Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Gujarati

(D) આપેલ સમીકરણ $M^2 - \lambda M - I_2 = 0$ છે,જ્યાં $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$M^2$ ની ગણતરી કરો:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix}$.
સમીકરણમાં $M^2$,$M$,અને $I_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\begin{bmatrix} 5 - \lambda - 1 & 8 - 2\lambda - 0 \\ 8 - 2\lambda - 0 & 13 - 3\lambda - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$4 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
$8 - 2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$.
$12 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 3\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
આમ,$\lambda = 4$ એ તમામ સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\ \sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta) \end{bmatrix}$.
તે જ રીતે,$BA$ ની ગણતરી કરતા:
$BA = \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha & -\cos \beta \sin \alpha - \sin \beta \cos \alpha \\ \sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha & -\sin \beta \sin \alpha + \cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos(\beta + \alpha) & -\sin(\beta + \alpha) \\ \sin(\beta + \alpha) & \cos(\beta + \alpha) \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\beta + \alpha)$ અને $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\beta + \alpha)$,તેથી $AB = BA$ થાય છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ અથવા $\Delta$ શોધીએ.
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 1(1 \times 0 - 1 \times 0) - 0(0 \times 0 - 1 \times 1) + 1(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$|A| = 1(0) - 0(-1) + 1(-1)$
$|A| = 0 - 0 - 1 = -1$
અહીં $|A| = -1 \neq 0$ હોવાથી,શ્રેણિક $A$ એ અસામાન્ય (non-singular) શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{bmatrix}$.
આપણે ${A^2} = A \times A$ શોધવાનું છે.
${A^2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{bmatrix}$.
ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
હાર $1$: $(1 \times 1 + 0 \times 0 + 0 \times a, 1 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times b, 1 \times 0 + 0 \times 0 + 0 \times -1) = (1, 0, 0)$.
હાર $2$: $(0 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times a, 0 \times 0 + 1 \times 1 + 0 \times b, 0 \times 0 + 1 \times 0 + 0 \times -1) = (0, 1, 0)$.
હાર $3$: $(a \times 1 + b \times 0 + -1 \times a, a \times 0 + b \times 1 + -1 \times b, a \times 0 + b \times 0 + -1 \times -1) = (a - a, b - b, 1) = (0, 0, 1)$.
આમ,${A^2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,જે એકમ શ્રેણિક છે.

(A) આપણને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલ છે.
${A^2}$ ની ગણતરી કરીએ:
${A^2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+1(0) & 1(1)+1(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(1)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
${A^3}$ ની ગણતરી કરીએ:
${A^3} = {A^2} \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+2(0) & 1(1)+2(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(1)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ પેટર્નનું અવલોકન કરતા,આપણે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સામાન્યીકરણ કરી શકીએ છીએ:
${A^n} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આ સાબિતી ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને આપી શકાય છે.

(D) શ્રેણિકો માટે $AB = O$ ની શરતનો અર્થ એ નથી કે $A = O$ અથવા $B = O$ હોવું જ જોઈએ.
શ્રેણિક બીજગણિતમાં,એવા શૂન્યતર શ્રેણિકો $A$ અને $B$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેમનો ગુણાકાર $AB$ એ શૂન્ય શ્રેણિક $O$ થાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જો $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ હોય,તો $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$ થાય,ભલે $A \neq O$ અને $B \neq O$ હોય.
તેથી,આપેલા વિકલ્પો $A \neq O, B = O$,$A = O, B \neq O$,અથવા $A = O$ અથવા $B = O$ એ $AB = O$ માટે જરૂરી શરતો નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ a & b \end{bmatrix}$ અને $A^2 = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
$A^2$ ની ગણતરી કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 + 2a & 4 + 2b \\ 2a + ab & 2a + b^2 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ને શૂન્ય શ્રેણિક સાથે સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} 4 + 2a & 4 + 2b \\ 2a + ab & 2a + b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ હાર પરથી:
$4 + 2a = 0 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2$.
$4 + 2b = 0 \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2$.
બીજી હાર સાથે સુસંગતતા તપાસતા:
$2a + ab = 2(-2) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0$.
$2a + b^2 = 2(-2) + (-2)^2 = -4 + 4 = 0$.
બધા સમીકરણો સંતોષાય છે,તેથી $(a, b) = (-2, -2)$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $[m \ n] \begin{bmatrix} m \\ n \end{bmatrix} = [25]$.
શ્રેણિકનો ગુણાકાર કરતા: $[m^2 + n^2] = [25]$.
આનો અર્થ એ થાય કે $m^2 + n^2 = 25$.
અહીં આપણને શરત $m < n$ આપેલી છે અને સામાન્ય રીતે $m, n$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
$m^2 + n^2 = 25$ થાય તેવી પૂર્ણાંક જોડી $(m, n)$ ચકાસતા:
જો $m=3, n=4$ લઈએ,તો $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
અહીં $3 < 4$ હોવાથી,શરત $m < n$ સંતોષાય છે.
તેથી,$(m, n) = (3, 4)$.

(A) શ્રેણિકોના સરવાળા કે બાદબાકી માટે,તેમની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ.
શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $3 \times 3$ છે.
શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $3 \times 2$ છે.
અભિવ્યક્તિ $A^2 + 2B - 2A$ માં,આપણે શ્રેણિક $A^2$ (જે $3 \times 3$ છે) ને શ્રેણિક $2B$ (જે $3 \times 2$ છે) સાથે ઉમેરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છીએ.
$A^2$ અને $2B$ ની કક્ષા અલગ હોવાથી,તેમનો સરવાળો વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,અભિવ્યક્તિ $A^2 + 2B - 2A$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 & 0 \\ 0 & (-i)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
હવે,$B^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 & 0 \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ અને $B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ હોવાથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $A^2 = B^2$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix}$.
આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (ab)(ab) + (b^2)(-a^2) & (ab)(b^2) + (b^2)(-ab) \\ (-a^2)(ab) + (-ab)(-a^2) & (-a^2)(b^2) + (-ab)(-ab) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} a^2b^2 - a^2b^2 & ab^3 - ab^3 \\ -a^3b + a^3b & -a^2b^2 + a^2b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
કારણ કે $A^2 = O$,તેથી $n \ge 2$ માટે $A^n = O$ થાય.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 2 \\ 0 & 2x - 3 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $AB = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
ગુણાકાર $AB$ શોધતા:
$AB = \begin{bmatrix} 1/3 & 2 \\ 0 & 2x - 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1/3 \times 3) + (2 \times 0) & (1/3 \times 6) + (2 \times -1) \\ (0 \times 3) + ((2x - 3) \times 0) & (0 \times 6) + ((2x - 3) \times -1) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 1 + 0 & 2 - 2 \\ 0 + 0 & 0 - (2x - 3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 - 2x \end{bmatrix}$.
$AB = I$ હોવાથી,$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 - 2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ મળે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$3 - 2x = 1$ મળે છે.
$2x = 3 - 1 = 2$.
$x = 1$.

(B) શ્રેણિક ગુણાકાર $AB = C$ વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,શ્રેણિક $A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા શ્રેણિક $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
જો $A$ એ $m \times n$ શ્રેણિક હોય અને $B$ એ $n \times p$ શ્રેણિક હોય,તો પરિણામી શ્રેણિક $C$ ના પરિમાણો $m \times p$ હશે.
વિકલ્પ $B$ જોતા: જો $A$ એ $3 \times 2$ હોય અને $B$ એ $2 \times 3$ હોય,તો $C$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોવો જોઈએ.
તેથી,સાચા પરિમાણો $A_{3 \times 2}, B_{2 \times 3}, C_{3 \times 3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix}$.
આપણે $\lambda$ ની એવી કિંમત શોધવાની છે જેના માટે $A^2 = O$ થાય,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (\lambda)(\lambda) + (1)(-1) & (\lambda)(1) + (1)(-\lambda) \\ (-1)(\lambda) + (-\lambda)(-1) & (-1)(1) + (-\lambda)(-\lambda) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & \lambda - \lambda \\ -\lambda + \lambda & -1 + \lambda^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & 0 \\ 0 & \lambda^2 - 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^2 = O$,તેથી $\begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & 0 \\ 0 & \lambda^2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\lambda^2 - 1 = 0$ મળે છે.
$\lambda^2 = 1 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$A^2 = \begin{bmatrix} (4 \times 4 + 1 \times 3) & (4 \times 1 + 1 \times 2) \\ (3 \times 4 + 2 \times 3) & (3 \times 1 + 2 \times 2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 6 \\ 18 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,$6A = 6 \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & 6 \\ 18 & 12 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
અંતે,$A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 19 & 6 \\ 18 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 24 & 6 \\ 18 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $\begin{bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} = -5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -5I$,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે અને શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $2 \times 3$ છે.
શ્રેણિકના સરવાળા $A+B$ માટે,બંને શ્રેણિકોનો ક્રમ સમાન હોવો જોઈએ,જે અહીં નથી.
શ્રેણિકના ગુણાકાર $AB$ માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(3)$ એ $B$ માં હારની સંખ્યા $(2)$ જેટલી હોવી જોઈએ,જે અહીં નથી.
હવે,પરિવર્તિત શ્રેણિકો (transpose matrices) ધ્યાનમાં લો:
$A'$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
$B'$ નો ક્રમ $3 \times 2$ છે.
ગુણાકાર $A'B'$ માટે,$A'$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(3)$ એ $B'$ માં હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી છે. તેથી,$A'B'$ વ્યાખ્યાયિત છે.
ગુણાકાર $B'A'$ માટે,$B'$ માં સ્તંભોની સંખ્યા $(2)$ એ $A'$ માં હારની સંખ્યા $(3)$ જેટલી હોવી જોઈએ,જે અહીં નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = [1\, 2\, 3]$ ($1 \times 3$ શ્રેણિક) અને $B = \begin{bmatrix} -5 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ ($3 \times 3$ શ્રેણિક).
$AB$ શોધવા માટે,આપણે $A$ ની હારનો $B$ ના દરેક સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$AB = [1 \times (-5) + 2 \times 0 + 3 \times 1, \quad 1 \times 4 + 2 \times 2 + 3 \times (-3), \quad 1 \times 0 + 2 \times (-1) + 3 \times 2]$
$AB = [-5 + 0 + 3, \quad 4 + 4 - 9, \quad 0 - 2 + 6]$
$AB = [-2, \quad -1, \quad 4]$
આમ,$AB = [-2\, -1\, 4]$.

(B) ધારો કે શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $m \times n$ છે.
ધારો કે શ્રેણિક $B$ ની કક્ષા $p \times q$ છે.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $B$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$n = p$.
આમ,$B$ ની કક્ષા $n \times q$ છે.
ગુણાકાર $BA$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$B$ ના સ્તંભોની સંખ્યા $A$ ની હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. તેથી,$q = m$.
આ કિંમતો મૂકતા,$B$ ની કક્ષા $n \times m$ મળે છે.

(C) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ માટે ઉકેલવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની બાદબાકી કરતા:
$a = 2 - 1 = 1$
$c = -3 - 4 = -7$
$b = 4 - 2 = 2$
$d = 0 - (-5) = 5$
આમ,$(a, b, c, d) = (1, 2, -7, 5)$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ શોધવા માટે,આપણે $A$ નો $A$ સાથે ગુણાકાર કરીશું:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A^2 = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 & 0 + (-1)(-1) + 0 & 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + (-1)(-1) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
આમ,$A^2$ એ એકમ શ્રેણિક (identity matrix) $I$ છે.

(B) ગુણાકાર શ્રેણિક $AB$ માં $3^{rd}$ હાર અને $3^{rd}$ સ્તંભના ઘટકને શોધવા માટે,આપણે તેને $C_{33}$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
શ્રેણિક ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$C_{33}$ એ શ્રેણિક $A$ ની $3^{rd}$ હારના ઘટકોનો શ્રેણિક $B$ ના $3^{rd}$ સ્તંભના અનુરૂપ ઘટકો સાથે ગુણાકાર કરીને તેમનો સરવાળો કરવાથી મળે છે.
$C_{33} = (A_{31} \times B_{13}) + (A_{32} \times B_{23}) + (A_{33} \times B_{33})$
$C_{33} = (-2 \times 3) + (2 \times 5) + (0 \times 0)$
$C_{33} = -6 + 10 + 0$
$C_{33} = 4$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = 2I$,જ્યાં $I$ એ $3 \times 3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપણે $A^5$ શોધવાનું છે.
$A^5 = (2I)^5 = 2^5 I^5$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $I^n = I$ હોવાથી,$I^5 = I$ થાય.
તેથી,$A^5 = 32I$.
આને આપણે $A^5 = 16 \times 2I = 16A$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.

(D) ધારો કે $B = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $AB = O$,તેથી $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 0(x) + 1(z) & 0(y) + 1(w) \\ 0(x) + 0(z) & 0(y) + 0(w) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z & w \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $z = 0$ અને $w = 0$ મળે છે,જ્યારે $x$ અને $y$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $D$ માં $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે,જે $AB = O$ ની શરતનું પાલન કરે છે કારણ કે $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.

(B) સમાન કક્ષાના કોઈપણ બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,તેમના સરવાળાનો વર્ગ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$(A + B)^2 = (A + B)(A + B)$
શ્રેણિક ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B)$
$= A^2 + AB + BA + B^2$
શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી (એટલે કે,સામાન્ય રીતે $AB \neq BA$),તેથી આપણે $AB + BA$ ને $2AB$ તરીકે લખી શકતા નથી. તેથી,સાચું પદ $A^2 + AB + BA + B^2$ છે.

(C) ચોરસ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ ને નીચેનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક કહેવાય છે જો મુખ્ય વિકર્ણની ઉપરના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય,એટલે કે $i < j$ માટે $a_{ij} = 0$.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{bmatrix}$ માં,મુખ્ય વિકર્ણની ઉપરના ઘટકો $a_{12}=0, a_{13}=0, a_{14}=0, a_{23}=0, a_{24}=0, a_{34}=0$ છે.
કારણ કે $i < j$ માટે તમામ ઘટકો $a_{ij} = 0$ છે,તેથી શ્રેણિક $A$ એ નીચેનો ત્રિકોણીય શ્રેણિક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ઉપલો ત્રિકોણીય શ્રેણિક એવો ચોરસ શ્રેણિક છે જેમાં મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય છે.
શ્રેણિક $[a_{ij}]_{n \times n}$ માટે,મુખ્ય વિકર્ણની નીચેના ઘટકો તે છે જ્યાં હારનો અનુક્રમ $i$ એ સ્તંભના અનુક્રમ $j$ કરતા મોટો હોય $(i > j)$.
તેથી,ઉપલા ત્રિકોણીય શ્રેણિક માટેની શરત $a_{ij} = 0$ છે,જ્યાં $i > j$ હોય.

(B) આપેલ છે કે $A = \text{diag}(2, -1, 3)$ અને $B = \text{diag}(-1, 3, 2)$.
વિકર્ણ શ્રેણિક $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ માટે,$D^n = \text{diag}(d_1^n, d_2^n, d_3^n)$ થાય.
તેથી,$A^2 = \text{diag}(2^2, (-1)^2, 3^2) = \text{diag}(4, 1, 9)$.
હવે,$A^2B = \text{diag}(4, 1, 9) \times \text{diag}(-1, 3, 2)$.
બે વિકર્ણ શ્રેણિકોનો ગુણાકાર તેમના અનુરૂપ વિકર્ણ ઘટકોના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$A^2B = \text{diag}(4 \times (-1), 1 \times 3, 9 \times 2) = \text{diag}(-4, 3, 18)$.

(D) પ્રથમ શ્રેણિકમાં $\cos \theta$ અને બીજા શ્રેણિકમાં $\sin \theta$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\ - \sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 \theta & - \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
હવે,બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$= \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \\ - \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(C) એકમ શ્રેણિક $I$ એ એક વિકર્ણ શ્રેણિક છે જેમાં તમામ વિકર્ણ ઘટકો $1$ હોય છે.
કોઈ શ્રેણિકને અદિશ $k$ વડે ગુણવાથી મળતા શ્રેણિકમાં દરેક ઘટક $k$ વડે ગુણાય છે.
આમ,$3I$ એ એક એવો વિકર્ણ શ્રેણિક છે જેમાં તમામ વિકર્ણ ઘટકો $3$ છે અને બાકીના તમામ ઘટકો $0$ છે.
અદિશ શ્રેણિક એ એવો વિકર્ણ શ્રેણિક છે જેમાં તમામ વિકર્ણ ઘટકો સમાન હોય છે.
$3I$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકો $3$ હોવાથી,તે એક અદિશ શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ શ્રેણિકો $A = [a\, b]$,$B = [-b\, -a]$,અને $C = \begin{bmatrix} a \\ -a \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$AC$ ની ગણતરી કરીએ:
$AC = [a\, b] \begin{bmatrix} a \\ -a \end{bmatrix} = [a(a) + b(-a)] = [a^2 - ab]$.
ત્યારબાદ,$BC$ ની ગણતરી કરીએ:
$BC = [-b\, -a] \begin{bmatrix} a \\ -a \end{bmatrix} = [-b(a) + (-a)(-a)] = [-ab + a^2] = [a^2 - ab]$.
અહીં $AC = [a^2 - ab]$ અને $BC = [a^2 - ab]$ હોવાથી,$AC = BC$ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^4$ ની ગણતરી કરો:
$A^4 = A \cdot A^3 = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) ધારો કે આપેલ શ્રેણિકો $A = [x\,y\,z]$,$B = \begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ છે.
શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $1 \times 3$ છે.
શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $3 \times 3$ છે.
શ્રેણિક $C$ નો ક્રમ $3 \times 1$ છે.
જ્યારે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે,ત્યારે જો શ્રેણિક $A$ નો ક્રમ $m \times n$ હોય અને શ્રેણિક $B$ નો ક્રમ $n \times p$ હોય,તો પરિણામી શ્રેણિક $AB$ નો ક્રમ $m \times p$ થાય છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $AB$ શોધો: $(1 \times 3) \times (3 \times 3) = (1 \times 3)$.
ત્યારબાદ,પરિણામનો $C$ સાથે ગુણાકાર કરો: $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = (1 \times 1)$.
તેથી,અંતિમ ગુણાકારનો ક્રમ $1 \times 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$
શ્રેણિક ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B)$
$= A^2 - AB + BA - B^2$
આને જમણી બાજુ સાથે સરખાવતા:
$A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$
બંને બાજુથી $A^2$ બાદ કરતા અને $B^2$ ઉમેરતા:
$-AB + BA = 0$
તેથી:
$BA = AB$

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$.
$A - B$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ ના અનુરૂપ ઘટકોમાંથી શ્રેણિક $B$ ના ઘટકો બાદ કરીશું:
$A - B = \begin{bmatrix} 5-6 & -3-(-4) \\ 2-3 & 4-6 \end{bmatrix}$
$A - B = \begin{bmatrix} -1 & -3+4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$
$A - B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે $X = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
આપણે $X^2 = X \times X = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (-4)(1) & (3)(-4) + (-4)(-1) \\ (1)(3) + (-1)(1) & (1)(-4) + (-1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ શોધીએ.
હવે,$n=2$ માટે વિકલ્પો તપાસીએ:
વિકલ્પ $(a)$ આપે છે $\begin{bmatrix} 6 & -8 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \neq X^2$.
વિકલ્પ $(b)$ આપે છે $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \neq X^2$.
વિકલ્પ $(c)$ આપે છે $\begin{bmatrix} 9 & 16 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \neq X^2$.
આમ,કોઈ પણ વિકલ્પ $X^2$ સાથે મળતો આવતો નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
${A^2}$ શોધવા માટે,આપણે $A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
${A^2} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
${A^2} = \begin{bmatrix} (i \times i) + (0 \times 0) & (i \times 0) + (0 \times i) \\ (0 \times i) + (i \times 0) & (0 \times 0) + (i \times i) \end{bmatrix}$
${A^2} = \begin{bmatrix} i^2 & 0 \\ 0 & i^2 \end{bmatrix}$
કારણ કે $i^2 = -1$,આ કિંમત મૂકતા:
${A^2} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

(A) સમાન કક્ષાના શ્રેણિકો માટે શ્રેણિકોનો સરવાળો ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
કોઈપણ બે સમાન કક્ષા $n \times n$ ના ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,સરવાળો $A + B$ એ $B + A$ ને સમાન હોય છે.
આ શ્રેણિક બીજગણિતનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,${A^2}$ ની ગણતરી કરો:
${A^2} = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0 \times 0 + 1 \times 1) & (0 \times 1 + 1 \times 0) \\ (1 \times 0 + 0 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
હવે,${A^4}$ ની ગણતરી કરો:
${A^4} = {A^2} \times {A^2} = I \times I = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$.
${A^2}$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિકનો ગુણાકાર $A \times A$ કરીશું:
${A^2} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
ઘટકોની ગણતરી:
હાર $1$,સ્તંભ $1$: $(3 \times 3) + (1 \times -1) = 9 - 1 = 8$
હાર $1$,સ્તંભ $2$: $(3 \times 1) + (1 \times 2) = 3 + 2 = 5$
હાર $2$,સ્તંભ $1$: $(-1 \times 3) + (2 \times -1) = -3 - 2 = -5$
હાર $2$,સ્તંભ $2$: $(-1 \times 1) + (2 \times 2) = -1 + 4 = 3$
આમ,${A^2} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$.

(B) સરવાળો $A+B$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,શ્રેણિક $A$ અને $B$ ની કક્ષા સમાન હોવી જોઈએ. ધારો કે $A$ ની કક્ષા $m \times n$ છે. તો $B$ ની કક્ષા પણ $m \times n$ હોવી જોઈએ.
ગુણાકાર $AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$A$ માં સ્તંભોની સંખ્યા એ $B$ માં હારની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ.
કારણ કે $A$ એ $m \times n$ છે,તેમાં $n$ સ્તંભો છે. કારણ કે $B$ એ $m \times n$ છે,તેમાં $m$ હાર છે.
તેથી,$AB$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $n = m$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $m = n$,શ્રેણિક $A$ અને $B$ એ સમાન કક્ષા $n \times n$ ના ચોરસ શ્રેણિકો હોવા જોઈએ.

(B) ગુણાકાર $AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક $A$ અને શ્રેણિક $B$ નો હાર દ્વારા સ્તંભ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} (1)(2)+(3)(1)+(0)(-1) & (1)(3)+(3)(2)+(0)(1) & (1)(4)+(3)(3)+(0)(2) \\ (-1)(2)+(2)(1)+(1)(-1) & (-1)(3)+(2)(2)+(1)(1) & (-1)(4)+(2)(3)+(1)(2) \\ (0)(2)+(0)(1)+(2)(-1) & (0)(3)+(0)(2)+(2)(1) & (0)(4)+(0)(3)+(2)(2) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2+3+0 & 3+6+0 & 4+9+0 \\ -2+2-1 & -3+4+1 & -4+6+2 \\ 0+0-2 & 0+0+2 & 0+0+4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 13 \\ -1 & 2 & 4 \\ -2 & 2 & 4 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
ગુણાકાર $AB$ શોધવા માટે,આપણે શ્રેણિક ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (1 \times 0) + (1 \times 1) & (1 \times 1) + (1 \times 0) \\ (0 \times 0) + (1 \times 1) & (0 \times 1) + (1 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 0 + 1 & 0 + 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i^2 \\ -i^2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$BA$ ની ગણતરી કરીએ:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i^2 \\ -i^2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં $AB = BA$ હોવાથી,શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
કોઈપણ બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે જે ક્રમનો નિયમ પાળતા હોય,નિત્યસમ $(A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2$ એ $A^2 - B^2$ માં પરિણમે છે કારણ કે $-AB + BA = 0$.
તેથી,$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,અને $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે $5A - 3B - 2C$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (scalar multiplication) શોધો:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 15 & 0 \end{bmatrix}$
$3B = 3 \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 12 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$
$2C = 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$
હવે,શ્રેણિકની બાદબાકી કરો:
$5A - 3B - 2C = \begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 15 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & 12 \\ 6 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 - (-3) - 0 & -10 - 12 - (-2) \\ 15 - 6 - 2 & 0 - 9 - 0 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 + 3 & -22 + 2 \\ 7 & -9 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 8 & -20 \\ 7 & -9 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ: $\begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,ડાબી બાજુનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} x - 2 & 0 + 1 \\ 1 + 3 & y + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - 2 & 1 \\ 4 & y + 4 \end{bmatrix}$
ત્યારબાદ,જમણી બાજુની બાદબાકી કરતા:
$\begin{bmatrix} 3 - 2 & 5 - 4 \\ 6 - 2 & 3 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$
બંને શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકોને સરખાવતા:
$x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$
$y + 4 = 2 \Rightarrow y = -2$
આમ,$x = 3$ અને $y = -2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
અહીં $A^2 = I$ છે,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
તેથી,$A^2 = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix}$.
આ શ્રેણિકને એકમ શ્રેણિક સાથે સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} x^2 + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 0$ અને $x^2 + 1 = 1$ મળે છે.
$x^2 + 1 = 1$ પરથી $x^2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
આમ,$x$ ની કિંમત $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$aI + bA$ ની ગણતરી કરો:
$aI + bA = a \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix}$.
હવે,$(aI + bA)^2$ ની ગણતરી કરો:
$(aI + bA)^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + 0 & ab + ba \\ 0 + 0 & 0 + a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 2ab \\ 0 & a^2 \end{bmatrix}$.
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$a^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 2ab \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = a^2I + 2abA$.

(B) મેટ્રિક્સ થિયરીનો ખ્યાલ $19$ મી સદીમાં બ્રિટિશ ગણિતશાસ્ત્રી $Arthur \ Cayley$ દ્વારા ઔપચારિક રીતે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો. જોકે $Cayley-Hamilton$ પ્રમેય એ મેટ્રિક્સ બીજગણિતમાં એક પ્રખ્યાત પરિણામ છે,પરંતુ મેટ્રિક્સ થિયરીનો પાયાનો વિકાસ $Cayley$ ને આભારી છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે $A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(-3) & (1)(2) + (2)(0) \\ (-3)(1) + (0)(-3) & (-3)(2) + (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix} \neq A$.
ત્યારબાદ,આપણે $B^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + (0)(2) & (-1)(0) + (0)(3) \\ (2)(-1) + (3)(2) & (2)(0) + (3)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} \neq B$.
હવે,આપણે $AB$ ની ગણતરી કરીએ:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (2)(2) & (1)(0) + (2)(3) \\ (-3)(-1) + (0)(2) & (-3)(0) + (0)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$.
છેલ્લે,આપણે $BA$ ની ગણતરી કરીએ:
$BA = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(1) + (0)(-3) & (-1)(2) + (0)(0) \\ (2)(1) + (3)(-3) & (2)(2) + (3)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$.
આમ,$AB = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ અને $BA = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $AB \neq BA$.

(C) કોઈપણ બે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,શ્રેણિકનો સરવાળો ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,એટલે કે $A + B = B + A$.
શ્રેણિકનો સરવાળો જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,એટલે કે $(A + B) + C = A + (B + C)$.
શ્રેણિકનો ગુણાકાર જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,એટલે કે $(AB)C = A(BC)$.
જોકે,શ્રેણિકનો ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતો નથી,એટલે કે મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં $AB \neq BA$.
તેથી,શ્રેણિકનો ગુણાકાર ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે તે વિધાન સાચું નથી.