Special types of matrices, Transpose of matrices and Trace of matrices Questions in Gujarati

(B) શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ ને સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક શ્રેણિક કહેવાય છે જો $A^T = -A$ હોય,જેનો અર્થ છે કે તમામ $i, j$ માટે $a_{ij} = -a_{ji}$.
વિકર્ણના ઘટકો માટે,આપણે $i = j$ લઈએ છીએ,જે $a_{ii} = -a_{ii}$ આપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2a_{ii} = 0$,તેથી તમામ $i$ માટે $a_{ii} = 0$.
આથી,સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક શ્રેણિકના તમામ વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A'$ શોધવા માટે,આપણે હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીએ છીએ:
$A' = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -5 \\ -2 & 5 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,શ્રેણિક $A'$ માંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$A' = -1 \times \begin{bmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 5 \\ 2 & -5 & 0 \end{bmatrix}$.
અંદરનો શ્રેણિક $A$ હોવાથી,આપણને $A' = -A$ મળે છે.
આમ,શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક (skew-symmetric matrix) છે.

(B) શ્રેણિકોના ગુણાકારના પરિવર્ત માટેનો સાચો ગુણધર્મ $(AB)' = B'A'$ છે.
વિકલ્પ $(B)$ જણાવે છે કે $(AB \dots L)' = A'B' \dots L'$,જે ખોટું છે કારણ કે ગુણાકારના પરિવર્તમાં શ્રેણિકોનો ક્રમ ઉલટાઈ જાય છે.
વિકલ્પ $(D)$ માં $(A)' = A$ લખેલું છે,પરંતુ જો તે $(A')' = A$ ને સંદર્ભિત કરતું હોય,તો તે એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$(B)$ એ શ્રેણિક બીજગણિતના સંદર્ભમાં મૂળભૂત રીતે ખોટો સંબંધ છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A' = A$ અને $B' = B$ થાય.
શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લઈએ:
$(AB - BA)' = (AB)' - (BA)'$
ગુણધર્મ $(XY)' = Y'X'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(AB - BA)' = B'A' - A'B'$
$A' = A$ અને $B' = B$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ:
$(AB - BA)' = BA - AB$
$(AB - BA)' = -(AB - BA)$
જેથી,શ્રેણિક $(AB - BA)$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તેના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોવાથી,$(AB - BA)$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(A) શ્રેણિક $M'AM$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લઈએ:
$(M'AM)' = M'A'(M')'$
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(ABC)' = C'B'A'$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(M'AM)' = M'A'M$
કારણ કે $A$ એક સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A' = A$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(M'AM)' = M'AM$
જેથી,શ્રેણિક $M'AM$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તે પોતે જ હોવાથી,$M'AM$ એ એક સંમિત શ્રેણિક છે.

(B) એક ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક કહેવાય છે જો $A'A = I = AA'$ થાય,જ્યાં $A'$ એ $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
$AA'$ ની ગણતરી કરતા:
$AA' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
તે જ રીતે,$A'A = I$ થાય છે.
આમ,$AA' = A'A = I$ હોવાથી,વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલો શ્રેણિક ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે.

(D) શ્રેણિક $M$ સંમિત કહેવાય જો $M' = M$ હોય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(A + A')' = A' + (A')' = A' + A = A + A'$. તેથી,$A + A'$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $(AA')' = (A')'A' = AA'$. તેથી,$AA'$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $(A'A)' = A'(A')' = A'A$. તેથી,$A'A$ સંમિત છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $(A - A')' = A' - (A')' = A' - A = -(A - A')$. કારણ કે $(A - A')' = -(A - A')$,તેથી શ્રેણિક $A - A'$ વિસંમિત (skew-symmetric) છે,સંમિત નથી.

(B) બે શ્રેણિકોના ગુણાકારનો પરિવર્તિત શ્રેણિક એ તેમના પરિવર્તિત શ્રેણિકોના ઉલટા ક્રમમાં ગુણાકાર બરાબર હોય છે.
સમાન કક્ષાના કોઈપણ બે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,આ ગુણધર્મ $(AB)' = B'A'$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો ગુણધર્મ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$ થાય.
$A^n$ સંમિત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $A^n$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $(A^n)^T$ શોધવો પડે.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(A^k)^T = (A^T)^k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(A^n)^T = (A^T)^n$
કારણ કે $A^T = A$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(A^n)^T = (A)^n = A^n$
આમ,$(A^n)^T = A^n$ હોવાથી,$A^n$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^T$ મેળવવા માટે હાર અને સ્તંભની અદલાબદલી કરતા:
$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે $A + A^T$ નો સરવાળો કરીએ:
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$
$A + A^T = \begin{bmatrix} 1+1 & -2+5 \\ 5+(-2) & 3+3 \end{bmatrix}$
$A + A^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ $n \times n$ કક્ષાનો સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક શ્રેણિક છે. વ્યાખ્યા મુજબ,$A^T = -A$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને મળે છે $\det(A^T) = \det(-A)$.
કારણ કે $\det(A^T) = \det(A)$ અને $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$,તેથી $\det(A) = (-1)^n \det(A)$.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $(-1)^n = -1$,તેથી $\det(A) = -\det(A)$,જેનો અર્થ છે કે $2 \det(A) = 0$,અથવા $\det(A) = 0$.
જે શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $0$ હોય તેને સિંગ્યુલર શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે.
તેથી,એકી કક્ષાનો સ્ક્યુ-સિમેટ્રિક શ્રેણિક હંમેશા સિંગ્યુલર હોય છે.

(B) ધારો કે $B = AA^T$.
$B$ સંમિત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^T$ શોધીએ.
$B^T = (AA^T)^T$.
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$B^T = (A^T)^T A^T$.
કારણ કે $(A^T)^T = A$,તેથી:
$B^T = AA^T = B$.
આમ,$B^T = B$ હોવાથી,શ્રેણિક $AA^T$ એ એક સંમિત શ્રેણિક છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 5 & -7 \\ -5 & 0 & 11 \\ 7 & -11 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક વિસંમિત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A'$ શોધીએ.
$A' = \begin{bmatrix} 0 & -5 & 7 \\ 5 & 0 & -11 \\ -7 & 11 & 0 \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$A'$ માંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$A' = -1 \begin{bmatrix} 0 & 5 & -7 \\ -5 & 0 & 11 \\ 7 & -11 & 0 \end{bmatrix} = -A$.
અહીં $A' = -A$ હોવાથી,આ શ્રેણિક વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(B) ધારો કે $S = A + A^T$.
$S$ સંમિત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધીએ:
$S^T = (A + A^T)^T$.
પરિવર્તિત શ્રેણિકના ગુણધર્મ $(X + Y)^T = X^T + Y^T$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S^T = A^T + (A^T)^T$.
કારણ કે $(A^T)^T = A$,તેથી:
$S^T = A^T + A = A + A^T = S$.
આમ,$S^T = S$ હોવાથી,શ્રેણિક $A + A^T$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(D) શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} i & 1 - 2i \\ -1 - 2i & 0 \end{bmatrix}$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનો અનુબદ્ધ પરિવર્તિત શ્રેણિક $(\bar{A})^T$ શોધીએ.
પ્રથમ,દરેક ઘટકના કાલ્પનિક ભાગની નિશાની બદલીને અનુબદ્ધ શ્રેણિક $\bar{A}$ મેળવો:
$\bar{A} = \begin{bmatrix} -i & 1 + 2i \\ -1 + 2i & 0 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,અનુબદ્ધ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $(\bar{A})^T$ શોધો:
$(\bar{A})^T = \begin{bmatrix} -i & -1 + 2i \\ 1 + 2i & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,આની સરખામણી $-A$ સાથે કરો:
$-A = -\begin{bmatrix} i & 1 - 2i \\ -1 - 2i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & -1 + 2i \\ 1 + 2i & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં $(\bar{A})^T = -A$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ વિ-હર્મિશિયન (skew-hermitian) છે.

(A) ધારો કે $A$ એ $n$ કક્ષાનો વિસંમિત શ્રેણિક છે,જ્યાં $n = 2k + 1$ એ એકી સંખ્યા છે.
વિસંમિત શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,$A^T = -A$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|A^T| = |-A|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|A^T| = |A|$ અને $|cA| = c^n|A|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A| = (-1)^n |A|$.
અહીં $n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^n = -1$.
તેથી,$|A| = -|A|$.
$2|A| = 0 \Rightarrow |A| = 0$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક,જેને $A'$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેની હાર અને સ્તંભોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે.
તેથી,$A' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે ગુણાકાર $AA'$ ની ગણતરી કરીએ:
$AA' = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 & 1 \times 2 & 1 \times 3 \\ 2 \times 1 & 2 \times 2 & 2 \times 3 \\ 3 \times 1 & 3 \times 2 & 3 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$.

(B) બે શ્રેણિકોના ગુણાકારનો પરિવર્તિત શ્રેણિક એ તેમના પરિવર્તિત શ્રેણિકોના ઉલટા ક્રમમાં ગુણાકાર બરાબર હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,કોઈપણ બે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે કે જેનો ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત હોય,પરિવર્તિત શ્રેણિકનો ગુણધર્મ આ મુજબ છે:
$(AB)' = B'A'$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $B = A - A^T$. $B$ સંમિત છે કે વિસંમિત તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B^T$ શોધીએ.
$B^T = (A - A^T)^T$
ગુણધર્મ $(X - Y)^T = X^T - Y^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B^T = A^T - (A^T)^T$
કારણ કે $(A^T)^T = A$,તેથી:
$B^T = A^T - A$
$B^T = -(A - A^T)$
$B^T = -B$
આમ,$B^T = -B$ હોવાથી,શ્રેણિક $A - A^T$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) & (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) \\ (-1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) & (-1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) + (-1/\sqrt{2})(-1/\sqrt{2}) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1/2 - 1/2 & 1/2 - 1/2 \\ -1/2 + 1/2 & -1/2 + 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$
અહીં $A^2 = O$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ $2$ કક્ષાનો શૂન્યઘાતી (nilpotent) શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A' = A$ અને $B' = B$ થાય.
$ABA$ સંમિત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) શોધીએ:
$(ABA)' = A'B'A'$
$(XYZ)' = Z'Y'X'$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(ABA)' = A'B'A'$
કારણ કે $A' = A$ અને $B' = B$,આપણે આ કિંમતોને પદમાં મૂકીએ:
$(ABA)' = ABA$
આમ,$ABA$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તે પોતે જ હોવાથી,$ABA$ એ એક સંમિત શ્રેણિક છે.

(D) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો ટ્રેસ,જેને $t_r(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેના વિકર્ણ ઘટકોના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ટ્રેસના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
$1$. $t_r(A + B) = t_r(A) + t_r(B)$,જે સાચું છે.
$2$. $t_r(\alpha A) = \alpha t_r(A)$,જે કોઈપણ અદિશ $\alpha \in R$ માટે સાચું છે.
$3$. $t_r(A^T) = t_r(A)$,જે સાચું છે કારણ કે પરિવર્તિત શ્રેણિકમાં વિકર્ણ ઘટકો બદલાતા નથી.
$4$. $t_r(AB) = t_r(BA)$ એ શ્રેણિકોના ગુણાકારના ટ્રેસનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. તેથી,વિધાન $t_r(AB) \ne t_r(BA)$ ખોટું છે.

(A) ચોરસ શ્રેણિક $A$ લંબકોણીય છે જો $AA^T = A^TA = I$ હોય,જ્યાં $I$ એકમ શ્રેણિક છે. આનો અર્થ એ છે કે દરેક હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,અને કોઈપણ બે અલગ હાર (અથવા સ્તંભ) ના અનુરૂપ ઘટકોના ગુણાકારનો સરવાળો $0$ થાય છે.
ચાલો વિકલ્પ $A$ તપાસીએ:
હાર $1$: $(6/7)^2 + (2/7)^2 + (-3/7)^2 = (36+4+9)/49 = 49/49 = 1$.
હાર $2$: $(2/7)^2 + (3/7)^2 + (6/7)^2 = (4+9+36)/49 = 49/49 = 1$.
હાર $3$: $(3/7)^2 + (-6/7)^2 + (2/7)^2 = (9+36+4)/49 = 49/49 = 1$.
હાર $1$ અને હાર $2$ નો ડોટ ગુણાકાર: $(6/7)(2/7) + (2/7)(3/7) + (-3/7)(6/7) = (12+6-18)/49 = 0/49 = 0$.
હાર $2$ અને હાર $3$ નો ડોટ ગુણાકાર: $(2/7)(3/7) + (3/7)(-6/7) + (6/7)(2/7) = (6-18+12)/49 = 0/49 = 0$.
હાર $1$ અને હાર $3$ નો ડોટ ગુણાકાર: $(6/7)(3/7) + (2/7)(-6/7) + (-3/7)(2/7) = (18-12-6)/49 = 0/49 = 0$.
બધી શરતો સંતોષાય છે,તેથી વિકલ્પ $A$ માં આપેલ શ્રેણિક લંબકોણીય છે.

(C) શ્રેણિક $A$ ને શૂન્યઘાતી (nilpotent) કહેવાય છે જો કોઈ ધન પૂર્ણાંક $m$ માટે $A^m = 0$ થાય,જ્યાં $0$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
વિકલ્પ $C$ માટે,ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
તેથી $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 0 + 0 \times 1 & 0 \times 0 + 0 \times 0 \\ 1 \times 0 + 0 \times 1 & 1 \times 0 + 0 \times 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં $A^2 = 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ $2$ ઘાત ધરાવતો શૂન્યઘાતી શ્રેણિક છે.

(C) શ્રેણિક $A$ લંબકોણીય (orthogonal) કહેવાય જો $AA^T = I$ હોય.
$A^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ ગણતા.
તેથી $AA^T = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
$AA^T = I$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ તમામ $\theta \in \mathbb{R}$ માટે લંબકોણીય શ્રેણિક છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) શ્રેણિકનો ટ્રેસ,$Tr(M)$,એ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે.
$A + 2B$ માટે,વિકર્ણ ઘટકો $1, -3, 1$ છે. તેથી,$Tr(A + 2B) = 1 - 3 + 1 = -1$.
ગુણધર્મ $Tr(A + 2B) = Tr(A) + 2Tr(B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $Tr(A) + 2Tr(B) = -1$ મળે છે.
$2A - B$ માટે,વિકર્ણ ઘટકો $2, -1, 2$ છે. તેથી,$Tr(2A - B) = 2 - 1 + 2 = 3$.
ગુણધર્મ $Tr(2A - B) = 2Tr(A) - Tr(B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2Tr(A) - Tr(B) = 3$ મળે છે.
ધારો કે $Tr(A) = x$ અને $Tr(B) = y$.
આપણને સમીકરણોની સિસ્ટમ મળે છે:
$x + 2y = -1$
$2x - y = 3$
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4x - 2y = 6$ મળે છે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(x + 2y) + (4x - 2y) = -1 + 6 \implies 5x = 5 \implies x = 1$.
$x = 1$ ને $2x - y = 3$ માં મૂકતા: $2(1) - y = 3 \implies 2 - y = 3 \implies y = -1$.
તેથી,$Tr(A) - Tr(B) = x - y = 1 - (-1) = 2$.

(A) આપેલ છે કે $Q = PAP^T$ અને $P$ એ ઓર્થોગોનલ શ્રેણિક છે,તેથી $P^TP = PP^T = I$.
આપણે $X = P^TQ^{2005}P$ શોધવાનું છે.
પ્રથમ,$Q^2 = (PAP^T)(PAP^T) = PA(P^TP)AP^T = PA(I)AP^T = PA^2P^T$ ગણીએ.
ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા,$Q^n = PA^nP^T$.
તેથી,$Q^{2005} = PA^{2005}P^T$.
આ કિંમતને $X$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = P^T(PA^{2005}P^T)P = (P^TP)A^{2005}(P^TP) = I \cdot A^{2005} \cdot I = A^{2005}$.
કારણ કે $A$ એ $4$ ના આવર્તકાળ ધરાવતો આવર્તી શ્રેણિક છે,$A^{k+1} = A$ જ્યાં $k=4$. તેથી $A^5 = A$.
આપણે $2005 = 4 \times 501 + 1$ લખી શકીએ.
તેથી,$A^{2005} = A^{4 \times 501 + 1} = (A^4)^{501} \cdot A = I^{501} \cdot A = A$.
આમ,$X = A$.

(B) શ્રેણિકનો ટ્રેસ,$Tr(M)$,એ તેના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે $2A + B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & 2 \end{bmatrix}$,તેથી $Tr(2A + B) = 1 + 4 + 2 = 7$.
$Tr(2A + B) = 2Tr(A) + Tr(B)$ હોવાથી,$2Tr(A) + Tr(B) = 7$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $A - 2B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $Tr(A - 2B) = 2 + 3 + 1 = 6$.
$Tr(A - 2B) = Tr(A) - 2Tr(B)$ હોવાથી,$Tr(A) - 2Tr(B) = 6$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે ગુણતા: $4Tr(A) + 2Tr(B) = 14$.
આને સમીકરણ $2$ માં ઉમેરતા: $(4Tr(A) + 2Tr(B)) + (Tr(A) - 2Tr(B)) = 14 + 6 \Rightarrow 5Tr(A) = 20 \Rightarrow Tr(A) = 4$.
$Tr(A) = 4$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(4) + Tr(B) = 7 \Rightarrow 8 + Tr(B) = 7 \Rightarrow Tr(B) = -1$.
અંતે,$Tr(A) - Tr(B) = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$.

(B) આપેલ છે કે $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$.
આપેલ છે કે $B$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^T = -B$.
આપણે શ્રેણિક $M = AB - BA$ નો પ્રકાર તપાસવો છે.
$M$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક (transpose) લેતા:
$M^T = (AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T$
ગુણધર્મ $(XY)^T = Y^T X^T$ નો ઉપયોગ કરતા:
$M^T = B^T A^T - A^T B^T$
$A^T = A$ અને $B^T = -B$ મૂકતા:
$M^T = (-B)(A) - (A)(-B)$
$M^T = -BA + AB = AB - BA = M$
અહીં $M^T = M$ હોવાથી,શ્રેણિક $AB - BA$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $A$ સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = A$.
આપેલ છે કે $B$ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $B^T = -B$.
આપણને આપેલ છે કે $A + B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix} \quad (1)$.
બંને બાજુ પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા:
$(A + B)^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{bmatrix}^T \implies A^T + B^T = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^T = A$ અને $B^T = -B$ મૂકતા,આપણને $A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} \quad (2)$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2A = \begin{bmatrix} 2+2 & 3+5 \\ 5+3 & -1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 8 & -2 \end{bmatrix} \implies A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2B = \begin{bmatrix} 2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \implies B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2)(0) + (4)(1) & (2)(-1) + (4)(0) \\ (4)(0) + (-1)(1) & (4)(-1) + (-1)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & -4 \end{bmatrix}$.

(N/A) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A'$ મેળવવા માટે,આપણે $A$ ની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીએ છીએ:
$A' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$A'$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $(A')'$ મેળવવા માટે,આપણે $A'$ ની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીએ છીએ:
$(A')' = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$.
આ પરિણામની મૂળ શ્રેણિક $A$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(A')' = A$.
આમ,ગુણધર્મ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} & 2 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A+B$ શોધો:
$A+B = \begin{bmatrix} 3+2 & \sqrt{3}-1 & 2+2 \\ 4+1 & 2+2 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & \sqrt{3}-1 & 4 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $(A+B)^{\prime}$ શોધો:
$(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ શોધો:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ \sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$,$B^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{\prime} + B^{\prime}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3+2 & 4+1 \\ \sqrt{3}-1 & 2+2 \\ 2+2 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ \sqrt{3}-1 & 4 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$.
આમ,$(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો:
$AB = \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -6 & 12 \\ 4 & 12 & -24 \\ 5 & 15 & -30 \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકારનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^{\prime}$ શોધો:
$(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A$ અને $B$ ના પરિવર્તિત શ્રેણિકો $A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ શોધો:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix}$ અને $B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix}$.
હવે,ગુણાકાર $B^{\prime} A^{\prime}$ શોધો:
$B^{\prime} A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & 5 \\ -6 & 12 & 15 \\ 12 & -24 & -30 \end{bmatrix}$.
પરિણામોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime}$. આમ,ગુણધર્મ ચકાસાયેલ છે.

કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $B$ ને સંમિત શ્રેણિક $P$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $Q$ ના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(B + B')$ અને $Q = \frac{1}{2}(B - B')$.
આપેલ $B = \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$,તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $B' = \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right]$ છે.
$P = \frac{1}{2}(B + B') = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right] \right) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr}4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}2 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -3\end{array}\right]$ ગણતા.
$P' = P$ હોવાથી,$P$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
$Q = \frac{1}{2}(B - B') = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right] \right) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$ ગણતા.
$Q' = -Q$ હોવાથી,$Q$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આમ,$B = P + Q = \left[\begin{array}{rrr}2 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rrr}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{c}5 \\ \frac{1}{2} \\ -1\end{array}\right]$.
શ્રેણિકનો પરિવર્ત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે તેની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીએ છીએ.
આપેલ શ્રેણિક $A$ એ $3 \times 1$ કક્ષાનો સ્તંભ શ્રેણિક છે.
તેનો પરિવર્ત શ્રેણિક $A^T$ એ $1 \times 3$ કક્ષાનો હાર શ્રેણિક બનશે.
તેથી,$A^T = \left[\begin{array}{lll}5 & \frac{1}{2} & -1\end{array}\right]$.

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right]$ છે.
શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે તેની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીએ છીએ.
$A$ ની પ્રથમ હાર $(1, -1)$ છે,જે $A^T$ નો પ્રથમ સ્તંભ બનશે.
$A$ ની બીજી હાર $(2, 3)$ છે,જે $A^T$ નો બીજો સ્તંભ બનશે.
તેથી,$A^T = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 3\end{array}\right]$.

(A) શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે તેની હાર (rows) અને સ્તંભો (columns) ને અદલાબદલી કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right]$.
$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક,જેને $A^T$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A$ ની પ્રથમ હારને $A^T$ ના પ્રથમ સ્તંભ તરીકે,$A$ ની બીજી હારને $A^T$ ના બીજા સ્તંભ તરીકે અને $A$ ની ત્રીજી હારને $A^T$ ના ત્રીજા સ્તંભ તરીકે લખીને મેળવવામાં આવે છે.
આમ,$A^T = \left[\begin{array}{ccc}-1 & \sqrt{3} & 2 \\ 5 & 5 & 3 \\ 6 & 6 & -1\end{array}\right]$.

(A) આપણી પાસે છે:
$A^{\prime}=\begin{bmatrix}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix}, B^{\prime}=\begin{bmatrix}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{bmatrix}$
$A+B=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & 9 \\ -1 & 4 & 2\end{bmatrix}$
$\therefore (A+B)^{\prime}=\begin{bmatrix}-5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2\end{bmatrix}$
$A^{\prime}+B^{\prime}=\begin{bmatrix}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & 9 & 2\end{bmatrix}$
આમ,$(A+B)^{\prime} = A^{\prime}+B^{\prime}$ સાબિત થાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,$A-B$ ની ગણતરી કરો:
$A-B = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 8 \\ 4 & 5 & 9 \\ -3 & -2 & 0\end{array}\right]$
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિક $(A-B)^{\prime}$ શોધો:
$(A-B)^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0\end{array}\right]$
આગળ,$A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ શોધો:
$A^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right]$,$B^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right]$
હવે,$A^{\prime}-B^{\prime}$ ની ગણતરી કરો:
$A^{\prime}-B^{\prime} = \left[\begin{array}{rrr}-1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & 9 & 1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}-4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}3 & 4 & -3 \\ 1 & 5 & -2 \\ 8 & 9 & 0\end{array}\right]$
આમ,$(A-B)^{\prime} = A^{\prime}-B^{\prime}$ હોવાથી,ગુણધર્મ ચકાસાયેલ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $A = (A^{\prime})^{\prime}$.
તેથી,$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપેલ $B = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ પરથી,$B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ મળે.
હવે,$A+B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 5 & 4 & 4 \end{bmatrix}$.
તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,$(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
આગળ,$A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
આમ,$(A+B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ અને $A^{\prime} + B^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $(A+B)^{\prime} = A^{\prime} + B^{\prime}$.

(A) આપેલ છે કે $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,તેથી $A = (A^{\prime})^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
હવે,$A-B = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -3 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$(A-B)^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$ મળે.
આગળ,$B^{\prime} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$A^{\prime}-B^{\prime} = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$ મળે.
આમ,$(A-B)^{\prime} = A^{\prime}-B^{\prime} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ -3 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$ હોવાથી,ગુણધર્મ ચકાસાય છે.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે ગુણાકાર $AB$ શોધીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \times 1 & 0 \times 5 & 0 \times 7 \\ 1 \times 1 & 1 \times 5 & 1 \times 7 \\ 2 \times 1 & 2 \times 5 & 2 \times 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 7 \\ 2 & 10 & 14 \end{bmatrix}$
હવે,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને આપણે પરિવર્તિત શ્રેણિક $(AB)^{\prime}$ મેળવીએ:
$(AB)^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix}$
આગળ,આપણે $A^{\prime}$ અને $B^{\prime}$ શોધીએ:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$B^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix}$
હવે,આપણે ગુણાકાર $B^{\prime} A^{\prime}$ શોધીએ:
$B^{\prime} A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 0 & 1 \times 1 & 1 \times 2 \\ 5 \times 0 & 5 \times 1 & 5 \times 2 \\ 7 \times 0 & 7 \times 1 & 7 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 10 \\ 0 & 7 & 14 \end{bmatrix}$
આમ,$(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime}$ હોવાથી,ગુણધર્મ ચકાસાયેલ છે.

(N/A) જો $A^{\prime} = A$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ને સંમિત શ્રેણિક કહેવાય છે,જ્યાં $A^{\prime}$ એ શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ મેળવવા માટે,આપણે $A$ ની હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીએ છીએ:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{bmatrix}$.
અહીં $A^{\prime} = A$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.

(N/A) જો $A^{\prime} = -A$ હોય,તો શ્રેણિક $A$ ને વિસંમિત શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્ત શ્રેણિક $A^{\prime}$,તેની હાર અને સ્તંભોને અદલાબદલી કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,શ્રેણિક $A^{\prime}$ માંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$A^{\prime} = -1 \times \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} = -A$.
અહીં $A^{\prime} = -A$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

(N/A) આપેલ છે: $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ શોધો:
$A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,સરવાળો $(A + A^{\prime})$ ગણો:
$A + A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 5+6 \\ 6+5 & 7+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$.
$(A + A^{\prime})$ સંમિત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તપાસીએ કે $(A + A^{\prime})^{\prime} = (A + A^{\prime})$ થાય છે કે નહીં:
$(A + A^{\prime})^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}^{\prime} = \begin{bmatrix} 2 & 11 \\ 11 & 14 \end{bmatrix}$.
અહીં $(A + A^{\prime})^{\prime} = (A + A^{\prime})$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $(A + A^{\prime})$ એક સંમિત શ્રેણિક છે.

(N/A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$.
$A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$ છે.
હવે,$A - A^{\prime}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A - A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
ધારો કે $B = A - A^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
હવે,$B$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક શોધીએ:
$B^{\prime} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $B^{\prime} = -\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = -B$.
આમ,$(A - A^{\prime})^{\prime} = -(A - A^{\prime})$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $(A - A^{\prime})$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.

આપેલ શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right]$ છે.
પ્રથમ,હાર અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime}$ મેળવો:
$A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right].$
હવે,$A+A^{\prime}$ ની ગણતરી કરો:
$A+A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
તેથી,$\frac{1}{2}(A+A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].$
આગળ,$A-A^{\prime}$ ની ગણતરી કરો:
$A-A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2a & 2b \\ -2a & 0 & 2c \\ -2b & -2c & 0\end{array}\right].$
તેથી,$\frac{1}{2}(A-A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0\end{array}\right].$

(A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને $A = P + Q$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,$A + A^{\prime}$ ની ગણતરી કરો:
$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6+6 & -2-2 & 2+2 \\ -2-2 & 3+3 & -1-1 \\ 2+2 & -1-1 & 3+3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}12 & -4 & 4 \\ -4 & 6 & -2 \\ 4 & -2 & 6\end{array}\right]$.
આમ,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right]$.
કારણ કે $P^{\prime} = P$,તેથી $P$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
આગળ,$A - A^{\prime}$ ની ગણતરી કરો:
$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{ccc}6-6 & -2-(-2) & 2-2 \\ -2-(-2) & 3-3 & -1-(-1) \\ 2-2 & -1-(-1) & 3-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
આમ,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.
કારણ કે $Q^{\prime} = -Q$,તેથી $Q$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
અંતે,$A = P + Q = \left[\begin{array}{ccc}6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$.

(N/A) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$. તો $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ થાય.
કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ ને $A = P + Q$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime})$ એ સંમિત શ્રેણિક છે અને $Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime})$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,$A + A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ મેળવો.
તેથી,$P = \frac{1}{2}(A + A^{\prime}) = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$. અહીં $P^{\prime} = P$ હોવાથી,$P$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
હવે,$A - A^{\prime} = \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$ મેળવો.
તેથી,$Q = \frac{1}{2}(A - A^{\prime}) = \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$. અહીં $Q^{\prime} = -Q$ હોવાથી,$Q$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આમ,$A = P + Q = \left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ થાય.
શરત $A + A^{\prime} = I$ આપેલ છે,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
$A$ અને $A^{\prime}$ નો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2 \cos \alpha & 0 \\ 0 & 2 \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2 \cos \alpha = 1$
$\cos \alpha = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \alpha = \frac{1}{2}$ હોવાથી $\alpha = \frac{\pi}{3}$ મળે.