Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 6i & -3i & 1 \\ 4 & 3i & -1 \\ 20 & 3 & i \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 6i+4 & 0 & 0 \\ 4 & 3i & -1 \\ 20 & 3 & i \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (6i + 4) \times \left| \begin{array}{cc} 3i & -1 \\ 3 & i \end{array} \right| - 0 + 0$.
$\Delta = (6i + 4) \times ((3i \times i) - (-1 \times 3))$.
$\Delta = (6i + 4) \times (3i^2 + 3)$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $3i^2 + 3 = 3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0$.
તેથી,$\Delta = (6i + 4) \times 0 = 0$.
આપેલ છે કે $\Delta = x + iy$,તેથી $x + iy = 0 + i(0)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $(x, y) = (0, 0)$ મળે છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x+1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x+\omega \end{array} \right| = 0$
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા,પ્રથમ હારના ઘટકોનો સરવાળો $(x+1+\omega+\omega^2) = (x+0) = x$ થાય છે.
તેથી,આપણને મળે છે: $x \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & x+\omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x+\omega \end{array} \right| = 0$
આ સૂચવે છે કે $x = 0$ એ એક બીજ છે.

(A) આપેલ છે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega & 2\omega^2 \\ 2 & 2\omega^2 & 4\omega^3 \\ 3 & 3\omega^3 & 6\omega^4 \end{array} \right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $\omega^4 = \omega$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega & 2\omega^2 \\ 2 & 2\omega^2 & 4 \\ 3 & 3 & 6\omega \end{array} \right|$.
અહીં નિશ્ચાયકની હાર (rows) એકબીજા પર આધારિત છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
આમ,$\Delta = 0$.

(A) નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^{2n} \cdot \omega^n - 1 \cdot 1) - \omega^n(\omega^n \cdot \omega^n - 1 \cdot \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n \cdot 1 - \omega^{2n} \cdot \omega^{2n})$
$\Delta = (\omega^{3n} - 1) - \omega^n(\omega^{2n} - \omega^{2n}) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^{4n})$
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^{3n} = 1$ અને $\omega^{4n} = \omega^n$ થાય.
$\Delta = (1 - 1) - \omega^n(0) + \omega^{2n}(\omega^n - \omega^n)$
$\Delta = 0 - 0 + 0 = 0$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 + x}&1\\1&1&{1 + y}\end{array}} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\1&x&0\\1&0&y\end{array}} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(xy - 0) - 0 + 0 = xy$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}} \right|$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{a - b}&{{a^2} - {b^2}}\\0&{b - c}&{{b^2} - {c^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}} \right|$.
$R_1$ માંથી $(a - b)$ અને $R_2$ માંથી $(b - c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a - b)(b - c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&{a + b}\\0&1&{b + c}\\1&c&{{c^2}}\end{array}} \right|$.
$R_1 \to R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = (a - b)(b - c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&{a - c}\\0&1&{b + c}\\1&c&{{c^2}}\end{array}} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a - b)(b - c)(a - c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&c\end{array}} \right| = (a - b)(b - c)(a - c)(0 - 1) = (a - b)(b - c)(c - a)$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 20 \\ 1 & -2 & 5 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 6 & 15 \\ 0 & -2-2x & 5-5x^2 \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
$R_1$ માંથી $3$ અને $R_2$ માંથી $5$ સામાન્ય લેતા:
$15 \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2(1+x) & 5(1-x)(1+x) \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
$R_2$ માંથી $(1+x)$ સામાન્ય લેતા:
$15(1+x) \left| \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 5(1-x) \\ 1 & 2x & 5x^2 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$15(1+x) [1(2 \times 5(1-x) - 5 \times (-2))] = 0$
$15(1+x) [10-10x + 10] = 0$
$15(1+x) [20-10x] = 0$
$150(1+x)(2-x) = 0$
આમ,$x = -1$ અથવા $x = 2$.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
આપણને સમીકરણ $\Delta = 0$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\Delta_{x=0} = \left| \begin{array}{ccc} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{array} \right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta_{x=0} = 0(0 - (-c^2)) - (-a)(0 - (-bc)) + (-b)(ac - 0)$
$= 0 + a(-bc) - b(ac) = -abc - abc = -2abc$.
ચાલો વિસ્તરણ ફરીથી તપાસીએ:
$\Delta_{x=0} = 0 - (-a)(a(0) - b(-c)) + (-b)(a(c) - b(0))$
$= a(bc) - b(ac) = abc - abc = 0$.
જ્યારે $x = 0$ હોય ત્યારે નિશ્ચાયક $0$ થાય છે,તેથી $x = 0$ એ સમીકરણનું બીજ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \omega + \omega^2 & \omega & \omega^2 \\ \omega + \omega^2 + 1 & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 + 1 + \omega & 1 & \omega \end{array} \right|$.
એકમના ઘનમૂળ માટે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & 1 \\ 0 & 1 & \omega \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} a - x & c & b \\ c & b - x & a \\ b & a & c - x \end{array} \right| = 0$.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a + b + c - x & c & b \\ a + b + c - x & b - x & a \\ a + b + c - x & a & c - x \end{array} \right| = 0$.
કારણ કે $a + b + c = 0$,પ્રથમ સ્તંભના દરેક ઘટક $-x$ બને છે:
$\left| \begin{array}{ccc} -x & c & b \\ -x & b - x & a \\ -x & a & c - x \end{array} \right| = 0$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $-x$ સામાન્ય લેતા:
$-x \left| \begin{array}{ccc} 1 & c & b \\ 1 & b - x & a \\ 1 & a & c - x \end{array} \right| = 0$.
આથી $x = 0$ એક ઉકેલ મળે છે.
બાકીના ભાગ માટે,નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((b-x)(c-x) - a^2) - c(c-x-a) + b(a-b+x) = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x^2 - (a^2 + b^2 + c^2) + (ab + bc + ca) = 0$ મળે છે.
કારણ કે $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) = 0$,તેથી $ab+bc+ca = -\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)$.
આ કિંમત મૂકતા: $x^2 - (a^2+b^2+c^2) - \frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2) = 0$.
$x^2 = \frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2) \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)}$.
આમ,ઉકેલ $x = 0, \pm \sqrt{\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2)}$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 + i & 1 - i & i \\ 1 - i & i & 1 + i \\ i & 1 + i & 1 - i \end{array}} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 2 + i & 2 + i & 2 + i \\ 1 - i & i & 1 + i \\ i & 1 + i & 1 - i \end{array}} \right| = (2 + i) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 - i & i & 1 + i \\ i & 1 + i & 1 - i \end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (2 + i) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 - i & 2i - 1 & 2i \\ i & 1 & 1 - 2i \end{array}} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (2 + i) [ (2i - 1)(1 - 2i) - (2i)(1) ]$
$= (2 + i) [ (2i - 4i^2 - 1 + 2i) - 2i ]$
$= (2 + i) [ (4i + 4 - 1) - 2i ]$
$= (2 + i) [ 3 + 2i ]$
$= 6 + 4i + 3i + 2i^2 = 6 + 7i - 2 = 4 + 7i$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x+1 & 3 & 5 \\ 2 & x+2 & 5 \\ 2 & 3 & x+4 \end{array} \right| = 0$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x+9 & 3 & 5 \\ x+9 & x+2 & 5 \\ x+9 & 3 & x+4 \end{array} \right| = 0$.
$C_1$ માંથી $(x+9)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+9) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 1 & x+2 & 5 \\ 1 & 3 & x+4 \end{array} \right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$(x+9) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x-1 \end{array} \right| = 0$.
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(x+9) \cdot 1 \cdot [(x-1)(x-1) - 0] = 0$.
$(x+9)(x-1)^2 = 0$.
આમ,$x = -9$ અથવા $x = 1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{b + c}& a & a\\b& {c + a}& b\\c& c& {a + b}\end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 - (R_2 + R_3)$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{b + c - (b + c)}& {a - (c + a + c)}& {a - (b + a + b)}\\b& {c + a}& b\\c& c& {a + b}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0& {-2c}& {-2b}\\b& {c + a}& b\\c& c& {a + b}\end{array}} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0 - (-2c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b& b\\c& {a + b}\end{array}} \right| + (-2b) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b& {c + a}\\c& c\end{array}} \right|$.
$\Delta = 2c(b(a + b) - bc) - 2b(bc - c(c + a))$.
$\Delta = 2c(ab + b^2 - bc) - 2b(bc - c^2 - ac)$.
$\Delta = 2abc + 2b^2c - 2bc^2 - 2b^2c + 2bc^2 + 2abc$.
$\Delta = 4abc$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{matrix} 1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+x \end{matrix} \right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\left| \begin{matrix} 3+x & 1 & 1 \\ 3+x & 1+x & 1 \\ 3+x & 1 & 1+x \end{matrix} \right| = 0$
$C_1$ માંથી $(x+3)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+3) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+x \end{matrix} \right| = 0$
હવે હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ કરતા:
$(x+3) \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{matrix} \right| = 0$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(x+3)(1)(x^2 - 0) = 0$
$(x+3)x^2 = 0$
તેથી,બીજ $x = 0, 0, -3$ મળે છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x+a & b & c \\ b & x+c & a \\ c & a & x+b \end{array} \right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x+a+b+c & b & c \\ x+a+b+c & x+c & a \\ x+a+b+c & a & x+b \end{array} \right| = 0$
$C_1$ માંથી $(x+a+b+c)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+a+b+c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & b & c \\ 1 & x+c & a \\ 1 & a & x+b \end{array} \right| = 0$
અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x+a+b+c = 0$
$x = -(a+b+c)$
આમ,$-(a+b+c)$ એ સમીકરણનું એક બીજ છે.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ -a & 1 & c \\ -b & -c & 1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 1 & c \\ -c & 1 \end{array} \right| - a \cdot \left| \begin{array}{cc} -a & c \\ -b & 1 \end{array} \right| + b \cdot \left| \begin{array}{cc} -a & 1 \\ -b & -c \end{array} \right|$
$2 \times 2$ નિશ્ચાયકોની ગણતરી કરતા:
$\Delta = 1(1 - (-c^2)) - a(-a - (-bc)) + b(ac - (-b))$
$\Delta = 1(1 + c^2) - a(-a + bc) + b(ac + b)$
$\Delta = 1 + c^2 + a^2 - abc + abc + b^2$
$\Delta = 1 + a^2 + b^2 + c^2$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{array} \right|$.
જો આપણે $a = b$ મૂકીએ,તો પ્રથમ અને દ્વિતીય સ્તંભ સમાન થાય છે,તેથી $\Delta = 0$. આમ,$(a - b)$ એક અવયવ છે. તેવી જ રીતે,$(b - c)$ અને $(c - a)$ પણ અવયવો છે.
નિશ્ચાયકની ઘાત $1 + 1 + 3 = 5$ છે (અથવા વિસ્તરણ જોતા,મહત્તમ ઘાત $4$ છે). નિશ્ચાયક $a, b, c$ માં $4$ ઘાતવાળી બહુપદી હોવાથી અને આપણે $(a - b)(b - c)(c - a)$ અવયવો મેળવ્યા છે,તેથી બાકીનો અવયવ $(a + b + c)$ હોવો જોઈએ.
આમ,$\Delta = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)$.
બંને બાજુ $bc^3$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.
તેથી,$\Delta = (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)$.

(C) ધારો કે $D = \left| \begin{matrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & c \\ b & -c & 0 \end{matrix} \right|$.
પ્રથમ હારના સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$D = 0(0 - (-c^2)) - a(0 - bc) + (-b)(ac - 0)$
$D = 0 + abc - abc$
$D = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપેલ નિશ્ચાયક એ $3 \times 3$ ક્રમનો વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) દર્શાવે છે. એકી ક્રમના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા ${R_1} \to {R_1} + {R_2} + {R_3}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c}&{a + b + c}&{a + b + c}\\b&c&a\\c&a&b\end{array}} \right|$
$= (a + b + c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\b&c&a\\c&a&b\end{array}} \right|$
${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ અને ${C_3} \to {C_3} - {C_1}$ લાગુ કરતા:
$= (a + b + c) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\b&c-b&a-b\\c&a-c&b-c\end{array}} \right|$
$= (a + b + c) [ (c - b)(b - c) - (a - b)(a - c) ]$
$= (a + b + c) [ -(c - b)^2 - (a^2 - ac - ab + bc) ]$
$= (a + b + c) [ -(c^2 - 2bc + b^2) - a^2 + ac + ab - bc ]$
$= (a + b + c) [ -c^2 + 2bc - b^2 - a^2 + ac + ab - bc ]$
$= (a + b + c) [ -a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ca ]$
$= -(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$= -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$
$= 3abc - a^3 - b^3 - c^3$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + x}&1&1\\1&{1 + y}&1\\1&1&{1 + z}\end{array}} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = (1 + x + y + z) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{1 + y}&1\\1&1&{1 + z}\end{array}} \right|$ (આ પદ્ધતિ અહીં સીધી નથી).
સાચી રીત: $\Delta = xyz \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x}+1}&{\frac{1}{y}}&{\frac{1}{z}}\\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y}+1 & \frac{1}{z} \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z}+1 \end{array}} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લેતા:
$\Delta = xyz (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\frac{1}{y}}&{\frac{1}{z}}\\1&{1 + \frac{1}{y}}&{\frac{1}{z}}\\1&{\frac{1}{y}}&{1 + \frac{1}{z}}\end{array}} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\Delta = xyz (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\frac{1}{y}}&{\frac{1}{z}}\\0&1&0\\0&0&1\end{array}} \right| = xyz (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})$.
ટ્રિક: $x = 1, y = 2, z = 3$ મુકતા,જવાબ $17$ મળે છે,જે વિકલ્પ $(a)$ સાથે સુસંગત છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + \omega \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x + 1 + \omega + \omega^2 & \omega & \omega^2 \\ x + 1 + \omega + \omega^2 & x + \omega^2 & 1 \\ x + 1 + \omega + \omega^2 & 1 & x + \omega \end{array} \right|$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,પ્રથમ સ્તંભ $x$ બને છે:
$\Delta = x \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & x + \omega^2 & 1 \\ 1 & 1 & x + \omega \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = x [ 1((x + \omega^2)(x + \omega) - 1) - 1(\omega(x + \omega) - \omega^2) + 1(\omega - \omega^2(x + \omega^2)) ]$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= x [ (x^2 + \omega x + \omega^2 x + \omega^3 - 1) - (\omega x + \omega^2 - \omega^2) + (\omega - \omega^2 x - \omega^4) ]$.
$\omega^3 = 1$ અને $\omega^4 = \omega$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= x [ x^2 + \omega x + \omega^2 x + 1 - 1 - \omega x + \omega - \omega^2 x - \omega ] = x [ x^2 ] = x^3$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 7 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x+9 & x+9 & x+9 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
$R_1$ માંથી $(x+9)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+9) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x+9) [1(x^2 - 12) - 1(2x - 14) + 1(12 - 7x)] = 0$.
$(x+9) [x^2 - 12 - 2x + 14 + 12 - 7x] = 0$.
$(x+9) (x^2 - 9x + 14) = 0$.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x+9) (x-2) (x-7) = 0$.
આમ,બીજ $x = -9, 2, 7$ છે.
તેથી બાકીના બે બીજ $2$ અને $7$ છે.

(D) આપણે વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને દરેક નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ.
$A = (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.
$B = -(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)$.
$C = abc(a-b)(b-c)(c-a)$.
આ પદોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, c$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $A, B$ અને $C$ સામાન્ય રીતે એકબીજાને સમાન નથી.
તેથી,આપેલા સંબંધો $A=B$,$A=C$,અથવા $B=C$ માંથી કોઈ પણ સામાન્ય રીતે સાચું નથી.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} b + c & a - b & a \\ c + a & b - c & b \\ a + b & c - a & c \end{array}} \right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 2(a + b + c) & 0 & a + b + c \\ c + a & b - c & b \\ a + b & c - a & c \end{array}} \right|$.
$R_1$ માંથી $(a + b + c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| {\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \\ c + a & b - c & b \\ a + b & c - a & c \end{array}} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) [2(c(b - c) - b(c - a)) - 0 + 1((c + a)(c - a) - (a + b)(b - c))]$.
$\Delta = (a + b + c) [2(bc - c^2 - bc + ab) + (c^2 - a^2 - (ab - ac + b^2 - bc))]$.
$\Delta = (a + b + c) [2(ab - c^2) + c^2 - a^2 - ab + ac - b^2 + bc]$.
$\Delta = (a + b + c) [ab - a^2 - b^2 - c^2 + ac + bc]$.
$\Delta = -(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.
નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 3abc - a^3 - b^3 - c^3$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 2\omega & -\omega^2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right|$.
ત્રીજી હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2\omega & -\omega^2 \\ 1 & 1 \end{array} \right| - (-1) \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & -\omega^2 \\ 1 & 1 \end{array} \right| + 0 \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 2\omega \\ 1 & 1 \end{array} \right|$
$\Delta = 1(2\omega - (-\omega^2)) + 1(2 - (-\omega^2))$
$\Delta = 2\omega + \omega^2 + 2 + \omega^2$
$\Delta = 2\omega + 2\omega^2 + 2$
$\Delta = 2(1 + \omega + \omega^2)$
કારણ કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
તેથી,$\Delta = 2(0) = 0$.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 19 & 17 & 15 \\ 9 & 8 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}} \right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેને સરળ બનાવવા માટે હારની પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
$C_1 \to C_1 - C_2$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરો:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 19-17 & 17-15 & 15 \\ 9-8 & 8-7 & 7 \\ 1-1 & 1-1 & 1 \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 15 \\ 1 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right|$.
હવે,ત્રીજી હાર $(R_3)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરો:
$\Delta = 0 - 0 + 1 \times \left| {\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array}} \right| = 1 \times (2 \times 1 - 2 \times 1) = 1 \times (2 - 2) = 0$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} x + 1 & x + 2 & x + 3 \\ x + 2 & x + 3 & x + 4 \\ x + a & x + b & x + c \end{array} \right| = 0$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \to C_1 - C_2$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} -1 & -1 & x + 3 \\ -1 & -1 & x + 4 \\ a - b & b - c & x + c \end{array} \right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & x + 4 \\ a - b & b - c & x + c \end{array} \right| = 0$.
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$(-1) \cdot [(-1)(b - c) - (-1)(a - b)] = 0$
$(-1) \cdot [-b + c + a - b] = 0$
$2b - a - c = 0 \implies a + c = 2b$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$x = 0$ લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ a & b & c \end{array} \right| = 0$
$1(3c - 4b) - 2(2c - 4a) + 3(2b - 3a) = 0$
$3c - 4b - 4c + 8a + 6b - 9a = 0$
$-a + 2b - c = 0 \implies 2b = a + c$.
આમ,$a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega & -\omega^2/2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(0 - (-1)) - 1(0 - \omega^2/2) + 1(\omega - (- \omega^2/2))$
$= 1(1) - 1(-\omega^2/2) + 1(\omega + \omega^2/2)$
$= 1 + \omega^2/2 + \omega + \omega^2/2$
$= 1 + \omega + \omega^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ હોવાથી,$1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય.
તેથી,$\Delta = 0$.

(B) આપેલ નિત્યસમ $p{\lambda ^4} + q{\lambda ^3} + r{\lambda ^2} + s\lambda + t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{\lambda ^2} + 3\lambda }&{\lambda - 1}&{\lambda + 3}\\{\lambda + 1}&{2 - \lambda }&{\lambda - 4}\\{\lambda - 3}&{\lambda + 4}&{3\lambda }\end{array}} \right|$ છે.
આ $\lambda$ માં એક નિત્યસમ હોવાથી,તે $\lambda$ ની દરેક કિંમત માટે સાચું છે.
$t$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સમીકરણમાં $\lambda = 0$ મૂકીએ:
$t = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}&3\\1&2&{ - 4}\\{ - 3}&4&0\end{array}} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$t = 0(0 - (-16)) - (-1)(0 - 12) + 3(4 - (-6))$
$t = 0 + 1(-12) + 3(10)$
$t = -12 + 30 = 18$.
આમ,$t$ ની કિંમત $18$ છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & -6 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -4 & 11 & -1 \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4-4 & -6+11 & 1-1 \\ -1 & -1 & 1 \\ -4 & 11 & -1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 5 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ -4 & 11 & -1 \end{array} \right|$.
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0 \cdot ((-1)(-1) - (1)(11)) - 5 \cdot ((-1)(-1) - (1)(-4)) + 0 \cdot ((-1)(11) - (-1)(-4))$
$\Delta = -5 \cdot (1 + 4) = -5 \cdot 5 = -25$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_3 \to R_3 - \alpha R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ 0 & 0 & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{array} \right|$.
ત્રીજી હાર $(R_3)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \cdot \left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right| = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2) = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$.
$\Delta = 0$ માટે,$b^2 - ac = 0$ અથવા $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ હોવું જોઈએ.
શરત $b^2 - ac = 0$ નો અર્થ છે $b^2 = ac$,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 31 & 37 & 92 \\ 31 & 58 & 71 \\ 31 & 105 & 24 \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 31 & 37 & 92 \\ 31-31 & 58-37 & 71-92 \\ 31-31 & 105-37 & 24-92 \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 31 & 37 & 92 \\ 0 & 21 & -21 \\ 0 & 68 & -68 \end{array} \right|$
અહીં બીજી અને ત્રીજી હાર પ્રમાણસર છે (અથવા $R_2$ માંથી $21$ અને $R_3$ માંથી $68$ સામાન્ય લેતા,આપણને સમાન સ્તંભો મળે છે),તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
ખાસ કરીને,$R_3 = \frac{68}{21} R_2$,તેથી હાર સુરેખ રીતે આધારિત છે.
તેથી,$\Delta = 0$.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 5 & 7 \\ 8 & 14 & 20 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 2 \\ 8 & 14 & 6 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - 2C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 8 & -2 & 6 \end{array} \right|$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1((-1)(6) - (2)(-2)) - 0 + 1((3)(-2) - (-1)(8))$
$\Delta = 1(-6 + 4) + 1(-6 + 8)$
$\Delta = 1(-2) + 1(2) = -2 + 2 = 0$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} 1 & k & 3 \\ 3 & k & -2 \\ 2 & 3 & -1 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(k(-1) - 3(-2)) - k(3(-1) - 2(-2)) + 3(3(3) - 2(k)) = 0$
$1(-k + 6) - k(-3 + 4) + 3(9 - 2k) = 0$
$-k + 6 - k(1) + 27 - 6k = 0$
$-k + 6 - k + 27 - 6k = 0$
$-8k + 33 = 0$
$8k = 33$
$k = \frac{33}{8}$
આમ,$\frac{33}{8}$ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 265 & 240 & 219 \\ 240 & 225 & 198 \\ 219 & 198 & 181 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 25 & 21 & 219 \\ 15 & 27 & 198 \\ 21 & 17 & 181 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 21 & 219 \\ -12 & 27 & 198 \\ 4 & 17 & 181 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & 21 & 219 \\ -16 & 6 & -21 \\ 0 & -4 & -38 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ આપતા અંતે $\Delta = 0$ મળે છે.

(B) ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ કારણ કે આપેલ સમીકરણ $x$ ની તમામ કિંમતો માટે સાચું છે.
ધારો કે $x = 1$.
નિશ્ચાયકમાં $x = 1$ મૂકતા:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{1^2} + 1}&{1 + 1}&{1 - 2}\\ {2(1)^2 + 3(1) - 1}&{3(1)}&{3(1) - 3}\\ {{1^2} + 2(1) + 3}&{2(1) - 1}&{2(1) - 1}\end{array}} \right| = A(1) - 12$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2&{ - 1}\\ 4&3&0\\ 6&1&1\end{array}} \right| = A - 12$
હવે,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો:
$2(3 \times 1 - 0 \times 1) - 2(4 \times 1 - 0 \times 6) + (-1)(4 \times 1 - 3 \times 6) = A - 12$
$2(3) - 2(4) - 1(4 - 18) = A - 12$
$6 - 8 + 14 = A - 12$
$12 = A - 12$
$A = 24$.

(A) આપેલ $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 3a & 4a+3b & 5a+4b+3c \\ 6a & 9a+6b & 11a+9b+6c \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - 3R_1$ અને $R_3 \to R_3 - 6R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2a+b \\ 0 & 3a & 5a+3b \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = a \left| \begin{array}{cc} a & 2a+b \\ 3a & 5a+3b \end{array} \right| = a [a(5a+3b) - 3a(2a+b)]$.
$\Delta = a [5a^2 + 3ab - 6a^2 - 3ab] = a[-a^2] = -a^3$.
અહીં $a = i$ આપેલ છે,તેથી $\Delta = -(i)^3 = -(-i) = i$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક: $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{6i}&{ - 3i}&1\\4&{3i}&{ - 1}\\{20}&3&i\end{array}} \right| = x + iy$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 6i((3i)(i) - (3)(-1)) - (-3i)((4)(i) - (20)(-1)) + 1((4)(3) - (20)(3i))$
$\Delta = 6i(3i^2 + 3) + 3i(4i + 20) + (12 - 60i)$
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી $3i^2 + 3 = 3(-1) + 3 = 0$.
$\Delta = 6i(0) + 12i^2 + 60i + 12 - 60i$
$\Delta = 0 + 12(-1) + 60i + 12 - 60i$
$\Delta = -12 + 12 + 60i - 60i = 0$
આમ,$x + iy = 0 + 0i$,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$ અને $y = 0$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} pa & qb & rc \\ qc & ra & pb \\ rb & pc & qa \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = pa(ra \cdot qa - pb \cdot pc) - qb(qc \cdot qa - pb \cdot rb) + rc(qc \cdot pc - ra \cdot rb)$
$= pa(qa^2r - pbc^2) - qb(q^2ac - prb^2) + rc(qpc^2 - r^2ab)$
$= pqr(a^3) - p^2abc - q^3abc + pqr(b^3) + pqr(c^3) - r^3abc$
$= pqr(a^3 + b^3 + c^3) - abc(p^3 + q^3 + r^3)$.
આપેલ છે કે $p + q + r = 0$,તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr$.
તે જ રીતે,$a + b + c = 0$ હોવાથી,$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$.
આ કિંમતોને $\Delta$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta = pqr(3abc) - abc(3pqr) = 3pqrabc - 3pqrabc = 0$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{matrix} 0 & x & 16 \\ x & 5 & 7 \\ 0 & 9 & x \end{matrix} \right| = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$0 \cdot (5x - 63) - x \cdot (x^2 - 0) + 0 \cdot (7x - 80) = 0$
$-x(x^2 - 144) = 0$
$-x(x - 12)(x + 12) = 0$
દરેક અવયવને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x = 0$ અથવા $x - 12 = 0$ અથવા $x + 12 = 0$
તેથી,બીજ $x = 0, 12, -12$ મળે છે.

(C) $x$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરીએ:
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & x & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{array} \right| = 1(5x - 12) - 2(10 - 9) + 3(8 - 3x) = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(5x - 12) - 2(1) + 3(8 - 3x) = 0$
$5x - 12 - 2 + 24 - 9x = 0$
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$-4x + 10 = 0$
$-4x = -10$
$x = \frac{-10}{-4} = \frac{5}{2}$
આમ,$x$ ની સાચી કિંમત $\frac{5}{2}$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{array}{ccc} 0 & p-q & p-r \\ q-p & 0 & q-r \\ r-p & r-q & 0 \end{array} \right|$ છે.
અહીં શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & p-q & p-r \\ q-p & 0 & q-r \\ r-p & r-q & 0 \end{bmatrix}$ એ વિસંમિત (skew-symmetric) શ્રેણિક છે કારણ કે $A^T = -A$ થાય છે.
ખાસ કરીને,તમામ $i, j$ માટે ઘટકો $a_{ij} = -a_{ji}$ છે અને વિકર્ણના તમામ ઘટકો $0$ છે.
આ શ્રેણિકનો ક્રમ $3 \times 3$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
એકી ક્રમના વિસંમિત શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક હંમેશા $0$ હોય છે.
તેથી,$D = 0$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right|$.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array} \right|$.
હવે,પ્રથમ હાર $(R_1)$ ને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 0(1 - 1) - 0(-1 - 1) + 2(1 - (-1))$
$\Delta = 2(1 + 1) = 2(2) = 4$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $4$ છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} 3 - x & -6 & 3 \\ -6 & 3 - x & 3 \\ 3 & 3 & -6 - x \end{array} \right| = 0$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} 3 - x - 6 + 3 & -6 & 3 \\ -6 + 3 - x + 3 & 3 - x & 3 \\ 3 + 3 - 6 - x & 3 & -6 - x \end{array} \right| = 0$
$\Rightarrow \left| \begin{array}{ccc} -x & -6 & 3 \\ -x & 3 - x & 3 \\ -x & 3 & -6 - x \end{array} \right| = 0$
$C_1$ માંથી $-x$ સામાન્ય લેતા:
$-x \left| \begin{array}{ccc} 1 & -6 & 3 \\ 1 & 3 - x & 3 \\ 1 & 3 & -6 - x \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$-x \left| \begin{array}{ccc} 1 & -6 & 3 \\ 0 & 9 - x & 0 \\ 0 & 9 & -9 - x \end{array} \right| = 0$
$C_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-x [1 \cdot ((9 - x)(-9 - x) - 0)] = 0$
$-x [-(9 - x)(9 + x)] = 0$
$x(9 - x)(9 + x) = 0$
આમ,બીજ $x = 0, 9, -9$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$0$ એ એક બીજ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} x-1 & 1 & 1 \\ 1 & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x-1 \end{array} \right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x+1 & 1 & 1 \\ x+1 & x-1 & 1 \\ x+1 & 1 & x-1 \end{array} \right| = 0$
$C_1$ માંથી $(x+1)$ સામાન્ય લેતા:
$(x+1) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & x-1 \end{array} \right| = 0$
હાર પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$(x+1) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 0 & x-2 \end{array} \right| = 0$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(x+1) [1 \cdot (x-2)(x-2) - 0 + 0] = 0$
$(x+1)(x-2)^2 = 0$
આમ,બીજ $x = -1$ અને $x = 2$ મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલો નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
આ નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} bc & bc' & b'c' \\ ca & ca' & c'a' \\ ab & ab' & a'b' \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{ccc} bc & b'c & b'c' \\ ca & c'a & c'a' \\ ab & a'b & a'b' \end{array}} \right|$
આ પ્રકારના નિશ્ચાયકોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,સાચો જવાબ વિકલ્પ $(c)$ એટલે કે $(ab' - a'b)(bc' - b'c)(ca' - c'a)$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} a & a & x \\ m & m & m \\ b & x & b \end{array} \right| = 0$.
બીજી હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-m \left| \begin{array}{cc} a & x \\ x & b \end{array} \right| + m \left| \begin{array}{cc} a & x \\ b & b \end{array} \right| - m \left| \begin{array}{cc} a & a \\ b & x \end{array} \right| = 0$.
ધારો કે $m \neq 0$,તો $m$ વડે ભાગતા:
$-\left( ab - x^2 \right) + \left( ab - bx \right) - \left( ax - ab \right) = 0$.
$-ab + x^2 + ab - bx - ax + ab = 0$.
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x - a)(x - b) = 0$.
આમ,બીજ $x = a$ અને $x = b$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a + b & a + 2b \\ a + 2b & a & a + b \\ a + b & a + 2b & a \end{array} \right|$.
પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3a + 3b & a + b & a + 2b \\ 3a + 3b & a & a + b \\ 3a + 3b & a + 2b & a \end{array} \right|$
$C_1$ માંથી $3(a + b)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = 3(a + b) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a + b & a + 2b \\ 1 & a & a + b \\ 1 & a + 2b & a \end{array} \right|$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = 3(a + b) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a + b & a + 2b \\ 0 & -b & -b \\ 0 & b & -2b \end{array} \right|$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 3(a + b) [(-b)(-2b) - (-b)(b)]$
$\Delta = 3(a + b) [2b^2 + b^2] = 3(a + b)(3b^2) = 9b^2(a + b)$.