AIEEE 2002 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दी गई असमिका: $|z - 4| < |z - 2|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|z - 4|^2 < |z - 2|^2$
माना $z = x + iy$ है। तब $|(x - 4) + iy|^2 < |(x - 2) + iy|^2$
$(x - 4)^2 + y^2 < (x - 2)^2 + y^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2$
$-8x + 16 < -4x + 4$
$12 < 4x$
$x > 3$
चूंकि $x = \text{Re}(z)$ है,अतः क्षेत्र $\text{Re}(z) > 3$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए $z = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ और $w = r(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$,जहाँ $|z| = |w| = r$ है।
दिया गया है कि $arg(z) + arg(w) = \theta_1 + \theta_2 = \pi$,इसलिए $\theta_1 = \pi - \theta_2$ है।
इसे $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = r(\cos(\pi - \theta_2) + i \sin(\pi - \theta_2))$
$z = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$
चूँकि $\overline{w} = r(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$,इसलिए $-\overline{w} = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ होता है।
अतः,$z = -\overline{w}$।

(B) माना कि $G.P.$ के $9$ पद $\frac{a}{r^4}, \frac{a}{r^3}, \frac{a}{r^2}, \frac{a}{r}, a, ar, ar^2, ar^3, ar^4$ हैं।
पाँचवाँ पद $a = 2$ दिया गया है।
इन $9$ पदों का गुणनफल $P = a^9$ होता है।
अतः,$P = 2^9 = 512$।

(B) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अनुपात $r$ है। अनंत $G.P.$ का योग $S = \frac{a}{1-r} = 20 \quad (i)$ है।
पदों के वर्गों का योग $\frac{a^2}{1-r^2} = 100 \quad (ii)$ है।
हम $(ii)$ को $\frac{a}{1-r} \times \frac{a}{1+r} = 100$ के रूप में लिख सकते हैं।
$(i)$ को इस समीकरण में रखने पर: $20 \times \frac{a}{1+r} = 100$,जो सरल होकर $\frac{a}{1+r} = 5 \quad (iii)$ हो जाता है।
$(i)$ से,$a = 20(1-r)$। इस मान को $(iii)$ में रखने पर:
$\frac{20(1-r)}{1+r} = 5$
$4(1-r) = 1+r$
$4 - 4r = 1 + r$
$3 = 5r$
$r = 3/5$.

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $P = 2^{1/4} \cdot 4^{1/8} \cdot 8^{1/16} \cdot 16^{1/32} \cdots$ है।
सभी पदों को $2$ के आधार में बदलने पर:
$P = 2^{1/4} \cdot (2^2)^{1/8} \cdot (2^3)^{1/16} \cdot (2^4)^{1/32} \cdots$
$P = 2^{1/4 + 2/8 + 3/16 + 4/32 + \cdots} = 2^S$,जहाँ $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}}$.
$S = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \cdots$ $(i)$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{8} + \frac{2}{16} + \frac{3}{32} + \cdots$ $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$S - \frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + (\frac{2}{8} - \frac{1}{8}) + (\frac{3}{16} - \frac{2}{16}) + \cdots$
$\frac{1}{2}S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = 1/4$ और $r = 1/2$ है।
$\frac{1}{2}S = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$S = 1$.
इसलिए,$P = 2^1 = 2$.

(A) द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $p + q = -p$ और मूलों का गुणनफल $pq = q$ होता है।
$pq = q$ से,हमें $q(p - 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $q = 0$ या $p = 1$ है।
स्थिति $1$: यदि $q = 0$ है,तो $p + 0 = -p$,जिससे $2p = 0$ प्राप्त होता है,अतः $p = 0$ है। इससे मूल $(0, 0)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: यदि $p = 1$ है,तो $1 + q = -1$,जिससे $q = -2$ प्राप्त होता है। इससे मूल $(1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही युग्म $p = 1, q = -2$ है।

(D) दिया गया है कि $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ और $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास है:
मूलों का योग: $\alpha + \beta = 5$
मूलों का गुणनफल: $\alpha \beta = 3$
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\frac{\alpha}{\beta}$ और $\frac{\beta}{\alpha}$ हैं।
नए मूलों का योग: $S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$.
नए मूलों का गुणनफल: $P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
अभीष्ट समीकरण $x^2 - Sx + P = 0$ है।
मान रखने पर: $x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 - 19x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण ${t^2}{x^2} + |x| + 9 = 0$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $t$ और $x$ के लिए,हम जानते हैं कि ${t^2}{x^2} \ge 0$ और $|x| \ge 0$ होता है।
इसलिए,${t^2}{x^2} + |x| + 9 \ge 9$।
चूंकि व्यंजक का मान हमेशा $9$ या उससे अधिक है,इसलिए यह कभी भी $0$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
परिणामस्वरूप,वास्तविक मूलों का गुणनफल अस्तित्व में नहीं है।

(B) ये संख्याएँ $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याएँ हैं।
चूँकि संख्या $1000$ से बड़ी और $4000$ से छोटी या उसके बराबर होनी चाहिए,इसलिए पहला अंक $1, 2, 3,$ या $4$ हो सकता है।
स्थिति $1$: पहला अंक $1, 2,$ या $3$ है।
इन $3$ विकल्पों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ स्थानों को $5$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0, 1, 2, 3, 4$)।
इन स्थितियों के लिए कुल संख्या $= 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$।
हालाँकि,हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जहाँ संख्या $1000$ है (क्योंकि यह $1000$ से बड़ी होनी चाहिए)।
अतः,$375 - 1 = 374$ संख्याएँ।
स्थिति $2$: पहला अंक $4$ है।
$4$ से शुरू होने वाली $4000$ से छोटी या उसके बराबर एकमात्र संख्या $4000$ है।
इसे हमारी गणना में जोड़ने पर: $374 + 1 = 375$।
इस प्रकार,कुल संख्या $375$ है।

(D) चार अंकों की संख्या को $d_1 d_2 d_3 d_4$ के रूप में दर्शाया जाता है।
संख्या के विषम होने के लिए,अंतिम अंक $d_4$ को $\{1, 3, 5, 7\}$ समुच्चय से चुना जाना चाहिए। $d_4$ को भरने के $4$ तरीके हैं।
पहले अंक $d_1$ के लिए,यह $0$ नहीं हो सकता (अन्यथा यह तीन अंकों की संख्या बन जाएगी)। अतः,$d_1$ को $\{1, 2, 3, 5, 7\}$ में से चुना जा सकता है,जो $5$ तरीके देता है।
दूसरे अंक $d_2$ और तीसरे अंक $d_3$ के लिए,चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,प्रत्येक को $6$ अंकों $\{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$ में से किसी से भी भरा जा सकता है। अतः,$d_2$ के लिए $6$ तरीके और $d_3$ के लिए $6$ तरीके हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए,ऐसी विषम संख्याओं की कुल संख्या $5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$ है।

(A) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए सभी अंकों ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ का योग $15$ है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें एक अंक को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटा दें। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या $5! = 120$ है।
स्थिति $2$: $3$ को हटा दें। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ है (उन स्थितियों को घटाकर जहाँ $0$ पहले स्थान पर है)।
कुल तरीके = $120 + 96 = 216$.

(D) हम जानते हैं कि $e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ और $2 < e < 3$ होता है।
$n = 10000$ के लिए,व्यंजक $(1 + \frac{1}{10000})^{10000} = (1 + 0.0001)^{10000}$ है।
चूंकि अनुक्रम $(1 + \frac{1}{n})^n$ निरंतर बढ़ता है और $e$ की ओर अग्रसर होता है,इसलिए $(1 + 0.0001)^{10000} < e < 3$ है।
द्विपद प्रमेय के विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1 + 0.0001)^{10000} = 1 + 10000(0.0001) + \frac{10000 \times 9999}{2!} (0.0001)^2 + \dots = 1 + 1 + \frac{0.9999}{2} + \dots > 2$ है।
अतः,$2 < (1 + 0.0001)^{10000} < 3$ है।
$(1 + 0.0001)^{10000}$ से ठीक बड़ी धनात्मक पूर्णांक संख्या $3$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) $(1 + x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r x^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(1 + x)^{p+q}$ के विस्तार के लिए,$x^p$ का गुणांक $^{p+q}C_p$ है।
इसी प्रकार,$x^q$ का गुणांक $^{p+q}C_q$ है।
द्विपद गुणांकों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$^nC_r = ^nC_{n-r}$,हमें प्राप्त होता है:
$^{p+q}C_p = ^{p+q}C_{(p+q)-p} = ^{p+q}C_q$.
अतः,$x^p$ और $x^q$ के गुणांक समान हैं।

(A) हमारे पास व्यंजक है: ${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} + {\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}}$.
द्विपद प्रसार $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ का उपयोग करके,हम दोनों पदों का विस्तार करते हैं:
${\left( {1 + \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( \frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( \frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 - \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
${\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)^{-1/2}} = 1 - \frac{1}{2}\left( -\frac{x}{a} \right) + \frac{(-1/2)(-3/2)}{2}\left( -\frac{x}{a} \right)^2 + \dots = 1 + \frac{x}{2a} + \frac{3x^2}{8a^2} + \dots$
इन दोनों प्रसारों को जोड़ने पर,विषम घात वाले पद (जिनमें $x/a$ है) कट जाते हैं:
$(1 + 1) + (-\frac{x}{2a} + \frac{x}{2a}) + (\frac{3x^2}{8a^2} + \frac{3x^2}{8a^2}) + \dots = 2 + \frac{6x^2}{8a^2} + \dots = 2 + \frac{3x^2}{4a^2} + \dots$

(B) $(x + y)^n$ के विस्तार में गुणांकों का योग $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1 + 1)^n = 2^n$ है।
दिया गया है कि $2^n = 4096 = 2^{12}$,इसलिए $n = 12$ है।
जब $n$ सम संख्या हो,तो $(x + y)^n$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक मध्य पद का गुणांक होता है,जो $^nC_{n/2}$ है।
$n = 12$ के लिए,सबसे बड़ा गुणांक $^{12}C_6 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 924$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ होता है।
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 2$ है,इसलिए आवर्तकाल $\frac{2\pi}{2} = \pi$ होगा।
अतः,$\sin^2 x$ का आवर्तकाल $\pi$ है।

(C) माना भुजाएँ $a = 3x + 4y$,$b = 4x + 3y$ और $c = 5x + 5y$ हैं।
चूँकि $x, y > 0$,$c = 5x + 5y$ सबसे बड़ी भुजा है।
त्रिभुज के अधिककोण होने के लिए,सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग से अधिक होना चाहिए $(c^2 > a^2 + b^2)$।
$a^2 + b^2 = (3x + 4y)^2 + (4x + 3y)^2 = 25x^2 + 48xy + 25y^2$.
$c^2 = (5x + 5y)^2 = 25x^2 + 50xy + 25y^2$.
यहाँ $c^2 > a^2 + b^2$ है,इसलिए त्रिभुज अधिककोण है।

(A) माना शीर्ष $A(4, 0)$,$B(-1, -1)$,और $C(3, 5)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$AC = \sqrt{(3 - 4)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{26}$.
$BC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{52}$.
चूंकि $AB = AC = \sqrt{26}$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
साथ ही,$AB^2 + AC^2 = 26 + 26 = 52$ और $BC^2 = 52$ है।
चूंकि $AB^2 + AC^2 = BC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से यह एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,त्रिभुज समद्विबाहु और समकोण है।

(B) दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = \frac{p}{\cos \alpha}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $A = (\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$ है।
$y$-अंतःखंड के लिए $x = 0$ रखने पर,$y = \frac{p}{\sin \alpha}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $B = (0, \frac{p}{\sin \alpha})$ है।
माना $(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः $h = \frac{p}{2 \cos \alpha}$ और $k = \frac{p}{2 \sin \alpha}$ है।
इससे $\cos \alpha = \frac{p}{2h}$ और $\sin \alpha = \frac{p}{2k}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{p}{2k})^2 + (\frac{p}{2h})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{p^2}{4k^2} + \frac{p^2}{4h^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त यह है कि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $A + B = 0$।
दिए गए समीकरण $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ में,$A = 3a$ और $B = a^2 - 2$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,हमें $3a + a^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 + 3a - 2 = 0$ के रूप में सरल होता है।
यह $a$ में एक द्विघात समीकरण है। विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17$ है।
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण $a^2 + 3a - 2 = 0$ के $a$ के लिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
अतः,रेखाएं $a$ के दो मानों के लिए एक-दूसरे पर लंब हैं।

(C) जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण,दीर्घ वृत्तखंड पर बने कोण का दोगुना होता है।
दीर्घ वृत्तखंड पर कोण ${45^\circ}$ है,इसलिए केंद्र $C(0,0)$ पर कोण $2 \times {45^\circ} = {90^\circ}$ होगा।
माना $P$ केंद्र $C(0,0)$ से जीवा $y = mx + 1$ पर डाले गए लंब का पाद है।
समकोण त्रिभुज $CPR$ में,जहाँ $CR$ त्रिज्या $r = 1$ है,कोण $\angle PCR = {45^\circ}$ है।
अतः,$CP = r \cos({45^\circ}) = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी $\frac{|m(0) - 0 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
$CP$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$m^2 + 1 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$।
दिए गए विकल्पों में $-1$ उपलब्ध है,अतः सही विकल्प $-1$ है।

(D) समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक और परिकेंद्र एक ही बिंदु होते हैं।
दिया गया है कि मूलबिंदु $(0, 0)$ वृत्त का केंद्र है जो शीर्षों से गुजरता है,अतः यह त्रिभुज का परिकेंद्र है।
केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माध्यिका की लंबाई $3a$ है,इसलिए केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी (जो परिवृत्त की त्रिज्या $R$ है) $R = \frac{2}{3} \times 3a = 2a$ होगी।
केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $R = 2a$ वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$ है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $4a^2$ नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(B) माना अभीष्ट वृत्त $S_2$ का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि यह $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरता है,केंद्र $(h, k) = (\frac{1}{2}, k)$ होगा।
त्रिज्या $r^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = \frac{1}{4} + k^2$ है।
वृत्त $S_2$,$x^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(0, 0)$,त्रिज्या $R = 3$) को स्पर्श करता है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = R - r$ होती है।
$d^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = r^2$ है।
अतः $r^2 = (3 - r)^2 = 9 - 6r + r^2$,जिससे $6r = 9$ प्राप्त होता है,यानी $r = \frac{3}{2}$।
$r^2 = \frac{9}{4}$ को $r^2 = \frac{1}{4} + k^2$ में रखने पर,$\frac{9}{4} = \frac{1}{4} + k^2$,जिससे $k^2 = 2$,$k = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\left( \frac{1}{2}, -\sqrt{2} \right)$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ हो जाती है।
दाहिनी सीमा के लिए $(x \to 0^+)$,$|\sin x| = \sin x$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
बाईं सीमा के लिए $(x \to 0^-)$,$|\sin x| = -\sin x$,इसलिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
चूंकि बाईं सीमा और दाहिनी सीमा बराबर नहीं हैं,इसलिए सीमा का अस्तित्व नहीं है।

(C) मान लीजिए $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$.
अंश में $2f(2)$ जोड़ने और घटाने पर:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{xf(2) - 2f(2) + 2f(2) - 2f(x)}}{{x - 2}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ \frac{f(2)(x - 2)}{x - 2} - 2\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} \right]$
$L = f(2) - 2 \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}$
$L = f(2) - 2f'(2)$
दिया गया है कि $f(2) = 4$ और $f'(2) = 4$:
$L = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.

(A) हमें सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n} - [x]}}{{[x]}}$ दी गई है।
इसे $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} - \frac{{[x]}}{{[x]}} \right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
जैसे $x \to \infty,$ $[x] \approx x$ होता है।
अतः,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\log {x^n}}}{{[x]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{n \log x}}{x} = 0.$
इस प्रकार,अंतिम मान $0 - 1 = -1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$.
अंश और हर को $(\sqrt{f(x)} + 1)$ और $(\sqrt{x} + 1)$ से गुणा करने पर:
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(\sqrt{f(x)} - 1)(\sqrt{f(x)} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
$y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - 1}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1}$
चूंकि $f(1) = 1$,हम $f(x) - 1$ को $f(x) - f(1)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$y = \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \right) \times \left( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{f(x)} + 1} \right)$
$y = f'(1) \times \frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt{f(1)} + 1} = 2 \times \frac{2}{1 + 1} = 2 \times 1 = 2$.
वैकल्पिक रूप से,$L$-Hospital नियम का उपयोग करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}} f'(x)}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{f'(x) \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}} = \frac{f'(1) \sqrt{1}}{\sqrt{f(1)}} = \frac{2 \times 1}{1} = 2$.

(A) मान लीजिए $P(A), P(B),$ और $P(C)$ क्रमशः छात्रों $A, B,$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
$A$ द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$B$ द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$C$ द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
किसी के द्वारा भी समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(\text{none}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।
समस्या के हल होने की प्रायिकता $P(\text{solved}) = 1 - P(\text{none}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।

(A) दिया गया है: $P(A \cup B) = 3/4,$ $P(A \cap B) = 1/4,$ और $P(\bar{A}) = 2/3.$
सबसे पहले,$P(A)$ ज्ञात करें:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 2/3 = 1/3.$
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
$3/4 = 1/3 + P(B) - 1/4.$
$P(B) = 3/4 + 1/4 - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3.$
अब,$P(\bar{A} \cap B)$ की गणना करें:
$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B).$
$P(\bar{A} \cap B) = 2/3 - 1/4 = (8 - 3)/12 = 5/12.$

(B) माना लड़कियों के औसत अंक $x$ हैं।
कुल छात्रों की संख्या = $100$ है।
लड़कों की संख्या = $70$ है,इसलिए लड़कियों की संख्या = $100 - 70 = 30$ है।
कक्षा के कुल अंक = $100 \times 72 = 7200$ हैं।
लड़कों के कुल अंक = $70 \times 75 = 5250$ हैं।
लड़कियों के कुल अंक = $7200 - 5250 = 1950$ हैं।
लड़कियों के औसत अंक = $\frac{1950}{30} = 65$ हैं।

(C) $(1 + x)^{2n}$ के विस्तार में,$x^k$ का गुणांक $^{2n}C_k$ है,जहाँ $0 \le k \le 2n$ है।
दिया गया है कि $x^{3r}$ और $x^{r+2}$ के गुणांक समान हैं,इसलिए $^{2n}C_{3r} = ^{2n}C_{r+2}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_a = ^{n}C_b$ का उपयोग करते हुए,जिसका अर्थ है $a = b$ या $a + b = n$,हमें दो स्थितियाँ मिलती हैं:
स्थिति $1$: $3r = r + 2$ $\Rightarrow 2r = 2$ $\Rightarrow r = 1$। हालाँकि,यह दिया गया है कि $r > 1$,इसलिए यह स्थिति अमान्य है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 2) = 2n$ $\Rightarrow 4r + 2 = 2n$ $\Rightarrow 2n = 4r + 2$ $\Rightarrow n = 2r + 1$।
अतः,सही संबंध $n = 2r + 1$ है।

(A) रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करते हैं:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax + 2hy + 2g = 0 \implies ax + hy + g = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2hx + 2by + 2f = 0 \implies hx + by + f = 0$
चूंकि रेखाएं $y$-अक्ष पर प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक $x = 0$ है।
$x = 0$ को पहले आंशिक अवकलन समीकरण में रखने पर: $h(y) + g = 0 \implies y = -g/h$।
अब,$(0, -g/h)$ को मूल समीकरण $f(x, y) = 0$ में रखने पर:
$a(0)^2 + 2h(0)(-g/h) + b(-g/h)^2 + 2g(0) + 2f(-g/h) + c = 0$
$b(g^2/h^2) - 2fg/h + c = 0$
$h^2$ से गुणा करने पर,हमें $bg^2 - 2fgh + ch^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $bg^2 + ch^2 = 2fgh$ हो जाता है।

(A) मान लीजिए $(h, k)$ त्रिज्या $r = 3$ वाले वृत्त का केंद्र है। ऐसे वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 3^2 = 9$ है।
चूंकि केंद्र $(h, k)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ पर स्थित है,इसलिए मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त पर स्थित कोई भी बिंदु $(x, y)$ यह शर्त पूरी करता है कि उसकी $(h, k)$ से दूरी $3$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,मूल बिंदु से किसी भी बिंदु $(x, y)$ की दूरी $d$,$|\sqrt{h^2 + k^2} - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le \sqrt{h^2 + k^2} + 3$ को संतुष्ट करती है।
$\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|5 - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 5 + 3$ प्राप्त होता है।
यह $2 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 8$ में सरल हो जाता है।
वर्ग करने पर,हमें $4 \le x^2 + y^2 \le 64$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय ${y^2} = 8ax$ की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2a}{m}$ होता है।
यह रेखा वृत्त ${x^2} + {y^2} = 2{a^2}$ की भी स्पर्श रेखा है।
वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + \frac{2a}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{2}a$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|\frac{2a}{m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}a$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4a^2}{m^2(m^2 + 1)} = 2a^2$.
यह $m^4 + m^2 - 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(m^2 - 1)(m^2 + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$m^2 = 1$ लेने पर,$m = \pm 1$ मिलता है।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का समीकरण $y = \pm (x + 2a)$ है।

(A) हम जानते हैं कि यदि रूप $1^\infty$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x)}$ होता है।
यहाँ,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2 + x + 3} = 1$ है।
अतः,यह व्यंजक $1^\infty$ के रूप में है।
माना $f(x) = \frac{x^2 + 5x + 3}{x^2 + x + 3} - 1 = \frac{4x}{x^2 + x + 3}$ है।
तब,$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( \frac{4x}{x^2 + x + 3} \cdot x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{4x^2}{x^2 + x + 3}$ है।
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{4}{1 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{4}{1 + 0 + 0} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमा का मान $e^4$ है।

(D) माना $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2+ax+b=0$ के मूल हैं और $\gamma, \delta$ समीकरण $x^2+bx+a=0$ के मूल हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंधों से:
$\alpha+\beta = -a, \alpha\beta = b$
$\gamma+\delta = -b, \gamma\delta = a$
दिया गया है कि मूलों के बीच का अंतर समान है:
$|\alpha-\beta| = |\gamma-\delta|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\alpha-\beta)^2 = (\gamma-\delta)^2$
$(\alpha+\beta)^2 - 4\alpha\beta = (\gamma+\delta)^2 - 4\gamma\delta$
$(-a)^2 - 4b = (-b)^2 - 4a$
$a^2 - 4b = b^2 - 4a$
$a^2 - b^2 + 4a - 4b = 0$
$(a-b)(a+b) + 4(a-b) = 0$
$(a-b)(a+b+4) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a-b \neq 0$ है।
अतः,$a+b+4 = 0$.

(B) दिया गया है कि $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
$A.P.$ के लिए $2b = a + c$ का उपयोग करने पर:
$2 \log _9(3^{1-x}+2) = 1 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
गुणधर्म $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log _3(3^{1-x}+2) = \log _3 3 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
$\log _3(3^{1-x}+2) = \log _3(3(4 \cdot 3^x-1))$
$3^{1-x}+2 = 12 \cdot 3^x - 3$
माना $3^x = t$. तब $\frac{3}{t} + 2 = 12t - 3$
$3 + 2t = 12t^2 - 3t$
$12t^2 - 5t - 3 = 0$
$(4t - 3)(3t + 1) = 0$
चूंकि $t = 3^x > 0$,इसलिए $t = \frac{3}{4}$।
$3^x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$।

(A) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx$ को परिभाषित करें।
स्पष्ट है कि $F(0) = 0$ है।
साथ ही,$F(1) = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = \frac{2a + 3b + 6c}{6}$ है।
दिया गया है कि $2a + 3b + 6c = 0$,इसलिए $F(1) = 0$ है।
चूंकि $F(0) = F(1) = 0$ है और $F(x)$ एक बहुपद है,इसलिए रोले के प्रमेय (Rolle's Theorem) के अनुसार,$(0, 1)$ के बीच कम से कम एक $x$ ऐसा विद्यमान है जिसके लिए $F'(x) = 0$ है।
चूंकि $F'(x) = f(x) = ax^2 + bx + c$ है,इसलिए $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल अंतराल $(0, 1)$ में स्थित है।

(C) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \to R_3 - xR_1 - R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ 0 & 0 & -(ax^2 + 2bx + c) \end{array} \right|$.
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -(ax^2 + 2bx + c) \times (ac - b^2) = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$.
दिया गया है कि विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac = 4(b^2 - ac) < 0$,इसलिए $b^2 - ac < 0$ होगा।
चूंकि $a > 0$ और विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए द्विघात व्यंजक $ax^2 + 2bx + c$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$\Delta = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$ एक ऋणात्मक मान और एक धनात्मक मान का गुणनफल है,जिसका परिणाम ऋणात्मक होता है।

(D) समीकरण निकाय इस प्रकार है:
$x + y + z = 6$
$x + 2y + 3z = 10$
$x + 2y + \lambda z = 12$
एक रैखिक समीकरण निकाय $AX = B$ असंगत होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक अशून्य हो।
सबसे पहले,सारणिक $D$ की गणना करें:
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & \lambda \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1(2\lambda - 6) - 1(\lambda - 3) + 1(2 - 2)$
$D = 2\lambda - 6 - \lambda + 3 + 0$
$D = \lambda - 3$
निकाय के असंगत होने के लिए,हम $D = 0$ रखते हैं:
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$
अब,$\lambda = 3$ पर $D_z$ की गणना करके संगतता की जाँच करें:
$D_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & 2 & 10 \\ 1 & 2 & 12 \end{vmatrix}$
$D_z = 1(24 - 20) - 1(12 - 10) + 6(2 - 2)$
$D_z = 1(4) - 1(2) + 6(0) = 4 - 2 = 2$
चूंकि $D = 0$ और $D_z \neq 0$ है,इसलिए $\lambda = 3$ पर निकाय असंगत है।

(D) माना $A$ प्रथम पद है और $R$ $G$.$P$. का सार्व अनुपात है। तब,
$l = A R^{p-1} \Rightarrow \log l = \log A + (p-1) \log R$ ... $(i)$
$m = A R^{q-1} \Rightarrow \log m = \log A + (q-1) \log R$ ... $(ii)$
$n = A R^{r-1} \Rightarrow \log n = \log A + (r-1) \log R$ ... $(iii)$
माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log l & p & 1 \\ \log m & q & 1 \\ \log n & r & 1 \end{array} \right|$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - (\log A) C_3$ लागू करने पर,हम पाते हैं कि प्रथम स्तंभ के अवयव $(p-1)\log R, (q-1)\log R, (r-1)\log R$ हैं। चूँकि यह स्तंभ दूसरे और तीसरे स्तंभ का एक रैखिक संयोजन है,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(A) दिया गया है: $\cot^{-1}[(\cos \alpha)^{1/2}] - \tan^{-1}[(\cos \alpha)^{1/2}] = x$
सर्वसमिका $\cot^{-1}(y) = \tan^{-1}(\frac{1}{y})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}[\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}}] - \tan^{-1}[\sqrt{\cos \alpha}] = x$
सूत्र $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}(\frac{A-B}{1+AB})$ का उपयोग करने पर:
$\tan^{-1}[\frac{\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}} - \sqrt{\cos \alpha}}{1 + (\frac{1}{\sqrt{\cos \alpha}})(\sqrt{\cos \alpha})}] = x$
$\tan^{-1}[\frac{\frac{1-\cos \alpha}{\sqrt{\cos \alpha}}}{1+1}] = x$
$\tan x = \frac{1-\cos \alpha}{2\sqrt{\cos \alpha}}$
अब,हमें $\sin x$ ज्ञात करना है। एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करके जहाँ सम्मुख भुजा $1-\cos \alpha$ और आसन्न भुजा $2\sqrt{\cos \alpha}$ है:
कर्ण = $\sqrt{(1-\cos \alpha)^2 + (2\sqrt{\cos \alpha})^2} = \sqrt{1 - 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha + 4\cos \alpha} = \sqrt{1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha} = \sqrt{(1+\cos \alpha)^2} = 1+\cos \alpha$
अतः,$\sin x = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2\sin^2(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \tan^2(\frac{\alpha}{2})$.

(A) माना कि दो बल $P$ और $Q$ हैं,जहाँ $Q > P$ है।
दिया गया है कि बलों का योग $P + Q = 18 \ N$ है।
माना कि परिणामी बल $R = 12 \ N$ छोटे बल $P$ के लंबवत है।
परिणामी बल $R$ और बल $P$ के बीच का कोण $90^o$ है।
परिणामी बल की दिशा का सूत्र $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ है,जहाँ $\theta$ बलों के बीच का कोण है।
चूँकि परिणामी बल $P$ के लंबवत है,$\tan 90^o = \infty$,जिसका अर्थ है $P + Q \cos \theta = 0$,या $\cos \theta = -\frac{P}{Q}$।
परिणामी बल के परिमाण के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$।
$\cos \theta = -\frac{P}{Q}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(-\frac{P}{Q}) = P^2 + Q^2 - 2P^2 = Q^2 - P^2$।
$144 = (Q - P)(Q + P)$।
चूँकि $Q + P = 18$,हमारे पास $144 = (Q - P) \times 18$ है,इसलिए $Q - P = 8$।
समीकरणों $Q + P = 18$ और $Q - P = 8$ को हल करने पर:
समीकरणों को जोड़ने पर: $2Q = 26 \Rightarrow Q = 13 \ N$।
समीकरणों को घटाने पर: $2P = 10 \Rightarrow P = 5 \ N$।
अतः,दोनों बलों के परिमाण $13 \ N$ और $5 \ N$ हैं।

(D) दिया गया है कि $|a| = 3$,$|b| = 4$,और $|c| = 5$ है।
साथ ही,$a + b + c = 0$ है।
समीकरण $a + b + c = 0$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a + b + c|^2 = 0^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$9 + 16 + 25 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$50 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -50$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -25$.

(C) दिया गया है,$a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = -c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |-c|^2$ प्राप्त होता है।
$|u|^2 = u \cdot u$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ मिलता है।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है,इसलिए $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$ होगा।
दिए गए मान $|a| = 3, |b| = 5, |c| = 7$ रखने पर:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 60^\circ$।

(C) दिया गया है कि $a + b + c = 0.$
दोनों पक्षों में $a$ के साथ सदिश गुणन (cross product) लेने पर:
$a \times (a + b + c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
चूंकि $a \times a = 0,$ इसलिए $a \times b + a \times c = 0,$ जिसका अर्थ है $a \times b = - (a \times c) = c \times a$ .....$(i)$
इसी प्रकार,दोनों पक्षों में $b$ के साथ सदिश गुणन लेने पर:
$b \times (a + b + c) = b \times 0$
$b \times a + b \times b + b \times c = 0$
चूंकि $b \times b = 0,$ इसलिए $b \times a + b \times c = 0,$ जिसका अर्थ है $-(a \times b) = b \times c,$ या $a \times b = b \times c$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $a \times b = b \times c = c \times a$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि दो सदिशों $a$ और $b$ के सदिश गुणनफल का परिमाण $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है $|a| = 4$,$|b| = 2$,और $\theta = \frac{\pi}{6}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $|a \times b| = 4 \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
चूंकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,इसलिए $|a \times b| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
अतः,$|a \times b|^2 = 4^2 = 16$.

(A) हम जानते हैं कि तीन सदिशों $x, y, z$ का अदिश त्रिक गुणनफल $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ द्वारा दिया जाता है।
माना $x = a \times b$,$y = b \times c$,और $z = c \times a$ है।
तब $[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ((b \times c) \times (c \times a))$ होगा।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ का उपयोग करने पर:
$(b \times c) \times (c \times a) = ([b, c, a]c - [b, c, c]a)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $[b, c, c] = 0$ और $[b, c, a] = [a, b, c]$ है,हमें मिलता है:
$(b \times c) \times (c \times a) = [a, b, c]c$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ([a, b, c]c) = [a, b, c] (a \times b) \cdot c = [a, b, c] [a, b, c]$।
दिया गया है कि $[a, b, c] = 4$,अतः:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = 4 \times 4 = 16$।

(A) बिंदु $(3, 2, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 0) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए यह रेखा पर स्थित बिंदु $(3, 6, 4)$ से भी गुजरता है।
$(3, 6, 4)$ को $(i)$ में रखने पर,$A(3 - 3) + B(6 - 2) + C(4 - 0) = 0$,जो $4B + 4C = 0$ अर्थात $B + C = 0 \dots (ii)$ देता है।
साथ ही,समतल का अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ रेखा के दिशा सदिश $(1, 5, 4)$ के लंबवत होता है। अतः,$1A + 5B + 4C = 0 \dots (iii)$।
$(ii)$ से,$C = -B$। इसे $(iii)$ में रखने पर,$A + 5B - 4B = 0$,अर्थात $A = -B$।
मान लीजिए $B = -1$,तो $A = 1$ और $C = 1$।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$1(x - 3) - 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$,जिसका सरल रूप $x - y + z = 1$ प्राप्त होता है।

(B) $(1, 0, 0)$ और $(0, 1, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण अंतःखंड रूप में $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} + \frac{z}{c} = 1$ लिखा जा सकता है,जहाँ $c$ एक $z$-अंतःखंड है।
यह समीकरण $x + y + \frac{z}{c} = 1$ हो जाता है।
इस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1, 1, \frac{1}{c})$ हैं।
दिया गया समतल $x + y = 3$ है,और इसके अभिलंब के दिक्-अनुपात $(1, 1, 0)$ हैं।
दो समतलों के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1(1) + 1(1) + \frac{1}{c}(0)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (\frac{1}{c})^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} \cdot \sqrt{2}}$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$1 = \frac{2}{\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}}}$.
$\sqrt{2 + \frac{1}{c^2}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2 + \frac{1}{c^2} = 4$.
$\frac{1}{c^2} = 2 \Rightarrow c^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः दिक्-अनुपात $(1, 1, \frac{1}{c}) = (1, 1, \sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \sin^{-1} \left[ \log_3 \left( \frac{x}{3} \right) \right]$ है।
फलन $\sin^{-1}(u)$ को परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $u$ को $-1 \le u \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इसलिए,हमारे पास $-1 \le \log_3 \left( \frac{x}{3} \right) \le 1$ होना चाहिए।
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,आधार $3$ के साथ घातांक लेने पर:
$3^{-1} \le \frac{x}{3} \le 3^1$.
यह सरल होकर $\frac{1}{3} \le \frac{x}{3} \le 3$ हो जाता है।
पूरी असमिका को $3$ से गुणा करने पर,हमें $1 \le x \le 9$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रांत $x \in [1, 9]$ है।

(A) दिया गया है $y = (x + \sqrt{1 + x^2})^n$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})$
$\frac{dy}{dx} = n(x + \sqrt{1 + x^2})^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{n(x + \sqrt{1 + x^2})^n}{\sqrt{1 + x^2}}$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$।
दोनों पक्षों का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}) = \frac{d}{dx}(ny)$
$\sqrt{1 + x^2} \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = n \frac{dy}{dx}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1 + x^2}$ से गुणा करने पर:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n \sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx}$
चूंकि $\sqrt{1 + x^2} \frac{dy}{dx} = ny$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(1 + x^2) \frac{d^2y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} = n(ny) = n^2y$।

(D) दिया गया है कि $f''(x) - g''(x) = 0$.
$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f'(x) - g'(x) = c$ प्राप्त होता है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
$x = 1$ पर,$f'(1) - g'(1) = c \implies 2 - 4 = c \implies c = -2$.
अतः,$f'(x) - g'(x) = -2$.
पुनः $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) - g(x) = -2x + c_1$ प्राप्त होता है,जहाँ $c_1$ एक स्थिरांक है।
$x = 2$ पर,$f(2) - g(2) = -2(2) + c_1 \implies 3 - 9 = -4 + c_1 \implies -6 = -4 + c_1 \implies c_1 = -2$.
इसलिए,$f(x) - g(x) = -2x - 2$.
$x = 3/2$ पर,$f(3/2) - g(3/2) = -2(3/2) - 2 = -3 - 2 = -5$.

(C) दिया गया फलन समीकरण $f(x + y) = f(x)f(y)$ है।
$y = 0$ रखने पर,हमें $f(x + 0) = f(x)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(x) = f(x)f(0)$। चूंकि $f(5) = 2$,$f(x)$ शून्य नहीं है,इसलिए $f(0) = 1$ है।
अवकलन की परिभाषा के अनुसार,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$।
$f(x + h) = f(x)f(h)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(0) = 1$,यह $f'(x) = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f(x)f'(0)$ हो जाता है।
दिया गया है कि $f(5) = 2$ और $f'(0) = 3$,इसलिए $f'(5) = f(5)f'(0) = 2 \times 3 = 6$।

(C) माना $I = \int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$.
चूँकि फलन $[x^2]$ उन बिंदुओं पर अपना मान बदलता है जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए हम अंतराल $[0, \sqrt{2}]$ को विभाजित करते हैं।
$0 \le x < 1$ के लिए,$0 \le x^2 < 1$,अतः $[x^2] = 0$.
$1 \le x \le \sqrt{2}$ के लिए,$1 \le x^2 \le 2$,अतः $[x^2] = 1$.
इस प्रकार,$I = \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} 1 \, dx$.
$I = 0 + [x]_{1}^{\sqrt{2}}$.
$I = \sqrt{2} - 1$.

(A) हमें दिया गया सीमा है: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{1^p} + {2^p} + {3^p} + ..... + {n^p}}}{{{n^{p + 1}}}}$
इसे योग के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 1}^n {\left( {\frac{r}{n}} \right)^p}$
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} \sum\limits_{r = 1}^n {f\left( {\frac{r}{n}} \right)} = \int_0^1 {f(x)dx}$,जहाँ $f(x) = x^p$ है।
अतः,समाकलन हो जाता है: $\int_0^1 {x^p dx}$
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $\left[ {\frac{{{x^{p + 1}}}}{{p + 1}}} \right]_0^1 = \frac{1^{p+1}}{p+1} - \frac{0^{p+1}}{p+1} = \frac{1}{{p + 1}}$.

(B) दिया गया है ${I_n} = \int_{0}^{\pi /4} {\tan^n x} \,dx$.
हम जानते हैं कि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$.
अतः,${I_n} = \int_{0}^{\pi /4} {\tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1)} \,dx$.
${I_n} = \int_{0}^{\pi /4} {\tan^{n-2} x \sec^2 x} \,dx - \int_{0}^{\pi /4} {\tan^{n-2} x} \,dx$.
${I_n} = \left[ \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} \right]_{0}^{\pi /4} - {I_{n-2}}$.
चूंकि $\tan(\pi/4) = 1$ और $\tan(0) = 0$,इसलिए ${I_n} = \frac{1}{n-1} - {I_{n-2}}$.
इस प्रकार,${I_n} + {I_{n-2}} = \frac{1}{n-1}$.
अब,हमें $\lim_{n \to \infty} n[{I_n} + {I_{n-2}}]$ का मान ज्ञात करना है।
$\lim_{n \to \infty} n \left( \frac{1}{n-1} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - 1/n} = 1$.

(A) हम जानते हैं कि $\ln x$,$x > 0$ के लिए परिभाषित है और $\ln |x|$,सभी $x \in \mathbb{R} - \{0\}$ के लिए परिभाषित है।
साथ ही,$|\ln x| \ge 0$ और $|\ln |x|| \ge 0$ है।
इन वक्रों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल $4 \times \int_{0}^{1} |\ln x| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x \in (0, 1)$ के लिए,$\ln x < 0$ है,इसलिए $|\ln x| = -\ln x$ होगा।
क्षेत्रफल $= -4 \int_{0}^{1} \ln x \, dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int \ln x \, dx = x \ln x - x$ प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= -4 [x \ln x - x]_{0}^{1} = -4 [(1 \ln 1 - 1) - (\lim_{x \to 0^+} x \ln x - 0)]$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ है,इसलिए क्षेत्रफल $= -4 [0 - 1 - 0] = -4(-1) = 4 \, sq. \, units$ होगा।

(D) हम जानते हैं कि फलन $f(x) = |\sin x|$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
गुणधर्म $\int_{a}^{a+nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $T$ आवर्तकाल है:
$\int_{\,\pi }^{\,10\pi } {|\sin x|dx} = \int_{\,0}^{\,9\pi } {|\sin x|dx}$ (सीमाओं को $-\pi$ स्थानांतरित करने पर)।
चूंकि आवर्तकाल $\pi$ है,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$9 \int_{\,0}^{\,\pi } {|\sin x|dx} = 9 \int_{\,0}^{\,\pi } {\sin x dx}$ (क्योंकि $[0, \pi]$ में $\sin x \ge 0$ है)।
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$9 [-\cos x]_{0}^{\pi} = 9 (-(\cos \pi) + \cos 0) = 9 (-(-1) + 1) = 9(1 + 1) = 18$.

(B) माना $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.
हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} + \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.
प्रथम भाग के लिए,$f(x) = \frac{2x}{1 + \cos^2 x}$ लें। चूंकि $f(-x) = \frac{-2x}{1 + \cos^2(-x)} = -f(x)$,फलन विषम है। अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$.
दूसरे भाग के लिए,$g(x) = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x}$ लें। चूंकि $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1 + \cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} = g(x)$,फलन सम है। अतः,$\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx = 2 \int_0^{\pi} g(x) dx$.
अतः,$I = 2 \int_0^{\pi} \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(i)$.
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.
$I = 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.
माना $t = \cos x$,तब $dt = -\sin x dx$. जब $x=0, t=1$; जब $x=\pi, t=-1$.
$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = 2\pi [\tan^{-1} t]_{-1}^1$.
$I = 2\pi (\tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(-1)) = 2\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 2\pi (\frac{\pi}{2}) = \pi^2$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{d^2y}{dx^2} = e^{-2x}$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{d^2y}{dx^2} dx = \int e^{-2x} dx$
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-2x}}{-2} + c = -\frac{1}{2}e^{-2x} + c$ प्राप्त होता है।
पुनः दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{dx} dx = \int (-\frac{1}{2}e^{-2x} + c) dx$
$y = -\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{-2x}}{-2} + cx + d$
$y = \frac{1}{4}e^{-2x} + cx + d$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) अवकल समीकरण की कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पहले भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $3$ लेनी होगी।
दिया गया समीकरण: ${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^{\frac{2}{3}}} = 4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$
दोनों पक्षों का घन करने पर:
${\left( {1 + 3\frac{{dy}}{{dx}}} \right)^2} = {\left( {4\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}} \right)^3}$
अब,यह समीकरण अवकलजों के रूप में एक बहुपद है।
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज है,जो कि $\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}}$ की घात $3$ है।
अतः,कोटि $3$ है और घात $3$ है।

(D) यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का एक प्रश्न है जहाँ $n = 5$ परीक्षण किए जाते हैं।
पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या (सफलता) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण (variance) ज्ञात करने का सूत्र $\text{Variance} = npq$ है।
मान रखने पर: $\text{Variance} = 5 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$.

(B) दिए गए सदिश $a = 3i - 5j$ और $b = 6i + 3j$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $c = a \times b$ की गणना करते हैं:
$c = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -5 & 0 \\ 6 & 3 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - 0) - j(0 - 0) + k(9 - (-30)) = 39k$.
अब,हम सदिशों के परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|b| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45}$.
$|c| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 39^2} = 39$.
अतः,अनुपात $|a|:|b|:|c|$ का मान $\sqrt{34} : \sqrt{45} : 39$ है।