AIEEE 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना $P$ छोटा बल है और $Q$ बड़ा बल है। प्रश्न के अनुसार:
$P + Q = 18$......$(i)$
दिया गया है कि परिणामी बल $R = 12 \; N$,छोटे बल $P$ के लंबवत है,इसलिए $R$ और $P$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
परिणामी बल की दिशा के लिए सूत्र: $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$.
चूंकि $\alpha = 90^{\circ}$,$\tan 90^{\circ} = \infty$,जिसका अर्थ है कि $P + Q \cos \theta = 0$,इसलिए $Q \cos \theta = -P$......$(ii)$
परिणामी बल का परिमाण $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$R = 12$ और $Q \cos \theta = -P$ को समीकरण में रखने पर:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2P(-P)$
$144 = P^2 + Q^2 - 2P^2$
$144 = Q^2 - P^2$
$144 = (Q - P)(Q + P)$
चूंकि $Q + P = 18$,इसलिए $144 = (Q - P)(18)$,जिससे $Q - P = 8$ प्राप्त होता है......$(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर: $2Q = 26 \implies Q = 13 \; N$.
समीकरण $(i)$ से $(iii)$ को घटाने पर: $2P = 10 \implies P = 5 \; N$.
अतः,बलों के परिमाण $5 \; N$ और $13 \; N$ हैं।

(A) आघूर्ण (टॉर्क) का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
कार्य का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।
चूंकि दोनों का विमीय सूत्र समान है,इसलिए उनके आयाम समान हैं।
अतः,सही युग्म आघूर्ण और कार्य है।

(D) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 + 2as$। चूंकि कारों को रोका जा रहा है,इसलिए अंतिम वेग $v = 0$ है।
अतः,$0 = u^2 - 2as$,जिससे रुकने की दूरी $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होती है।
चूंकि दोनों कारें समान हैं और समान ब्रेकिंग बल के तहत रुकती हैं,इसलिए मंदन $a$ दोनों के लिए समान होगा।
इस प्रकार,$s \propto u^2$।
दूरियों का अनुपात $\frac{s_1}{s_2} = \left( \frac{u_1}{u_2} \right)^2 = \left( \frac{u}{4u} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$ है।
अतः,अनुपात $1:16$ है।

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $v^2 = u^2 + 2gh$,जहाँ $u$ प्रारंभिक चाल है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ इमारत की ऊँचाई है।
गेंद $A$ के लिए जिसे ऊपर की ओर फेंका गया है: प्रारंभिक वेग $u$ ऊपर की ओर है। यह एक निश्चित ऊँचाई तक जाएगी और फिर वापस जमीन पर आएगी। जब यह प्रक्षेपण बिंदु से नीचे की ओर गुजरती है,तो इसकी चाल नीचे की ओर $u$ होगी। अतः,यह $v_A = \sqrt{u^2 + 2gh}$ चाल के साथ जमीन पर पहुँचती है।
गेंद $B$ के लिए जिसे नीचे की ओर फेंका गया है: प्रारंभिक वेग $u$ नीचे की ओर है। यह $v_B = \sqrt{u^2 + 2gh}$ चाल के साथ जमीन पर पहुँचती है।
चूँकि दोनों गेंदों के लिए $u$,$g$ और $h$ समान हैं,इसलिए $v_A = v_B$ होगा।

(B) समतल वृत्ताकार मोड़ पर फिसलने से बचने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$v^2 = \mu rg$
$v = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 150 \, m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.6$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{0.6 \times 150 \times 10}$
$v = \sqrt{900}$
$v = 30 \, m/s$
अतः,अधिकतम वेग $30 \, m/s$ है।

(B) गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ है।
उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग $v_h = v \cos \theta$ होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ है।
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
यहाँ $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(C) $1$. जमीन पर स्थिर खड़े व्यक्ति (जड़त्वीय निर्देश फ्रेम) के लिए,गेंद केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में है। इसलिए,इसका त्वरण नीचे की ओर $g$ है।
$2$. लिफ्ट के अंदर बैठे व्यक्ति (अजड़त्वीय निर्देश फ्रेम) के लिए,हमें छद्म बल (pseudo force) लागू करना होगा। लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही है,इसलिए गेंद पर ऊपर की ओर $ma$ छद्म बल कार्य करता है।
$3$. लिफ्ट फ्रेम में गेंद पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = mg - ma$ (नीचे की ओर) है।
$4$. लिफ्ट में बैठे व्यक्ति द्वारा प्रेक्षित त्वरण $a_{lift} = F_{net} / m = (mg - ma) / m = g - a$ (नीचे की ओर) है।
$5$. अतः,त्वरण क्रमशः $g - a$ और $g$ हैं।

(C) मान लीजिए कि व्यक्ति का द्रव्यमान $m = 60 \ kg$ है और रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{max} = 360 \ N$ है।
जब कोई व्यक्ति $a$ त्वरण के साथ रस्सी पर ऊपर चढ़ता है,तो रस्सी में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम सुरक्षित त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम $T = T_{max} = 360 \ N$ और $g = 10 \ m \ s^{-2}$ रखते हैं।
$360 = 60(10 + a)$
$6 = 10 + a$
$a = 6 - 10 = -4 \ m \ s^{-2}$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यदि तनाव सीमा $360 \ N$ है तो व्यक्ति ऊपर नहीं चढ़ सकता है,क्योंकि उसका वजन $(mg = 600 \ N)$ रस्सी की क्षमता से अधिक है।
हालाँकि,यदि व्यक्ति नीचे उतर रहा है,तो समीकरण $T = m(g - a)$ है।
$360 = 60(10 - a)$
$6 = 10 - a$
$a = 4 \ m \ s^{-2}$.
इस प्रकार,व्यक्ति $4 \ m \ s^{-2}$ के अधिकतम त्वरण के साथ सुरक्षित रूप से नीचे उतर सकता है।

(A) कण के स्थिर रहने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{F_1} = -(\vec{F_2} + \vec{F_3})$.
चूंकि $F_2$ और $F_3$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए परिणामी बल $(\vec{F_2} + \vec{F_3})$ का परिमाण $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ है।
अतः,$F_1$ का परिमाण $F_1 = \sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ है।
जब बल $F_1$ को हटा दिया जाता है,तो कण पर कार्य करने वाला शेष कुल बल $\vec{F_2} + \vec{F_3}$ है।
इस कुल बल का परिमाण $\sqrt{F_2^2 + F_3^2}$ है,जो $F_1$ के बराबर है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{F_1}{m}$ प्राप्त होता है।

(B) एक स्प्रिंग को प्रारंभिक विस्तार $x_1$ से अंतिम विस्तार $x_2$ तक खींचने में किया गया कार्य $W$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \frac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$.
दिया गया है:
बल नियतांक $k = 800\, N/m$.
प्रारंभिक विस्तार $x_1 = 5\, cm = 0.05\, m$.
अंतिम विस्तार $x_2 = 15\, cm = 0.15\, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 800 \times ((0.15)^2 - (0.05)^2)$
$W = 400 \times (0.0225 - 0.0025)$
$W = 400 \times 0.0200$
$W = 8\, J$.

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है। $s_1 = 3 \, cm$ प्रवेश करने के बाद,वेग $v_1 = u/2$ हो जाता है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(u/2)^2 = u^2 + 2a(3)$
$u^2/4 = u^2 + 6a$
$6a = -3u^2/4$
$a = -u^2/8$
अब,दूसरे भाग के लिए,प्रारंभिक वेग $u/2$ है और अंतिम वेग $0$ है। माना तय की गई अतिरिक्त दूरी $x$ है।
$0^2 = (u/2)^2 + 2ax$
$0 = u^2/4 + 2(-u^2/8)x$
$u^2/4 = (u^2/4)x$
$x = 1 \, cm$.

(B) न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,कोई भी गतिशील वस्तु तब तक सीधी रेखा में एकसमान वेग से चलती रहती है जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगाया जाए।
वृत्ताकार कक्षा में,गुरुत्वाकर्षण बल उपग्रह को वृत्त में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यदि गुरुत्वाकर्षण बल अचानक गायब हो जाता है,तो उपग्रह के वेग की दिशा बदलने के लिए कोई अभिकेंद्र बल नहीं बचेगा।
इसलिए,दिशा के जड़त्व के कारण,उपग्रह उस क्षण अपने वेग की दिशा में एक सीधी रेखा में चलना जारी रखेगा।
चूंकि वेग सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है,इसलिए उपग्रह मूल कक्षा के स्पर्शरेखीय दिशा में $v$ वेग के साथ गति करेगा।

(D) $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान वाले पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पिंड को प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2R$ से अंतिम त्रिज्या $r_2 = 3R$ तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है,$\Delta U = U_f - U_i$.
$\Delta U = \left( -\frac{GMm}{3R} \right) - \left( -\frac{GMm}{2R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{1}{2R} - \frac{1}{3R} \right)$.
$\Delta U = GMm \left( \frac{3 - 2}{6R} \right) = \frac{GMm}{6R}$.

(C) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है,जो पलायन वेग पर गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा $(K)$ = $\frac{1}{2}mv_e^2$.
$v_e$ का मान रखने पर:
$K = \frac{1}{2}m(\sqrt{2gR})^2$.
$K = \frac{1}{2}m(2gR)$.
$K = mgR$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से किसी पिंड के पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
यहाँ,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल उस ग्रह (या खगोलीय पिंड) के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है जिससे वस्तु को प्रक्षेपित किया जा रहा है।
यह प्रक्षेपित किए जाने वाले पिंड के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,पलायन वेग $m^0$ के समानुपाती होता है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित एक छोटे छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{2gh}$
दिया गया है:
बेलन की ऊँचाई $h = 20\;m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\;m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20}$
$v = \sqrt{400}$
$v = 20\;m/s$
अतः,बाहर निकलने वाले पानी का वेग $20\;m/s$ है।

(B) $m$ द्रव्यमान और $c$ विशिष्ट ऊष्मा वाले किसी पिंड का तापमान $\Delta \theta$ तक बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा $Q$ का सूत्र है: $Q = m \cdot c \cdot \Delta \theta$।
यदि हम तापमान में परिवर्तन $\Delta \theta = 1^oC$ (या $1\,K$) लेते हैं,तो समीकरण $Q = m \cdot c$ हो जाता है।
गुणनफल $m \cdot c$ को पिंड की ऊष्मीय धारिता (Thermal capacity) के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,किसी पिंड का तापमान $1^oC$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा उसकी ऊष्मीय धारिता कहलाती है।

(C) मान लीजिए प्रारंभिक आयतन $V_{i}$ है और प्रारंभिक तापमान $T_{i}$ है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,प्रारंभिक दबाव $P_{i} = \frac{n R T_{i}}{V_{i}}$ है।
दिया गया है कि अंतिम आयतन $V_{f} = 2 V_{i}$ और अंतिम तापमान $T_{f} = \frac{T_{i}}{2}$ है।
अंतिम दबाव $P_{f} = \frac{n R T_{f}}{V_{f}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P_{f} = \frac{n R (T_{i} / 2)}{2 V_{i}} = \frac{1}{4} \left( \frac{n R T_{i}}{V_{i}} \right)$.
अतः,$P_{f} = \frac{1}{4} P_{i} = 0.25 P_{i}$।
इस प्रकार,दबाव प्रारंभिक दबाव का $0.25$ गुना हो जाता है।

(A) किसी गैस का वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में परम तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
मान लीजिए हाइड्रोजन का तापमान $T_H$ है और ऑक्सीजन का तापमान $T_O$ है। दिया गया है $T_O = 47^{\circ}C = 47 + 273 = 320 \; K$।
हाइड्रोजन $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_H = 2 \; g/mol$ है और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_O = 32 \; g/mol$ है।
प्रश्न के अनुसार,$RMS$ वेग बराबर हैं:
$\sqrt{\frac{3RT_H}{M_H}} = \sqrt{\frac{3RT_O}{M_O}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$\frac{T_H}{M_H} = \frac{T_O}{M_O}$
मान रखने पर:
$\frac{T_H}{2} = \frac{320}{32}$
$\frac{T_H}{2} = 10$
$T_H = 20 \; K$.

(C) गैस का तापमान उसके अणुओं की यादृच्छिक गति के कारण उनकी औसत गतिज ऊर्जा से संबंधित होता है।
जब कोई पात्र एक समान गति से चलता है,तो पूरा पात्र (अंदर के गैस के अणुओं सहित) संदर्भ के एक फ्रेम के रूप में चलता है।
चूंकि ट्रक एक समान गति से चल रहा है,इसलिए पात्र के सापेक्ष गैस के अणुओं पर कोई त्वरण कार्य नहीं कर रहा है।
चूंकि गैस का दबाव $P$ और आयतन $V$ स्थिर रहता है,और ट्रक की एक समान गति के कारण गैस की आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए गैस के अणुओं का तापमान समान रहता है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
$100\%$ दक्षता प्राप्त करने के लिए,हमें $\eta = 1$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = 0$।
यह स्थिति केवल तभी पूरी हो सकती है जब $T_2 = 0 \text{ K}$ (परम शून्य तापमान) हो।
ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार,सीमित चरणों में परम शून्य तापमान तक पहुँचना असंभव है।
इसके अलावा,यदि $T_2 = 0 \text{ K}$ होता,तो स्रोत से ली गई सारी ऊष्मा कार्य में परिवर्तित हो जाती,जो ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम (केल्विन-प्लांक कथन) का उल्लंघन है।
इसलिए,हम परम शून्य तापमान तक नहीं पहुँच सकते।

(B) इन्फ्रारेड विकिरण दृश्य प्रकाश की तुलना में लंबी तरंग दैर्ध्य वाला विद्युत चुम्बकीय विकिरण है।
चूंकि ये विकिरण गर्मी से जुड़े होते हैं,इसलिए इनका पता आमतौर पर पायरोमीटर का उपयोग करके लगाया जाता है,जो किसी वस्तु द्वारा उत्सर्जित थर्मल विकिरण की तीव्रता को मापता है।

(A) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $T$ तापमान वाले गोले द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित ऊर्जा $(P)$ $P = \sigma A T^4$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = 4 \pi r^2$ सतह का क्षेत्रफल है और $\sigma$ स्टीफन-बोल्ट्जमैन स्थिरांक है।
अतः,$P = \sigma (4 \pi r^2) T^4$.
दोनों गोलों द्वारा उत्सर्जित ऊर्जा का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\sigma (4 \pi r_1^2) T_1^4}{\sigma (4 \pi r_2^2) T_2^4} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 \left( \frac{T_1}{T_2} \right)^4$ है।
दिया गया है कि $r_1 = 1 \; m$,$r_2 = 4 \; m$,$T_1 = 4000 \; K$,और $T_2 = 2000 \; K$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{1}{4} \right)^2 \left( \frac{4000}{2000} \right)^4 = \left( \frac{1}{16} \right) \times (2)^4 = \frac{16}{16} = 1$.
इसलिए,अनुपात $1:1$ है।

(C) एक सरल आवर्ती दोलक की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा $(U)$ इस प्रकार दी जाती है:
$K.E. = \frac{1}{2} k(A^2 - x^2)$
$U = \frac{1}{2} k x^2$
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $x = 0$ होता है।
समीकरणों में $x = 0$ रखने पर:
$K.E. = \frac{1}{2} k A^2$ (जो अधिकतम मान है)
$U = \frac{1}{2} k (0)^2 = 0$ (जो न्यूनतम मान है)
अतः,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा अधिकतम और स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(D) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लोलक की प्रभावी लंबाई है (निलंबन बिंदु से दोलन करने वाली वस्तु के द्रव्यमान केंद्र तक की दूरी)।
जब चिंपांजी खड़ा हो जाता है,तो निकाय का द्रव्यमान केंद्र ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है,जो निलंबन बिंदु के करीब आ जाता है।
इसके परिणामस्वरूप झूले की प्रभावी लंबाई $l$ कम हो जाती है।
चूंकि $T \propto \sqrt{l}$,इसलिए $l$ में कमी आने से आवर्तकाल $T$ भी कम हो जाएगा।

(B) स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
जब $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $k' = nk$ हो जाता है।
चूंकि प्रत्येक भाग के लिए द्रव्यमान $m$ समान रहता है,नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{nk}}$ होगा।
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T' = \frac{T}{\sqrt{n}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि ज्ञात ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n_A = 288 \, Hz$ है और अज्ञात फोर्क की आवृत्ति $n_B$ है।
प्रारंभ में,बीट आवृत्ति $x = |n_A - n_B| = 4 \, Hz$ है।
इसका अर्थ है कि $n_B = 288 \pm 4$,इसलिए $n_B$ या तो $292 \, Hz$ है या $284 \, Hz$ है।
जब अज्ञात फोर्क पर मोम लगाया जाता है,तो इसकी आवृत्ति $n_B$ घट जाती है $(n_B \downarrow)$।
मोम लगाने के बाद,नई बीट आवृत्ति $x' = 2 \, Hz$ है।
स्थिति $1$: यदि $n_B = 284 \, Hz$ है,तो $n_B$ का मान $288 \, Hz$ से और दूर हो जाता है,जिससे बीट आवृत्ति बढ़ जाएगी $(|288 - 283| = 5 \, Hz)$,जो अवलोकन के विपरीत है।
स्थिति $2$: यदि $n_B = 292 \, Hz$ है,तो $n_B$ का मान $288 \, Hz$ के करीब आता है,जिससे बीट आवृत्ति घट जाती है $(|288 - 290| = 2 \, Hz)$।
यह दिए गए अवलोकन से मेल खाता है।
अतः,अज्ञात फोर्क की आवृत्ति $292 \, Hz$ है।

(B) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ संबंध द्वारा दी जाती है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है और $\rho$ पदार्थ का घनत्व है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,पदार्थ का यंग मापांक $Y$ घट जाता है और थर्मल विस्तार के कारण ट्यूनिंग फोर्क की लंबाई $l$ बढ़ जाती है।
ये दोनों कारक ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति में कमी लाने में योगदान करते हैं।
यह संबंध $n_t = n_0(1 - \alpha t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_t$ तापमान $t^\circ C$ पर आवृत्ति है,$n_0$ तापमान $0^\circ C$ पर आवृत्ति है,और $\alpha$ पदार्थ के गुणों से संबंधित एक स्थिरांक है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक स्थिर तरंग समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में चलने से बनती है।
दी गई आपतित तरंग $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ है।
बिंदु $x = 0$ के एक निस्पंद होने के लिए,$x = 0$ पर सभी समय $t$ के लिए परिणामी विस्थापन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए दूसरी तरंग $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ है।
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ होता है।
इसे एक निस्पंद (शून्य विस्थापन) होने के लिए,$\cos (\phi/2) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\phi/2 = \pi/2$,या $\phi = \pi$।
दूसरी तरंग के समीकरण में $\phi = \pi$ रखने पर:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$।

(B) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,डोरी की लंबाई $L$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $L = n \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{2L}{n}$ है।
अधिकतम तरंगदैर्ध्य प्राप्त करने के लिए,हमें $n$ का सबसे छोटा संभव मान चुनना होगा,जो कि $n = 1$ (मूल विधा) है।
$n = 1$ और $L = 40 \ cm$ रखने पर:
$\lambda_{max} = \frac{2 \times 40 \ cm}{1} = 80 \ cm$.

(C) $l$ लंबाई वाली खुली ऑर्गन पाइप (नली $A$) के लिए,मूल आवृत्ति $n_A = \frac{v}{2l}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
समान लंबाई $l$ वाली बंद ऑर्गन पाइप (नली $B$) के लिए,मूल आवृत्ति $n_B = \frac{v}{4l}$ द्वारा दी जाती है।
नली $A$ और नली $B$ की मूल आवृत्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{n_A}{n_B} = \frac{v/2l}{v/4l} = \frac{4l}{2l} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) बिंदु $O$ के परितः किसी कण का कोणीय संवेग $L_{ang}$ उसके स्थिति सदिश $\vec{r}$ और उसके रैखिक संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ के सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$L_{ang} = |\vec{r} \times \vec{p}| = |\vec{r} \times m\vec{v}| = m v r \sin(\theta)$ होता है।
यहाँ,$r \sin(\theta)$ बिंदु $O$ से कण की गति की रेखा तक की लंबवत दूरी को दर्शाता है,जिसे चित्र में $l$ के रूप में दिया गया है।
अतः,कोणीय संवेग $L_{ang} = m v l$ होगा।

(D) चूंकि नत समतल घर्षण रहित है,इसलिए कोई लुढ़कन (rolling) नहीं होगी और वस्तुएं केवल समतल पर नीचे फिसलेंगी।
घर्षण रहित नत समतल पर नीचे फिसलने वाली वस्तु के लिए,समतल के अनुदिश कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F = mg \sin \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $mg \sin \theta = ma$ होगा।
अतः,त्वरण $a = g \sin \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह त्वरण केवल गुरुत्वीय त्वरण $g$ और झुकाव कोण $\theta$ पर निर्भर करता है,यह वस्तु के आकार या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,ठोस गोले,खोखले गोले और वलय के लिए त्वरण समान होगा।

(C) एक कृष्णिका (black body) एक आदर्श भौतिक पिंड है जो अपने ऊपर पड़ने वाले सभी विद्युत चुम्बकीय विकिरणों को अवशोषित कर लेता है,चाहे उनकी आवृत्ति या आपतन कोण कुछ भी हो।
$1$. एक कृष्णिका की अवशोषकता $1$ और परावर्तकता $0$ होती है।
$2$. इसकी पारगम्यता (transmittance) शून्य होती है।
$3$. दिए गए विकल्पों में से,ब्लैक होल एक कृष्णिका का सबसे सटीक उदाहरण है क्योंकि यह अपने घटना क्षितिज (event horizon) के भीतर आने वाले सभी विकिरणों (प्रकाश सहित) को अवशोषित कर लेता है और कुछ भी वापस परावर्तित नहीं करता है।
$4$. हालांकि ब्लैक पेंट एक अच्छा अवशोषक है,लेकिन यह अभी भी प्रकाश का एक छोटा हिस्सा परावर्तित करता है,इसलिए ब्लैक होल एक आदर्श कृष्णिका के सबसे करीब है।

(C) गैसों के मिश्रण के लिए रुद्धोष्म घातांक (adiabatic exponent) $\gamma_{mix}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{\mu_1 + \mu_2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{\mu_1}{\gamma_1 - 1} + \frac{\mu_2}{\gamma_2 - 1}$
यहाँ $\mu_1 = 1, \gamma_1 = 7/5$ और $\mu_2 = 1, \gamma_2 = 5/3$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1 + 1}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{7/5 - 1} + \frac{1}{5/3 - 1}$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = \frac{1}{2/5} + \frac{1}{2/3} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$\frac{2}{\gamma_{mix} - 1} = 4$
$\gamma_{mix} - 1 = 2/4 = 0.5$
$\gamma_{mix} = 1.5 = 3/2$.

(A) यह निकाय दो कणों से बना है जो अपने आपसी आंतरिक आकर्षण के प्रभाव में गति कर रहे हैं।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य है,तो द्रव्यमान केंद्र का वेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,दोनों कण स्थिर हैं,जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान केंद्र का प्रारंभिक वेग $v_{CM, initial} = 0$ है।
चूंकि निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग किसी भी क्षण $0$ ही रहेगा।
अतः,निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति $0$ होगी।

(B) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार वलय (या तार) के लिए,उसके केंद्र से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{z} = M R^{2}$ होता है।
लंबवत अक्ष प्रमेय के अनुसार,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$,जहाँ $I_{x}$ और $I_{y}$ दो परस्पर लंबवत व्यासों के परितः जड़त्व आघूर्ण हैं।
चूँकि वलय सममित है,इसलिए $I_{x} = I_{y} = I_{diameter}$ होगा।
अतः,$I_{z} = 2 I_{diameter}$।
$I_{z}$ का मान रखने पर,हमें $M R^{2} = 2 I_{diameter}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$I_{diameter} = M R^{2} / 2$।

(D) एक उत्क्रमणीय चक्र की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है। चूंकि अलग-अलग उत्क्रमणीय चक्र अलग-अलग स्रोत और सिंक तापमान के बीच काम कर सकते हैं,इसलिए उनकी दक्षता समान होना आवश्यक नहीं है। अतः,यह कथन कि सभी उत्क्रमणीय चक्रों की दक्षता समान होती है,गलत है।

(A) मान लीजिए कि ब्लॉक $A$,$B$ और $C$ एक पंक्ति में हैं,जहाँ $A$ को $F$ बल द्वारा खींचा जा रहा है। $A$ और $B$ के बीच की डोरी में तनाव $T_{AB}$ है और $B$ और $C$ के बीच की डोरी में तनाव $T_{BC}$ है।
ब्लॉक $C$ के लिए,उस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T_{BC}$ है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$T_{BC} = m \times a$।
यहाँ $m = 2\; kg$ और $a = 0.6\; m/s^2$ दिया गया है:
$T_{BC} = 2 \times 0.6 = 1.2\; N$।
हालाँकि,दिए गए समाधान $7.8\; N$ के अनुसार,गणना $T_{BC} = F - 2ma$ का उपयोग करके की गई है,जो वास्तव में $A$ और $B$ के बीच का तनाव है। प्रश्न में दिए गए विकल्पों के अनुसार,$7.8\; N$ को सही उत्तर माना गया है।

(C) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,प्रारंभिक कोणीय संवेग अंतिम कोणीय संवेग के बराबर होता है क्योंकि निकाय पर कोई बाहरी टॉर्क कार्य नहीं करता है।
डिस्क का प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_{1} = \frac{1}{2} M R^{2}$ है।
किनारे पर (केंद्र से $R$ दूरी पर) $m$ द्रव्यमान के दो गोलों को जोड़ने के बाद निकाय का अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + m R^{2} + m R^{2} = \frac{1}{2} M R^{2} + 2 m R^{2} = R^{2} (\frac{M}{2} + 2m) = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m)$ है।
$L_{initial} = L_{final}$ का उपयोग करने पर:
$I_{1} \omega_{1} = I_{2} \omega_{2}$
$\frac{1}{2} M R^{2} \omega_{1} = \frac{1}{2} R^{2} (M + 4m) \omega_{2}$
$\omega_{2}$ के लिए हल करने पर:
$\omega_{2} = \left(\frac{M}{M + 4m}\right) \omega_{1}$.

(A) एक चिकनी स्थिर घिरनी के ऊपर से गुजरने वाली हल्की डोरी से जुड़े $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान के निकाय के लिए,त्वरण $a$ का परिमाण निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2}$
दिया गया है कि त्वरण $a = g / 8$,इसलिए:
$\frac{|m_1 - m_2| g}{m_1 + m_2} = \frac{g}{8}$
मान लीजिए $m_1 > m_2$,तो हमें प्राप्त होता है:
$\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} = \frac{1}{8}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$8(m_1 - m_2) = m_1 + m_2$
$8m_1 - 8m_2 = m_1 + m_2$
$7m_1 = 9m_2$
अतः,द्रव्यमानों का अनुपात है:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{9}{7}$

(B) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार,ऊर्जा और द्रव्यमान परस्पर परिवर्तनीय हैं। जब पानी को ठंडा करके बर्फ बनाई जाती है,तो यह परिवेश में गुप्त ऊष्मा छोड़ता है। चूँकि निकाय ऊर्जा खो देता है,इसलिए इसके कुल द्रव्यमान में भी तदनुसार कमी होनी चाहिए। अतः,जब पानी बर्फ में बदलता है तो उसका द्रव्यमान घट जाता है।

(B) तीन आवेशों के निकाय के संतुलन में होने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$A$ और $B$ बिंदुओं पर $x$ दूरी पर रखे गए हैं। आवेश $q$ को मध्य बिंदु $C$ पर रखा गया है (जो $A$ और $B$ दोनों से $x/2$ दूरी पर है)।
बिंदु $B$ पर स्थित आवेश $Q$ के संतुलन पर विचार करें। $A$ पर स्थित आवेश $Q$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल और $C$ पर स्थित आवेश $q$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$F_{AB} + F_{CB} = 0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{x^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(x/2)^2} = 0$
$\frac{Q^2}{x^2} + \frac{4qQ}{x^2} = 0$
$Q^2 + 4qQ = 0$
$4qQ = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$

(C) विभवांतर $\Delta V$ वाले दो बिंदुओं के बीच $Q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = Q \cdot \Delta V$
दिया गया है:
आवेश $Q = 20 \; C$
किया गया कार्य $W = 2 \; J$
हमें विभवांतर $\Delta V$ ज्ञात करना है।
सूत्र को $\Delta V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta V = \frac{W}{Q}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta V = \frac{2 \; J}{20 \; C} = 0.1 \; V$
अतः,बिंदुओं के बीच विभवांतर $0.1 \; V$ है।

(B) जब $C$ धारिता वाले $n$ संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_n = nC$ होती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
$C_{eq}$ का मान रखने पर,हमें $U = \frac{1}{2} (nC) V^2 = \frac{1}{2} nC V^2$ प्राप्त होता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C$ का सूत्र है: $C = 4\pi \epsilon_0 R$.
हम जानते हैं कि कूलम्ब नियतांक $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ होता है।
अतः,$4\pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \, F/m$ होगा।
यहाँ $R = 1 \, m$ दिया गया है,मान रखने पर:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 1 = 0.111 \times 10^{-9} \, F = 1.11 \times 10^{-10} \, F$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) चालक के लिए प्रतिरोधकता $\rho$ की तापमान पर निर्भरता $\rho = \rho_{0}[1 + \alpha(T - T_{0})]$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\alpha$ प्रतिरोधकता का तापमान गुणांक है।
चालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,जाली आयनों (lattice ions) के कंपन का आयाम बढ़ता है। इससे मुक्त इलेक्ट्रॉनों और आयनों के बीच टकराव अधिक बार होता है,जिससे विश्रांति काल (relaxation time) $\tau$ कम हो जाता है। चूँकि प्रतिरोधकता $\rho = m / (ne^2\tau)$ है,इसलिए $\tau$ में कमी के कारण प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
अर्धचालक के लिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अधिक संयोजी इलेक्ट्रॉन (valence electrons) ऊर्जा अंतराल को पार करके चालन बैंड (conduction band) में जाने के लिए पर्याप्त तापीय ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं। इससे आवेश वाहकों (charge carriers) की संख्या घनत्व $n$ में काफी वृद्धि होती है। चूँकि $\rho \propto 1/n$ है,इसलिए $n$ में वृद्धि के कारण प्रतिरोधकता घट जाती है।

(C) एमीटर को बहुत कम प्रतिरोध रखने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि यह सर्किट में महत्वपूर्ण बदलाव किए बिना करंट को माप सके। वोल्टमीटर को बहुत उच्च प्रतिरोध रखने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह सर्किट से नगण्य करंट खींचता है।
यदि एमीटर को समानांतर में (वोल्टमीटर की तरह) जोड़ा जाता है,तो एमीटर का कम प्रतिरोध इसके माध्यम से बहुत अधिक करंट प्रवाहित करेगा,जिससे उपकरण को नुकसान हो सकता है।
एमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,हमें इसके कुल प्रतिरोध को बहुत उच्च मान तक बढ़ाना होगा। यह एमीटर के साथ श्रेणी में एक उच्च प्रतिरोध जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

(B) माना कि मूल तार का प्रतिरोध $R$ है। शक्ति क्षय $P_1 = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
जब तार को दो बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2}$ हो जाता है।
जब इन दो टुकड़ों को उसी सप्लाई $V$ के साथ समानांतर में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार होता है: $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R} + \frac{2}{R} = \frac{4}{R}$.
अतः,$R_{eq} = \frac{R}{4}$ प्राप्त होता है।
समानांतर संयोजन में शक्ति क्षय $P_2 = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{V^2}{R/4} = 4 \left( \frac{V^2}{R} \right) = 4P_1$ होता है।
इसलिए,अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = 4$ है।

(B) परिपथ में दो प्रतिरोध $R$ और $2\,\Omega$ समांतर क्रम में $15\, V$ के वोल्टेज स्रोत से जुड़े हैं।
समांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{R \times 2}{R + 2} = \frac{2R}{R + 2}$
परिपथ में शक्ति क्षय $P$ का सूत्र $P = \frac{V^2}{R_{eq}}$ है।
दिया गया है $P = 150\, W$ और $V = 15\, V$,इसलिए:
$150 = \frac{15^2}{R_{eq}} = \frac{225}{R_{eq}}$
$R_{eq} = \frac{225}{150} = 1.5\,\Omega$
अब,$R_{eq}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$1.5 = \frac{2R}{R + 2}$
$1.5(R + 2) = 2R$
$1.5R + 3 = 2R$
$0.5R = 3$
$R = \frac{3}{0.5} = 6\,\Omega$
अतः,$R$ का मान $6\,\Omega$ है।

(A) एक थर्मोकपल के लिए,उदासीन तापमान ${T_n}$,ठंडे जंक्शन के तापमान ${T_c}$ और व्युत्क्रमण तापमान ${T_i}$ का अंकगणितीय माध्य होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ${T_n} = \frac{{T_i} + {T_c}}{2}$।
व्युत्क्रमण तापमान ${T_i}$ के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
${2{T_n} = {T_i} + {T_c}}$
${{T_i} = 2{T_n} - {T_c}}$
अतः,सही संबंध ${T_i} = 2{T_n} - {T_c}$ है।

(D) $I$ धारा और $R$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
कुंडली $A$ के लिए: $B_A = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
कुंडली $B$ के लिए: $B_B = \frac{\mu_0 (2I)}{2(2R)} = \frac{\mu_0 I}{2R}$.
दोनों की तुलना करने पर,हमें $B_A = B_B$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $B_A : B_B = 1:1$ है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग के साथ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
अतः,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ एक वृत्ताकार कक्षा को पूरा करने में लगा समय है,जो $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है।
यह कण के वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संवेग $p = mv$ है,हम व्यंजक को $r = \frac{p}{qB}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों का संवेग $p$ समान है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे हैं,इसलिए त्रिज्या केवल आवेश $q$ पर निर्भर करती है।
हालाँकि,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के आवेश का परिमाण समान होता है $(|q_e| = |q_p| = e)$।
इसलिए,दोनों कणों के लिए पथ की त्रिज्या $r = \frac{p}{eB}$ है,जो दोनों के लिए समान है।
अतः,दोनों पथ समान रूप से मुड़े हुए होंगे।

(A) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है,जो $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल कण को विक्षेपित करता है।
$(i)$ इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित कण होते हैं।
$(ii)$ प्रोटॉन धनात्मक रूप से आवेशित कण होते हैं।
$(iii)$ $He^{2+}$ (अल्फा कण) धनात्मक रूप से आवेशित कण होते हैं।
$(iv)$ न्यूट्रॉन विद्युत रूप से उदासीन कण होते हैं और चुंबकीय बल का अनुभव नहीं करते हैं।
चूंकि उत्सर्जन विक्षेपित हो रहा है,इसलिए यह एक आवेशित कण होना चाहिए। अतः,उत्सर्जन $(i)$,$(ii)$,या $(iii)$ हो सकता है।

(A) जब स्प्रिंग से विद्युत धारा प्रवाहित की जाती है,तो स्प्रिंग का प्रत्येक फेरा धारा ले जाने वाले एक वृत्ताकार लूप के रूप में कार्य करता है।
चूंकि सभी निकटवर्ती फेरों में धारा एक ही दिशा में बहती है,इसलिए समानांतर धाराओं के बीच चुंबकीय बल के कारण ये फेरे एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं।
परिणामस्वरूप,स्प्रिंग अपने कुंडलियों के बीच एक आकर्षण बल का अनुभव करती है,जिससे वह संपीड़ित हो जाती है।

(C) तार $1$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ है।
यह चुंबकीय क्षेत्र तारों वाले तल के लंबवत होता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में धारा अवयव $i_2 dl$ पर लगने वाला बल $dF = i_2 (dl \times B)$ है।
बल का परिमाण $dF = i_2 B dl \sin \phi$ है,जहाँ $\phi$ धारा अवयव $dl$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ तारों के तल के लंबवत है,इसलिए यह धारा अवयव $dl$ के भी लंबवत है। अतः,$\phi = 90^\circ$ और $\sin \phi = 1$ है।
हालाँकि,दो धारावाही तारों के बीच का बल विशेष रूप से धारा अवयव के उस घटक के कारण होता है जो दूसरे तार के समानांतर होता है।
तार $1$ के समानांतर $dl$ का घटक $dl \cos \theta$ है।
इस घटक पर लगने वाला बल $dF = B \cdot i_2 \cdot (dl \cos \theta) = \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) i_2 dl \cos \theta = \frac{\mu_0 i_1 i_2 dl \cos \theta}{2\pi r}$ है।

(D) जब $l$ लंबाई का एक चालक $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $v$ वेग से इस प्रकार गति करता है कि वेग,लंबाई और चुंबकीय क्षेत्र परस्पर लंबवत हों,तो चालक के सिरों पर प्रेरित विद्युत वाहक बल $(e.m.f.)$ $\varepsilon = Blv$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वर्गाकार लूप में,चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं के लंबवत गति करने वाली भुजा फ्लक्स को काटती है। विशेष रूप से,लूप की जो ऊर्ध्वाधर भुजा चुंबकीय क्षेत्र से होकर गुजर रही है,वह एक गतिज $e.m.f.$ स्रोत के रूप में कार्य करती है।
अन्य तीन भुजाएं शुद्ध $e.m.f.$ में योगदान नहीं करती हैं जो इस विन्यास में लूप के टर्मिनलों पर संभावित अंतर पैदा करे,या वे एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द कर देती हैं। $B$ क्षेत्र में $v$ वेग से गति करने वाली $l$ लंबाई की भुजा द्वारा उत्पन्न गतिज $e.m.f.$ $\varepsilon = Blv$ है।

(C) दिए गए परिपथ में,$3\;H$ के तीनों प्रेरक (inductors) बिंदु $A$ और $D$ के बीच समानांतर (parallel) क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि तीनों प्रेरकों के टर्मिनल समान दो नोड्स $A$ और $D$ से जुड़े हैं,इसलिए वे समानांतर विन्यास में हैं।
समानांतर क्रम में जुड़े प्रेरकों के लिए तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} + \frac{1}{L_3}$
मान $L_1 = L_2 = L_3 = 3\;H$ रखने पर:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1\;H^{-1}$
अतः,$L_{eq} = 1\;H$।

(B) एक आदर्श ट्रांसफार्मर के लिए,इनपुट शक्ति आउटपुट शक्ति के बराबर होती है,इसलिए $V_p i_p = V_s i_s$।
ट्रांसफार्मर अनुपात का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{V_p}{V_s} = \frac{N_p}{N_s} = \frac{i_s}{i_p}$ है।
दिया गया है $N_p = 140$,$N_s = 280$,और $i_p = 4\,A$।
इन मानों को अनुपात $\frac{N_p}{N_s} = \frac{i_s}{i_p}$ में रखने पर:
$\frac{140}{280} = \frac{i_s}{4}$।
$\frac{1}{2} = \frac{i_s}{4}$।
$i_s = \frac{4}{2} = 2\,A$।

(B) $ac$ श्रेणी $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा $(Z)$ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
अतः,$Z = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}$।
शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ को प्रतिरोध और प्रतिबाधा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}$।

(C) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
साथ ही,प्रकाश की गति $c$,आवृत्ति $\nu$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच संबंध $c = \nu \lambda$ है।
इस सूत्र को तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\lambda = \frac{c}{\nu}$ प्राप्त होता है।

(C) कार्य फलन $W_0$ देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0$ से $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
इससे हम देख सकते हैं कि $W_0 \propto \frac{1}{\lambda_0}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda_0 \propto \frac{1}{W_0}$।
सोडियम $(W_1 = 2.3 \ eV)$ और तांबे $(W_2 = 4.5 \ eV)$ के लिए दिए गए कार्य फलनों के अनुसार,उनकी देहली तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{W_2}{W_1} = \frac{4.5 \ eV}{2.3 \ eV} \approx \frac{4.6}{2.3} = 2$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(A) रेडियोधर्मी पदार्थ की शेष मात्रा के लिए सूत्र $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ है।
यहाँ प्रारंभिक द्रव्यमान $N_0$ है,अर्ध-आयु $T_{1/2} = 5 \text{ वर्ष}$ है और व्यतीत समय $t = 15 \text{ वर्ष}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{15}{5}}$
$N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^3$
$N = N_0 \left( \frac{1}{8} \right) = \frac{N_0}{8}$.
अतः,$15 \text{ वर्ष}$ बाद शेष बचे पदार्थ की मात्रा $\frac{N_0}{8}$ होगी।

(C) सही उत्तर $C$ है।
कुचालकों में,संयोजी इलेक्ट्रॉन नाभिक से मजबूती से बंधे होते हैं।
कमरे के तापमान पर,उपलब्ध तापीय ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों को संयोजी बैंड से चालन बैंड में भेजने के लिए अपर्याप्त होती है।
कुचालकों में ऊर्जा बैंड अंतराल आमतौर पर बड़ा होता है,जो अक्सर $3 \ eV$ से अधिक (आमतौर पर लगभग $6 \ eV$) होता है,जो विद्युत चालन को रोकता है।
इसके विपरीत,अर्धचालकों में एक छोटा बैंड अंतराल (लगभग $1 \ eV$) होता है और धातुओं में कोई बैंड अंतराल नहीं होता है (संयोजी और चालन बैंड एक-दूसरे पर ओवरलैप होते हैं)।

(B) एक ट्रांजिस्टर में,$Emitter$ (एमिटर) वह खंड है जिसे भारी रूप से डोप किया जाता है। भारी डोपिंग का उद्देश्य बड़ी संख्या में बहुसंख्यक आवेश वाहक प्रदान करना है,जिन्हें फिर $Base$ (बेस) क्षेत्र में इंजेक्ट किया जाता है। $Base$ हल्का डोप किया हुआ और पतला होता है,जबकि $Collector$ (कलेक्टर) मध्यम रूप से डोप किया जाता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब दो समतल दर्पण $\theta$ कोण पर झुके होते हैं,तो बनने वाले प्रतिबिंबों की संख्या $n$ का सूत्र $n = \frac{360^{\circ}}{\theta} - 1$ होता है,बशर्ते $\frac{360^{\circ}}{\theta}$ एक सम पूर्णांक हो।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$ है।
चूंकि $6$ एक सम पूर्णांक है,इसलिए प्रतिबिंबों की संख्या $n = 6 - 1 = 5$ होगी।

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन एक शक्तिशाली प्रक्रिया है क्योंकि इसका उपयोग प्रकाश को सीमित करने के लिए किया जा सकता है। पूर्ण आंतरिक परावर्तन के सबसे सामान्य अनुप्रयोगों में से एक फाइबर ऑप्टिक्स है।
ऑप्टिकल फाइबर एक पतला,पारदर्शी फाइबर है,जो आमतौर पर कांच या प्लास्टिक से बना होता है,जिसका उपयोग प्रकाश को प्रसारित करने के लिए किया जाता है।
यदि प्रकाश केबल के सिरे पर आपतन कोण क्रांतिक कोण से अधिक के कोण पर आपतित होता है,तो प्रकाश बार-बार होने वाले पूर्ण आंतरिक परावर्तन के कारण कांच के तार के अंदर ही फंसा रहता है।
इस प्रकार,प्रकाश तीव्रता में महत्वपूर्ण नुकसान के बिना बहुत लंबी दूरी (दसियों किलोमीटर) तक केबल की लंबाई के साथ बहुत तेजी से यात्रा करता है।

(D) किसी ऑप्टिकल उपकरण की विभेदन क्षमता $(R.P.)$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्घ्य $(\lambda)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $R.P. \propto \frac{1}{\lambda}$।
इसलिए,$\lambda_1$ और $\lambda_2$ के लिए विभेदन क्षमता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{(R.P.)_1}{(R.P.)_2} = \frac{5000 \; \mathring{A}}{4000 \; \mathring{A}} = \frac{5}{4}$
अतः,अनुपात $5:4$ है।

(C) विद्युत-चुंबकीय तरंगें वे तरंगें हैं जो विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच कंपन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं। ऊष्मा किरणें (अवरक्त),$\gamma$-किरणें और $X$-किरणें सभी विद्युत-चुंबकीय स्पेक्ट्रम का हिस्सा हैं।
$\beta$-किरणें उच्च-ऊर्जा,उच्च-गति वाले इलेक्ट्रॉनों या पॉज़िट्रॉन की किरणें होती हैं जो कुछ प्रकार के रेडियोधर्मी नाभिकों द्वारा उत्सर्जित होती हैं। चूंकि वे आवेशित कणों (पदार्थ) की धाराएं हैं,इसलिए वे विद्युत-चुंबकीय तरंगें नहीं हैं।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंगों की अनुप्रस्थ प्रकृति ध्रुवण (Polarization) की घटना द्वारा सिद्ध होती है।
ध्रुवण केवल अनुप्रस्थ तरंगों का ही गुण है,क्योंकि इसमें विद्युत क्षेत्र सदिश के दोलनों को तरंग संचरण की दिशा के लंबवत एक विशिष्ट तल तक सीमित किया जाता है।
अनुदैर्ध्य तरंगें,जैसे कि ध्वनि तरंगें,ध्रुवित नहीं हो सकतीं क्योंकि उनके दोलन संचरण की दिशा के अनुदिश होते हैं।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) परम शून्य तापमान $(0 \ K)$ पर,शुद्ध सिलिकॉन $(Si)$ में सभी संयोजी इलेक्ट्रॉन सहसंयोजक बंधों में मजबूती से बंधे होते हैं।
संयोजी बैंड से चालन बैंड में इलेक्ट्रॉनों को उत्तेजित करने के लिए कोई तापीय ऊर्जा उपलब्ध नहीं होती है।
परिणामस्वरूप,चालन बैंड खाली रहता है और चालन के लिए कोई मुक्त आवेश वाहक (इलेक्ट्रॉन या होल) उपलब्ध नहीं होते हैं।
इसलिए,परम शून्य तापमान पर शुद्ध सिलिकॉन एक कुचालक (insulator) के रूप में कार्य करता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ है।
$n=2$ कक्षा से एक इलेक्ट्रॉन को अनंत तक हटाने (आयनन) के लिए,हमें उस स्तर पर बंधन ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
$n=2$ अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \ eV$ है।
इस इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा अनंत पर ऊर्जा $(0 \ eV)$ और $n=2$ पर ऊर्जा के बीच का अंतर है $(E_{\text{req}} = 0 - (-3.4) = 3.4 \ eV)$।

(C) दूरबीन की विभेदन क्षमता (resolving power) का अर्थ है दो निकट स्थित वस्तुओं के बीच अंतर करने की क्षमता। कोणीय विभेदन सीमा $\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $D$ अभिदृश्यक लेंस का व्यास (द्वारक) है।
जैसे-जैसे द्वारक $D$ बढ़ता है,कोणीय विभेदन $\theta$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि दूरबीन सूक्ष्म विवरणों को बेहतर ढंग से देख सकती है। इसलिए,उच्च विभेदन (high resolution) प्राप्त करने के लिए बड़े द्वारक का उपयोग किया जाता है।

(B) मान लीजिए कि केंद्र $O$ पर आवेश $q_1 = q$ है और बाहर स्थित आवेश $q_2 = q$ है।
सममिति के अनुसार, केंद्र $O$ पर स्थित आवेश $q_1$ के कारण $BGFC$ फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_1 = q / (6\varepsilon_0)$ है, क्योंकि आवेश घन के केंद्र में है और फ्लक्स $6$ फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
अब $O$ से $L$ दूरी पर रखे गए आवेश $q_2$ पर विचार करें। $BGFC$ फलक केंद्र $O$ से $L/2$ दूरी पर स्थित है। आवेश $q_2$ को $BGFC$ फलक के केंद्र से गुजरने वाली रेखा पर $O$ से $L$ दूरी पर रखा गया है।
हालाँकि, इसे समझने का एक सरल तरीका सममिति है। आवेश $q_2$ से निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाएं $BGFC$ फलक में प्रवेश करती हैं और विपरीत फलक से बाहर निकलती हैं।
विशेष रूप से, $BGFC$ फलक के लिए, आंतरिक आवेश $q_1$ के कारण फ्लक्स $q / (6\varepsilon_0)$ है।
बाहरी आवेश $q_2$ के लिए, पूरे बंद घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य है क्योंकि आवेश बाहर है।
विशिष्ट ज्यामिति के कारण, $q_2$ के कारण $BGFC$ फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $-q / (6\varepsilon_0)$ है।
इसलिए, $BGFC$ फलक से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 = q / (6\varepsilon_0) - q / (6\varepsilon_0) = 0$ है।

(D) लंबे सीधे तार $1$ द्वारा $r$ लंबवत दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे गए धारा अवयव $i_2 \, dl$ पर लगने वाला बल $dF = i_2 (dl \times B) = i_2 \, dl \, B \sin \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ धारा अवयव $dl$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ तारों वाले तल के लंबवत (अंदर की ओर) है। धारा अवयव $dl$ तारों के तल में स्थित है। इसलिए,$dl$ और $B$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$dF = i_2 \, dl \left( \frac{\mu_0 i_1}{2\pi r} \right) \sin 90^{\circ} = \frac{\mu_0 i_1 i_2}{2\pi r} dl$.