Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $1 + \omega^2 = -\omega$.
આ કિંમત નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & i - \omega & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ગણતા તે $0$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\begin{vmatrix} a - x & c & b \\ c & b - x & a \\ b & a & c - x \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ પાડતા:
$(a + b + c - x) \begin{vmatrix} 1 & c & b \\ 1 & b - x & a \\ 1 & a & c - x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ ને $R_2$ અને $R_3$ માંથી બાદ કરતા $(R_2 \to R_2 - R_1, R_3 \to R_3 - R_1)$:
$(a + b + c - x) \begin{vmatrix} 1 & c & b \\ 0 & b - x - c & a - b \\ 0 & a - c & c - x - b \end{vmatrix} = 0$
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$(a + b + c - x) [(b - x - c)(c - x - b) - (a - b)(a - c)] = 0$
$(a + b + c - x) [-(x - (b - c))(x + (b - c)) - (a^2 - ac - ab + bc)] = 0$
$(a + b + c - x) [-x^2 - (a^2 + b^2 + c^2) + 3(ab + bc + ca)] = 0$
$ab + bc + ca = 0$ હોવાથી,સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$(a + b + c - x) [-x^2 - (a^2 + b^2 + c^2)] = 0$
આમ,$x = a + b + c$ અથવા $x^2 = -(a^2 + b^2 + c^2)$.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $(a^2 + b^2 + c^2)^{\frac{1}{2}}$ છે.

(B) આપેલ છે $A = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયક $A$ નું મૂલ્ય: $\det(A) = -1(2-0) - 2(6-0) + 4(12 - (-2)) = -2 - 12 + 56 = 42$.
નિશ્ચાયક $B$ નું મૂલ્ય: $\det(B) = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 2 \\ 6 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 8 \end{vmatrix} = -2(16-0) - 4(48-0) + 2(24 - (-4)) = -32 - 192 + 56 = -168$.
અહીં,$\det(B) = -168$ અને $\det(A) = 42$.
તેથી,$\det(B) = -4 \times \det(A)$,એટલે કે $B = -4A$.

(B) આપેલ છે કે $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$. ઉપરાંત,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$.
ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 - \omega^2 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{array} \right|$.
ગુણધર્મ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-1 - \omega^2 = \omega$ મળે છે.
આ કિંમત અને $\omega^4 = \omega$ ને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1 & 1 \\ 1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \\ 1+\omega^2+\omega & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 3(\omega \cdot \omega - \omega^2 \cdot \omega^2) = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$.
$-\omega$ સામાન્ય કાઢતા:
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા ${C_1} \to {C_1} + {C_2} + {C_3}$ લાગુ પાડતા,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
${C_1} = \begin{bmatrix} 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \end{bmatrix}$.
કેમ કે ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$,તેથી ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 = 0$ થાય.
આમ,પ્રથમ સ્તંભ $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ બને છે.
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
હવે હાર પ્રક્રિયા ${R_2} \to {R_2} - {R_1}$ અને ${R_3} \to {R_3} - {R_1}$ લાગુ પાડતા:
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\0&{1 - x}&0\\0&0&{1 - x}\end{array}} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = (1 - x)(1 - x) = {(1 - x)^2}$ મળે છે.
તેથી $f(x) = {(1 - x)^2} = {x^2} - 2x + 1$,જે $2$ ઘાતવાળી બહુપદી છે.

(A) આપેલ છે કે ${U_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$.
આપણે $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} $ શોધવાનું છે. સરવાળો $n$ પર હોવાથી,આપણે નિશ્ચાયકના પ્રથમ સ્તંભમાં સરવાળો લઈ શકીએ છીએ:
$\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{n = 1}^N n}&1&5\\{\sum\limits_{n = 1}^N {{n^2}} }&{2N + 1}&{2N + 1}\\{\sum\limits_{n = 1}^N {{n^3}} }&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sum n = \frac{{N(N + 1)}}{2}$,$\sum {{n^2}} = \frac{{N(N + 1)(2N + 1)}}{6}$,$\sum {{n^3}} = \frac{{{N^2}{{(N + 1)}^2}}}{4}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{N(N + 1)}}{2}}&1&5\\{\frac{{N(N + 1)(2N + 1)}}{6}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{\frac{{{N^2}{{(N + 1)}^2}}}{4}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$.
અહીં નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે કારણ કે સ્તંભો રેખીય રીતે આધારિત છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_3 \to R_3 - xR_1 - R_2$ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ 0 & 0 & -(ax^2 + 2bx + c) \end{array} \right|$.
ત્રીજી હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(ax^2 + 2bx + c) \times (ac - b^2) = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$.
આપેલ છે કે વિવેચક $D = (2b)^2 - 4ac = 4(b^2 - ac) < 0$,તેથી $b^2 - ac < 0$ થાય.
કારણ કે $a > 0$ અને વિવેચક ઋણ છે,તેથી દ્વિઘાત પદાવલિ $ax^2 + 2bx + c$ એ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે હંમેશા ધન રહે છે.
તેથી,$\Delta = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$ એ એક ઋણ કિંમત અને એક ધન કિંમતનો ગુણાકાર છે,જેનું પરિણામ ઋણ મળે છે.

(A) વિકલ્પ $(a)$ માટે,આપણે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર વિસ્તૃત કરીએ: $(A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2$.
શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી $(AB \neq BA)$,તેથી જ્યાં સુધી $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ ન પાળે ત્યાં સુધી આપણે તેને $A^2 - B^2$ તરીકે સરળ બનાવી શકતા નથી.
તેથી,વિધાન $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ સામાન્ય રીતે ખોટું છે.
વિકલ્પ $(b)$ માટે,ટ્રાન્સપોઝનો ટ્રાન્સપોઝ એ મૂળ શ્રેણિક છે,જે એક પ્રમાણભૂત ગુણધર્મ છે.
વિકલ્પ $(c)$ માટે,જો $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે,તો $(AB)^n = A^n B^n$ એ સાચો ગુણધર્મ છે.
વિકલ્પ $(d)$ માટે,$(A - I)(A + I) = A^2 + AI - IA - I^2 = A^2 - I$. આને $O$ સાથે સરખાવતા $A^2 - I = O$ મળે,એટલે કે $A^2 = I$.
આમ,વિકલ્પ $(a)$ ખોટું વિધાન છે.

(C) આપેલ છે કે $AB = B$ અને $BA = A$.
આપણે ${A^2} + {B^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે ${A^2} + {B^2} = AA + BB$ લખી શકીએ.
આ સમીકરણમાં $A = BA$ અને $B = AB$ મૂકતા:
${A^2} + {B^2} = A(BA) + B(AB)$.
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
${A^2} + {B^2} = (AB)A + (BA)B$.
$AB = B$ અને $BA = A$ હોવાથી,આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
${A^2} + {B^2} = BA + AB$.
ફરીથી,$BA = A$ અને $AB = B$ નો ઉપયોગ કરતા:
${A^2} + {B^2} = A + B$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$AB$ ની ગણતરી કરો:
$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$BA$ ની ગણતરી કરો:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $BA = -AB$,જેનો અર્થ છે કે $AB + BA = O$,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
હવે,$(A + B)^2$ નું વિસ્તરણ કરો:
$(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2$.
કારણ કે $AB + BA = O$,તેથી:
$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + O = A^2 + B^2$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+3(2) & 1(3)+3(1) \\ 2(1)+1(2) & 2(3)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
ત્યારબાદ,$2A = 2 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
હવે,$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^2 - 2A$ નો નિશ્ચાયક $\det \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = (5)(5) - (0)(0) = 25$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A + B = \begin{bmatrix} 1+a & 0 \\ 2+b & -2 \end{bmatrix} $ શોધો.
ત્યારબાદ,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ શોધો.
$B^2 = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b & a-1 \\ ab-b & b+1 \end{bmatrix}$ શોધો.
તેથી,$A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} a^2+b-1 & a-1 \\ ab-b & b \end{bmatrix}$.
હવે,$(A+B)^2 = \begin{bmatrix} 1+a & 0 \\ 2+b & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+a & 0 \\ 2+b & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+a)^2 & 0 \\ (2+b)(a-1) & 4 \end{bmatrix}$.
$(A+B)^2 = A^2 + B^2$ ને સરખાવતા:
$\begin{bmatrix} (1+a)^2 & 0 \\ (2+b)(a-1) & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b-1 & a-1 \\ ab-b & b \end{bmatrix}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$.
$2$) $b = 4$.
તેથી,$a = 1$ અને $b = 4$.

(C) આપેલ છે કે $AB = A$ અને $BA = B$.
$A^2$ શોધવા માટે,આપણી પાસે $A^2 = A \times A$ છે.
$A = AB$ મૂકતા,આપણને $A^2 = A(AB) = (AA)B$ મળે છે.
આપણે સીધા સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીએ:
$A^2 = A \times A = (AB) \times A = A(BA)$.
$BA = B$ હોવાથી,આપણને $A^2 = AB$ મળે છે.
$AB = A$ હોવાથી,$A^2 = A$ સાબિત થાય છે.
તે જ રીતે,$B^2$ માટે,આપણી પાસે $B^2 = B \times B = (BA) \times B = B(AB)$ છે.
$AB = A$ હોવાથી,આપણને $B^2 = BA$ મળે છે.
$BA = B$ હોવાથી,$B^2 = B$ સાબિત થાય છે.
તેથી,$A^2 = A$ અને $B^2 = B$.

(D) આપેલ છે કે $A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,તેથી $A^T = -A$.
આપણે $A^n$ નો પ્રકાર નક્કી કરવાનો છે.
$A^n$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લેતા:
$(A^n)^T = (A^T)^n = (-A)^n = (-1)^n A^n$.
જો $n$ યુગ્મ (even) હોય,તો $(-1)^n = 1$,તેથી $(A^n)^T = A^n$,જેનો અર્થ છે કે $A^n$ એ સંમિત શ્રેણિક છે.
જો $n$ અયુગ્મ (odd) હોય,તો $(-1)^n = -1$,તેથી $(A^n)^T = -A^n$,જેનો અર્થ છે કે $A^n$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે.
આમ,$A^n$ નો પ્રકાર $n$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તેના પર આધાર રાખે છે,તેથી તે હંમેશા સંમિત કે હંમેશા વિસંમિત હોતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે વિકલ્પ $(c)$ ચકાસીએ: $A \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$= \begin{bmatrix} (1)(1) + (-1)(-1) & (1)(1) + (-1)(1) \\ (1)(1) + (1)(-1) & (1)(1) + (1)(1) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 + 1 & 1 - 1 \\ 1 - 1 & 1 + 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 2I$.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) ચોરસ શ્રેણિક $A$ વિસંમિત છે જો $A^T = -A$ હોય.
$n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$\det(A^T) = \det(A)$ થાય.
તેથી,$\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ થાય.
જો $n$ એકી સંખ્યા હોય,તો $\det(-A) = -\det(A)$ થાય.
કારણ કે $\det(A^T) = \det(A)$,આપણને $\det(A) = -\det(A)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2 \det(A) = 0$,તેથી $\det(A) = 0$.
આમ,એકી કક્ષાનો દરેક વિસંમિત શ્રેણિક સામાન્ય (singular) હોય છે.
વિકલ્પ $(a)$ જણાવે છે કે તે અસામાન્ય (non-singular) છે,જે ખોટું છે.

(A) આપેલ છે કે $Q = PAP^T$. નોંધો કે $P$ એ ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ છે,તેથી $PP^T = I$ અને $P^T = P^{-1}$.
આપણે $X = P^T Q^{2005} P$ ની ગણતરી કરવી છે.
$Q = PAP^T$ હોવાથી,$Q^n = (PAP^T)(PAP^T)...(PAP^T) = PA^n P^T$ થાય.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = P^T (PA^{2005}P^T) P$
$X = (P^T P) A^{2005} (P^T P)$
$P^T P = I$ હોવાથી,આપણને $X = I A^{2005} I = A^{2005}$ મળે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,આ મેટ્રિક્સનો ગુણધર્મ છે: $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{2005} = \begin{bmatrix} 1 & 2005 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $X = C^T AC$. $X$ એ $1 \times n$ શ્રેણિકનો $n \times n$ શ્રેણિક અને ત્યારબાદ $n \times 1$ શ્રેણિક સાથેનો ગુણાકાર હોવાથી,પરિણામી શ્રેણિક $X$ ની કક્ષા $1 \times 1$ છે.
$X$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક લેતા,આપણને $X^T = (C^T AC)^T = C^T A^T (C^T)^T = C^T A^T C$ મળે છે.
$A$ એ વિસંમિત શ્રેણિક હોવાથી,$A^T = -A$ થાય.
તેથી,$X^T = C^T (-A) C = -(C^T AC) = -X$.
$X$ એ $1 \times 1$ શ્રેણિક હોવાથી,ધારો કે $X = [k]$. તો $X^T = [k]$ થાય.
$X^T = -X$ ની શરત મુજબ $[k] = -[k]$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $k = -k$,તેથી $2k = 0$,એટલે કે $k = 0$.
આમ,$C^T AC$ એ $1 \times 1$ કક્ષાનો શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(B) આપેલ છે કે $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$.
$A_i$ નો નિશ્ચાયક $\det(A_i) = (a^i)(a^i) - (b^i)(b^i) = a^{2i} - b^{2i}$ થાય.
આપણે સરવાળો $S = \sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} (a^{2i} - b^{2i})$ શોધવાનો છે.
$|a| < 1$ અને $|b| < 1$ હોવાથી,શ્રેણી $\sum_{i=1}^{\infty} a^{2i}$ અને $\sum_{i=1}^{\infty} b^{2i}$ એ અભિસારી ભૂમિતિ શ્રેણી છે.
$S = \sum_{i=1}^{\infty} a^{2i} - \sum_{i=1}^{\infty} b^{2i}$.
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{i=1}^{\infty} r^i = \frac{r}{1-r}$ થાય,જ્યાં $|r| < 1$. અહીં પ્રથમ પદ $a^2$ છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $a^2$ છે.
તેથી,$\sum_{i=1}^{\infty} a^{2i} = \frac{a^2}{1-a^2}$ અને $\sum_{i=1}^{\infty} b^{2i} = \frac{b^2}{1-b^2}$ થાય.
તેથી,$S = \frac{a^2}{1-a^2} - \frac{b^2}{1-b^2}$.
સામાન્ય છેદ લેતા: $S = \frac{a^2(1-b^2) - b^2(1-a^2)}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{a^2 - a^2b^2 - b^2 + a^2b^2}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{a^2 - b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ ગણો.
અવલોકન દ્વારા,તમામ $n \ge 1$ માટે $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ મળે છે.
હવે,$nA - (n - 1)I$ ની કિંમત શોધો:
$nA = n \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ n & n \end{bmatrix}$.
$(n - 1)I = (n - 1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n - 1 & 0 \\ 0 & n - 1 \end{bmatrix}$.
$nA - (n - 1)I = \begin{bmatrix} n - (n - 1) & 0 - 0 \\ n - 0 & n - (n - 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^n = nA - (n - 1)I$ સાચું છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$.
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દરેક ઘટકને બે સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}&{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}&{\cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma}\\{\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha}&{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta}&{\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma}\\{\cos \gamma \cos \alpha + \sin \gamma \sin \alpha}&{\cos \gamma \cos \beta + \sin \gamma \sin \beta}&{\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma}\end{array}} \right|$.
આ નિશ્ચાયકને બે શ્રેણિકોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\{\cos \beta }&{\sin \beta }&0\\{\cos \gamma }&{\sin \gamma }&0\end{array}} \right| \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\cos \beta }&{\cos \gamma}\\{\sin \alpha }&{\sin \beta }&{\sin \gamma}\\{0}&{0}&{0}\end{array}} \right|$.
બીજો નિશ્ચાયક પ્રથમનો પરિવર્તિત (transpose) હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\{\cos \beta }&{\sin \beta }&0\\{\cos \gamma }&{\sin \gamma }&0\end{array}} \right|^2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0\\{\sin \beta }&{\cos \beta }&0\\{\sin \gamma }&{\cos \gamma }&0\end{array}} \right|^2$ (સ્તંભોની અદલાબદલી કરીને).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે $x = a+b$ અને $y = c+d$. નિશ્ચાયકને બે શ્રેણિકોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ એ બે નિશ્ચાયકોના ગુણાકારના સ્વરૂપમાં છે.
હાર અને સ્તંભની પ્રક્રિયાઓ કરવાથી અથવા નિશ્ચાયકનું અવયવીકરણ કરવાથી,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે આ પદાવલિનું સાદું રૂપ $0$ થાય છે.
તેથી $\Delta = 0$,જે એક અચળ કિંમત છે અને તેથી તે $a, b, c$ અને $d$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ છે કે,$\Delta ABC$ માં $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & c & a \\ 1 & b & c \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1(c^2 - ab) - 1(ac - b^2) + 1(a^2 - bc) = 0$.
$c^2 - ab - ac + b^2 + a^2 - bc = 0$.
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$.
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$a-b=0, b-c=0, c-a=0 \implies a=b=c$.
આમ,$\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ$.
$= 3 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,$A^2 = A \cdot A$ ની ગણતરી કરો:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix}$.
ત્યારબાદ,$A^3 = A \cdot A^2$ ની ગણતરી કરો:
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 11 & 1 \\ -9 & -2 & -7 \\ 21 & 11 & 7 \end{bmatrix}$.
હવે,પદાવલિ $A^3 - 3A^2 - A + 9I_3$ ની કિંમત શોધો:
$A^3 - 3A^2 - A + 9I_3 = \begin{bmatrix} 4 & 11 & 1 \\ -9 & -2 & -7 \\ 21 & 11 & 7 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} + 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$= \begin{bmatrix} 4-12-1+9 & 11-9-2+0 & 1-0-1+0 \\ -9+9-0+0 & -2-6-1+9 & -7+6+1+0 \\ 21-18-3+0 & 11-12+1+0 & 7-15-1+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A(x) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ -x & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે $A(x)A(y)$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$A(x)A(y) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ -x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1-y^2} \begin{bmatrix} 1 & -y \\ -y & 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)} \begin{bmatrix} 1+xy & -(x+y) \\ -(x+y) & 1+xy \end{bmatrix}$
$= \frac{1+xy}{(1-x^2)(1-y^2)} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{x+y}{1+xy} \\ -\frac{x+y}{1+xy} & 1 \end{bmatrix}$
કારણ કે $1-z^2 = 1 - (\frac{x+y}{1+xy})^2 = \frac{(1+xy)^2 - (x+y)^2}{(1+xy)^2} = \frac{1+2xy+x^2y^2 - x^2-2xy-y^2}{(1+xy)^2} = \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+xy)^2}$,
તેથી $\frac{1}{1-z^2} = \frac{(1+xy)^2}{(1-x^2)(1-y^2)}$.
આમ,$A(x)A(y) = \frac{1}{1-z^2} \begin{bmatrix} 1 & -z \\ -z & 1 \end{bmatrix} = A(z)$.

(B) આપેલ છે કે,$B = -A^{-1}BA$.
ડાબી બાજુએ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $AB = -AA^{-1}BA$ મળે છે.
કારણ કે $AA^{-1} = I$,તેથી $AB = -IBA = -BA$ થાય.
આમ,$AB + BA = 0$.
હવે,$(A + B)^2 = (A + B)(A + B)$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ મળે છે.
$AB + BA = 0$ મૂકતા,આપણને $(A + B)^2 = A^2 + 0 + B^2 = A^2 + B^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_3$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta) - 0 + (-1)(0 - \sin^2 \theta) = 0$
$1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$1 + 4 \sin 4 \theta + 1 = 0$
$2 + 4 \sin 4 \theta = 0$
$4 \sin 4 \theta = -2$
$\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$
આપેલ છે કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < 4 \theta < 2 \pi$.
અંતરાલ $(0, 2 \pi)$ માં $4 \theta$ ની કિંમતો જેના માટે $\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$ થાય છે,તે $4 \theta = \frac{7 \pi}{6}$ અને $4 \theta = \frac{11 \pi}{6}$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{7 \pi}{24}$ અને $\theta = \frac{11 \pi}{24}$.

(A) $2$ ક્રમનો નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ઘટક $0$ અથવા $1$ હોઈ શકે છે,તેથી કુલ $2^4 = 16$ શક્ય નિશ્ચાયકો છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $ad - bc$ છે.
મૂલ્ય ધન હોવા માટે,$ad - bc > 0$,જેનો અર્થ છે $ad > bc$.
$a, b, c, d \in \{0, 1\}$ હોવાથી,$ad$ અને $bc$ ની શક્ય કિંમતો $0$ અથવા $1$ છે.
$ad - bc = 1$ ત્યારે થાય છે જ્યારે $ad = 1$ અને $bc = 0$.
$ad = 1$ નો અર્થ છે $a=1$ અને $d=1$.
$bc = 0$ નો અર્થ છે $(b, c) \in \{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$.
આ કિસ્સાઓ નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$.
આવા $3$ કિસ્સાઓ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{3}{16}$ છે.

(B) નિશ્ચાયક $\Delta$ નું વિસ્તરણ કરતા:
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 - (\alpha C_1 + C_2)$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ b & c & 0 \\ a\alpha + b & b\alpha + c & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{vmatrix}$
$C_3$ ની સાપેક્ષે વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix}$
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2)$
$\Delta = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$
$\Delta = 0$ માટે,કાં તો $b^2 - ac = 0$ અથવા $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ થાય.
જો $b^2 - ac = 0$ હોય,તો $b^2 = ac$,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

(D) આપેલ છે કે $A^2 = I$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $\det(A^2) = \det(I) = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\det(A^2) = (\det(A))^2$,તેથી $(\det(A))^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\det(A) = 1$ અથવા $\det(A) = -1$.
જો $\det(A) = 1$ હોય,તો લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ છે. $A^2 = I$ હોવાથી,આયગન કિંમતો $\pm 1$ છે. જો $\det(A) = 1$ હોય,તો આયગન કિંમતો $(1, 1)$ અથવા $(-1, -1)$ હોય.
જો આયગન કિંમતો $(1, 1)$ હોય,તો $A = I$. જો આયગન કિંમતો $(-1, -1)$ હોય,તો $A = -I$.
આમ,જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\det(A) = -1$ હોવું જ જોઈએ. તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ માટે,જો $A^2 = I$ હોય,તો આયગન કિંમતો $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ છે.
જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો આયગન કિંમતો $1$ અને $-1$ હોવી જોઈએ.
$A$ નો ટ્રેસ એ આયગન કિંમતોનો સરવાળો છે,તેથી $tr(A) = 1 + (-1) = 0$.
તેથી,વિધાન-$2$ ખોટું છે કારણ કે આ કિસ્સામાં $tr(A) = 0$ હોવું જોઈએ.

(C) $3 \times 3$ નો શ્રેણિક જેમાં ચાર $1$ અને પાંચ $0$ હોય તે અ-શૂન્ય (non-singular) ત્યારે જ કહેવાય જો તેનો નિશ્ચાયક શૂન્ય ન હોય.
નીચે મુજબના શ્રેણિકો ધ્યાનમાં લો:
$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ c & 1 & d \\ e & f & 1 \end{bmatrix}$
જ્યાં $\{a, b, c, d, e, f\}$ માંથી બરાબર એક ઘટક $1$ છે અને બાકીના $0$ છે. આવા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $1 - (\text{બે ઘટકોનો ગુણાકાર})$ થાય. માત્ર એક જ ઘટક $1$ હોવાથી,ગુણાકાર $0$ થશે,તેથી નિશ્ચાયક $1 \neq 0$ મળે. આવા $6$ શ્રેણિકો છે.
વધુમાં,આ શ્રેણિક ધ્યાનમાં લો:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
તેનો નિશ્ચાયક $1(0-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = -1 \neq 0$ છે. આ પણ એક અ-શૂન્ય શ્રેણિક છે.
આમ,આવા ઓછામાં ઓછા $6 + 1 = 7$ શ્રેણિકો મળે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
આપેલ છે કે $A^2 = I$,તેથી:
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$b(a+d) = 0$ પરથી,કારણ કે $b \neq 0$,આપણને $a+d = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = -a$.
આમ,$tr(A) = a + d = a - a = 0$. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.
હવે,$|A| = ad - bc = a(-a) - bc = -(a^2 + bc)$.
શ્રેણિક ગુણાકાર પરથી,$a^2 + bc = 1$,તેથી $|A| = -1$.
તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^{\prime} = A$ અને $B^{\prime} = B$.
વિધાન $-1$ માટે:
$(A(BA))^{\prime} = (BA)^{\prime} A^{\prime} = (A^{\prime} B^{\prime}) A^{\prime} = (AB)A = A(BA)$.
તેથી,$A(BA)$ સંમિત છે.
તે જ રીતે,$((AB)A)^{\prime} = A^{\prime} (AB)^{\prime} = A(B^{\prime} A^{\prime}) = A(BA) = (AB)A$.
તેથી,$(AB)A$ પણ સંમિત છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે:
$(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime} = BA$.
જો $AB$ સંમિત હોય,તો $(AB)^{\prime} = AB$,જેનો અર્થ છે કે $BA = AB$.
તેથી,વિધાન $-2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $-2$ એ $AB$ ના સંમિત હોવાની શરત દર્શાવે છે,જ્યારે વિધાન $-1$ એ ક્રમનો ગુણધર્મ ધ્યાનમાં લીધા વગર $A(BA)$ અને $(AB)A$ ની સંમિતતા વિશે છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) સ્વવાચક ગુણધર્મ માટે:
$(A, A) \in R$ કારણ કે $A = I^{-1}AI$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે,જે વ્યસ્ત છે. તેથી,$R$ સ્વવાચક છે.
સંમિત ગુણધર્મ માટે:
જો $(A, B) \in R$,તો $A = P^{-1}BP$ કોઈ વ્યસ્ત શ્રેણિક $P$ માટે.
ડાબી બાજુ $P$ અને જમણી બાજુ $P^{-1}$ વડે ગુણતા: $PAP^{-1} = B$.
ધારો કે $Q = P^{-1}$. $P$ વ્યસ્ત હોવાથી,$Q$ પણ વ્યસ્ત છે.
તેથી $B = Q^{-1}AQ$,એટલે કે $(B, A) \in R$. તેથી,$R$ સંમિત છે.
પરંપરિત ગુણધર્મ માટે:
જો $(A, B) \in R$ અને $(B, C) \in R$,તો $A = P^{-1}BP$ અને $B = Q^{-1}CQ$ કોઈ વ્યસ્ત શ્રેણિકો $P$ અને $Q$ માટે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા: $A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP)$.
$QP$ વ્યસ્ત હોવાથી,$(A, C) \in R$. તેથી,$R$ પરંપરિત છે.
આમ,$R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિકોનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે: $(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$. આ સાચું છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ શ્રેણિક વ્યસ્તનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે અને તે સંબંધ $R$ (સમાનતા) શા માટે સામ્ય સંબંધ છે તેનું ચોક્કસ કારણ નથી. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટે સાચી સમજૂતી નથી.

(C) આપેલ છે કે $P$ અને $Q$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિકો છે જ્યાં $P \neq Q$.
આપણને સમીકરણો આપેલા છે:
$1) P^3 = Q^3$
$2) P^2Q = Q^2P$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી બીજું સમીકરણ બાદ કરતા:
$P^3 - P^2Q = Q^3 - Q^2P$
પદોને સામાન્ય લેતા:
$P^2(P - Q) = Q^2(Q - P)$
$P^2(P - Q) = -Q^2(P - Q)$
$(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$
કારણ કે $P \neq Q$,શ્રેણિક $(P - Q)$ શૂન્ય શ્રેણિક નથી,તેથી ગુણાકાર $(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$ સૂચવે છે કે શ્રેણિક $(P^2 + Q^2)$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\det((P^2 + Q^2)(P - Q)) = \det(0) = 0$
$\det(P^2 + Q^2) \cdot \det(P - Q) = 0$
આમ,$\det(P^2 + Q^2) = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $f(n) = \alpha^n + \beta^n$. નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{vmatrix}$ છે.
આને બે નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકાય: $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix}$.
દરેક નિશ્ચાયક એ વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,જેનું મૂલ્ય $(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = [(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)]^2 = (1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$.
આને $K(1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $2\omega + 1 = z$ અને $z = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}$.
તેથી,$\omega = \frac{i\sqrt{3} - 1}{2}$,જે એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $-\omega^2 - 1 = \omega$.
વળી,$\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^7 = \omega^{3 \times 2 + 1} = \omega$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ છે.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1+\omega+\omega^2 & 1+\omega^2+\omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા: $\Delta = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$.
કારણ કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.
$\Delta = 3\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right) = 3\left( \frac{-2i\sqrt{3}}{2} \right) = -3i\sqrt{3} = -3z$.
આપેલ છે કે $\Delta = 3k$,તેથી $3k = -3z$,એટલે કે $k = -z$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \phi \\ \sin \phi \cos \phi & \sin^2 \phi \end{bmatrix}$.
આપણને આપેલ છે કે $\theta - \phi = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\theta - \phi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
હવે,$AB$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \phi \\ \sin \phi \cos \phi & \sin^2 \phi \end{bmatrix}$
મેટ્રિક્સ ગુણાકાર કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) & \cos \theta \sin \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) \\ \sin \theta \cos \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) & \sin \theta \sin \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) \end{bmatrix}$
નિત્યસમ $\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \cos(\theta - \phi) \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \end{bmatrix}$
કારણ કે $\theta - \phi = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos(\theta - \phi) = 0$.
તેથી,$AB = 0 \times \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \end{bmatrix} = O$ (શૂન્ય શ્રેણિક).

(A) આપેલ છે કે ${A^2} = 2A - I$.
આપણે ગાણિતિક અનુમાનની રીતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ અથવા પેટર્નનું અવલોકન કરી શકીએ છીએ.
$n = 2$ માટે,${A^2} = 2A - I$.
$n = 3$ માટે,${A^3} = A \cdot {A^2} = A(2A - I) = 2{A^2} - A = 2(2A - I) - A = 4A - 2I - A = 3A - 2I$.
$n = 4$ માટે,${A^4} = A \cdot {A^3} = A(3A - 2I) = 3{A^2} - 2A = 3(2A - I) - 2A = 6A - 3I - 2A = 4A - 3I$.
પેટર્નનું અવલોકન કરતા,આપણે કહી શકીએ કે $n \ge 2$ માટે ${A^n} = nA - (n - 1)I$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $I + p + p^2 + .... + p^n = O$
બંને બાજુ $p^{-1}$ વડે પૂર્વ-ગુણાકાર કરતા:
$p^{-1}(I + p + p^2 + .... + p^n) = p^{-1}O$
$p^{-1}I + p^{-1}p + p^{-1}p^2 + .... + p^{-1}p^n = O$
$p^{-1} + I + p + .... + p^{n-1} = O$
$p^{-1}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$p^{-1} = -(I + p + p^2 + .... + p^{n-1})$
મૂળ સમીકરણ $I + p + p^2 + .... + p^n = O$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$I + p + p^2 + .... + p^{n-1} = -p^n$
આ કિંમતને $p^{-1}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$p^{-1} = -(-p^n) = p^n$

(A) આપેલ છે કે સદિશો $(1, a, a^2)$,$(1, b, b^2)$,અને $(1, c, c^2)$ અસમતલીય છે,તેથી આ સદિશો દ્વારા બનતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| \neq 0$.
આપણને સમીકરણ આપેલ છે:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| = 0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,હારમાંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = 0$.
નોંધો કે $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = \Delta$ (બે સ્તંભોની અદલાબદલી કર્યા પછી).
તેથી,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,$1 + abc = 0$,જેનો અર્થ છે કે $abc = -1$.

(D) કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,દરેક ચોરસ શ્રેણિક તેના પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,લાક્ષણિક સમીકરણ $\det(A - xI) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\det \begin{bmatrix} a - x & b \\ c & d - x \end{bmatrix} = (a - x)(d - x) - bc = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $ad - ax - dx + x^2 - bc = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - (a + d)x + (ad - bc) = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણની સરખામણી આપેલા સમીકરણ $x^2 - (a + d)x + k = 0$ સાથે કરતા,આપણને $k = ad - bc$ મળે છે.

(C) વિધાન $-1$: $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. $B$ એ $3 \times 4$ શ્રેણિક છે. ગુણાકાર $A^{-1}B$ એ $(3 \times 3) \times (3 \times 4)$ શ્રેણિક છે,જે વ્યાખ્યાયિત છે અને પરિણામ $3 \times 4$ શ્રેણિક મળે છે. તેથી,વિધાન $-1$ એ $T$ છે.
વિધાન $-2$: જો $A$ અને $B$ બંને $n \times n$ શ્રેણિકો હોય,તો $A+B, A-B$,અને $AB$ ત્રણેય વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,તે વ્યાખ્યાયિત હોઈ શકે છે. વિધાન $-2$ એ $F$ છે.
વિધાન $-3$: શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. બધા ઘટકો શૂન્યતર છે,પરંતુ $\det(A) = 1(1) - 1(1) = 0$. તેથી,$A$ વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો નથી. વિધાન $-3$ એ $F$ છે.
વિધાન $-4$: વ્યસ્ત કરી શકાય તેવો શ્રેણિક ચોરસ હોવો જોઈએ (વ્યાખ્યા મુજબ). જો બે હાર સમાન હોય,તો નિશ્ચાયક $0$ થાય,જે તેને અવ્યસ્ત બનાવે છે. તેથી,વ્યસ્ત કરી શકાય તેવા શ્રેણિકમાં બે સમાન હાર હોઈ શકે નહીં. વિધાન $-4$ એ $T$ છે.
સાચો ક્રમ $TFFT$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \sin \beta \cos \beta \\ \sin \beta \cos \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \sin \beta \cos \beta \\ \sin \beta \cos \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) & \cos \alpha \sin \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\ \sin \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) & \sin \alpha \sin \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \end{bmatrix}$
નિત્યસમ $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \cos(\alpha - \beta) \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix}$
$AB$ શૂન્ય શ્રેણિક હોવા માટે,$\cos(\alpha - \beta) = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\alpha - \beta$ એ $\frac{\pi}{2}$ નો એકી પૂર્ણાંક ગુણક હોવો જોઈએ.

(C) આપેલ સમીકરણ $A^2 + A + 2I = O$ છે.
આને $A(A + I) = -2I$ તરીકે લખી શકાય.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા: $|A(A + I)| = |-2I|$.
તેથી $|A||A + I| = (-2)^2 |I| = 4$,જે દર્શાવે છે કે $|A| \neq 0$.
આમ,$A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,જેનો અર્થ છે કે $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$|A| \neq 0$ હોવાથી,$A$ એ શૂન્ય શ્રેણિક $O$ હોઈ શકે નહીં,તેથી $A \neq O$.
$A(A + I) = -2I$ માંથી,$A^{-1}$ વડે ગુણતા આપણને $A^{-1} = -\frac{1}{2}(A + I)$ મળે છે.
જોકે,એવી કોઈ શરત આપેલી નથી કે જે $A$ ને સંમિત શ્રેણિક બનવા માટે મજબૂર કરે. તેથી,'$A$ એ સંમિત છે' તે વિધાન હંમેશા સાચું નથી અને તે $\text{ખોટું}$ છે.

(A) ધારો કે $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
તેથી $X^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
ઘટકોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$1) a^2 + bc = 1$
$2) b(a + d) = 1$
$3) c(a + d) = 2$
$4) bc + d^2 = 3$
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,$\frac{c}{b} = 2$,તેથી $c = 2b$.
$(4)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$d^2 - a^2 = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે $(d - a)(d + a) = 2$.
$(2)$ પરથી,$a + d = \frac{1}{b}$. આ કિંમત અગાઉના સમીકરણમાં મૂકતા,$d - a = 2b$ મળે છે.
$d - a = 2b$ અને $d + a = \frac{1}{b}$ નો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા,$d = b + \frac{1}{2b}$ અને $a = \frac{1}{2b} - b$ મળે છે.
$a$ અને $c$ ની કિંમત $a^2 + bc = 1$ માં મૂકતા,$(\frac{1}{2b} - b)^2 + b(2b) = 1$ મળે છે.
$\frac{1}{4b^2} - 1 + b^2 + 2b^2 = 1 \implies 3b^2 + \frac{1}{4b^2} = 2$.
ધારો કે $u = b^2$. તો $3u + \frac{1}{4u} = 2 \implies 12u^2 - 8u + 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(6u - 1)(2u - 1) = 0$,તેથી $u = \frac{1}{6}$ અથવા $u = \frac{1}{2}$.
$b^2 = u$ હોવાથી,$b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ અથવા $b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$b$ ની દરેક કિંમત માટે એક અનન્ય મેટ્રિક્સ $X$ મળે છે. આમ,કુલ $4$ ઉકેલો મળે છે,જે $2$ કરતા વધારે છે.

(C) આપેલ સંબંધ $A^2 = 2A - I$ છે.
આપણે $A$ ની શરૂઆતની ઘાતોની ગણતરી કરીએ:
$n = 3$ માટે: $A^3 = A \cdot A^2 = A(2A - I) = 2A^2 - A = 2(2A - I) - A = 4A - 2I - A = 3A - 2I$.
$n = 4$ માટે: $A^4 = A \cdot A^3 = A(3A - 2I) = 3A^2 - 2A = 3(2A - I) - 2A = 6A - 3I - 2A = 4A - 3I$.
આ ભાત (pattern) પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $A^n = nA - (n - 1)I$.
આ પરિણામને ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા તમામ $n \ge 2$ માટે ચકાસી શકાય છે.