Adjoint and inverse of matrices Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$. આપણને આપેલ છે કે $|A| = 5$.
આપેલ નિશ્ચાયક એ $A$ ના સહઅવયજ શ્રેણિક (cofactor matrix) નો નિશ્ચાયક છે,જેને $|adj(A)|$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|adj(A)| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|adj(A)| = |A|^{3-1} = |A|^2$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|adj(A)| = 5^2 = 25$.

(B) આપેલ છે કે $AB = O$ અને $B$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે.
કારણ કે $B$ અસામાન્ય છે,તેનો નિશ્ચાયક $|B| \neq 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વ્યસ્ત શ્રેણિક $B^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
હવે,સમીકરણ $AB = O$ ની બંને બાજુએ જમણી બાજુથી $B^{-1}$ વડે ગુણતા:
$(AB)B^{-1} = OB^{-1}$
શ્રેણિક ગુણાકારના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A(BB^{-1}) = O$
કારણ કે $BB^{-1} = I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે:
$AI = O$
તેથી,$A = O$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત ત્યારે જ મળે જો તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ હોય.
બીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયક $|A|$ નું વિસ્તરણ કરતા:
$|A| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ k & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -k \\ k & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -k \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1 \cdot (1 - (-k^2)) = 1 + k^2$.
કોઈપણ વાસ્તવિક $k$ માટે $k^2 \geq 0$ હોવાથી,$1 + k^2 \geq 1$ થાય.
તેથી,$|A|$ ની કિંમત હંમેશા $1$ કે તેથી મોટી રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $|A|$ ક્યારેય $0$ થઈ શકે નહીં.
આમ,શ્રેણિક $A$ એ $k$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતો માટે વ્યસ્ત શ્રેણિક ધરાવે છે.

(C) ધારો કે $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 2}&{ - 1}\\{ - 4}&1&{ - 1}\\2&0&1\end{array}} \right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = 3(1(1) - (-1)(0)) - (-2)((-4)(1) - (-1)(2)) + (-1)((-4)(0) - 1(2))$
$|A| = 3(1) + 2(-4 + 2) - 1(0 - 2) = 3 - 4 + 2 = 1$.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ:
$C_{11} = 1, C_{12} = 2, C_{13} = -2$
$C_{21} = 2, C_{22} = 5, C_{23} = -4$
$C_{31} = 3, C_{32} = 7, C_{33} = -5$
સહઅવયવ શ્રેણિક $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{-2}\\2&5&{-4}\\3&7&{-5}\end{array}} \right]$ છે.
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $adj(A)$ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&5&7\\{-2}&{-4}&{-5}\end{array}} \right]$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ અને $|A| = 1$,તેથી:
$A^{-1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\2&5&7\\{-2}&{-4}&{-5}\end{array}} \right]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સમાન કક્ષાના કોઈપણ બે અસામાન્ય શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,તેમના ગુણાકારનો વ્યસ્ત એ વ્યસ્તના ઉલટ નિયમ (reversal law of inverses) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોક્કસ રીતે,$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A(I)A^{-1} = AA^{-1} = I$.
તે જ રીતે,$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}(I)B = B^{-1}B = I$.
તેથી,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

(A) શ્રેણિક $N$ નો એડજોઈન્ટ શોધવા માટે,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ શોધીશું અને ત્યારબાદ તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક $C^T$ મેળવીશું.
શ્રેણિક $N = \begin{bmatrix} -4 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
સહઅવયવો નીચે મુજબ છે:
$c_{11} = +((0)(3) - (1)(4)) = -4$
$c_{12} = -((1)(3) - (1)(4)) = -(-1) = 1$
$c_{13} = +((1)(4) - (0)(4)) = 4$
$c_{21} = -((-3)(3) - (-3)(4)) = -(-9 + 12) = -3$
$c_{22} = +((-4)(3) - (-3)(4)) = -12 + 12 = 0$
$c_{23} = -((-4)(4) - (-3)(4)) = -(-16 + 12) = 4$
$c_{31} = +((-3)(1) - (-3)(0)) = -3$
$c_{32} = -((-4)(1) - (-3)(1)) = -(-4 + 3) = 1$
$c_{33} = +((-4)(0) - (-3)(1)) = 3$
સહઅવયવ શ્રેણિક $C = \begin{bmatrix} -4 & 1 & 4 \\ -3 & 0 & 4 \\ -3 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ છે.
એડજોઈન્ટ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(N) = C^T = \begin{bmatrix} -4 & -3 & -3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 4 & 3 \end{bmatrix} = N$.

(B) ધારો કે $I$ એ $3 \times 3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે,જે $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.
તેથી,$kI = \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$ થાય.
વિકર્ણ શ્રેણિક $D = \text{diag}(a, b, c)$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) $\text{diag}(bc, ac, ab)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$adj(kI) = \begin{bmatrix} k \times k & 0 & 0 \\ 0 & k \times k & 0 \\ 0 & 0 & k \times k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k^2 & 0 & 0 \\ 0 & k^2 & 0 \\ 0 & 0 & k^2 \end{bmatrix} = k^2 I$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણધર્મ $adj(kA) = k^{n-1} adj(A)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે,$A=I$ અને $n=3$ માટે,આપણને $adj(kI) = k^{3-1} adj(I) = k^2 I$ મળે છે.

(B) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયવજ) $adj(A)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$n \times n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$adj(adj \,A) = |A|^{n - 2}A$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i/2 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (i)(i/2) - (0)(0) = i^2/2 = -1/2$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} i/2 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ દ્વારા મળે છે.
$A^{-1} = \frac{1}{-1/2} \begin{bmatrix} i/2 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = -2 \begin{bmatrix} i/2 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 0 & -2i \end{bmatrix}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,એડજોઈન્ટ શ્રેણિકનો મૂળભૂત ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$A(\text{adj } A) = (\text{adj } A)A = |A|I$,જ્યાં $|A|$ એ $A$ નો નિશ્ચાયક છે અને $I$ એ $A$ જેવી જ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
કારણ કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી $|A| \neq 0$.
આમ,સાચું પદ $|A|I$ છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 1(1-0) - 2(2-0) + 1(0 - (-1)) = 1 - 4 + 1 = -2$ શોધીએ.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે.
$A^{-1}$ માં બીજી હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક $\frac{1}{|A|} \times C_{32}$ છે,જ્યાં $C_{32}$ એ $A$ ના ત્રીજી હાર અને બીજા સ્તંભના ઘટકનો સહઅવયવ છે.
સહઅવયવ $C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \times (0 - 2) = 2$.
આમ,જરૂરી ઘટક $\frac{C_{32}}{|A|} = \frac{2}{-2} = -1$ છે.

(A) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવાનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{adj(A)}{|A|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} a & c \\ d & b \end{vmatrix} = ab - cd$.
ત્યારબાદ,આપણે વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધીએ:
$adj(A) = \begin{bmatrix} b & -c \\ -d & a \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{ab - cd} \begin{bmatrix} b & -c \\ -d & a \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $3$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે,જેને $I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,જો $AB = BA = I$ હોય,તો $B$ એ $A$ નો વ્યસ્ત છે,જેને $A^{-1}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
એકમ શ્રેણિક $I$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $I \times I = I$.
તેથી,એકમ શ્રેણિકનો વ્યસ્ત તે પોતે જ છે,એટલે કે $I^{-1} = I$.
આમ,$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = (2)(2) - (-3)(-4) = 4 - 12 = -8$ શોધીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-અવયવજ) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-8} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = -\frac{1}{8} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીશું.
આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ -1 & 6 & 1 \end{bmatrix}$.
સહઅવયવો નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(5 - 0) = -5$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = 30 - (-2) = 32$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 0) = 0$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = -(6 - 0) = -6$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 0) = 0$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$
આમ,સહઅવયવ શ્રેણિક $C = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 32 \\ 0 & 1 & -6 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) છે:
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\ 32 & -6 & 2 \end{bmatrix}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ મળતો નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A(\text{adj } A) = |A|I$ થાય,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (3 \times 4) - (2 \times 1) = 12 - 2 = 10$ ની ગણતરી કરો.
અહીં $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક હોવાથી,$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ થાય.
તેથી,$A(\text{adj } A) = |A|I = 10 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,$A \cdot \text{adj}(A) = |A| I$,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (\cos \alpha)(\cos \alpha) - (\sin \alpha)(-\sin \alpha) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
તેથી,$A \cdot \text{adj}(A) = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 1$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3A^3 + 2A^2 + 5A + I = 0$
બંને બાજુથી $I$ બાદ કરતા: $3A^3 + 2A^2 + 5A = -I$
બંને બાજુ જમણી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા: $(3A^3 + 2A^2 + 5A)A^{-1} = -I A^{-1}$
$AA^{-1} = I$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $3A^2(AA^{-1}) + 2A(AA^{-1}) + 5(AA^{-1}) = -A^{-1}$
$3A^2(I) + 2A(I) + 5(I) = -A^{-1}$
$3A^2 + 2A + 5I = -A^{-1}$
તેથી,$A^{-1} = -(3A^2 + 2A + 5I)$

(D) ચાલો દરેક વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(i)$ જો $A$ સંમિત શ્રેણિક હોય,તો $A^T = A$. શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એ સહ-અવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે $adj(A^T) = (adj\,A)^T$. કારણ કે $A^T = A$,આપણી પાસે $adj(A) = (adj\,A)^T$ છે,જેનો અર્થ છે કે $adj(A)$ સંમિત છે. આ વિધાન સત્ય છે.
$(ii)$ જો $A = I$ (એકમ શ્રેણિક) હોય,તો $adj(I) = |I|I^{-1} = 1 \times I = I$. આમ,એકમ શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ એકમ શ્રેણિક છે. આ વિધાન સત્ય છે.
$(iii)$ શ્રેણિકના એડજોઈન્ટના મૂળભૂત ગુણધર્મ મુજબ,$A(adj\,A) = (adj\,A)A = |A|I$. આ વિધાન સત્ય છે.
$(iv)$ જો $A$ વિકર્ણ શ્રેણિક હોય,તો તેના સહ-અવયવો અન્ય વિકર્ણ શ્રેણિકમાં પરિણમશે. આમ,વિકર્ણ શ્રેણિકનો એડજોઈન્ટ વિકર્ણ શ્રેણિક છે. આ વિધાન સત્ય છે.
ત્યારબાદ,બધા વિધાનો $(i), (ii), (iii),$ અને $(iv)$ સાચા હોવાથી,કોઈ પણ વિધાન અસત્ય નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ધારો કે $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&{10}\end{array}} \right]$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (1 \times 10) - (3 \times 3) = 10 - 9 = 1$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને અન્ય ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) શોધો: $\text{adj}(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{-3}\\{-3}&1\end{array}} \right]$.
આમ,$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{-3}\\{-3}&1\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{10}&{-3}\\{-3}&1\end{array}} \right]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એક સંમિત શ્રેણિક છે.
સંમિત શ્રેણિકની વ્યાખ્યા મુજબ,$A^T = A$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A A^{-1} = I$.
બંને બાજુ પરિવર્તિત (transpose) લેતા,$(A A^{-1})^T = I^T$ મળે.
ગુણધર્મ $(AB)^T = B^T A^T$ નો ઉપયોગ કરતા,$(A^{-1})^T A^T = I$ મળે.
કારણ કે $A^T = A$,તેથી આ સમીકરણ $(A^{-1})^T A = I$ બને છે.
બંને બાજુ જમણી તરફ $A^{-1}$ વડે ગુણતા,$(A^{-1})^T A A^{-1} = I A^{-1}$ મળે.
$(A^{-1})^T I = A^{-1}$.
$(A^{-1})^T = A^{-1}$.
આમ,$A^{-1}$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક તે પોતે જ હોવાથી,સંમિત શ્રેણિકનો વ્યસ્ત શ્રેણિક સંમિત હોય છે.

(A) ધારો કે $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 6}&5\\{ - 7}&6\end{array}} \right]$.
$A^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (-6)(6) - (5)(-7) = -36 + 35 = -1$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને $A$ નો એડજોઈન્ટ શોધો: $\text{adj}(A) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{-5}\\7&{-6}\end{array}} \right]$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{-5}\\7&{-6}\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}-6&5\\-7&6\end{array}} \right]$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$. $A$ નો એડજોઈન્ટ એ કોફેક્ટર મેટ્રિક્સનો ટ્રાન્સપોઝ છે,$adj(A) = [C_{ij}]^T = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$.
કોફેક્ટર્સની ગણતરી:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (6 - 3) = 3$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(3 + 6) = -9$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 4) = -5$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 + 1) = -4$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - 2) = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-1 - 2) = 3$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-3 - 2) = -5$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -(-3 - 1) = 4$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 - 1) = 1$
આમ,$adj(A) = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -5 \\ -9 & 1 & 4 \\ -5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (5)(1) - (2)(3) = 5 - 6 = -1$ ગણો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $\text{adj}(A)$ શોધો: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
$A$ નો નિશ્ચાયક $|A| = (3)(4) - (-2)(1) = 12 + 2 = 14$ છે.
$A$ નો સહઅવયજ શ્રેણિક (adjoint) વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મળે છે: $adj(A) = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિકનો વ્યસ્ત $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{14} & \frac{2}{14} \\ \frac{-1}{14} & \frac{3}{14} \end{bmatrix}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 0(0-0) - 1(1-0) + 0(0-0) = -1$ શોધીએ છીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ શોધીએ છીએ જ્યાં $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$.
$C_{11} = +(0-0) = 0, C_{12} = -(1-0) = -1, C_{13} = +(0-0) = 0$.
$C_{21} = -(1-0) = -1, C_{22} = +(0-0) = 0, C_{23} = -(0-0) = 0$.
$C_{31} = +(0-0) = 0, C_{32} = -(0-0) = 0, C_{33} = +(0-1) = -1$.
આમ,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = A$.

(A) જો શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય,તો તેને સિંગ્યુલર શ્રેણિક કહેવાય છે,એટલે કે $|A| = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિકના એડજોઈન્ટનો ગુણધર્મ: $|\text{adj } A| = |A|^{n-1}$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા છે.
જો $n > 1$ હોય,તો $|A| = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે $|\text{adj } A| = 0^{n-1} = 0$.
તેથી,$\text{adj } A$ પણ એક સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 1(1 \times 1 - 2 \times 0) - 2(0 \times 1 - 2 \times 0) + 3(0 \times 0 - 1 \times 0) = 1(1) = 1$ ગણીએ છીએ.
કારણ કે $|A| \neq 0$,તેથી વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C_{ij}$ શોધીએ છીએ:
$C_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1, C_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 0, C_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$
$C_{21} = -|\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = -2, C_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1, C_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$
$C_{31} = +|\begin{smallmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| = 4-3 = 1, C_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}| = -2, C_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$
આમ,$Adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
અંતે,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) વિકલ્પ $A$ માટે: બિન-અસામાન્ય ચોરસ શ્રેણિકનો વ્યસ્ત હંમેશા અનન્ય હોય છે,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: વ્યાખ્યા મુજબ,બિન-અસામાન્ય શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્યતર $(|A| \neq 0)$ હોય છે,તેથી આ વિધાન ખોટું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: જો $A' = A$ હોય,તો હારની સંખ્યા અને સ્તંભની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $A$ એ ચોરસ શ્રેણિક છે. તેથી,આ વિધાન સત્ય છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: આપણે જાણીએ છીએ કે $A \cdot \text{adj } A = |A| I_n$. બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|A \cdot \text{adj } A| = ||A| I_n| = |A|^n |I_n| = |A|^n$. આપેલ પદ $|A|^{n-1}$ ખોટું છે. તેથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધવા માટે,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C = [C_{ij}]$ ગણીશું અને પછી તેનો પરિવર્તિત શ્રેણિક (transpose) લઈશું.
સહઅવયવો નીચે મુજબ છે:
$C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 4) = 4$
$C_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$
સહઅવયવ શ્રેણિક $C = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -2 & 1 & 4 \\ 4 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ છે.
$A$ નો એડજોઈન્ટ એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન કક્ષાના કોઈપણ બે ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણાકારના એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક) નો ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$Adj(AB) = (Adj B)(Adj A)$.
તેથી,બંને બાજુથી $(Adj B)(Adj A)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$Adj(AB) - (Adj B)(Adj A) = O$,જ્યાં $O$ એ સમાન કક્ષાનો શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક શોધો: $|A| = (3)(1) - (2)(0) = 3$.
ત્યારબાદ,એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સ શોધો: $Adj(A) = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.
હવે,$(A^{-1})^2 = \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \right) \left( \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}$.
અંતે,$(A^{-1})^3 = (A^{-1})^2 \cdot A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -2 - 24 \\ 0 & 27 \end{bmatrix} = \frac{1}{27} \begin{bmatrix} 1 & -26 \\ 0 & 27 \end{bmatrix}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,ગુણધર્મ $A(\text{adj } A) = |A|I$ સાચો છે,જ્યાં $I$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
આપેલ છે કે $A$ એ $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,તેથી $A(\text{adj } A) = |A| \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix}$ થાય.
આને આપેલ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $|A| = 10$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (4 \times 2) - (7 \times 1) = 8 - 7 = 1$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને એડજોઈન્ટ શ્રેણિક $Adj(A)$ શોધો:
$Adj(A) = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$.

(C) પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = 3(-3 + 4) - (-3)(2 - 0) + 4(-2 - 0) = 3(1) + 3(2) + 4(-2) = 3 + 6 - 8 = 1$.
ત્યારબાદ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ શોધીએ:
$C_{11} = 1, C_{12} = -2, C_{13} = -2$
$C_{21} = -1, C_{22} = 3, C_{23} = 3$
$C_{31} = 0, C_{32} = -4, C_{33} = -3$
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.
હવે,$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 4 \\ 0 & -1 & 0 \\ -2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$ ગણીએ.
હવે,$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$ મળે છે.
આમ,$A^{-1} = A^3$ થાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,શ્રેણિક અને તેના એડજોઈન્ટ વચ્ચેનો સંબંધ $A(\text{adj } A) = |A| I_n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_n$ એ $n$ કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને મળે છે $|A(\text{adj } A)| = ||A| I_n|$.
ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $|A| |\text{adj } A| = |A|^n |I_n|$ છે.
કારણ કે $|I_n| = 1$,આ સમીકરણ $|A| |\text{adj } A| = |A|^n$ માં પરિણમે છે.
આપેલ છે કે $|A| = d$,તેથી $d |\text{adj } A| = d^n$.
આમ,$|\text{adj } A| = d^{n-1}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન કક્ષાના કોઈપણ બે અસામાન્ય ચોરસ શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,ગુણાકારના એડજોઈન્ટ (adjoint) નો ગુણધર્મ નીચે મુજબ છે:
$adj(AB) = adj(B) \cdot adj(A)$.
આ ગુણધર્મ એ હકીકત પરથી તારવવામાં આવ્યો છે કે $adj(AB) = |AB|(AB)^{-1} = |A||B|B^{-1}A^{-1} = (|B|B^{-1})(|A|A^{-1}) = adj(B) \cdot adj(A)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A| = 1(1(1) - 2(0)) - 2(0(1) - 2(0)) + (-3)(0(0) - 1(0)) = 1(1) - 0 + 0 = 1$ શોધીએ છીએ.
ત્યારબાદ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ શોધીએ છીએ જ્યાં $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$.
$C_{11} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$,$C_{12} = -|\begin{smallmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 0$,$C_{13} = +|\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$.
$C_{21} = -|\begin{smallmatrix} 2 & -3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = -2$,$C_{22} = +|\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$,$C_{23} = -|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}| = 0$.
$C_{31} = +|\begin{smallmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix}| = 4 - (-3) = 7$,$C_{32} = -|\begin{smallmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 2 \end{smallmatrix}| = -(2 - 0) = -2$,$C_{33} = +|\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}| = 1$.
આમ,$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
કારણ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$ અને $|A| = 1$,તેથી $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ હાર અને ત્રીજા સ્તંભનો ઘટક $7$ છે.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક $B$ એવો શ્રેણિક છે કે જેથી $AB = BA = I$ થાય,જ્યાં $I$ એ એકમ શ્રેણિક છે.
એકમ શ્રેણિક ${I_3}$ માટે,આપણી પાસે ${I_3} \times {I_3} = {I_3}$ છે.
આને વ્યાખ્યા $A \times A^{-1} = I$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ${I_3}^{-1} = {I_3}$ થાય છે.

(B) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,$A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\text{adj } A = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ આપેલ છે,તેથી $a = 1, b = -1, c = 2, d = 3$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{adj } A = \begin{bmatrix} 3 & -(-1) \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ચોરસ શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક શોધવાનું સૂત્ર $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ છે.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,નિશ્ચાયક $|A| = ad - bc$ થાય.
શ્રેણિક $A$ નો એડજોઈન્ટ (સહ-શ્રેણિક),જેને $\text{adj}(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે મુખ્ય વિકર્ણના ઘટકોની અદલાબદલી કરીને અને બાકીના ઘટકોની નિશાની બદલીને મેળવવામાં આવે છે:
$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${A^2} - A + I = 0$
$I$ ને અલગ કરવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$I = A - {A^2}$
જમણી બાજુથી $A$ સામાન્ય લેતા:
$I = A(I - A)$
બંને બાજુ ડાબી બાજુથી ${A^{-1}}$ વડે ગુણતા:
${A^{-1}}I = {A^{-1}}A(I - A)$
કારણ કે ${A^{-1}}A = I$ અને ${A^{-1}}I = {A^{-1}}$ હોવાથી:
${A^{-1}} = I(I - A)$
તેથી:
${A^{-1}} = I - A$

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ યોગ્ય કક્ષાના બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો છે.
શ્રેણિકોના ગુણાકારના વ્યસ્તના ગુણધર્મ મુજબ,બે વ્યસ્ત શ્રેણિકોના ગુણાકારનો વ્યસ્ત એ તેમના વ્યસ્ત શ્રેણિકોના ઉલટા ક્રમમાં ગુણાકાર બરાબર હોય છે.
તેથી,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = (1)(-5) - (2)(3) = -5 - 6 = -11$ શોધો.
ત્યારબાદ,$A$ નો એડજોઈન્ટ (સહઅવયજ શ્રેણિક) $adj(A)$ શોધો. $2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ માટે,એડજોઈન્ટ $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ થાય છે.
તેથી,$adj(A) = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A) = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{11} & \frac{2}{11} \\ \frac{3}{11} & -\frac{1}{11} \end{bmatrix}$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક ${A^{-1}} = \frac{adj(A)}{|A|}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $|A| \neq 0$ હોવું જરૂરી છે.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (2 \times 6) - (3 \times 4) = 12 - 12 = 0$.
અહીં શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,$A$ એ અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
તેથી,$A$ નો વ્યસ્ત શ્રેણિક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.

(B) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
$2 \times 2$ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ નો એડજોઈન્ટ (adj) $\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$adj\,A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$.
હવે,નિશ્ચાયક $|adj\,A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|adj\,A| = (4 \times 4) - (-3 \times -2)$
$|adj\,A| = 16 - 6$
$|adj\,A| = 10$.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણધર્મ $|adj\,A| = |A|^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકનો ક્રમ છે:
$|A| = (4 \times 4) - (3 \times 2) = 16 - 6 = 10$.
અહીં $n=2$ હોવાથી,$|adj\,A| = |A|^{2-1} = |A|^1 = 10$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 4 \\ 2 & -3 & 4 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
ઘટક $a_{ij}$ નો સહઅવયવ $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $M_{ij}$ એ નિશ્ચાયક છે.
$C_{11} = + \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-3)(1) - (4)(-1) = -3 + 4 = 1$
$C_{12} = - \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$
$C_{13} = + \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = (-2 - 0) = -2$
$C_{21} = - \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-3 + 4) = -1$
$C_{22} = + \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (3 - 0) = 3$
$C_{23} = - \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 - 0) = 3$
$C_{31} = + \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = (-12 + 12) = 0$
$C_{32} = - \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - 8) = -4$
$C_{33} = + \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (-9 + 6) = -3$
એડજોઈન્ટ શ્રેણિક એ સહઅવયવ શ્રેણિકનો પરિવર્તિત શ્રેણિક છે:
$adj(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -2 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & -3 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = (0 \times 0) - (3 \times 2) = 0 - 6 = -6$.
ત્યારબાદ,આપણે $A$ નો એડજોઈન્ટ (adj) શોધીએ:
$adj(A) = \begin{bmatrix} 0 & -3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj(A)$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{-6} adj(A) = \frac{-1}{6} adj(A)$.
આને $A^{-1} = \lambda (adj(A))$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $\lambda = \frac{-1}{6}$.

(B) સમાન કક્ષાના કોઈપણ બે વ્યસ્ત શ્રેણિકો $A$ અને $B$ માટે,તેમના ગુણાકારનો વ્યસ્ત શ્રેણિક એ વ્યસ્ત શ્રેણિકોના પ્રતિવર્તી નિયમ (reversal law) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A(I)A^{-1} = AA^{-1} = I$.
તે જ રીતે,$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}(I)B = B^{-1}B = I$.
કેમ કે $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = I$ અને $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$,તેથી $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,શ્રેણિક અને તેના એડજોઈન્ટનો ગુણાકાર નીચેના ગુણધર્મ દ્વારા મળે છે: $A \cdot (adj(A)) = |A| \cdot I$,જ્યાં $I$ એ સમાન કક્ષાનો એકમ શ્રેણિક છે.
પ્રથમ,આપણે શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = (\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
અહીં $|A| = 1$ અને $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$A \cdot (adj(A)) = 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.