int_{ - pi }^{pi } {frac{{2x(1 + sin x)}}{{1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{ - \pi }^\pi

Vedclass · Accepted Answer

${\pi ^2}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} + \int_{ - \pi }^\pi {\frac{{2x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $.પ્રથમ ભાગ માટે,$f(x) = \frac{2x}{1 + \cos^2 x}$ લો. અહીં $f(-x) = \frac{-2x}{1 + \cos^2(-x)} = -f(x)$ હોવાથી,આ વિધેય અયુગ્મ છે. તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = 0$.બીજા ભાગ માટે,$g(x) = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x}$ લો. અહીં $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1 + \cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} = g(x)$ હોવાથી,આ વિધેય યુગ્મ છે. તેથી,$\int_{-\pi}^{\pi} g(x) dx = 2 \int_0^{\pi} g(x) dx$.આથી,$I = 2 \int_0^{\pi} \frac{2x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(i)$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = 4 \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ ... $(ii)$.$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = 4 \int_0^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi - x)\sin x}{1 + \cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.$I = 2\pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$.ધારો કે $t = \cos x$,તો $dt = -\sin x dx$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$.$I = 2\pi \int_1^{-1} \frac{-dt}{1 + t^2} = 2\pi \int_{-1}^1 \frac{dt}{1 + t^2} = 2\pi [	an^{-1} t]_{-1}^1$.$I = 2\pi (	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)) = 2\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 2\pi (\frac{\pi}{2}) = \pi^2$.

$\int_{ - \pi }^{\pi } {\frac{{2x(1 + \sin x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} $ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{0}^{\pi} \frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x$ ની કિંમત શોધો.

કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,સંકલન $\int_0^\pi {{e^{{{\sin }^2}x}}{{\cos }^3}(2n + 1)x\,dx} = $

$\int_0^{2 \pi} \theta \sin ^6 \theta \cos \theta \, d\theta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module