलेक्ट्रॉन ग्रहण करके $H_2O$ बनाता है,जो भी एक अपचयन प्रक्रिया है।
अतः,विकल्प $A$ में दी गई अभिक्रिया ही ऑक्सीकरण को दर्शाती है और एनोड पर संभव है।

(D) $1$. धातु $M$ जल में घुलनशील सल्फेट $MSO_4$ बनाती है। क्षारीय मृदा धातुओं में,$BeSO_4$ और $MgSO_4$ जल में घुलनशील हैं।
$2$. ऑक्साइड $MO$ गर्म करने पर निष्क्रिय हो जाता है। $BeO$ को उच्च ताप पर गर्म करने पर वह निष्क्रिय हो जाता है।
$3$. हाइड्रॉक्साइड $M(OH)_2$ जल में अघुलनशील है लेकिन $NaOH$ में घुलनशील है। $Be(OH)_2$ उभयधर्मी (amphoteric) प्रकृति का होता है,इसलिए यह $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करता है।
$4$. अतः,धातु $M$ $Be$ (बेरिलियम) है।

(B) दिया गया है: प्राथमिक कुंडली में धारा $i_{p} = 4 \, A$,प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या $N_{p} = 140$,और द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या $N_{s} = 280$ है।
एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,धारा और फेरों की संख्या के बीच संबंध का सूत्र है:
$\frac{i_{p}}{i_{s}} = \frac{N_{s}}{N_{p}}$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{4}{i_{s}} = \frac{280}{140}$
$\frac{4}{i_{s}} = 2$
$i_{s} = \frac{4}{2} = 2 \, A$
अतः,द्वितीयक कुंडली में धारा $2 \, A$ है।

(B) मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$2r$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं $A$ और $B$ पर रखे गए हैं। आवेश $q$ को मध्य बिंदु $O$ पर रखा गया है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
बिंदु $A$ पर आवेश $Q$ पर लगने वाले बल पर विचार करें:
$O$ पर आवेश $q$ के कारण बल $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2}$ (आकर्षक,$O$ की ओर) है।
$B$ पर आवेश $Q$ के कारण बल $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(2r)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{4r^2}$ (प्रतिकर्षी,$B$ से दूर) है।
संतुलन के लिए,$F_1 + F_2 = 0$,इसलिए $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{4r^2} = 0$ है।
$q$ के लिए हल करने पर: $\frac{Qq}{r^2} = -\frac{Q^2}{4r^2} \Rightarrow q = -\frac{Q}{4}$।

(B) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,फेरों की संख्या $(N)$ और धारा $(I)$ के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\frac{N_1}{N_2} = \frac{I_2}{I_1}$.
दिया गया है:
प्राथमिक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_1 = 140$.
द्वितीयक कुंडली में फेरों की संख्या,$N_2 = 280$.
प्राथमिक कुंडली में धारा,$I_1 = 4 \, A$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{140}{280} = \frac{I_2}{4}$.
$\frac{1}{2} = \frac{I_2}{4}$.
$I_2 = \frac{4}{2} = 2 \, A$.
अतः,द्वितीयक कुंडली में धारा $2 \, A$ है।

(A) लैंथेनॉइड श्रेणी में,जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक $La$ $(Z=57)$ से $Lu$ $(Z=71)$ तक बढ़ता है,लैंथेनॉइड संकुचन के कारण $M^{+3}$ आयनों की आयनिक त्रिज्या घटती जाती है।
इसका कारण यह है कि $4f$ इलेक्ट्रॉन खराब परिरक्षण (shielding) प्रदान करते हैं,जिससे प्रभावी नाभिकीय आवेश बढ़ जाता है और इलेक्ट्रॉन नाभिक के करीब खिंच जाते हैं।
परमाणु क्रमांक का क्रम $La$ $(57)$ < $Ce$ $(58)$ < $Pm$ $(61)$ < $Yb$ $(70)$ है।
अतः,आयनिक त्रिज्या का क्रम $La^{+3} > Ce^{+3} > Pm^{+3} > Yb^{+3}$ है।
बढ़ते क्रम में,यह $Yb^{+3} < Pm^{+3} < Ce^{+3} < La^{+3}$ होगा।

(D) गतिमान चालक में प्रेरित $emf$ $(e)$ को गतिज $emf$ सूत्र $e = Blv$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले चालक की लंबाई है।
इस मामले में,लूप की केवल वह भुजा जो चुंबकीय क्षेत्र के अंदर है और वेग सदिश के लंबवत है,प्रेरित $emf$ में योगदान देती है।
लूप की भुजा की लंबाई $L$ है। जैसे ही लूप $v$ वेग से गति करता है,$L$ लंबाई वाली भुजा चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं को काटती है।
इसलिए,प्रेरित $emf$ $e = B L v$ होगा।
प्रेरित $emf$ का परिमाण $vBL$ है।

(B) जब $n$ संधारित्र, जिनमें प्रत्येक की धारिता $C$ है, को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं के योग के बराबर होती है:
$C_{eq} = C + C + ... + C \text{ (} n \text{ बार)} = nC$
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$C_{eq}$ का मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} (nC) V^2 = \frac{1}{2} nCV^2$

(B) द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$m$ द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति है।
जब पानी को ठंडा करके बर्फ बनाई जाती है,तो यह परिवेश में गुप्त ऊष्मा छोड़ता है,जिसका अर्थ है कि निकाय ऊर्जा खो देता है ($E$ घटता है)।
चूंकि निकाय की कुल ऊर्जा कम हो जाती है,इसलिए समीकरण $m = E/c^2$ को संतुष्ट करने के लिए निकाय का द्रव्यमान भी कम होना चाहिए।
अतः,जब पानी बर्फ में बदलता है तो उसका द्रव्यमान घट जाता है।

(B) वर्ग समतलीय ज्यामिति $dsp^2$ संकरण के अनुरूप होती है।
इसमें एक $s$ कक्षक,दो $p$ कक्षक (विशेष रूप से $p_x$ और $p_y$) और एक $d$ कक्षक (विशेष रूप से $d_{x^2-y^2}$) का मिश्रण शामिल होता है,जो एक वर्ग के कोनों की ओर निर्देशित चार समान संकर कक्षक बनाते हैं।
इसलिए,कक्षकों का सही सेट $s, p_x, p_y, d_{x^2-y^2}$ है।

(A) आयनिक आकार आवेश और कोश की संख्या पर निर्भर करता है।
$Sn^{4+}$ का विन्यास $[Kr] 4d^{10}$ है,जो एक छद्म-अक्रिय गैस विन्यास है,और यह $5$ वें आवर्त में स्थित है,जिससे यह लैंथेनाइड आयनों से बड़ा होता है।
$Ce^{4+}$ $(Z=58)$ एक लैंथेनाइड आयन है जिसका विन्यास $4f^0$ है।
$Yb^{3+}$ $(Z=70)$ और $Lu^{3+}$ $(Z=71)$ लैंथेनाइड आयन हैं।
लैंथेनाइड संकुचन के कारण,$Ce$ से $Lu$ तक परमाणु क्रमांक बढ़ने के साथ आयनिक आकार घटता है।
अतः,सही क्रम $Sn^{4+} > Ce^{4+} > Yb^{3+} > Lu^{3+}$ है।

(C) एल्युमीनियम के निष्कर्षण के लिए हॉल-हेरोल्ट प्रक्रिया में,शुद्ध एल्युमिना $(Al_2O_3)$ को पिघले हुए क्रायोलाइट $(Na_3AlF_6)$ में घोला जाता है।
इस मिश्रण का उपयोग विद्युत अपघट्य के रूप में किया जाता है क्योंकि यह मिश्रण के गलनांक को कम करता है और इसकी विद्युत चालकता को बढ़ाता है।

(A) नाइट्रोजन $(N)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1s^2 2s^2 2p^3$ है। इसकी संयोजकता कोश में रिक्त $d$-कक्षक नहीं होते हैं,इसलिए यह $NCl_5$ बनाने के लिए अपने अष्टक का विस्तार नहीं कर सकता है।
फास्फोरस $(P)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3s^2 3p^3 3d^0$ है। रिक्त $3d$-कक्षकों की उपस्थिति के कारण,फास्फोरस अपने अष्टक का विस्तार कर सकता है और $3s$ कक्षक से $3d$ कक्षक में इलेक्ट्रॉन को उत्तेजित करके $PCl_5$ बना सकता है।
अतः,सही कारण $P$ में रिक्त $d$-कक्षकों की उपलब्धता है,जो $N$ में नहीं होती है।

(D) केंद्रीय परमाणु $Xe$ के पास $8$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
$XeF_2$ के लिए: $Xe$,$F$ परमाणुओं के साथ $2$ बंध बनाता है,जिसमें $2$ इलेक्ट्रॉन उपयोग होते हैं। शेष इलेक्ट्रॉन = $8 - 2 = 6$। एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या = $6 / 2 = 3$।
$XeF_4$ के लिए: $Xe$,$F$ परमाणुओं के साथ $4$ बंध बनाता है,जिसमें $4$ इलेक्ट्रॉन उपयोग होते हैं। शेष इलेक्ट्रॉन = $8 - 4 = 4$। एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या = $4 / 2 = 2$।
$XeF_6$ के लिए: $Xe$,$F$ परमाणुओं के साथ $6$ बंध बनाता है,जिसमें $6$ इलेक्ट्रॉन उपयोग होते हैं। शेष इलेक्ट्रॉन = $8 - 6 = 2$। एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या = $2 / 2 = 1$।
अतः,$XeF_2, XeF_4, XeF_6$ में $Xe$ पर एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों की संख्या क्रमशः $3, 2, 1$ है।

(D) समूह $III$ के विश्लेषण में,$Fe^{3+}$ और $Cr^{3+}$ को $NH_4Cl$ की उपस्थिति में $NH_4OH$ का उपयोग करके हाइड्रॉक्साइड के रूप में अवक्षेपित किया जाता है।
$NH_4Cl$ आयन $NH_4^+$ प्रदान करते हैं,जो सामान्य आयन प्रभाव के कारण $NH_4OH$ के वियोजन को दबा देते हैं,जिससे $OH^-$ आयनों की सांद्रता कम हो जाती है।
यह सुनिश्चित करता है कि केवल समूह $III$ के धनायनों ($Fe^{3+}$,$Al^{3+}$,$Cr^{3+}$) के हाइड्रॉक्साइड ही अवक्षेपित हों।
$Fe(OH)_3$ लाल-भूरे रंग का अवक्षेप बनाता है,जबकि $Cr(OH)_3$ हरे रंग का अवक्षेप बनाता है,जिससे उन्हें अलग करना संभव होता है।

(C) जिन सांद्रता पदों में आयतन शामिल होता है,वे तापमान पर निर्भर करते हैं क्योंकि तापमान के साथ आयतन बदलता है। $Molarity$ $(M)$ को प्रति लीटर विलयन में विलेय के मोलों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। चूंकि विलयन का आयतन तापमान के साथ बदलता है,इसलिए $Molarity$ भी बदल जाती है। $Molality$,$Weight \ fraction$ और $Mole \ fraction$ जैसे अन्य पद द्रव्यमान पर आधारित होते हैं,जो तापमान परिवर्तन के साथ स्थिर रहते हैं।

(D) राउल्ट के नियम से ऋणात्मक विचलन दर्शाने वाले विलयन के लिए:
$1$. $A$ और $B$ के बीच के अंतर-आणविक आकर्षण बल $A-A$ और $B-B$ के बीच के बलों से अधिक प्रबल होते हैं ($A-B > A-A$ और $B-B$).
$2$. मिश्रण की एन्थैल्पी में परिवर्तन ऋणात्मक होता है,$\Delta H_{mix} < 0$.
$3$. मिश्रण के आयतन में परिवर्तन ऋणात्मक होता है,$\Delta V_{mix} < 0$.
अतः,सही स्थिति यह है कि $A-B$ अन्योन्यक्रिया $A-A$ और $B-B$ अन्योन्यक्रिया से प्रबल होती है।

(B) हिमांक में अवनमन $\Delta T_f = T_f^{\circ} - T_f = 0 - (-0.186) = 0.186 \ ^{\circ}C$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta T_f = K_f \times m$ सूत्र का उपयोग करते हुए,हमारे पास $0.186 = 1.86 \times m$ है।
अतः,मोललता $m = \frac{0.186}{1.86} = 0.1 \ mol \ kg^{-1}$ है।
अब,$\Delta T_b = K_b \times m$ का उपयोग करके क्वथनांक में उन्नयन की गणना करें।
$\Delta T_b = 0.521 \times 0.1 = 0.0521 \ K$.

(D) $BCC$ (बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल में कोनों पर $8$ परमाणु और केंद्र में $1$ परमाणु होता है।
$BCC$ में परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $(8 \times \frac{1}{8}) + 1 = 1 + 1 = 2$.
अतः,$Na$ के इकाई सेल में $2$ परमाणु होते हैं।
$FCC$ (फेस-सेंटर्ड क्यूबिक) इकाई सेल में कोनों पर $8$ परमाणु और $6$ फलकों (faces) में से प्रत्येक पर $1$ परमाणु होता है।
प्रत्येक फलक-केंद्रित परमाणु $2$ इकाई सेल द्वारा साझा किया जाता है।
$FCC$ में परमाणुओं की संख्या $(n)$ = $(8 \times \frac{1}{8}) + (6 \times \frac{1}{2}) = 1 + 3 = 4$.
अतः,$Mg$ के इकाई सेल में $4$ परमाणु होते हैं।
इसलिए,$Na$ और $Mg$ के लिए परमाणुओं की संख्या क्रमशः $2$ और $4$ है।

(C) $\beta$-क्षय में,नाभिक में एक न्यूट्रॉन एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन ($\beta$-कण) में परिवर्तित हो जाता है,साथ ही एक एंटीन्यूट्रिनो भी निकलता है। इस प्रक्रिया को $^1_0n \rightarrow ^1_1p + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e$ के रूप में दर्शाया जाता है। अतः,$\beta$-कण का उत्सर्जन न्यूट्रॉन के प्रोटॉन में रूपांतरण के कारण होता है।

(A) दर नियम व्यंजक $R = k[A]^1[B]^2$ के रूप में दिया गया है।
अभिक्रिया की कोटि दर नियम व्यंजक में सांद्रता पदों की घातों का योग होती है।
अतः,अभिक्रिया की कोटि $= 1 + 2 = 3$ है।

(A) $n$ कोटि की अभिक्रिया के लिए वेग स्थिरांक की सामान्य इकाई $(mol \, L^{-1})^{1-n} \, sec^{-1}$ होती है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया $(n = 1)$ के लिए,इकाई $sec^{-1}$ है।
शून्य कोटि की अभिक्रिया $(n = 0)$ के लिए,इकाई $mol \, L^{-1} \, sec^{-1}$ है,जो $M \, sec^{-1}$ के बराबर है क्योंकि $M = mol \, L^{-1}$।
अतः,इकाइयाँ क्रमशः $sec^{-1}$ और $M \, sec^{-1}$ हैं।

(A) सामान्य अभिक्रिया $aA + bB \rightarrow cC + dD$ के लिए,अभिक्रिया की दर इस प्रकार दी जाती है:
दर $= -\frac{1}{a} \frac{\Delta [A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b} \frac{\Delta [B]}{\Delta t} = \frac{1}{c} \frac{\Delta [C]}{\Delta t} = \frac{1}{d} \frac{\Delta [D]}{\Delta t}$.
अभिक्रिया $H_{2(g)} + I_{2(g)} \rightleftharpoons 2HI_{(g)}$ के लिए,रससमीकरणमितीय गुणांक क्रमशः $1, 1, 2$ हैं।
अतः,अभिक्रिया की दर को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
दर $= -\frac{\Delta [H_2]}{\Delta t} = -\frac{\Delta [I_2]}{\Delta t} = \frac{1}{2} \frac{\Delta [HI]}{\Delta t}$.

(A) एक सामान्य अभिक्रिया $aA + bB \to cC + dD$ के लिए,अभिक्रिया का वेग इस प्रकार दिया जाता है:
$Rate = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = +\frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = +\frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$.
अभिक्रिया $H_2 + I_2 \to 2HI$ के लिए,रससमीकरणमितीय गुणांक $H_2$ के लिए $1$,$I_2$ के लिए $1$ और $HI$ के लिए $2$ हैं।
अतः,अभिक्रिया का वेग है:
$Rate = -\frac{d[H_2]}{dt} = -\frac{d[I_2]}{dt} = +\frac{1}{2}\frac{d[HI]}{dt}$.

(A) दिया गया समीकरण $Rt = \log C_0 - \log C_t$ है।
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $\log C_t = -Rt + \log C_0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$y = \log C_t$,$x = t$,$m = -R$ (ढाल),और $c = \log C_0$ (अंतःखंड) है।
अतः,$\log C_t$ बनाम $time$ का ग्राफ खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) धातुओं के विद्युत अपघटनी शोधन की प्रक्रिया में,अशुद्ध धातु को हमेशा एनोड बनाया जाता है और शुद्ध धातु की एक पतली पट्टी को कैथोड बनाया जाता है।
इसलिए,तांबे के शुद्धिकरण के लिए,शुद्ध तांबे की पट्टी कैथोड के रूप में और अशुद्ध तांबे का नमूना एनोड के रूप में कार्य करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया संबंध $K \propto \frac{A \times C}{l}$ है,जहाँ $K$ आनुपातिकता स्थिरांक है।
अतः,$K = \frac{K_{cond} \times l}{A \times C}$,जहाँ $K_{cond}$ चालकता $(S)$,$l$ लंबाई $(m)$,$A$ क्षेत्रफल $(m^2)$ और $C$ सांद्रता $(mol \, m^{-3})$ है।
इकाइयों को प्रतिस्थापित करने पर: $K \text{ की इकाई} = \frac{S \times m}{m^2 \times (mol \, m^{-3})} = \frac{S \times m}{mol \times m^{-1}} = S \, m^2 \, mol^{-1}$.

(B) एनोडिक अभिक्रिया: $H_2(P_1) \to 2H^{+} + 2e^-$
कैथोडिक अभिक्रिया: $2H^{+} + 2e^- \to H_2(P_2)$
कुल सेल अभिक्रिया: $H_2(P_1) \to H_2(P_2)$
नेर्न्स्ट समीकरण का उपयोग करते हुए: $E_{cell} = E^0_{cell} - \frac{RT}{nF} \ln Q$
यहाँ,$n = 2$ और सांद्रता सेल के लिए $E^0_{cell} = 0$ है।
$E_{cell} = 0 - \frac{RT}{2F} \ln \frac{P_2}{P_1} = \frac{RT}{2F} \ln \frac{P_1}{P_2}$
प्राकृतिक लॉग को $10$ के आधार में बदलने पर: $E_{cell} = \frac{2.303 RT}{2F} \log \frac{P_1}{P_2}$
आनुपातिकता को ध्यान में रखते हुए,यह व्यंजक विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) सेल का $EMF$ कैथोड (दायां इलेक्ट्रोड) के अपचयन विभव और एनोड (बायां इलेक्ट्रोड) के अपचयन विभव के अंतर के रूप में गणना की जाती है।
गणितीय रूप से, $E_{cell} = E_{cathode} - E_{anode}$।
चूंकि कैथोड दाईं ओर और एनोड बाईं ओर होता है, इसलिए सूत्र $E = E_{right} - E_{left}$ है।

(C) फिटकरी $(K_2SO_4 \cdot Al_2(SO_4)_3 \cdot 24H_2O)$ पानी में वियोजित होकर $Al^{3+}$ आयन प्रदान करती है।
ये $Al^{3+}$ आयन ऋणात्मक रूप से आवेशित कोलाइडल मिट्टी के कणों के आवेश को उदासीन कर देते हैं।
इस प्रक्रिया को स्कंदन (coagulation) कहा जाता है,जिसके कारण मिट्टी के कण नीचे बैठ जाते हैं और पानी शुद्ध हो जाता है।

(B) सायनाइड प्रक्रिया,जिसे मैक-आर्थर फॉरेस्ट प्रक्रिया के रूप में भी जाना जाता है,का उपयोग मुख्य रूप से $Ag$ (चांदी) और $Au$ (सोना) जैसी उत्कृष्ट धातुओं को उनके अयस्कों से निकालने के लिए किया जाता है।
इस प्रक्रिया में,कुचले हुए अयस्क को हवा ($O_2$ के स्रोत के रूप में) की उपस्थिति में $NaCN$ या $KCN$ के तनु घोल के साथ उपचारित किया जाता है,जो धातु को साइनो-कॉम्प्लेक्स के रूप में घोल देता है।
चांदी $(Ag)$ के लिए: $4Ag(s) + 8CN^-(aq) + 2H_2O(aq) + O_2(g) \rightarrow 4[Ag(CN)_2]^-(aq) + 4OH^-(aq)$.
इसके बाद धातु को $Zn$ जैसी अधिक इलेक्ट्रोपॉजिटिव धातु के साथ विस्थापन द्वारा कॉम्प्लेक्स से पुनः प्राप्त किया जाता है।

(C) सीरियम ($Ce$,परमाणु क्रमांक $58$) एक लैंथेनॉइड तत्व है।
इसका इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Xe] 4f^1 5d^1 6s^2$ है।
यह सामान्यतः $+3$ ऑक्सीकरण अवस्था प्रदर्शित करता है,जो लैंथेनॉइड्स की विशिष्ट ऑक्सीकरण अवस्था है।
यह $+4$ ऑक्सीकरण अवस्था भी प्रदर्शित करता है क्योंकि $+4$ अवस्था में,यह एक स्थिर उत्कृष्ट गैस विन्यास $([Xe])$ प्राप्त कर लेता है।
अतः,$Ce$ की सबसे सामान्य ऑक्सीकरण अवस्थाएँ $+3$ और $+4$ हैं।

(C) चुंबकीय आघूर्ण $\mu$ की गणना सूत्र $\mu = \sqrt{n(n + 2)} \text{ BM}$ द्वारा की जाती है,जहाँ $n$ अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या है।
$Ti^{3+}$ $(Z=22)$: $3d^1$,$n = 1$.
$Sc^{3+}$ $(Z=21)$: $3d^0$,$n = 0$.
$Mn^{2+}$ $(Z=25)$: $3d^5$,$n = 5$.
$Zn^{2+}$ $(Z=30)$: $3d^{10}$,$n = 0$.
चूंकि $Mn^{2+}$ में अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या सबसे अधिक $(n = 5)$ है,इसलिए इसका चुंबकीय आघूर्ण सबसे अधिक है।

(A) लैंथेनॉइड श्रेणी में,जैसे-जैसे परमाणु क्रमांक $La$ $(Z=57)$ से $Lu$ $(Z=71)$ तक बढ़ता है,लैंथेनॉइड संकुचन (lanthanoid contraction) की घटना के कारण त्रिसंयोजक आयनों $(Ln^{+3})$ की आयनिक त्रिज्या में लगातार कमी आती है।
यह संकुचन इसलिए होता है क्योंकि $4f$ इलेक्ट्रॉन बढ़ते परमाणु आवेश के लिए खराब परिरक्षण (shielding) प्रदान करते हैं।
इसलिए,दिए गए आयनों के लिए आयनिक त्रिज्या का क्रम $La^{+3} > Ce^{+3} > Pm^{+3} > Yb^{+3}$ है।
बढ़ते क्रम में,यह $Yb^{+3} < Pm^{+3} < Ce^{+3} < La^{+3}$ होगा।

(B) एम्बीडेंटेट लिगेंड युक्त उपसहसंयोजन यौगिकों में बंधन समावयवता देखी जाती है।
पेंटाएमीन नाइट्रो क्रोमियम$(III)$ क्लोराइड में,$NO_2^-$ लिगेंड एक एम्बीडेंटेट लिगेंड है जो नाइट्रोजन परमाणु (नाइट्रो,$-NO_2$) या ऑक्सीजन परमाणु (नाइट्राइटो,$-ONO$) के माध्यम से जुड़ सकता है।
इसलिए,यह संकुल बंधन समावयवता प्रदर्शित करता है,जिससे $[Cr(NH_3)_5(NO_2)]Cl_2$ और $[Cr(NH_3)_5(ONO)]Cl_2$ जैसे समावयवी बनते हैं।

(D) समन्वय यौगिकों (coordination compounds) की स्थिरता लिगेंड की प्रकृति पर निर्भर करती है।
$CN^-$ एक प्रबल क्षेत्र लिगेंड और एक मजबूत लुईस बेस है,जो मजबूत बैक-बॉन्डिंग और उच्च क्रिस्टल फील्ड स्प्लिटिंग ऊर्जा के कारण $Fe^{3+}$ आयन के साथ एक बहुत ही स्थिर संकुल बनाता है।
दिए गए विकल्पों में से,साइनाइड लिगेंड की प्रबल क्षेत्र प्रकृति के कारण $[Fe(CN)_6]^{3-}$ सबसे अधिक स्थिर संकुल है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) चरण $1$: $CH_3-CH_2-COOH$,$Fe$ की उपस्थिति में $Cl_2$ के साथ अभिक्रिया करके $\alpha$-हैलोजनीकरण (Hell-Volhard-Zelinsky अभिक्रिया) करता है,जिससे $X$ $(CH_3-CHCl-COOH)$ बनता है।
चरण $2$: $X$ $(CH_3-CHCl-COOH)$,अल्कोहलिक $KOH$ के साथ अभिक्रिया करके विहाइड्रोहैलोजनीकरण (dehydrohalogenation) करता है,जिसके परिणामस्वरूप $Y$ $(CH_2=CH-COOH)$ बनता है,जो एक्रिलिक एसिड है।
अभिक्रिया: $CH_3-CH_2-COOH$ $\xrightarrow{Cl_2/Fe} CH_3-CHCl-COOH (X)$ $\xrightarrow{\text{Alcoholic } KOH} CH_2=CH-COOH (Y)$.

(B) प्राथमिक एमाइन,क्लोरोफॉर्म और अल्कोहलिक $KOH$ के बीच की प्रतिक्रिया को कार्बिलएमाइन प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है।
रासायनिक समीकरण है: $CHCl_3 + C_2H_5NH_2 + 3KOH \to C_2H_5NC + 3KCl + 3H_2O$.
इस प्रतिक्रिया में,एथिल एमाइन $(C_2H_5NH_2)$ क्लोरोफॉर्म $(CHCl_3)$ और अल्कोहलिक पोटेशियम हाइड्रॉक्साइड $(KOH)$ के साथ प्रतिक्रिया करके एथिल आइसोसाइनाइड $(C_2H_5NC)$ बनाता है,जिसमें एक विशिष्ट दुर्गंध होती है।

(A) मोनोमर्स से पॉलीमर का निर्माण $H_2O$,$HCl$ आदि जैसे छोटे अणुओं को हटाकर मोनोमर्स के बीच संघनन अभिक्रिया द्वारा शुरू होता है।

(D) अमीनो एसिड में कार्बोक्सिलिक एसिड समूह $(-COOH)$ और अमीनो समूह $(-NH_2)$ दोनों मौजूद होते हैं।
प्रत्येक अमीनो एसिड में एक केंद्रीय अल्फा-कार्बन परमाणु होता है जो एक हाइड्रोजन परमाणु,एक $R$ समूह (साइड चेन),एक कार्बोक्सिल समूह और एक अमीनो समूह से जुड़ा होता है।
इसलिए,सही उत्तर $(d)$ है।

(B) $DNA$ में $2$-डीऑक्सीराइबोज़ शर्करा और नाइट्रोजनयुक्त क्षार थाइमिन $(T)$ होता है।
$RNA$ में थाइमिन के स्थान पर राइबोज़ शर्करा और नाइट्रोजनयुक्त क्षार यूरेसिल $(U)$ होता है।
अतः,$RNA$ राइबोज़ शर्करा और यूरेसिल की उपस्थिति के कारण भिन्न होता है।

(D) दिया गया है: अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ = $5 \, {\text{वर्ष}}$,कुल समय $(t)$ = $15 \, {\text{वर्ष}}$,प्रारंभिक मात्रा $(N_0)$ = $64 \, \text{g}$.
अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ = $\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{15}{5} = 3$.
शेष बची मात्रा $(N)$ के लिए सूत्र: $N = \frac{N_0}{2^n}$.
मान रखने पर: $N = \frac{64}{2^3} = \frac{64}{8} = 8 \, \text{g}$.
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) ठोस सतहों पर गैसों का अधिशोषण,जैसे कि उच्च दबाव पर टंगस्टन सतह पर $NH_3$ का अपघटन,शून्य-कोटि की गतिज ऊर्जा का पालन करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उत्प्रेरक की सतह गैस के अणुओं से पूरी तरह से ढक जाती है,और अभिक्रिया की दर अभिकारक की सांद्रता से स्वतंत्र हो जाती है। इसलिए,अभिक्रिया की कोटि $0$ है।

(A) एनोड वह इलेक्ट्रोड है जहाँ ऑक्सीकरण (इलेक्ट्रॉन का त्याग) होता है।
विकल्प $(A)$ में,$Cr$ की ऑक्सीकरण अवस्था $+3$ से $+6$ में परिवर्तित हो रही है,जो एक ऑक्सीकरण प्रक्रिया है।
विकल्प $(B)$ और $(C)$ अपचयन (इलेक्ट्रॉन ग्रहण करना) प्रक्रियाएं दर्शाते हैं,जो कैथोड पर होती हैं।

(B) दी गई अभिक्रिया $(CH_3)_3CBr \xrightarrow{H_2O} (CH_3)_3COH$ है।
इस अभिक्रिया में,ब्रोमीन परमाणु $(-Br)$ को हाइड्रॉक्सिल समूह $(-OH)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
चूंकि एक कार्यात्मक समूह को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है,इसलिए यह एक प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।

(B) दी गई संरचना $2$-एसीटॉक्सीबेन्जोइक एसिड है,जिसे सामान्यतः $aspirin$ के रूप में जाना जाता है।
$Aspirin$ एक प्रसिद्ध दवा है जो $analgesic$ (दर्द निवारक) और $antipyretic$ (ज्वरनाशक) के रूप में कार्य करती है।
इसमें एंटी-इंफ्लेमेटरी गुण भी होते हैं,लेकिन दिए गए विकल्पों में से,$analgesic$ इसके प्राथमिक उपयोग के लिए सबसे मानक वर्गीकरण है।