AIEEE 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે $P$ એ નાનું બળ છે અને $Q$ એ મોટું બળ છે. રકમ મુજબ:
$P + Q = 18$......$(i)$
આપેલ છે કે પરિણામી બળ $R = 12 \; N$ એ નાના બળ $P$ ને લંબ છે,તેથી $R$ અને $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
પરિણામી બળની દિશા માટેનું સૂત્ર: $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$.
અહીં $\alpha = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 90^{\circ} = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $P + Q \cos \theta = 0$,તેથી $Q \cos \theta = -P$......$(ii)$
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$R = 12$ અને $Q \cos \theta = -P$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P)$
$144 = P^2 + Q^2 - 2P^2$
$144 = Q^2 - P^2$
$144 = (Q - P)(Q + P)$
$Q + P = 18$ હોવાથી,$144 = (Q - P)(18)$,જે આપણને $Q - P = 8$ આપે છે......$(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા: $2Q = 26 \implies Q = 13 \; N$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $2P = 10 \implies P = 5 \; N$.
આમ,બળોના મૂલ્યો $5 \; N$ અને $13 \; N$ છે.

(A) ટોર્કનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ છે.
બંનેનું પારિમાણિક સૂત્ર સમાન હોવાથી,તેમના પરિમાણો સમાન છે.
તેથી,સાચી જોડી ટોર્ક અને કાર્ય છે.

(D) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 = u^2 + 2as$. કારને રોકવામાં આવતી હોવાથી,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય.
તેથી,$0 = u^2 - 2as$,જે સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ $s = \frac{u^2}{2a}$ આપે છે.
બંને કાર સમાન હોવાથી અને સમાન બ્રેકિંગ ફોર્સ હેઠળ રોકાતી હોવાથી,પ્રતિપ્રવેગ $a$ બંને માટે સમાન રહેશે.
આમ,$s \propto u^2$.
અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{s_1}{s_2} = \left( \frac{u_1}{u_2} \right)^2 = \left( \frac{u}{4u} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(C) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2gh$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $h$ એ ઇમારતની ઊંચાઈ છે.
દડા $A$ માટે જે ઉપરની તરફ ફેંકાય છે: પ્રારંભિક વેગ $u$ ઉપરની તરફ છે. તે અમુક ઊંચાઈ સુધી જશે અને પછી પાછો જમીન પર આવશે. જ્યારે તે પ્રક્ષેપણ બિંદુ પાસેથી નીચેની તરફ પસાર થશે,ત્યારે તેની ઝડપ નીચેની તરફ $u$ હશે. આમ,તે $v_A = \sqrt{u^2 + 2gh}$ ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચશે.
દડા $B$ માટે જે નીચેની તરફ ફેંકાય છે: પ્રારંભિક વેગ $u$ નીચેની તરફ છે. તે $v_B = \sqrt{u^2 + 2gh}$ ઝડપ સાથે જમીન પર પહોંચશે.
કારણ કે બંને દડા માટે $u$,$g$ અને $h$ સમાન છે,તેથી $v_A = v_B$ થાય છે.

(B) સમતલ વર્તુળાકાર વળાંક પર લપસી ન જવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$v^2 = \mu rg$
$v = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 150 \, m$
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.6$
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{0.6 \times 150 \times 10}$
$v = \sqrt{900}$
$v = 30 \, m/s$
તેથી,મહત્તમ વેગ $30 \, m/s$ છે.

(B) દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,દડાનો વેગ $v_h = v \cos \theta$ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ છે.
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(C) $1$. જમીન પર સ્થિર ઉભેલા માણસ (જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ) માટે,દડો ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ છે. તેથી,તેનો પ્રવેગ નીચેની તરફ $g$ છે.
$2$. લિફ્ટમાં રહેલા માણસ (અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ) માટે,આપણે સ્યુડો ફોર્સ (આભાસી બળ) લાગુ કરવું પડશે. લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,તેથી દડા પર ઉપરની તરફ $ma$ જેટલું સ્યુડો ફોર્સ લાગે છે.
$3$. લિફ્ટની ફ્રેમમાં દડા પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = mg - ma$ (નીચેની તરફ) છે.
$4$. લિફ્ટમાં રહેલા માણસ દ્વારા અવલોકન કરાયેલ પ્રવેગ $a_{lift} = F_{net} / m = (mg - ma) / m = g - a$ (નીચેની તરફ) છે.
$5$. આમ,પ્રવેગ અનુક્રમે $g - a$ અને $g$ છે.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $m = 60 \ kg$ છે અને દોરડું સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{max} = 360 \ N$ છે.
જ્યારે માણસ $a$ પ્રવેગ સાથે દોરડા પર ઉપર ચઢે છે,ત્યારે દોરડામાં તણાવ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ સુરક્ષિત પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે $T = T_{max} = 360 \ N$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ લઈએ છીએ.
$360 = 60(10 + a)$
$6 = 10 + a$
$a = 6 - 10 = -4 \ m \ s^{-2}$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે જો તણાવની મર્યાદા $360 \ N$ હોય તો માણસ ઉપર ચઢી શકતો નથી,કારણ કે તેનું વજન $(mg = 600 \ N)$ દોરડાની ક્ષમતા કરતા વધારે છે.
જો કે,જો માણસ નીચે ઉતરી રહ્યો હોય,તો સમીકરણ $T = m(g - a)$ છે.
$360 = 60(10 - a)$
$6 = 10 - a$
$a = 4 \ m \ s^{-2}$.
આમ,માણસ $4 \ m \ s^{-2}$ ના મહત્તમ પ્રવેગ સાથે સુરક્ષિત રીતે નીચે ઉતરી શકે છે.

(A) કણ સ્થિર રહે તે માટે,ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{F_1} = -(\vec{F_2} + \vec{F_3})$.
જેহেতু $F_2$ અને $F_3$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી પરિણામી બળ $(\vec{F_2} + \vec{F_3})$ નું મૂલ્ય $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ થાય.
આમ,$F_1$ નું મૂલ્ય $F_1 = \sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ છે.
જ્યારે $F_1$ બળ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કણ પર લાગતું બાકીનું ચોખ્ખું બળ $\vec{F_2} + \vec{F_3}$ છે.
આ ચોખ્ખા બળનું મૂલ્ય $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ છે,જે $F_1$ જેટલું જ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{F_1}{m}$ મળે છે.

(B) સ્પ્રિંગને પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1$ થી અંતિમ વિસ્તરણ $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$.
આપેલ છે:
ફોર્સ કોન્સ્ટન્ટ $k = 800\, N/m$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1 = 5\, cm = 0.05\, m$.
અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = 15\, cm = 0.15\, m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 800 \times ((0.15)^2 - (0.05)^2)$
$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$
$W = 400 \times 0.0200$
$W = 8\, J$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. $s_1 = 3 \, cm$ પ્રવેશ્યા પછી,વેગ $v_1 = u/2$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(u/2)^2 = u^2 + 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 + 6a$
$6a = -3u^2/4$
$a = -u^2/8$
હવે,બીજા ભાગ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u/2$ છે અને અંતિમ વેગ $0$ છે. ધારો કે વધારાનું અંતર $x$ છે.
$0^2 = (u/2)^2 + 2ax$
$0 = u^2/4 + 2(-u^2/8)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1 \, cm$.

(B) ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાન પદાર્થ અચળ વેગથી સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપગ્રહને વર્તુળમાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચાનક અદૃશ્ય થઈ જાય,તો ઉપગ્રહના વેગની દિશા બદલવા માટે કોઈ કેન્દ્રગામી બળ રહેશે નહીં.
તેથી,દિશાના જડત્વને કારણે,ઉપગ્રહ તે ક્ષણે તેના વેગની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે,તેથી ઉપગ્રહ મૂળ કક્ષાને સ્પર્શકની દિશામાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરશે.

(D) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 2R$ થી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 3R$ સુધી ખસેડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી હોય છે,$\Delta U = U_f - U_i$.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{3 - 2}{6R} \right) = \frac{GMm}{6R}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2gR}$ છે.
$m$ દળના પદાર્થને અનંત અંતરે ફેંકવા માટે જરૂરી ગતિઊર્જા એ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,જે નિષ્ક્રમણ વેગ પરની ગતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
ગતિઊર્જા $(K)$ = $\frac{1}{2}mv_e^2$.
$v_e$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gR})^2$.
$K = \frac{1}{2}m(2gR)$.
$K = mgR$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી પરથી પદાર્થના નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ નું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
અહીં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે નિષ્ક્રમણ વેગ ફક્ત તે ગ્રહ (અથવા અવકાશી પદાર્થ) ના દળ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે જેની સપાટી પરથી પદાર્થને ફેંકવામાં આવે છે.
તે ફેંકવામાં આવતા પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,નિષ્ક્રમણ વેગ $m^0$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા નાના છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{2gh}$
આપેલ છે:
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 20\;m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\;m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20}$
$v = \sqrt{400}$
$v = 20\;m/s$
તેથી,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $20\;m/s$ છે.

(B) $m$ દળ અને $c$ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતા પદાર્થનું તાપમાન $\Delta \theta$ જેટલું બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જા $Q$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$.
જો આપણે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta = 1^oC$ (અથવા $1\,K$) લઈએ,તો સમીકરણ $Q = m \cdot c$ બને છે.
ગુણાકાર $m \cdot c$ ને પદાર્થની ઉષ્મા ધારિતા (Thermal capacity) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,પદાર્થનું તાપમાન $1^oC$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થાને તેની ઉષ્મા ધારિતા કહેવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_{i}$ અને પ્રારંભિક તાપમાન $T_{i}$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક દબાણ $P_{i} = \frac{n R T_{i}}{V_{i}}$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ કદ $V_{f} = 2 V_{i}$ અને અંતિમ તાપમાન $T_{f} = \frac{T_{i}}{2}$ છે.
અંતિમ દબાણ $P_{f} = \frac{n R T_{f}}{V_{f}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P_{f} = \frac{n R (T_{i} / 2)}{2 V_{i}} = \frac{1}{4} \left( \frac{n R T_{i}}{V_{i}} \right)$.
તેથી,$P_{f} = \frac{1}{4} P_{i} = 0.25 P_{i}$.
આમ,દબાણ પ્રારંભિક દબાણના $0.25$ ગણું થાય છે.

(A) વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વેગ $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
ધારો કે હાઇડ્રોજનનું તાપમાન $T_H$ છે અને ઓક્સિજનનું તાપમાન $T_O$ છે. આપેલ છે કે $T_O = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \; K$.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $M_H = 2 \; g/mol$ છે અને ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_O = 32 \; g/mol$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$RMS$ વેગ સમાન છે:
$\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_H}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_H}{2} = 10$
$T_H = 20 \; K$.

(C) ગેસનું તાપમાન તેના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિને કારણે તેમની સરેરાશ ગતિ ઊર્જા સાથે સંબંધિત છે.
જ્યારે પાત્ર સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે આખું પાત્ર (અંદરના ગેસના અણુઓ સહિત) સંદર્ભના એક ફ્રેમ તરીકે ગતિ કરે છે.
ટ્રક સમાન ઝડપે ગતિ કરી રહી હોવાથી,પાત્રની સાપેક્ષમાં ગેસના અણુઓ પર કોઈ પ્રવેગ લાગતો નથી.
ગેસનું દબાણ $P$ અને કદ $V$ અચળ રહેતું હોવાથી,અને ટ્રકની સમાન ગતિને કારણે ગેસની આંતરિક ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી ગેસના અણુઓનું તાપમાન સમાન રહે છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
$100\%$ કાર્યક્ષમતા મેળવવા માટે,આપણે $\eta = 1$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 0$.
આ સ્થિતિ ત્યારે જ પૂરી થઈ શકે જો $T_2 = 0 \text{ K}$ (પરમ શૂન્ય તાપમાન) હોય.
થર્મોડાયનેમિક્સના ત્રીજા નિયમ મુજબ,મર્યાદિત સંખ્યામાં પગલાંઓમાં પરમ શૂન્ય તાપમાન સુધી પહોંચવું અશક્ય છે.
વધુમાં,જો $T_2 = 0 \text{ K}$ હોય,તો સ્ત્રોતમાંથી લેવામાં આવેલી તમામ ગરમી કાર્યમાં રૂપાંતરિત થઈ જશે,જે થર્મોડાયનેમિક્સના બીજા નિયમ (કેલ્વિન-પ્લાન્ક વિધાન) નું ઉલ્લંઘન કરે છે.
તેથી,આપણે પરમ શૂન્ય તાપમાન સુધી પહોંચી શકતા નથી.

(B) ઇન્ફ્રારેડ રેડિયેશન એ દ્રશ્ય પ્રકાશ કરતા લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવતું વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ છે.
આ વિકિરણો ગરમી સાથે સંકળાયેલા હોવાથી,તેને સામાન્ય રીતે પાયરોમીટરનો ઉપયોગ કરીને શોધવામાં આવે છે,જે પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત થતા ઉષ્મીય વિકિરણની તીવ્રતા માપે છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળા દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $(P)$ $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,$P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$.
બે ગોળાઓ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ છે.
આપેલ છે કે $r_1 = 1 \; m$,$r_2 = 4 \; m$,$T_1 = 4000 \; K$,અને $T_2 = 2000 \; K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \left( \frac{1}{16} \right) \times (2)^4 = \frac{16}{16} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) સરળ આવર્ત દોલકની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$
$U = \frac{1}{2} k x^2$
મધ્યમાન સ્થાને,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે.
સમીકરણોમાં $x = 0$ મૂકતા:
$K.E. = \frac{1}{2} k A^2$ (જે મહત્તમ મૂલ્ય છે)
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે)
તેથી,મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા મહત્તમ અને સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની અસરકારક લંબાઈ છે (આધાર બિંદુથી દોલન કરતા પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર).
જ્યારે ચિમ્પાન્ઝી ઊભો થાય છે,ત્યારે સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપરની તરફ ખસે છે,જે આધાર બિંદુની નજીક આવે છે.
આના પરિણામે હિંચકાની અસરકારક લંબાઈ $l$ માં ઘટાડો થાય છે.
જેમ કે $T \propto \sqrt{l}$,તેથી $l$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં પણ ઘટાડો થશે.

(B) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
જ્યારે $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = nk$ થાય છે.
દરેક ભાગ માટે દળ $m$ સમાન રહેતું હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{nk}}$ થશે.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ મૂકતા,આપણને $T' = \frac{T}{\sqrt{n}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે જાણીતા ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n_A = 288 \, Hz$ છે અને અજ્ઞાત ફોર્કની આવૃત્તિ $n_B$ છે.
શરૂઆતમાં,બીટ આવૃત્તિ $x = |n_A - n_B| = 4 \, Hz$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n_B = 288 \pm 4$,તેથી $n_B$ કાં તો $292 \, Hz$ અથવા $284 \, Hz$ છે.
જ્યારે અજ્ઞાત ફોર્ક પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $n_B$ ઘટે છે $(n_B \downarrow)$.
મીણ લગાવ્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $x' = 2 \, Hz$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $n_B = 284 \, Hz$ હોય,તો $n_B$ એ $288 \, Hz$ થી વધુ દૂર જાય છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ વધશે $(|288 - 283| = 5 \, Hz)$,જે અવલોકનથી વિરુદ્ધ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n_B = 292 \, Hz$ હોય,તો $n_B$ એ $288 \, Hz$ ની નજીક આવે છે,તેથી બીટ આવૃત્તિ ઘટે છે $(|288 - 290| = 2 \, Hz)$.
આ આપેલ અવલોકન સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,અજ્ઞાત ફોર્કની આવૃત્તિ $292 \, Hz$ છે.

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ઘટે છે અને ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે ટ્યુનિંગ ફોર્કની લંબાઈ $l$ વધે છે.
આ બંને પરિબળો ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિમાં ઘટાડો કરવામાં ફાળો આપે છે.
આ સંબંધ $n_t = n_0(1 - \alpha t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_t$ એ $t^\circ C$ પરની આવૃત્તિ છે,$n_0$ એ $0^\circ C$ પરની આવૃત્તિ છે,અને $\alpha$ એ પદાર્થના ગુણધર્મો સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સ્થિર તરંગ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાથી બને છે.
આપેલ આપાત તરંગ $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ છે.
બિંદુ $x = 0$ નિસ્પંદ બિંદુ હોવા માટે,$x = 0$ પર તમામ સમય $t$ માટે પરિણામી સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ છે.
નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ મળે છે.
$x = 0$ પર,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ થાય.
આ બિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ (શૂન્ય સ્થાનાંતર) હોવા માટે,$\cos (\phi/2) = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\phi/2 = \pi/2$,એટલે કે $\phi = \pi$.
બીજા તરંગના સમીકરણમાં $\phi = \pi$ મૂકતા:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$.

(B) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,દોરીની લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = n \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક ક્રમાંક છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{2L}{n}$ થાય છે.
મહત્તમ તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે,આપણે $n$ ની શક્ય તેટલી નાની કિંમત લેવી જોઈએ,જે $n = 1$ (મૂળભૂત મોડ) છે.
$n = 1$ અને $L = 40 \ cm$ મૂકતા:
$\lambda_{max} = \frac{2 \times 40 \ cm}{1} = 80 \ cm$.

(C) $l$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ (નળી $A$) માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_A = \frac{v}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
સમાન લંબાઈ $l$ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ (નળી $B$) માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_B = \frac{v}{4l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નળી $A$ અને નળી $B$ ની મૂળભૂત આવૃત્તિનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{v/2l}{v/4l} = \frac{4l}{2l} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L_{ang}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને તેના રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$L_{ang} = |\vec{r} \times \vec{p}| = |\vec{r} \times m\vec{v}| = m v r \sin(\theta)$.
અહીં,$r \sin(\theta)$ એ બિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર દર્શાવે છે,જે આકૃતિમાં $l$ તરીકે આપવામાં આવ્યું છે.
તેથી,કોણીય વેગમાન $L_{ang} = m v l$ થશે.

(D) ઢળતી સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,ત્યાં કોઈ રોલિંગ ગતિ થશે નહીં અને પદાર્થો ફક્ત સપાટી પર નીચે સરકશે.
ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર નીચે સરકતા પદાર્થ માટે,સપાટીની દિશામાં લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F = mg \sin \theta$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $mg \sin \theta = ma$.
તેથી,પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ મળે છે.
આ પ્રવેગ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ઢાળના ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે,તે પદાર્થના આકાર કે દળ પર આધાર રાખતું નથી.
આમ,નક્કર ગોળો,પોલો ગોળો અને રીંગ ત્રણેય માટે પ્રવેગ સમાન રહેશે.

(C) કૃષ્ણ પદાર્થ (black body) એ એક આદર્શ ભૌતિક પદાર્થ છે જે તેના પર પડતા તમામ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણોને શોષી લે છે,પછી ભલે તે કોઈપણ આવૃત્તિ કે આપાતકોણ હોય.
$1$. કૃષ્ણ પદાર્થની શોષકતા $1$ અને પરાવર્તકતા $0$ હોય છે.
$2$. તેની પારગમ્યતા (transmittance) શૂન્ય હોય છે.
$3$. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,બ્લેક હોલ એ કૃષ્ણ પદાર્થનું સૌથી સચોટ ઉદાહરણ છે કારણ કે તે તેની ઘટના ક્ષિતિજ (event horizon) માં આવતા તમામ વિકિરણોને (પ્રકાશ સહિત) શોષી લે છે અને કંઈપણ પાછું પરાવર્તિત કરતું નથી.
$4$. જોકે બ્લેક પેઇન્ટ એક સારો શોષક છે,પરંતુ તે હજુ પણ પ્રકાશનો થોડો અંશ પરાવર્તિત કરે છે,તેથી બ્લેક હોલ એ આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થની સૌથી નજીકની ભૌતિક સ્થિતિ છે.

(C) વાયુઓના મિશ્રણ માટે એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma_{mix}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{\mu_1 + \mu_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}$
અહીં $\mu_1 = 1, \gamma_1 = 7/5$ અને $\mu_2 = 1, \gamma_2 = 5/3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{7/5 - 1} + \frac{1}{5/3 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{2/3} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 4$
$\gamma_{mix} - 1 = 2/4 = 0.5$
$\gamma_{mix} = 1.5 = 3/2$.

(A) આ તંત્ર બે કણોનું બનેલું છે જે તેમના પરસ્પર આંતરિક આકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરે છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,બંને કણો સ્થિર છે,જેનો અર્થ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{CM, initial} = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ કોઈપણ ક્ષણે $0$ જ રહેશે.
તેથી,તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઝડપ $0$ થશે.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રિંગ (અથવા તાર) માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{z} = M R^{2}$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$,જ્યાં $I_{x}$ અને $I_{y}$ એ પરસ્પર લંબ બે વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
રિંગ સંમિત હોવાથી,$I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ થાય.
તેથી,$I_{z} = 2 I_{diameter}$.
$I_{z}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $M R^{2} = 2 I_{diameter}$ મળે છે.
આમ,$I_{diameter} = M R^{2} / 2$.

(D) પ્રતિવર્તી ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે. કારણ કે વિવિધ પ્રતિવર્તી ચક્રો અલગ-અલગ સ્રોત અને સિંક તાપમાન વચ્ચે કાર્ય કરી શકે છે,તેથી તેમની કાર્યક્ષમતા સમાન હોવી જરૂરી નથી. તેથી,એવું વિધાન કે તમામ પ્રતિવર્તી ચક્રોની કાર્યક્ષમતા સમાન હોય છે,તે ખોટું છે.

(A) ધારો કે બ્લોક્સ $A$,$B$ અને $C$ એક હરોળમાં છે,જ્યાં $A$ ને $F$ બળ વડે ખેંચવામાં આવે છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T_{AB}$ છે અને $B$ અને $C$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T_{BC}$ છે.
બ્લોક $C$ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ તણાવ $T_{BC}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$T_{BC} = m \times a$.
અહીં $m = 2\; kg$ અને $a = 0.6\; m/s^2$ આપેલ છે:
$T_{BC} = 2 \times 0.6 = 1.2\; N$.
જો કે,આપેલ ઉકેલ $7.8\; N$ મુજબ,ગણતરી $T_{BC} = F - 2ma$ નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવી છે,જે ખરેખર $A$ અને $B$ વચ્ચેનું તણાવ દર્શાવે છે. પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$7.8\; N$ એ સાચો જવાબ ગણવામાં આવ્યો છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન અને અંતિમ કોણીય વેગમાન સમાન રહે છે.
તકતીની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} M R^{2}$ છે.
તકતીની ધાર પર (કેન્દ્રથી $R$ અંતરે) $m$ દળના બે ગોળાઓ જોડ્યા પછી તંત્રની અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + m R^{2} + m R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + 2 m R^{2} = R^{2} (\frac{M}{2} + 2m) = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m)$ થાય.
$L_{initial} = L_{final}$ લેતા:
$I_{1} \omega_{1} = I_{2} \omega_{2}$
$\frac{1}{2} M R^{2} \omega_{1} = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m) \omega_{2}$
$\omega_{2}$ માટે ઉકેલતા:
$\omega_{2} = \left(\frac{M}{M + 4m}\right) \omega_{1}$.

(A) એક લીસી સ્થિર ગરગડી પરથી પસાર થતી હલકી દોરી વડે જોડાયેલા $m_1$ અને $m_2$ દળના તંત્ર માટે,પ્રવેગ $a$ નું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a = \frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે કે પ્રવેગ $a = g / 8$,તેથી:
$\frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2} = \frac{g}{8}$
ધારો કે $m_1 > m_2$,તો આપણને મળે:
$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{8}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$8(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$
$8m_1 - 8m_2 = m_1 + m_2$
$7m_1 = 9m_2$
તેથી,દળનો ગુણોત્તર:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{7}$

(B) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = mc^2$ મુજબ,ઊર્જા અને દળ એકબીજામાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. જ્યારે પાણીને ઠંડું પાડીને બરફ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે આસપાસના વાતાવરણમાં ગુપ્ત ઉષ્મા મુક્ત કરે છે. સિસ્ટમ ઊર્જા ગુમાવતી હોવાથી,તેના કુલ દળમાં પણ તેટલો જ ઘટાડો થવો જોઈએ. તેથી,જ્યારે પાણી બરફમાં ફેરવાય છે ત્યારે તેનું દળ ઘટે છે.

(B) ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રને સંતુલનમાં રાખવા માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ એ $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $x$ અંતરે મૂકેલા છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યબિંદુ $C$ પર મૂકવામાં આવે છે (જે $A$ અને $B$ બંનેથી $x/2$ અંતરે છે).
બિંદુ $B$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ના સંતુલનનો વિચાર કરો. $A$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ અને $C$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
$F_{AB} + F_{CB} = 0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{x^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(x/2)^2} = 0$
$\frac{Q^2}{x^2} + \frac{4qQ}{x^2} = 0$
$Q^2 + 4qQ = 0$
$4qQ = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$

(C) બે બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ સાથે $Q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = Q \cdot \Delta V$
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $Q = 20 \; C$
કાર્ય $W = 2 \; J$
આપણે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ શોધવાનો છે.
સૂત્રને $\Delta V$ માટે ગોઠવતા:
$\Delta V = \frac{W}{Q}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta V = \frac{2 \; J}{20 \; C} = 0.1 \; V$
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0.1 \; V$ છે.

(B) જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા $n$ કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n = nC$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $U = \frac{1}{2} (nC) V^2 = \frac{1}{2} nC V^2$ મળે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલા ગોળીય વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = 4\pi \epsilon_0 R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલંબ અચળાંક $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
તેથી,$4\pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \, F/m$ થાય.
અહીં $R = 1 \, m$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 1 = 0.111 \times 10^{-9} \, F = 1.11 \times 10^{-10} \, F$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) વાહક માટે અવરોધકતા $\rho$ ની તાપમાન પરની નિર્ભરતા $\rho = \rho_{0}[1 + \alpha(T - T_{0})]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક છે.
વાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ લેટીસ આયનોના કંપનનો કંપનવિસ્તાર વધે છે. આનાથી મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને આયનો વચ્ચે અથડામણ વધુ વારંવાર થાય છે,જે રિલેક્સેશન સમય $\tau$ ઘટાડે છે. કારણ કે અવરોધકતા $\rho = m / (ne^2\tau)$ છે,તેથી $\tau$ માં ઘટાડો થવાથી અવરોધકતા વધે છે.
અર્ધવાહક માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વધુ વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગેપને ઓળંગીને કન્ડક્શન બેન્ડમાં કૂદકો મારવા માટે પૂરતી ઉષ્મીય ઉર્જા મેળવે છે. આનાથી ચાર્જ કેરિયર્સની સંખ્યા ઘનતા $n$ માં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે. કારણ કે $\rho \propto 1/n$ છે,તેથી $n$ માં વધારો થવાથી અવરોધકતા ઘટે છે.

(C) એમીટરને ખૂબ જ ઓછો અવરોધ ધરાવવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે જેથી તે સર્કિટમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કર્યા વિના પ્રવાહ માપી શકે. વોલ્ટમીટરને ખૂબ જ ઊંચો અવરોધ ધરાવવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે જેથી તે સર્કિટમાંથી નહિવત પ્રવાહ ખેંચે.
જો એમીટરને સમાંતરમાં (વોલ્ટમીટરની જેમ) જોડવામાં આવે,તો એમીટરનો ઓછો અવરોધ તેમાંથી ખૂબ મોટો પ્રવાહ વહેવડાવશે,જે ઉપકરણને નુકસાન પહોંચાડી શકે છે.
એમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેનો કુલ અવરોધ ખૂબ ઊંચા મૂલ્ય સુધી વધારવો પડે છે. આ એમીટરની સાથે શ્રેણીમાં ઊંચો અવરોધ જોડીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

(B) ધારો કે મૂળ વાયરનો અવરોધ $R$ છે. પાવરનો વ્યય $P_1 = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વાયરને બે સમાન ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ટુકડાનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
જ્યારે આ બે ટુકડાઓને સમાન સપ્લાય $V$ સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$.
આમ,$R_{eq} = \frac{R}{4}$ થાય.
સમાંતર જોડાણમાં પાવરનો વ્યય $P_2 = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \left( \frac{V^2}{R} \right) = 4P_1$ થાય છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = 4$ મળે છે.

(B) પરિપથમાં બે અવરોધો $R$ અને $2\,\Omega$ સમાંતર જોડાણમાં $15\, V$ ના વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{R \times 2}{R + 2} = \frac{2R}{R + 2}$
પરિપથમાં પાવરનો વ્યય $P$ સૂત્ર $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 150\, W$ અને $V = 15\, V$,તેથી:
$150 = \frac{15^2}{R_{eq}} = \frac{225}{R_{eq}}$
$R_{eq} = \frac{225}{150} = 1.5\,\Omega$
હવે,$R_{eq}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1.5 = \frac{2R}{R + 2}$
$1.5(R + 2) = 2R$
$1.5R + 3 = 2R$
$0.5R = 3$
$R = \frac{3}{0.5} = 6\,\Omega$
આમ,$R$ નું મૂલ્ય $6\,\Omega$ છે.

(A) થર્મોકપલ માટે,તટસ્થ તાપમાન ${T_n}$ એ ઠંડા જંકશનના તાપમાન ${T_c}$ અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન ${T_i}$ ના સરેરાશ (અંકગણિત મધ્યક) જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવી શકાય: ${T_n} = \frac{{T_i} + {T_c}}{2}$.
ઇન્વર્ઝન તાપમાન ${T_i}$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
${2{T_n} = {T_i} + {T_c}}$
${{T_i} = 2{T_n} - {T_c}}$
આમ,સાચો સંબંધ ${T_i} = 2{T_n} - {T_c}$ છે.

(D) $I$ પ્રવાહ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
ગૂંચળા $A$ માટે: $B_A = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
ગૂંચળા $B$ માટે: $B_B = \frac{\mu_0 (2I)}{2(2R)} = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $B_A = B_B$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $B_A : B_B = 1:1$ થાય છે.

(D) જ્યારે $m$ દળ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ $v$ વેગ સાથે એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = qvB$ અનુભવે છે જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{mv}{qB}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T$ એ એક વર્તુળાકાર ભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે,જે $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ મળે છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $T$ માત્ર દળ $m$,વિદ્યુતભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે.
તે કણના વેગ $v$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગમાન $p = mv$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $r = \frac{p}{qB}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંનેનું વેગમાન $p$ સમાન છે અને તેઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા માત્ર વિદ્યુતભાર $q$ પર આધાર રાખે છે.
જોકે,ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન છે $(|q_e| = |q_p| = e)$.
તેથી,બંને કણો માટે માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{p}{eB}$ થાય છે,જે બંને માટે સમાન છે.
આમ,બંનેના માર્ગ સમાન રીતે વળાંકવાળા હશે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ અનુભવે છે,જે $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળને કારણે કણ વિચલિત થાય છે.
$(i)$ ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વીજભારિત કણો છે.
$(ii)$ પ્રોટોન ધન વીજભારિત કણો છે.
$(iii)$ $He^{2+}$ (આલ્ફા કણો) ધન વીજભારિત કણો છે.
$(iv)$ ન્યુટ્રોન વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ કણો છે અને તેઓ ચુંબકીય બળ અનુભવતા નથી.
કારણ કે ઉત્સર્જન વિચલિત થાય છે,તેથી તે વીજભારિત કણ હોવું જોઈએ. તેથી,ઉત્સર્જન $(i)$,$(ii)$,અથવા $(iii)$ હોઈ શકે છે.

(A) જ્યારે સ્પ્રિંગમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગનો દરેક આંટો વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર લૂપ તરીકે કાર્ય કરે છે.
તમામ પાસપાસેના આંટાઓમાં વિદ્યુતપ્રવાહ એક જ દિશામાં વહેતો હોવાથી,સમાંતર પ્રવાહો વચ્ચેના ચુંબકીય બળને કારણે આ આંટાઓ એકબીજાને આકર્ષે છે.
પરિણામે,સ્પ્રિંગ તેના આંટાઓ વચ્ચે આકર્ષણ બળ અનુભવે છે,જેના કારણે તે સંકોચાય છે.

(C) તાર $1$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ છે.
આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર તાર ધરાવતા સમતલને લંબ રૂપે હોય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં રહેલા પ્રવાહ ખંડ $i_2 dl$ પર લાગતું બળ $dF = i_2 (dl \times B)$ છે.
બળનું મૂલ્ય $dF = i_2 B dl \sin \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ પ્રવાહ ખંડ $dl$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ તારના સમતલને લંબ હોવાથી,તે પ્રવાહ ખંડ $dl$ ને પણ લંબ છે. તેથી,$\phi = 90^\circ$ અને $\sin \phi = 1$ થાય.
જોકે,બે પ્રવાહધારિત તાર વચ્ચેનું બળ ખાસ કરીને પ્રવાહ ખંડના તે ઘટકને કારણે હોય છે જે બીજા તારને સમાંતર હોય.
તાર $1$ ને સમાંતર $dl$ નો ઘટક $dl \cos \theta$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું બળ $dF = B \cdot i_2 \cdot (dl \cos \theta) = \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) i_2 dl \cos \theta = \frac{\mu_0 i_1 i_2 dl \cos \theta}{2\pi r}$ છે.

(D) જ્યારે $l$ લંબાઈનો વાહક $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $v$ વેગ સાથે એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી વેગ,લંબાઈ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એકબીજાને લંબ હોય,ત્યારે વાહકના છેડાઓ પર પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e.m.f.)$ $\varepsilon = Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ચોરસ લૂપમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ રૂપે ગતિ કરતી બાજુ ફ્લક્સને કાપે છે. ખાસ કરીને,લૂપની જે ઊભી બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થઈ રહી છે તે ગતિશીલ $e.m.f.$ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
બાકીની ત્રણ બાજુઓ ચોખ્ખા $e.m.f.$ માં ફાળો આપતી નથી જે આ ગોઠવણીમાં લૂપના ટર્મિનલ્સ પર સંભવિત તફાવત બનાવે,અથવા તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. $B$ ક્ષેત્રમાં $v$ વેગ સાથે ગતિ કરતી $l$ લંબાઈની બાજુ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ગતિશીલ $e.m.f.$ $\varepsilon = Blv$ છે.

(C) આપેલ પરિપથમાં,દરેક $3\;H$ ના ત્રણેય ઇન્ડક્ટર બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
ત્રણેય ઇન્ડક્ટરના છેડા સમાન બે નોડ $A$ અને $D$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ઇન્ડક્ટર માટે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
કિંમતો $L_1 = L_2 = L_3 = 3\;H$ મૂકતા:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1\;H^{-1}$
તેથી,$L_{eq} = 1\;H$.

(B) આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર માટે,પાવર ઇનપુટ એ પાવર આઉટપુટ જેટલો હોય છે,તેથી $V_p i_p = V_s i_s$.
ટ્રાન્સફોર્મરના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $\frac{V_p}{V_s} = \frac{N_p}{N_s} = \frac{i_s}{i_p}$ છે.
અહીં $N_p = 140$,$N_s = 280$,અને $i_p = 4\,A$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને ગુણોત્તર $\frac{N_p}{N_s} = \frac{i_s}{i_p}$ માં મૂકતા:
$\frac{140}{280} = \frac{i_s}{4}$.
$\frac{1}{2} = \frac{i_s}{4}$.
$i_s = \frac{4}{2} = 2\,A$.

(B) $ac$ શ્રેણી $LR$ પરિપથમાં,ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
તેથી,$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$.
પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ એ અવરોધ અને ઇમ્પિડન્સના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$.

(C) ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
વધુમાં,પ્રકાશની ઝડપ $c$,આવૃત્તિ $\nu$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \nu \lambda$ છે.
આ સૂત્રને તરંગલંબાઈ $\lambda$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\lambda = \frac{c}{\nu}$ મળે છે.

(C) વર્ક ફંક્શન $W_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0$ સાથે $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_0 \propto \frac{1}{W_0}$.
સોડિયમ $(W_1 = 2.3 \ eV)$ અને કોપર $(W_2 = 4.5 \ eV)$ માટે આપેલા વર્ક ફંક્શન મુજબ,તેમની થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{W_2}{W_1} = \frac{4.5 \ eV}{2.3 \ eV} \approx \frac{4.6}{2.3} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની બાકી રહેલી માત્રા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક દળ $N_0$ છે,અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 5 \text{ વર્ષ}$ છે અને વીતેલો સમય $t = 15 \text{ વર્ષ}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{5}}$
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$N = N_0 \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{N_0}{8}$.
આમ,$15 \text{ વર્ષ}$ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનું પ્રમાણ $\frac{N_0}{8}$ હશે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
અવાહકોમાં,વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ સાથે મજબૂતીથી જોડાયેલા હોય છે.
ઓરડાના તાપમાને,ઉપલબ્ધ ઉષ્મીય ઉર્જા ઇલેક્ટ્રોનને વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં મોકલવા માટે અપૂરતી હોય છે.
અવાહકોમાં ઉર્જા બેન્ડ ગેપ સામાન્ય રીતે મોટો હોય છે,જે ઘણીવાર $3 \ eV$ કરતા વધારે (સામાન્ય રીતે $6 \ eV$ ની આસપાસ) હોય છે,જે વિદ્યુત વહનને અટકાવે છે.
તેની સરખામણીમાં,અર્ધવાહકોમાં નાનો બેન્ડ ગેપ ($1 \ eV$ ની આસપાસ) હોય છે અને ધાતુઓમાં કોઈ બેન્ડ ગેપ હોતો નથી (વેલેન્સ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે).

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,$Emitter$ (એમિટર્સ) એવો વિભાગ છે જેનું ભારે ડોપિંગ કરવામાં આવે છે. ભારે ડોપિંગનો હેતુ મોટા પ્રમાણમાં મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડવાનો છે,જે પછી $Base$ (બેઝ) વિસ્તારમાં દાખલ કરવામાં આવે છે. $Base$ હળવું ડોપિંગ ધરાવે છે અને પાતળો હોય છે,જ્યારે $Collector$ (કલેક્ટર) મધ્યમ ડોપિંગ ધરાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે બે સમતલ અરીસાઓ $\theta$ ખૂણે નમેલા હોય ત્યારે રચાતા પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n$ શોધવાનું સૂત્ર $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ છે,જો $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ એ બેકી સંખ્યા હોય.
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ મળે છે.
$6$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,પ્રતિબિંબોની સંખ્યા $n = 6 - 1 = 5$ થશે.

(D) સાચો જવાબ $(d)$ છે.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન એ એક શક્તિશાળી પ્રક્રિયા છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ પ્રકાશને મર્યાદિત કરવા માટે થઈ શકે છે. પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની સૌથી સામાન્ય એપ્લિકેશન ફાઇબર ઓપ્ટિક્સમાં છે.
ઓપ્ટિકલ ફાઇબર એ એક પાતળો,પારદર્શક ફાઇબર છે,જે સામાન્ય રીતે કાચ અથવા પ્લાસ્ટિકનો બનેલો હોય છે,જેનો ઉપયોગ પ્રકાશના પ્રસારણ માટે થાય છે.
જો પ્રકાશ કેબલના છેડે આપાતકોણ એ ક્રાંતિકોણ કરતા વધારે હોય તે રીતે આપાત થાય,તો પ્રકાશ વારંવાર થતા પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે કાચના તારની અંદર જ ફસાયેલો રહે છે.
આ રીતે,પ્રકાશ કેબલની લંબાઈ સાથે ખૂબ જ લાંબા અંતર (દસ કિલોમીટર) સુધી તીવ્રતાના નોંધપાત્ર ઘટાડા વિના ખૂબ જ ઝડપથી મુસાફરી કરે છે.

(D) ઓપ્ટિકલ સાધનની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(R.P.)$ એ વપરાતી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $R.P. \propto \frac{1}{\lambda}$.
તેથી,$\lambda_1$ અને $\lambda_2$ માટે રિઝોલ્વિંગ પાવરનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{5000 \; \mathring{A}}{4000 \; \mathring{A}} = \frac{5}{4}$
આમ,ગુણોત્તર $5:4$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એવા તરંગો છે જે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે. ઉષ્મા કિરણો (ઇન્ફ્રારેડ),$\gamma$-કિરણો અને $X$-કિરણો એ બધા વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ભાગો છે.
$\beta$-કિરણો એ અમુક પ્રકારના કિરણોત્સર્ગી ન્યુક્લિયસ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા,ઝડપી ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોનનો પ્રવાહ છે. તેઓ વીજભારિત કણો (દ્રવ્ય) નો પ્રવાહ હોવાથી,તેઓ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો નથી.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની લંબગત પ્રકૃતિ ધ્રુવીભવનની ઘટના દ્વારા સાબિત થાય છે.
ધ્રુવીભવન એ માત્ર લંબગત તરંગોનો જ ગુણધર્મ છે,કારણ કે તેમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશના દોલનોને તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ એક ચોક્કસ સમતલમાં મર્યાદિત કરવામાં આવે છે.
સંગત તરંગો,જેમ કે ધ્વનિ તરંગો,ધ્રુવીભૂત થઈ શકતા નથી કારણ કે તેમના દોલનો પ્રસરણની દિશામાં જ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) પરમ શૂન્ય તાપમાને $(0 \ K)$,શુદ્ધ સિલિકોન $(Si)$ માં તમામ વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન સહસંયોજક બંધમાં મજબૂતીથી બંધાયેલા હોય છે.
વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે કોઈ ઉષ્મીય ઉર્જા ઉપલબ્ધ હોતી નથી.
પરિણામે,કન્ડક્શન બેન્ડ ખાલી રહે છે અને વહન માટે કોઈ મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અથવા હોલ્સ) ઉપલબ્ધ હોતા નથી.
તેથી,પરમ શૂન્ય તાપમાને શુદ્ધ સિલિકોન અવાહક તરીકે વર્તે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$મી કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જાનું સૂત્ર $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ છે.
$n=2$ કક્ષામાંથી ઇલેક્ટ્રોનને અનંત અંતરે દૂર કરવા માટે (આયનીકરણ),આપણે તે સ્તર પરની બંધન ઉર્જા જેટલી ઉર્જા આપવી પડે.
$n=2$ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ છે.
આ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ અનંત પરની ઉર્જા $(0 \ eV)$ અને $n=2$ પરની ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે $(E_{\text{req}} = 0 - (-3.4) = 3.4 \ eV)$.

(C) ટેલિસ્કોપની વિભેદન શક્તિ (resolving power) એટલે બે નજીકની વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતા. કોણીય વિભેદન મર્યાદા $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ (એપર્ચર) છે.
જેમ એપર્ચર $D$ વધે છે,તેમ કોણીય વિભેદન $\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ટેલિસ્કોપ વધુ ઝીણી વિગતોને સ્પષ્ટ રીતે જોઈ શકે છે. તેથી,ઉચ્ચ રિઝોલ્યુશન મેળવવા માટે મોટા એપર્ચરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(B) ધારો કે કેન્દ્ર $O$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને બહારનો વિદ્યુતભાર $q_2 = q$ છે।
સંમિતિ મુજબ, કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_1 = q / (6\varepsilon_0)$ છે, કારણ કે વિદ્યુતભાર સમઘનના કેન્દ્રમાં છે અને ફ્લક્સ $6$ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે।
હવે $O$ થી $L$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતભાર $q_2$ નો વિચાર કરો। $BGFC$ સપાટી કેન્દ્ર $O$ થી $L/2$ અંતરે આવેલી છે। વિદ્યુતભાર $q_2$ એ $BGFC$ સપાટીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા પર $O$ થી $L$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે।
જોકે, આને સમજવાની એક સરળ રીત સંમિતિ છે। વિદ્યુતભાર $q_2$ માંથી નીકળતી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ $BGFC$ સપાટીમાં પ્રવેશે છે અને સામેની સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે।
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો, $BGFC$ સપાટી માટે, આંતરિક વિદ્યુતભાર $q_1$ ને કારણે ફ્લક્સ $q / (6\varepsilon_0)$ છે।
બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q_2$ માટે, સમગ્ર બંધ સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતભાર બહાર છે।
ચોક્કસ ભૂમિતિને કારણે, $q_2$ ને લીધે $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $-q / (6\varepsilon_0)$ છે।
તેથી, $BGFC$ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = q / (6\varepsilon_0) - q / (6\varepsilon_0) = 0$ થાય છે।

(D) લાંબા સીધા તાર $1$ દ્વારા $r$ લંબ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $i_2 \, dl$ પર લાગતું બળ $dF = i_2 (dl \times B) = i_2 \, dl \, B \sin \alpha$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $dl$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ તાર ધરાવતા સમતલને લંબ (અંદરની તરફ) છે. વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડ $dl$ એ તારના સમતલમાં છે. તેથી,$dl$ અને $B$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
આમ,$dF = i_2 \, dl \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) \sin 90^{\circ} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r} dl$.