Minors and Co-factors, Product of determinants Questions in Gujarati

(C) નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહ-અવયવો સાથેના ગુણાકારના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો $A$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોય,તો નિશ્ચાયક $|A|$ એ $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = |A|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_{ij}$ એ $i$-મી હારના ઘટકો છે અને $C_{ij}$ એ તેમના અનુરૂપ સહ-અવયવો છે.
તેથી,નિશ્ચાયક $A$ ની કોઈપણ હારના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહ-અવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ નિશ્ચાયકના મૂલ્ય $|A|$ બરાબર હોય છે.

(B) ઘટક $4$ એ $2$ જી હાર અને $3$ જી સ્તંભમાં આવેલો છે $(a_{23} = 4)$.
સહઅવયવ $C_{23}$ એ $(-1)^{2+3} M_{23}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{23}$ એ $2$ જી હાર અને $3$ જી સ્તંભને દૂર કરીને મળતો નિશ્ચાયક છે.
$C_{23} = (-1)^5 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 8 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right|$
$C_{23} = -1 \times [1(0 \times 1 - 1 \times 2) - 3(8 \times 1 - 1 \times 0) + 1(8 \times 2 - 0 \times 0)]$
$C_{23} = -1 \times [1(-2) - 3(8) + 1(16)]$
$C_{23} = -1 \times [-2 - 24 + 16]$
$C_{23} = -1 \times [-10] = 10.$

(B) ધારો કે $\Delta'$ એ સહ-અવયવોનો આપેલો નિશ્ચાયક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચાયક અને તેના સહ-અવયવ શ્રેણિકના નિશ્ચાયકનો ગુણાકાર $\Delta \cdot \Delta' = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
નિશ્ચાયકોના ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,આ $\begin{vmatrix} a_1A_1 + b_1B_1 + c_1C_1 & a_1A_2 + b_1B_2 + c_1C_2 & a_1A_3 + b_1B_3 + c_1C_3 \\ a_2A_1 + b_2B_1 + c_2C_1 & a_2A_2 + b_2B_2 + c_2C_2 & a_2A_3 + b_2B_3 + c_2C_3 \\ a_3A_1 + b_3B_1 + c_3C_1 & a_3A_2 + b_3B_2 + c_3C_2 & a_3A_3 + b_3B_3 + c_3C_3 \end{vmatrix}$ બરાબર થાય છે.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા કે હારના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહ-અવયવો સાથેનો ગુણાકાર $\Delta$ થાય છે,અને હારના ઘટકોનો બીજી હારના સહ-અવયવો સાથેનો ગુણાકાર $0$ થાય છે,આપણને મળે છે:
$\Delta \cdot \Delta' = \begin{vmatrix} \Delta & 0 & 0 \\ 0 & \Delta & 0 \\ 0 & 0 & \Delta \end{vmatrix}$.
આ વિકર્ણ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા,આપણને $\Delta \cdot \Delta' = \Delta^3$ મળે છે.
તેથી,$\Delta' = \Delta^2$ (જો $\Delta \neq 0$ હોય તો).

(D) નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય એ કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહ-અવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો છે.
આમ,$a_1 A_1 + b_1 B_1 + c_1 C_1 = \Delta$,$a_2 A_2 + b_2 B_2 + c_2 C_2 = \Delta$,અને $a_3 A_3 + b_3 B_3 + c_3 C_3 = \Delta$ થાય.
જોકે,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો બીજી હાર (અથવા સ્તંભ) ના સહ-અવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$a_1 A_2 + b_1 B_2 + c_1 C_2 = 0$ થાય,$\Delta$ નહીં.
આથી,વિકલ્પ $(d)$ માં આપેલો સંબંધ ખોટો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે નિશ્ચાયક $\Delta$ માં ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ $A_{ij}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ માટે,સહ-અવયવો નીચે મુજબ છે:
$B_2 = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 c_3 - a_3 c_1$
$C_2 = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = -(a_1 b_3 - a_3 b_1)$
$B_3 = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = -(a_1 c_2 - a_2 c_1)$
$C_3 = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$
હવે,નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} B_2 & C_2 \\ B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ ધ્યાનમાં લો.
એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ $3 \times 3$ મેટ્રિક્સ $M$ માટે,સહ-અવયવ મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક $\Delta^{n-1}$ થાય છે,જ્યાં $n=3$. તેથી,સહ-અવયવ મેટ્રિક્સના $2 \times 2$ માઇનરનો નિશ્ચાયક $a_1 \Delta$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$D = (a_1 c_3 - a_3 c_1)(a_1 b_2 - a_2 b_1) - (-(a_1 b_3 - a_3 b_1))(-(a_1 c_2 - a_2 c_1))$
આ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા તે $a_1(a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 - b_1 a_2 c_3 + b_1 a_3 c_2 + c_1 a_2 b_3 - c_1 a_3 b_2) = a_1 \Delta$ માં પરિણમે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ $n \times n$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે. શ્રેણિક $C = [c_{ij}]$ એ $A$ નો સહઅવયવ શ્રેણિક છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,$adj(A) = C^T$,જ્યાં $C^T$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|adj(A)| = |A|^{n-1}$.
કોઈપણ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકના નિશ્ચાયક જેટલો જ હોય છે,તેથી $|C^T| = |C|$.
આથી,$|C| = |adj(A)| = |A|^{n-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઘટક $a_{ij}$ ના સહઅવયવો $C_{ij}$ એ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
બીજી હાર $(i=2)$ માટે:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = -1 \times (18 - (-21)) = -1 \times (18 + 21) = -39$.
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \times (15 - (-12)) = 1 \times (15 + 12) = 27$.
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -7 \end{vmatrix} = -1 \times (-35 - (-24)) = -1 \times (-35 + 24) = -1 \times (-11) = 11$.
આમ,સહઅવયવો $-39, 27, 11$ છે.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 3 \\ -4 & -5 & -6 \\ -7 & 8 & 9 \end{array} \right|$ છે.
$1$. $-4$ નો ઉપનિશ્ચાયક (જે $a_{21}$ સ્થાન પર છે):
$M_{21} = \left| \begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} \right| = (-2 \times 9) - (3 \times 8) = -18 - 24 = -42$.
$2$. $9$ નો ઉપનિશ્ચાયક (જે $a_{33}$ સ્થાન પર છે):
$M_{33} = \left| \begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -4 & -5 \end{array} \right| = (-1 \times -5) - (-2 \times -4) = 5 - 8 = -3$.
$3$. $-4$ નો સહઅવયવ $(C_{21})$:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \times M_{21} = (-1)^3 \times (-42) = -1 \times -42 = 42$.
$4$. $9$ નો સહઅવયવ $(C_{33})$:
$C_{33} = (-1)^{3+3} \times M_{33} = (-1)^6 \times (-3) = 1 \times -3 = -3$.
આમ,ઉપનિશ્ચાયકો $-42$ અને $-3$ છે,અને સહઅવયવો $42$ અને $-3$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 1 & 17 \\ 0 & -10 \end{bmatrix}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,તેમના ગુણાકારનો નિશ્ચાયક એ તેમના નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર જેટલો હોય છે,એટલે કે $|AB| = |A| \times |B|$.
પ્રથમ,$A$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|A| = (3 \times 0) - (5 \times 2) = 0 - 10 = -10$.
ત્યારબાદ,$B$ નો નિશ્ચાયક શોધો:
$|B| = (1 \times -10) - (17 \times 0) = -10 - 0 = -10$.
હવે,$|AB|$ ની કિંમત શોધો:
$|AB| = |A| \times |B| = (-10) \times (-10) = 100$.

(C) $3 \times 3$ ક્રમના બે નિશ્ચાયકોનો ગુણાકાર $3 \times 3$ ક્રમના એક નિશ્ચાયક તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં દરેક ઘટક એ બે નિશ્ચાયકોની હાર અથવા સ્તંભના અનુરૂપ ઘટકોના ગુણાકારનો સરવાળો છે.
ચોક્કસ રીતે,જો આપણે ${\Delta _1}$ ની હારનો ${\Delta _2}$ ની હાર સાથે ગુણાકાર કરીએ,તો પરિણામી નિશ્ચાયકનો દરેક ઘટક $(a_i \alpha_j + b_i \beta_j + c_i \gamma_j)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
પરિણામી $3 \times 3$ નિશ્ચાયકના $9$ ઘટકોમાંથી દરેક $3$ પદોનો સરવાળો હોવાથી,આપણે નિશ્ચાયકના રેખીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરી શકીએ છીએ.
$3 \times 3$ નિશ્ચાયક માટે,જો દરેક $9$ ઘટકો $3$ પદોનો સરવાળો હોય,તો આ વિસ્તરણ દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકોની કુલ સંખ્યા $3^3 = 27$ થાય છે.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $D = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ છે.
ઘટક $-3$ એ $3$ જી હાર અને $2$ જા સ્તંભમાં આવેલો છે,જેને $a_{32} = -3$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{32}$ એ $3$ જી હાર અને $2$ જા સ્તંભને દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$M_{32} = \left| \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right| = (0 \times 3) - (-1 \times -2) = 0 - 2 = -2$.
સહઅવયવ $C_{32}$ એ $(-1)^{3+2} \times M_{32} = (-1)^5 \times (-2) = -1 \times -2 = 2$ દ્વારા મળે છે.
સહઅવયવ અને ઉપનિશ્ચાયકનો ગુણોત્તર $\frac{C_{32}}{M_{32}} = \frac{2}{-2} = -1$ થાય છે.

(D) ધારો કે $n = 3$ ક્રમના શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $\Delta$ છે. આપેલ છે કે $\Delta = 11$.
શ્રેણિક $A$ ના સહઅવયવો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકને $\Delta^c$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,જેનો ગુણધર્મ $\Delta^c = \Delta^{n-1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta^c = 11^{3-1} = 11^2 = 121$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં સહઅવયવો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના વર્ગનું મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $(\Delta^c)^2$ છે.
તેથી,જરૂરી મૂલ્ય $(121)^2 = 14641$ થશે.

(D) ઘટક $6$ એ બીજી હાર $(R_2)$ અને ત્રીજા સ્તંભ $(C_3)$ માં આવેલો છે.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{23}$ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta$ માંથી બીજી હાર અને ત્રીજો સ્તંભ દૂર કરીશું.
આનાથી આપણને $2 \times 2$ નો નિશ્ચાયક મળે છે:
$M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$.
આ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ગણતા:
$M_{23} = (1 \times 8) - (2 \times 7) = 8 - 14 = -6$.
તેથી,ઘટક $6$ નો ઉપનિશ્ચાયક $-6$ છે.

(N/A) ઘટક $a_{ij}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $M_{ij}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right|$ માટે:
$M_{11} = a_{11}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $= 3$
$M_{12} = a_{12}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $= 4$
$M_{21} = a_{21}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $= -2$
$M_{22} = a_{22}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $= 1$
ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(3) = 3$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(4) = -4$
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)(-2) = 2$
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1)(1) = 1$

ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$1$. $a_{11}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $(M_{11})$: પ્રથમ હાર અને પ્રથમ સ્તંભને દૂર કરતા.
$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
$2$. $a_{11}$ નો સહઅવયવ $(A_{11})$:
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \times (a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
$3$. $a_{21}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $(M_{21})$: બીજી હાર અને પ્રથમ સ્તંભને દૂર કરતા.
$M_{21} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}$
$4$. $a_{21}$ નો સહઅવયવ $(A_{21})$:
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -1 \times (a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}) = -a_{12}a_{33} + a_{13}a_{32}$

(A) ઉપનિશ્ચાયકો $(M_{ij})$ અને સહઅવયવો $(A_{ij})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M_{11} = \left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\ 5 & -7\end{array}\right| = 0 - 20 = -20; \quad A_{11} = (-1)^{1+1}(-20) = -20$
$M_{12} = \left|\begin{array}{cc}6 & 4 \\ 1 & -7\end{array}\right| = -42 - 4 = -46; \quad A_{12} = (-1)^{1+2}(-46) = 46$
$M_{13} = \left|\begin{array}{cc}6 & 0 \\ 1 & 5\end{array}\right| = 30 - 0 = 30; \quad A_{13} = (-1)^{1+3}(30) = 30$
$M_{21} = \left|\begin{array}{cc}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{array}\right| = 21 - 25 = -4; \quad A_{21} = (-1)^{2+1}(-4) = 4$
$M_{22} = \left|\begin{array}{cc}2 & 5 \\ 1 & -7\end{array}\right| = -14 - 5 = -19; \quad A_{22} = (-1)^{2+2}(-19) = -19$
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 1 & 5\end{array}\right| = 10 + 3 = 13; \quad A_{23} = (-1)^{2+3}(13) = -13$
$M_{31} = \left|\begin{array}{cc}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{array}\right| = -12 - 0 = -12; \quad A_{31} = (-1)^{3+1}(-12) = -12$
$M_{32} = \left|\begin{array}{cc}2 & 5 \\ 6 & 4\end{array}\right| = 8 - 30 = -22; \quad A_{32} = (-1)^{3+2}(-22) = 22$
$M_{33} = \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 6 & 0\end{array}\right| = 0 + 18 = 18; \quad A_{33} = (-1)^{3+3}(18) = 18$
અહીં $a_{11}=2, a_{12}=-3, a_{13}=5$ અને $A_{31}=-12, A_{32}=22, A_{33}=18$ છે,તેથી:
$a_{11} A_{31}+a_{12} A_{32}+a_{13} A_{33} = 2(-12) + (-3)(22) + 5(18) = -24 - 66 + 90 = -90 + 90 = 0$.

(N/A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{cc}2 & -4 \\ 0 & 3\end{array}\right|$ છે.
ઘટક $a_{ij}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $M_{ij}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$a_{11} = 2$ માટે,$M_{11} = 3$.
$a_{12} = -4$ માટે,$M_{12} = 0$.
$a_{21} = 0$ માટે,$M_{21} = -4$.
$a_{22} = 3$ માટે,$M_{22} = 2$.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $A_{ij}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને તે $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(3) = 3$.
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(0) = 0$.
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)(-4) = 4$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1)(2) = 2$.

આપેલ નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right|$ છે.
ઘટક $a_{ij}$ નો ઉપનિશ્ચાયક $M_{ij}$ છે.
$M_{11} = \text{ઘટક } a_{11} \text{ નો ઉપનિશ્ચાયક } = d$
$M_{12} = \text{ઘટક } a_{12} \text{ નો ઉપનિશ્ચાયક } = b$
$M_{21} = \text{ઘટક } a_{21} \text{ નો ઉપનિશ્ચાયક } = c$
$M_{22} = \text{ઘટક } a_{22} \text{ નો ઉપનિશ્ચાયક } = a$
ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ છે.
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (-1)^{2}(d) = d$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)^{3}(b) = -b$
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)^{3}(c) = -c$
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (-1)^{4}(a) = a$

(N/A) આપેલ નિશ્ચાયક $A = \left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ છે.
ઉપનિશ્ચાયક $(M_{ij})$ અને સહઅવયવ $(A_{ij})$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે દરેક ઘટક $a_{ij}$ માટે તેની ગણતરી કરીએ છીએ:
$M_{11} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1, A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1$
$M_{12} = \left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 0, A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = 0$
$M_{13} = \left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 0, A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 0$
$M_{21} = \left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 0, A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = 0$
$M_{22} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1, A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 1$
$M_{23} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 0, A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = 0$
$M_{31} = \left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right| = 0, A_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = 0$
$M_{32} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 0, A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = 0$
$M_{33} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1, A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 1$

આપેલ નિશ્ચાયક $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ છે.
ઉપનિશ્ચાયકો $(M_{ij})$:
$M_{11} = \left|\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right| = (5)(2) - (-1)(1) = 10 + 1 = 11$
$M_{12} = \left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right| = (3)(2) - (-1)(0) = 6 - 0 = 6$
$M_{13} = \left|\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 0 & 1\end{array}\right| = (3)(1) - (5)(0) = 3 - 0 = 3$
$M_{21} = \left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\ 1 & 2\end{array}\right| = (0)(2) - (4)(1) = 0 - 4 = -4$
$M_{22} = \left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 0 & 2\end{array}\right| = (1)(2) - (4)(0) = 2 - 0 = 2$
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = (1)(1) - (0)(0) = 1 - 0 = 1$
$M_{31} = \left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\ 5 & -1\end{array}\right| = (0)(-1) - (4)(5) = 0 - 20 = -20$
$M_{32} = \left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 3 & -1\end{array}\right| = (1)(-1) - (4)(3) = -1 - 12 = -13$
$M_{33} = \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 3 & 5\end{array}\right| = (1)(5) - (0)(3) = 5 - 0 = 5$
સહઅવયવો $(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij})$:
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 11$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -6$
$A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 3$
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -(-4) = 4$
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 2$
$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -(1) = -1$
$A_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = -20$
$A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -(-13) = 13$
$A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 5$

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ છે.
બીજી હારના ઘટકો $a_{21} = 2$,$a_{22} = 0$,અને $a_{23} = 1$ છે.
આપણે સહ-અવયવો $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \left|\begin{array}{ll}3 & 8 \\ 2 & 3\end{array}\right| = -1(9 - 16) = -1(-7) = 7$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} \left|\begin{array}{ll}5 & 8 \\ 1 & 3\end{array}\right| = 1(15 - 8) = 7$.
$A_{23} = (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{ll}5 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right| = -1(10 - 3) = -7$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય બીજી હારના ઘટકો અને તેમના અનુરૂપ સહ-અવયવોના ગુણાકારના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$\Delta = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$
$\Delta = 2(7) + 0(7) + 1(-7)$
$\Delta = 14 + 0 - 7 = 7$.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{array} \right|$ છે.
ત્રીજા સ્તંભના ઘટકો $a_{13} = yz$,$a_{23} = zx$,અને $a_{33} = xy$ છે.
માઇનર્સ (Minors) નીચે મુજબ છે:
$M_{13} = \left| \begin{array}{cc} 1 & y \\ 1 & z \end{array} \right| = z-y$
$M_{23} = \left| \begin{array}{cc} 1 & x \\ 1 & z \end{array} \right| = z-x$
$M_{33} = \left| \begin{array}{cc} 1 & x \\ 1 & y \end{array} \right| = y-x$
સહ-અવયવો (Cofactors) નીચે મુજબ છે:
$A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = z-y$
$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -(z-x) = x-z$
$A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = y-x$
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = a_{13} A_{13} + a_{23} A_{23} + a_{33} A_{33}$
$= yz(z-y) + zx(x-z) + xy(y-x)$
$= yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x + xy^2 - x^2y$
આ પદોને ગોઠવતા:
$= (x-y)(y-z)(z-x)$
આમ,$\Delta = (x-y)(y-z)(z-x)$.

(B) નિશ્ચાયક $\Delta$ નું મૂલ્ય કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારના સરવાળા બરાબર હોય છે.
કોઈપણ હાર $i$ માટે,$\Delta = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} A_{ij} = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3}$.
કોઈપણ સ્તંભ $j$ માટે,$\Delta = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} A_{ij} = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + a_{3j} A_{3j}$.
વિકલ્પો જોતા:
વિકલ્પ $A$: $a_{11} A_{31} + a_{12} A_{32} + a_{13} A_{33}$ એ હાર $1$ ના ઘટકો અને હાર $3$ ના સહઅવયવોનો ગુણાકાર છે,જે $0$ થાય છે.
વિકલ્પ $B$: $a_{11} A_{11} + a_{21} A_{21} + a_{31} A_{31}$ એ સ્તંભ $1$ ના ઘટકો અને તેમના અનુરૂપ સહઅવયવોનો ગુણાકાર છે,જે $\Delta$ બરાબર છે.
વિકલ્પ $C$: $a_{21} A_{11} + a_{22} A_{12} + a_{23} A_{13}$ એ હાર $2$ ના ઘટકો અને હાર $1$ ના સહઅવયવોનો ગુણાકાર છે,જે $0$ થાય છે.
વિકલ્પ $D$: આ ઘટકો અને સહઅવયવોનું મિશ્રણ છે જે વિસ્તરણના નિયમનું પાલન કરતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $B$ એ $A$ નો સહઅવયવ શ્રેણિક હોય,તો $AB = \operatorname{det}(A)I$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે. તેથી,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$.
કારણ કે $B = \operatorname{adj}(A)$,તેથી $\operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^{n-1}$,જ્યાં $n=3$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
તેથી,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(A))^{3-1} = (\operatorname{det}(A))^3$.
$\operatorname{det}(A)$ શોધવા માટે,આપણે સહઅવયવ $B_{21} = -\alpha$ નો ઉપયોગ કરીએ. $A_{21}$ નો સહઅવયવ $(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} \alpha & 3 \\ \alpha & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 - 3\alpha) = 3\alpha - 2\alpha^2$ છે.
આપેલ છે કે $B_{21} = -\alpha$,તેથી $3\alpha - 2\alpha^2 = -\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $2\alpha^2 - 4\alpha = 0$. $\alpha \neq 0$ હોવાથી,આપણને $\alpha = 2$ મળે છે.
$B_{12} = -9$ નો ઉપયોગ કરીને,$A_{12}$ નો સહઅવયવ $(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 + \beta^2) = -9$ છે. $\alpha = 2$ મૂકતા,$-(8 + \beta^2) = -9$,તેથી $\beta^2 = 1$. $\beta \neq 0$ હોવાથી,$\beta = 1$ અથવા $-1$.
$B_{22} = 7$ નો ઉપયોગ કરીને,$A_{22}$ નો સહઅવયવ $(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} \beta & 3 \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = 2\alpha\beta + 3\beta = 7$ છે. $\alpha = 2$ મૂકતા,$4\beta + 3\beta = 7$,તેથી $7\beta = 7$,જે $\beta = 1$ આપે છે.
હવે,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
$\operatorname{det}(A) = 1(8-2) - 2(8+1) + 3(4+2) = 6 - 18 + 18 = 6$.
તેથી,$\operatorname{det}(AB) = (\operatorname{det}(A))^3 = 6^3 = 216$.

(C) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \log_5 128 & \log_4 5 \\ \log_5 8 & \log_4 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \log_5 2 & \frac{1}{2} \log_2 5 \\ 3 \log_5 2 & \log_2 5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરો:
$|A| = (7 \log_5 2)(\log_2 5) - (3 \log_5 2)(\frac{1}{2} \log_2 5) = 7 - \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$.
શ્રેણિક $C$ એ $C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
$i=j$ માટે,$C_{ii} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{ik} = |A| = \frac{11}{2}$.
$i \neq j$ માટે,$C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk} = 0$ (નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ).
આમ,$C = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11/2 & 0 \\ 0 & 11/2 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયક $|C| = (11/2) \times (11/2) = 121/4$.
તેથી,$8|C| = 8 \times (121/4) = 2 \times 121 = 242$.

(A) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક $|A|$ ની કિંમત જેટલો હોય છે.
આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
પદાવલિ $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ એ બીજી હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક $|A|$ નું વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરતા (કારણ કે તેમાં બે શૂન્ય છે):
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} - 0 + 0$
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (\sin \theta)(-\sin \theta)$
$|A| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
તેથી,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = 1$.

(B) સહઅવયવજ શ્રેણિક શોધવા માટે,આપણે દરેક ઘટક $a_{ij}$ માટે સહઅવયવ $A_{ij}$ ની ગણતરી સૂત્ર $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ નો ઉપયોગ કરીને કરીશું,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2-2) = 0$
$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(6 - (-2)) = -8$
$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(3 - (-1)) = 4$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(4 - 1) = 3$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(2 - 0) = -2$
$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = 1$
$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(4 - (-3)) = -7$
$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1)(2 - 0) = 2$
આમ,સહઅવયવજ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}0 & -8 & 4 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -7 & 2\end{array}\right]$ છે.

(C) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો બીજી કોઈ હાર (અથવા સ્તંભ) ના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,શ્રેણિક $A$ માટે,$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = 0$ જ્યાં $i \neq k$ હોય.
આ પ્રશ્નમાં,આપણે $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ ની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ.
અહીં,ઘટકો પ્રથમ હાર $(i=1)$ ના છે અને સહઅવયવો બીજી હાર $(k=2)$ ના છે.
કારણ કે $i \neq k$,તેથી આ સરવાળો $0$ થશે.

(B) પદાવલિ $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક $|A|$ જેટલો હોય છે.
$|A| = 3(4 \times 3 - 1 \times 6) - 2(1 \times 3 - 1 \times 2) + 4(1 \times 6 - 4 \times 2)$
$|A| = 3(12 - 6) - 2(3 - 2) + 4(6 - 8)$
$|A| = 3(6) - 2(1) + 4(-2)$
$|A| = 18 - 2 - 8 = 8$.
તેથી,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = 8$.

(B) પદાવલિ $a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}$ એ શ્રેણિક $A$ ના ત્રીજી હારના સાપેક્ષ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ દર્શાવે છે,જે $|A|$ ની બરાબર છે.
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(8 - 2) - 3(-4 - 2) + 3(-1 - 2)$
$|A| = 1(6) - 3(-6) + 3(-3)$
$|A| = 6 + 18 - 9 = 15$.

(A) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ છે.
બીજા સ્તંભના ઘટકો $a_{12} = -1$,$a_{22} = 2$,અને $a_{32} = 3$ છે.
સહ-અવયવ $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
$A_{12}$ માટે: $A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - (-1)) = -(13) = -13$.
$A_{22}$ માટે: $A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = +(4 - (-2)) = +(6) = 6$.
$A_{32}$ માટે: $A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 6) = -(-5) = 5$.
આમ,સહ-અવયવો $-13, 6, 5$ છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 3 \\ -4 & 3 & 2 \\ -4 & -7 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
બીજી હારના ઘટકો $(a_{21}, a_{22}, a_{23})$ ના સહઅવયવો શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
$1$. ઘટક $a_{21} = -4$ માટે:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = -(18 - (-21)) = -(18 + 21) = -39$.
$2$. ઘટક $a_{22} = 3$ માટે:
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = +(15 - (-12)) = 15 + 12 = 27$.
$3$. ઘટક $a_{23} = 2$ માટે:
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -7 \end{vmatrix} = -(-35 - (-24)) = -(-35 + 24) = -(-11) = 11$.
આમ,સહઅવયવો $-39, 27, 11$ છે.

(C) પદાવલિ $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું બીજી હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ નિશ્ચાયક $|A|$ ના મૂલ્ય જેટલો હોય છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(-5 - 9) - 0 + 2(6 - 0)$
$|A| = 1(-14) + 2(6) = -14 + 12 = -2$.
આમ,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = -2$.

(C) નિશ્ચાયકની કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો નિશ્ચાયકના મૂલ્ય જેટલો હોય છે. જો કે,એક હારના ઘટકોનો બીજી હારના સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હંમેશા શૂન્ય થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ જણાવે છે કે $a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + a_{i3}A_{j3} = 0$ જ્યારે $i \neq j$ હોય.
અહીં,આપણે $A_{31} + A_{32} + A_{33}$ શોધવાનું છે.
શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકને પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$.
હવે,પદ $a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33}$ ને ધ્યાનમાં લો. આ પ્રથમ હારના ઘટકોનો ત્રીજી હારના સહઅવયવો સાથેનો ગુણાકારનો સરવાળો હોવાથી,આ સરવાળો $0$ થવો જોઈએ.
શ્રેણિક $A$ માંથી $a_{11} = 1$,$a_{12} = 1$,અને $a_{13} = 1$ ની કિંમતો મૂકતા:
$1 \cdot A_{31} + 1 \cdot A_{32} + 1 \cdot A_{33} = 0$
તેથી,$A_{31} + A_{32} + A_{33} = 0$.

(D) કોઈપણ હાર (અથવા સ્તંભ) ના ઘટકોનો તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયક જેટલો હોય છે,એટલે કે $\sum_{j=1}^{3} a_{ij}A_{ij} = |A|$.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$.
પદાવલિ $a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$ એ બીજી હારને અનુલક્ષીને શ્રેણિક $A$ નું વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
સહઅવયવોની ગણતરી:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -1(8 - 6) = -2$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 3) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2 - 2) = 0$
હવે,કિંમતો મૂકતા:
$a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = (-1)(-2) + (1)(1) + (2)(0)$
$= 2 + 1 + 0 = 3$.

(B) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
બીજી હારના ઘટકોના સહઅવયવો $(A_{21}, A_{22}, A_{23})$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(3(1) - 2(2)) = (-1)(3 - 4) = (-1)(-1) = 1$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1(1) - 5(2)) = (1)(1 - 10) = -9$.
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(1(2) - 5(3)) = (-1)(2 - 15) = (-1)(-13) = 13$.
સહઅવયવોનો સરવાળો $A_{21} + A_{22} + A_{23} = 1 + (-9) + 13 = 5$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $C_{ij}$ એ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ ઘટક $a_{ij}$ નો નિશ્ચાયક (minor) છે.
પ્રથમ સ્તંભ માટે,આપણે $C_{11}, C_{21},$ અને $C_{31}$ શોધવાની જરૂર છે.
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2 - 2) = 0$.
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = (-1)(1) = -1$.
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = (1)(1) = 1$.
આમ,સહઅવયવો $0, -1, 1$ છે.

(A) પદાવલિ $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ એ શ્રેણિક $A$ ના નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ દર્શાવે છે.
તેથી,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = |A|$.
$|A| = 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$.
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$.
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$.
$|A| = 30 - 6 - 16 = 8$.

(A) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right|$ છે.
ઘટક $7$ એ બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભમાં છે,એટલે કે $a_{23} = 7$.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{23}$ એ બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને મેળવવામાં આવે છે:
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (2 \times -2) - (3 \times -1) = -4 + 3 = -1$.
સહઅવયવ $C_{23}$ એ $(-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવનો સરવાળો $M_{23} + C_{23} = -1 + 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) નિશ્ચાયક $A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 13 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 7 & 11 \end{vmatrix}$ આપેલ છે.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ નિશ્ચાયકનો ઉપનિશ્ચાયક છે.
$1$. ઘટક $13$ $(a_{13})$ માટે: $p = C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (1)(21 - 0) = 21$.
$2$. ઘટક $5$ $(a_{23})$ માટે: $q = C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(7 - 12) = (-1)(-5) = 5$.
$3$. ઘટક $11$ $(a_{33})$ માટે: $r = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0 - 6) = -6$.
હવે,$p + 3q + 6r$ ની ગણતરી કરીએ:
$p + 3q + 6r = 21 + 3(5) + 6(-6)$
$= 21 + 15 - 36$
$= 36 - 36 = 0$.

(B) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ છે.
ઘટક $2020$ એ $a_{12}$ (પ્રથમ હાર,દ્વિતીય સ્તંભ) ના સ્થાને છે.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{12}$ એ પ્રથમ હાર અને દ્વિતીય સ્તંભને દૂર કરીને મેળવેલ $2 \times 2$ નિશ્ચાયક છે:
$M_{12} = \begin{vmatrix} 2022 & 2024 \\ 2025 & 2027 \end{vmatrix} = (2022 \times 2027) - (2024 \times 2025)$.
ગણતરી કરતા:
$M_{12} = 4098594 - 4098600 = -6$.
સહઅવયવ $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \times (-6) = 6$.
ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવનો સરવાળો $M_{12} + C_{12} = -6 + 6 = 0$ થાય.

(D) ધારો કે $A$ એ $n = 3$ ક્રમનો ચોરસ શ્રેણિક છે,જ્યાં $|A| = 16$ છે.
$A$ ના દરેક ઘટકને તેના સહઅવયવ દ્વારા બદલીને બનતા શ્રેણિકને સહઅવયવ શ્રેણિક કહેવાય છે,જેને $C$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\operatorname{adj} A$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે,એટલે કે $\operatorname{adj} A = C^T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તેના પરિવર્તિત શ્રેણિકના નિશ્ચાયક જેટલો જ હોય છે,તેથી $|C| = |C^T| = |\operatorname{adj} A|$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $|C| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
તેથી,$|C| = 16^2 = 256$.

(D) ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} x & y & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & z \end{bmatrix}$.
$1$. $z$ $(a_{33})$ નો સહઅવયવ: $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} x & y \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = x + 3y = 9$.
$2$. $1$ $(a_{32})$ નો સહઅવયવ: $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} x & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(2x) = 4 \implies x = -2$.
$x = -2$ ને $x + 3y = 9$ માં મૂકતા: $-2 + 3y = 9 \implies 3y = 11 \implies y = 11/3$.
$3$. $x$ $(a_{11})$ નો સહઅવયવ: $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & z \end{vmatrix} = z + 4 = 3 \implies z = -1$.
આમ,$A = \begin{bmatrix} -2 & 11/3 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$AB$ ની ગણતરી કરતા,વિકલ્પ $D$ મુજબ સાચો જવાબ મળે છે.

(C) ધારો કે શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ છે.
ઘટકો $3, 7, 6$ એ ત્રીજી સ્તંભ $(C_3)$ માં છે.
ઘટક $3$ $(A_{13})$ નો સહઅવયવ $a$: $a = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (16 - (-2)) = 18$.
ઘટક $7$ $(A_{23})$ નો સહઅવયવ $b$: $b = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -(4 - 4) = 0$.
ઘટક $6$ $(A_{33})$ નો સહઅવયવ $c$: $c = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 8) = -9$.
આપણે $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આ $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 18 & 0 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 8 \end{bmatrix}$ બરાબર છે.
$= (18 \times 4) + (0 \times 11) + (-9 \times 8) = 72 + 0 - 72 = 0$.

(A) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ -2 & y & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$\text{trace}(A) = x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
$\det(A) = x(-y - 0) - 2(2 - 0) + 1(0 - 2y) = -xy - 4 - 2y = -6$.
તેથી,$xy + 2y = 2$.
$x = 1 - y$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(1 - y)y + 2y = 2$.
$y - y^2 + 2y = 2 \implies y^2 - 3y + 2 = 0$.
$(y - 1)(y - 2) = 0$,તેથી $y = 1$ અથવા $y = 2$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x = 0$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $x$ શૂન્યતર છે).
જો $y = 2$ હોય,તો $x = -1$.
ઘટક $1$ એ $a_{13}$ સ્થાન પર છે.
ઉપનિશ્ચાયક $M_{13}$ એ પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભને દૂર કરીને મેળવેલ નિશ્ચાયક છે:
$M_{13} = \begin{vmatrix} -2 & y \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(0) - (2)(y) = -2y$.
$y = 2$ મૂકતા,$M_{13} = -2(2) = -4$.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} -1 & x & 3 \\ -4 & -5 & -6 \\ -7 & y & 9 \end{bmatrix}$.
સ્થાન $(2, 3)$ પરના ઘટક (જે $-6$ છે) નો સહઅવયવ $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -1 & x \\ -7 & y \end{vmatrix} = -1(-y - (-7x)) = -1(-y + 7x) = y - 7x$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $C_{23} = 22$,તેથી $y - 7x = 22$ --- $(1)$.
સ્થાન $(3, 1)$ પરના ઘટક (જે $-7$ છે) નો સહઅવયવ $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} x & 3 \\ -5 & -6 \end{vmatrix} = 1(-6x - (-15)) = -6x + 15$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $C_{31} = 27$,તેથી $-6x + 15 = 27$.
$-6x = 12 \implies x = -2$.
સમીકરણ $(1)$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$y - 7(-2) = 22$
$y + 14 = 22 \implies y = 8$.
હવે,$5x + y$ ની કિંમત શોધો:
$5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2$.

(B) ધારો કે $C$ એ $A$ ના સહઅવયવોનો શ્રેણિક છે. આપેલ છે કે $C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 4 & -5 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A$ નો એડજોઈન્ટ (adjoint),જેને $\operatorname{adj} A$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) છે.
તેથી,$\operatorname{adj} A = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આપણે ગુણધર્મ $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં $n = 3$ છે,તેથી $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
હવે,$\operatorname{adj} A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|\operatorname{adj} A| = 1((-5)(1) - (4)(-2)) - 4((-2)(1) - (1)(4)) + (-2)((-2)(-2) - (1)(-5))$
$|\operatorname{adj} A| = 1(3) - 4(-6) - 2(9) = 3 + 24 - 18 = 9$.
તેથી $|A|^2 = 9$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 3$.
આમ,$A$ ના નિશ્ચાયકનું એક શક્ય મૂલ્ય $3$ છે.

(C) ધારો કે $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & -4 & 6 \end{array}\right]$.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહ-અવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ નિશ્ચાયક છે.
$1$. ઘટક $-1$ માટે જે $(1, 2)$ સ્થાન પર છે: $C_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right| = -1(0 - 6) = 6$. તેથી,$A-4$.
$2$. ઘટક $1$ માટે જે $(1, 1)$ સ્થાન પર છે: $C_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ -4 & 6 \end{array}\right| = 1(24 - (-8)) = 32$. તેથી,$B-2$.
$3$. ઘટક $3$ માટે જે $(3, 1)$ સ્થાન પર છે: $C_{31} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}\right| = 1(-2 - 0) = -2$. તેથી,$C-1$.
$4$. ઘટક $6$ માટે જે $(3, 3)$ સ્થાન પર છે: $C_{33} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{array}\right| = 1(4 - 0) = 4$. તેથી,$D-3$.
આમ,સાચી જોડ $A-4, B-2, C-1, D-3$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.