Properties of determinants Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a - b & b - c & c - a \\ x - y & y - z & z - x \\ p - q & q - r & r - p \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} (a - b) + (b - c) + (c - a) & b - c & c - a \\ (x - y) + (y - z) + (z - x) & y - z & z - x \\ (p - q) + (q - r) + (r - p) & q - r & r - p \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & b - c & c - a \\ 0 & y - z & z - x \\ 0 & q - r & r - p \end{array} \right|$
પ્રથમ સ્તંભના તમામ ઘટકો $0$ હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}}-bc \\ 1 & b & {{b}^{2}}-ac \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a^2-bc) - (b^2-ac) \\ 0 & b-c & (b^2-ac) - (c^2-ab) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(a^2-bc) - (b^2-ac) = (a^2-b^2) + (ac-bc) = (a-b)(a+b) + c(a-b) = (a-b)(a+b+c)$
$(b^2-ac) - (c^2-ab) = (b^2-c^2) + (ab-ac) = (b-c)(b+c) + a(b-c) = (b-c)(a+b+c)$
આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b+c) \\ 0 & b-c & (b-c)(a+b+c) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
$R_1$ માંથી $(a-b)$ અને $R_2$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b+c \\ 0 & 1 & a+b+c \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
અહીં $R_1$ અને $R_2$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 5 & \pi \\ {{\log }_e}e & 5 & {\sqrt 5 } \\ {{\log }_{10}}10 & 5 & e \end{array}} \right|$ છે.
કારણ કે ${{\log }_e}e = 1$ અને ${{\log }_{10}}10 = 1$ છે,તેથી આપણે નિશ્ચાયકને આ રીતે લખી શકીએ:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 5 & \pi \\ 1 & 5 & {\sqrt 5 } \\ 1 & 5 & e \end{array}} \right|$.
આ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ સ્તંભ $C_1$ અને બીજો સ્તંભ $C_2$ એ $C_2 = 5 \times C_1$ સંબંધ ધરાવે છે.
જ્યારે નિશ્ચાયકના બે સ્તંભો પ્રમાણસર હોય,ત્યારે નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $D = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 6 \end{array} \right|$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ છે.
મૂળ નિશ્ચાયકમાં $C_2 \to C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \\ 1 & 9 & 6 \end{array} \right|$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ છે.
મૂળ નિશ્ચાયકમાં $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને $D = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \\ 10 & 3 & 6 \end{array} \right|$ મળે છે,જે વિકલ્પ $D$ છે.
વિકલ્પ $A$ એ $\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \end{array} \right| = 2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right| = 2D \neq D$ છે.
તેથી,નિશ્ચાયક એ વિકલ્પ $A$ બરાબર નથી.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right|$.
$R_1$ માંથી $(a + b + c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a + b + c) \end{array}} \right|$.
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (a + b + c) [1 \cdot (-(a + b + c)) \cdot (-(a + b + c)) - 0] = (a + b + c)^3$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\{a + 2b}&{a + 3b}&{a + 4b}\\{a + 4b}&{a + 5b}&{a + 6b}\end{array}} \right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ લાગુ કરતા:
$R_2 - R_1 = (a+2b)-(a+b) = b, (a+3b)-(a+2b) = b, (a+4b)-(a+3b) = b$.
$R_3 - R_2 = (a+4b)-(a+2b) = 2b, (a+5b)-(a+3b) = 2b, (a+6b)-(a+4b) = 2b$.
આમ,$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\b&b&b\\2b&2b&2b\end{array}} \right|$.
અહીં $R_2$ અને $R_3$ પ્રમાણસર હોવાથી (ખાસ કરીને,$R_3 = 2R_2$),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$a = 1$ અને $b = 1$ મૂકતા,નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\3&4&5\\5&6&7\end{array}} \right| = 2(28-30) - 3(21-25) + 4(18-20) = 2(-2) - 3(-4) + 4(-2) = -4 + 12 - 8 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{x + 2}&{x + 4}\\{x + 3}&{x + 5}&{x + 8}\\{x + 7}&{x + 10}&{x + 14}\end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{1}&{2}\\{x + 3}&{2}&{3}\\{x + 7}&{3}&{4}\end{array}} \right|$.
$C_3 \to C_3 - C_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{1}&{1}\\{x + 3}&{2}&{1}\\{x + 7}&{3}&{1}\end{array}} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_2$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{1}&{1}\\{2}&{1}&{0}\\{4}&{1}&{0}\end{array}} \right|$.
$C_3$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1 \times (2 - 4) = -2$.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $-2$ છે.

(C) ધારો કે નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
સ્તંભોમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b(b - a)&(b - c)&c(b - a)\\a(b - a)&(a - b)&b(a - b)\\c(b - a)&(c - a)&a(b - a)\end{array}} \right|$
$C_1$ માંથી $(b-a)$ અને $C_3$ માંથી $(a-b)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (b-a)(a-b) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&(b - c)&-c\\a&(a - b)&-b\\c&(c - a)&-a\end{array}} \right|$
કારણ કે $(b-a)(a-b) = -(a-b)^2$:
$\Delta = -(a-b)^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&(b - c)&-c\\a&(a - b)&-b\\c&(c - a)&-a\end{array}} \right|$
$C_2 \to C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = -(a-b)^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&b&-c\\a&a&-b\\c&c&-a\end{array}} \right|$
અહીં $C_1$ અને $C_2$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1/a & a^2 & bc \\ 1/b & b^2 & ca \\ 1/c & c^2 & ab \end{array}} \right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેને $abc$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} 1 & a^3 & abc \\ 1 & b^3 & abc \\ 1 & c^3 & abc \end{array}} \right|$
હવે,ત્રીજા સ્તંભમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} 1 & a^3 & 1 \\ 1 & b^3 & 1 \\ 1 & c^3 & 1 \end{array}} \right|$
અહીં પ્રથમ સ્તંભ અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + {c^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા ${R_1} \to {R_1} - ({R_2} + {R_3})$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{-2{c^2}}&{-2{c^2}}&{0}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
નિશ્ચાયકનું સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$\Delta = 4{a^2}{b^2}{c^2}$.
ટ્રિક: જો $a=1, b=2, c=3$ લઈએ તો:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13}&1&1\\4&10&4\\9&9&5\end{array}} \right| = 144$.
વિકલ્પો તપાસતા: $4{a^2}{b^2}{c^2} = 4(1)^2(2)^2(3)^2 = 144$. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + z & x & y \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2(x + y + z) & x + y + z & x + y + z \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right|$
$= (x + y + z) \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$= (x + y + z) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ x - z & z - x & x \\ x - y & y - z & z \end{array} \right|$
$= (x + y + z) [1((z - x)z - x(y - z)) + 1((x - z)(y - z) - (x - y)(z - x))]$.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\Delta = (x + y + z)(x - z)^2$ મળે છે.
આને $k(x + y + z)(x - z)^2$ સાથે સરખાવતા,$k = 1$ મળે છે.

(A) આપણને નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \\ b & b^2 & b^3 + 1 \\ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} \right|$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ નિશ્ચાયક સાથે મેળ ખાવા માટે સ્તંભોની અદલાબદલી કરો: $C_3 \leftrightarrow C_2$ અને પછી $C_2 \leftrightarrow C_1$. આનાથી બે વાર ચિહ્ન બદલાશે,તેથી ચિહ્ન ધન જ રહેશે:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = (1 + abc) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય $(a - b)(b - c)(c - a)$ છે.
આમ,$\Delta = (1 + abc)(a - b)(b - c)(c - a) = 0$.
કારણ કે $a, b, c$ અસમાન છે,તેથી $(a - b)(b - c)(c - a) \neq 0$.
તેથી,શરત $1 + abc = 0$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 + C_2$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a + b + c \\ 1 & b & a + b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{array} \right|$.
$C_3$ માંથી $(a + b + c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array} \right|$.
અહીં સ્તંભ $C_1$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી $(C_1 = C_3)$,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = (a + b + c) \times 0 = 0$.

(D) નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2c^2 & bc & b+c \\ c^2a^2 & ca & c+a \\ a^2b^2 & ab & a+b \end{array} \right|$ ની કિંમત શોધવા માટે,$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણીએ અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગીએ:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} ab^2c^2 & abc & a(b+c) \\ a^2bc^2 & abc & b(c+a) \\ a^2b^2c & abc & c(a+b) \end{array} \right|$
$C_1$ માંથી $abc$ અને $C_2$ માંથી $abc$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc \cdot abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & ab+ac \\ ac & 1 & bc+ab \\ ab & 1 & ac+bc \end{array} \right| = abc \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & ab+ac \\ ac & 1 & bc+ab \\ ab & 1 & ac+bc \end{array} \right|$
હવે $C_3 \to C_3 + C_1$ પ્રક્રિયા કરતા,$C_3$ ના દરેક ઘટકમાં $ab+bc+ca$ મળે છે:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & ab+bc+ca \\ ac & 1 & ab+bc+ca \\ ab & 1 & ab+bc+ca \end{array} \right|$
$C_3$ માંથી $(ab+bc+ca)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc(ab+bc+ca) \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & 1 \\ ac & 1 & 1 \\ ab & 1 & 1 \end{array} \right|$
અહીં $C_2$ અને $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b+c & c+a & a+b \\ b+c-a & c+a-b & a+b-c \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \to C_1 - C_2$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1-1 & 1-1 & 1 \\ (b+c)-(c+a) & (c+a)-(a+b) & a+b \\ (b+c-a)-(c+a-b) & (c+a-b)-(a+b-c) & a+b-c \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ b-a & c-b & a+b \\ 2b-2a & 2c-2b & a+b-c \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ b-a & c-b & a+b \\ 2(b-a) & 2(c-b) & a+b-c \end{array} \right|$
અહીં પ્રથમ બે સ્તંભો પ્રમાણસર હોવાથી (ત્રીજી હાર એ પ્રથમ બે સ્તંભોમાં બીજી હાર કરતા $2$ ગણી છે),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો નિશ્ચાયકની કોઈ એક હાર (અથવા સ્તંભ) ના દરેક ઘટકને અચળ $k$ વડે ગુણવામાં આવે,તો તેનું મૂલ્ય $k$ વડે ગુણાય છે.
આપેલ $3 \times 3$ નિશ્ચાયકમાં $3$ હાર હોવાથી,આપણે દરેક હારમાંથી $k$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ.
$\begin{vmatrix} ka & kb & kc \\ kx & ky & kz \\ kp & kq & kr \end{vmatrix} = k \cdot k \cdot k \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = k^3 \Delta$.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1}&a&{bc}\\{b - 1}&b&{ca}\\{c - 1}&c&{ab}\end{array}} \right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયકને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a&{bc}\\b&b&{ca}\\c&c&{ab}\end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{bc}\\1&b&{ca}\\1&c&{ab}\end{array}} \right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયક $0$ છે કારણ કે પ્રથમ બે સ્તંભ સમાન છે.
તેથી,$\Delta = 0 - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{bc}\\1&b&{ca}\\1&c&{ab}\end{array}} \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{bc}\\1&b&{ca}\\1&c&{ab}\end{array}} \right|$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણીને $abc$ વડે ભાગતા:
$\Delta = - \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&{abc}\\b&{b^2}&{abc}\\c&{c^2}&{abc}\end{array}} \right| = - \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\b&{b^2}&1\\c&{c^2}&1\end{array}} \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\b&{b^2}&1\\c&{c^2}&1\end{array}} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\b-a&{b^2-a^2}&0\\c-a&{c^2-a^2}&0\end{array}} \right| = - (b-a)(c-a) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\1&{b+a}&0\\1&{c+a}&0\end{array}} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = - (b-a)(c-a) [1 \cdot ((c+a) - (b+a))] = - (b-a)(c-a)(c-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$.
આ પરિણામ વિકલ્પો $A, B, C$ માં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & m a_1 & b_1 \\ a_2 & m a_2 & b_2 \\ a_3 & m a_3 & b_3 \end{array} \right|$ છે.
બીજા સ્તંભ $(C_2)$ માંથી સામાન્ય અવયવ $m$ બહાર લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = m \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & a_3 & b_3 \end{array} \right|$.
અહીં પ્રથમ સ્તંભ $(C_1)$ અને બીજો સ્તંભ $(C_2)$ સમાન હોવાથી $(C_1 = C_2)$,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = m \times 0 = 0$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 4 \\ -5 & 6 & -10 \\ 1 & 7 & 2 \end{array} \right|$.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્રીજો સ્તંભ $C_3$ એ પ્રથમ સ્તંભ $C_1$ ના $2$ ગણા છે,એટલે કે $C_3 = 2 \times C_1$.
ત્રીજા સ્તંભ $C_3$ માંથી $2$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = 2 \times \left| \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 2 \\ -5 & 6 & -5 \\ 1 & 7 & 1 \end{array} \right|$.
જેহেতু બે સ્તંભો ($C_1$ અને $C_3$) સમાન છે,તેથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = 2 \times 0 = 0$.

(B) નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \\ ab & b^2 + x & bc \\ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે $R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણીએ છીએ અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\Delta = \frac{1}{abc} \begin{vmatrix} a(a^2 + x) & a^2b & a^2c \\ ab^2 & b(b^2 + x) & b^2c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^2 + x) \end{vmatrix}$
અનુક્રમે $C_1, C_2, C_3$ માંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \begin{vmatrix} a^2 + x & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a^2 + x & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + b^2 + c^2 + x & a^2 + b^2 + c^2 + x & a^2 + b^2 + c^2 + x \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$
$R_1$ માંથી $(a^2 + b^2 + c^2 + x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a^2 + b^2 + c^2 + x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા લાગુ કરતા:
$\Delta = (a^2 + b^2 + c^2 + x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b^2 & x & 0 \\ c^2 & 0 & x \end{vmatrix} = (a^2 + b^2 + c^2 + x)(x^2)$
આમ,$\Delta$ એ $x^2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે નિશ્ચાયક $D'$ ને નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
$D' = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} pb_1 & qc_1 & ra_1 \\ pb_2 & qc_2 & ra_2 \\ pb_3 & qc_3 & ra_3 \end{vmatrix}$
$D' = D + pqr \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix}$
સ્તંભોની અદલાબદલી કરતા,$\begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_1 & c_1 & b_1 \\ a_2 & c_2 & b_2 \\ a_3 & c_3 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = D$.
આમ,$D' = D + pqrD = D(1 + pqr)$.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a + b & b + c & c + a \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ લેતા,આપણને મળે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right| = 2(a+b+c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લેતા:
$\Delta = 2(a+b+c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ b + c & a - b & a - c \\ c + a & b - c & b - a \end{array}} \right| = 2(a+b+c) [-(a-b)^2 - (a-c)(b-c)] = -2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
આનું સાદું રૂપ $-2(a^3+b^3+c^3-3abc)$ થાય છે.
હવે,નિશ્ચાયક $D = \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right| = a(bc-a^2) - b(b^2-ac) + c(ab-c^2) = -(a^3+b^3+c^3-3abc)$.
$\Delta = K \cdot D$ ને સરખાવતા,આપણને $-2(a^3+b^3+c^3-3abc) = K \cdot -(a^3+b^3+c^3-3abc)$ મળે છે,તેથી $K = 2$.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{{(a + 1)}^2}}&{{{(b + 1)}^2}}&{{{(c + 1)}^2}}\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right|$.
પ્રક્રિયા $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
કારણ કે $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$,નિશ્ચાયક આ મુજબ બનશે:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\4a&4b&4c\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right| = 4 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\a&b&c\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right|$.
હવે,$R_3 \to R_3 - R_1 + 2R_2$ લાગુ કરતા:
નોંધો કે $(x-1)^2 - x^2 + 2x = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x = 1$.
આમ,ત્રીજી હાર $1, 1, 1$ બને છે.
તેથી,$\Delta = 4 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\a&b&c\\1&1&1\end{array}} \right|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14 \\ 13 & 14 & 15 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 11 & 12-11 & 13-12 \\ 12 & 13-12 & 14-13 \\ 13 & 14-13 & 15-14 \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 11 & 1 & 1 \\ 12 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
અહીં બે સ્તંભો ($C_2$ અને $C_3$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x & 4 & y + z \\ y & 4 & z + x \\ z & 4 & x + y \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_3$ લાગુ કરો:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x + y + z & 4 & y + z \\ y + z + x & 4 & z + x \\ z + x + y & 4 & x + y \end{array} \right|$.
$C_1$ માંથી $(x + y + z)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (x + y + z) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 & y + z \\ 1 & 4 & z + x \\ 1 & 4 & x + y \end{array} \right|$.
અહીં $C_1$ અને $C_2$ પ્રમાણમાં છે (અથવા $C_1$ એ $(1, 1, 1)^T$ સદિશનો ગુણક છે અને $C_2$ એ તે જ સદિશનો $4$ ગણો છે),તેથી બે સ્તંભો રેખીય રીતે આધારિત છે.
આમ,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & \cos^2 x & 1 \\ \cos^2 x & \sin^2 x & 1 \\ -10 & 12 & 2 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x + \cos^2 x & \cos^2 x & 1 \\ \cos^2 x + \sin^2 x & \sin^2 x & 1 \\ -10 + 12 & 12 & 2 \end{array} \right|$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos^2 x & 1 \\ 1 & \sin^2 x & 1 \\ 2 & 12 & 2 \end{array} \right|$
આ નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $C_1$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન છે (બંને $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ છે).
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો મુજબ,જો કોઈપણ બે સ્તંભ સમાન હોય,તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta = 0$.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {a^2 - bc} & {b^2 - ac} & {c^2 - ab} \end{array}} \right|$ છે.
આપણે નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ac & ab \end{array}} \right|$.
બીજા નિશ્ચાયક માટે,$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણીને $abc$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ abc & abc & abc \end{array}} \right|$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં $R_3$ માંથી $abc$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}} \right|$.
હારની અદલાબદલી કરીને પ્રથમ નિશ્ચાયક સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બંને નિશ્ચાયક સમાન છે.
આમ,$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| = 0$.
તેથી,$2 \times \Delta = 2 \times 0 = 0$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1+ac & 1+bc \\ 1 & 1+ad & 1+bd \\ 1 & 1+ae & 1+be \end{array}} \right|$ છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & ac & bc \\ 1 & ad & bd \\ 1 & ae & be \end{array}} \right|$.
હવે,$C_2$ માંથી $a$ અને $C_3$ માંથી $b$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = ab \left| {\begin{array}{ccc} 1 & c & c \\ 1 & d & d \\ 1 & e & e \end{array}} \right|$.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 13 & 16 & 19 \\ 14 & 17 & 20 \\ 15 & 18 & 21 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$C_2 \to C_2 - C_1 = \begin{bmatrix} 16-13 \\ 17-14 \\ 18-15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}$.
$C_3 \to C_3 - C_2 = \begin{bmatrix} 19-16 \\ 20-17 \\ 21-18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}$.
હવે નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 13 & 3 & 3 \\ 14 & 3 & 3 \\ 15 & 3 & 3 \end{array} \right|$ બને છે.
અહીં સ્તંભ $C_2$ અને સ્તંભ $C_3$ સમાન હોવાથી $(C_2 = C_3)$,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $\Delta_1 = \begin{vmatrix} x & 2y & z \\ 2p & 4q & 2r \\ a & 2b & c \end{vmatrix}$ છે.
આપણે બીજા સ્તંભ $(C_2)$ માંથી $2$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$\Delta_1 = 2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2p & 2q & 2r \\ a & b & c \end{vmatrix}$.
ત્યારબાદ,આપણે બીજી હાર $(R_2)$ માંથી $2$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$\Delta_1 = 2 \times 2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{vmatrix}$.
આમ,$\Delta_1 = 4\Delta$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{ab}&{ca}\\{ab}&{{b^2} + {x^2}}&{bc}\\{ca}&{bc}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right|$.
$C_1, C_2, C_3$ ને અનુક્રમે $a, b, c$ વડે ગુણીને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગતા:
$\Delta = \frac{1}{{abc}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a({a^2} + {x^2})}&{ab^2}&{ac^2}\\{a^2b}&{b({b^2} + {x^2})}&{bc^2}\\{a^2c}&{b^2c}&{c({c^2} + {x^2})}\end{array}} \right|$.
$R_1, R_2, R_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{abc}{abc}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{b^2}&{c^2}\\{a^2}&{{b^2} + {x^2}}&{c^2}\\{a^2}&{b^2}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{b^2}&{c^2}\\{a^2}&{{b^2} + {x^2}}&{c^2}\\{a^2}&{b^2}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા લાગુ પાડતા:
$\Delta = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {x^2})\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{b^2}&{c^2}\\1&{{b^2} + {x^2}}&{c^2}\\1&{b^2}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right|$.
$R_1$ ને $R_2$ અને $R_3$ માંથી બાદ કરતા:
$\Delta = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {x^2})\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{b^2}&{c^2}\\0&{x^2}&{0}\\0&{0}&{x^2}\end{array}} \right| = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {x^2}) \cdot x^4$.
આમ,નિશ્ચાયક ${x^4}$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos nx}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin nx}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}} \right|$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1[\cos(n+1)x \sin(n+2)x - \sin(n+1)x \cos(n+2)x] - 1[\cos nx \sin(n+2)x - \sin nx \cos(n+2)x] + 1[\cos nx \sin(n+1)x - \sin nx \cos(n+1)x]$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta = \sin((n+2)x - (n+1)x) - \sin((n+2)x - nx) + \sin((n+1)x - nx)$.
$\Delta = \sin(x) - \sin(2x) + \sin(x) = 2\sin x - \sin 2x$.
અહીં પરિણામ $2\sin x - \sin 2x$ માં $n$ આવતો નથી,તેથી નિશ્ચાયક $n$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) આપેલ છે કે $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{array} \right| = k$.
આપણે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 6a & 2b & 2c \\ 3m & n & p \\ 3x & y & z \end{array} \right|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
હાર અને સ્તંભમાંથી સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢતા:
પ્રથમ હારમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $\Delta = 2 \left| \begin{array}{ccc} 3a & b & c \\ 3m & n & p \\ 3x & y & z \end{array} \right|$.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $3$ સામાન્ય લેતા: $\Delta = 2 \times 3 \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{array} \right|$.
આપેલ કિંમત $k$ મૂકતા: $\Delta = 6 \times k = 6k$.

(B) નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ ના અવયવો શોધવા માટે,આપણે સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આ પ્રક્રિયા કરતા,પ્રથમ સ્તંભ નીચે મુજબ બને છે:
$C_1 \to \begin{bmatrix} (a + x) + b + c \\ b + (x + c) + a \\ c + a + (x + b) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + a + b + c \\ x + a + b + c \\ x + a + b + c \end{bmatrix}$.
હવે,આપણે પ્રથમ સ્તંભમાંથી $(x + a + b + c)$ સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$\Delta = (x + a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & x + c & a \\ 1 & a & x + b \end{vmatrix}$.
આમ,$(x + a + b + c)$ એ નિશ્ચાયકનો અવયવ છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{{(c + a)}^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{{(a + b)}^2}}\end{array}} \right|$ છે.
$C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{{a^2} - {{(b + c)}^2}}&{{a^2} - {{(b + c)}^2}}\\{{b^2}}&{{{(c + a)}^2} - {b^2}}&0\\{{c^2}}&0&{{{(a + b)}^2} - {c^2}}\end{array}} \right|$
$= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{(a - b - c)(a + b + c)}&{(a - b - c)(a + b + c)}\\{{b^2}}&{(c + a - b)(c + a + b)}&0\\{{c^2}}&0&{(a + b - c)(a + b + c)}\end{array}} \right|$
$C_2$ અને $C_3$ માંથી $(a + b + c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = {(a + b + c)^2} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{a - b - c}&{a - b - c}\\{{b^2}}&{c + a - b}&0\\{{c^2}}&0&{a + b - c}\end{array}} \right|$
$R_1 \to R_1 - R_2 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = {(a + b + c)^2} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2bc}&{ - 2c}&{ - 2b}\\{{b^2}}&{c + a - b}&0\\{{c^2}}&0&{a + b - c}\end{array}} \right|$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = {(a + b + c)^2} [2bc((c + a - b)(a + b - c)) + 2c(b^2(a + b - c)) - 2b(b^2(c + a - b)) ]$
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $\Delta = 2abc{(a + b + c)^3}$ મળે છે.
$k\,abc{(a + b + c)^3}$ સાથે સરખાવતા,$k = 2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 41 & 42 & 43 \\ 44 & 45 & 46 \\ 47 & 48 & 49 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_2 \to C_2 - C_1$ અને $C_3 \to C_3 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$C_2 - C_1 = \begin{bmatrix} 42-41 \\ 45-44 \\ 48-47 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
$C_3 - C_2 = \begin{bmatrix} 43-42 \\ 46-45 \\ 49-48 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
તેથી,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 41 & 1 & 1 \\ 44 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
અહીં બે સ્તંભો ($C_2$ અને $C_3$) સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1/a & 1 & bc \\ 1/b & 1 & ca \\ 1/c & 1 & ab \end{array} \right|$.
$R_1$ ને $a$ વડે,$R_2$ ને $b$ વડે અને $R_3$ ને $c$ વડે ગુણો અને નિશ્ચાયકને $abc$ વડે ભાગો:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & abc \\ 1 & b & abc \\ 1 & c & abc \end{array} \right|$.
ત્રીજા સ્તંભમાંથી $abc$ સામાન્ય લો:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array} \right|$.
પ્રથમ અને ત્રીજો સ્તંભ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta$ છે.
નિત્યસમ $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \to C_1 - C_2$ લાગુ કરીએ છીએ:
$(a^x + a^{-x})^2 - (a^x - a^{-x})^2 = 4(a^x)(a^{-x}) = 4(a^0) = 4$.
તે જ રીતે,બીજી અને ત્રીજી હાર માટે,આપણને $4$ અને $4$ મળે છે.
આમ,નિશ્ચાયક આ મુજબ બને છે:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^x - b^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (c^x - c^{-x})^2 & 1 \end{array} \right|$.
સ્તંભ $C_1$ અને સ્તંભ $C_3$ પ્રમાણસર હોવાથી (ચોક્કસ રીતે,$C_1 = 4C_3$),નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ છે.

(B) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 441 & 442 & 443 \\ 445 & 446 & 447 \\ 449 & 450 & 451 \end{array} \right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \to C_1 - C_2$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ લાગુ કરતા:
$C_1 - C_2 = \begin{bmatrix} 441-442 \\ 445-446 \\ 449-450 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$.
$C_2 - C_3 = \begin{bmatrix} 442-443 \\ 446-447 \\ 450-451 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$.
આમ,નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -1 & 443 \\ -1 & -1 & 447 \\ -1 & -1 & 451 \end{array} \right|$ બને છે.
અહીં સ્તંભ $C_1$ અને $C_2$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$.
નિશ્ચાયકને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા: $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & -1 \\ b & b^3 & -1 \\ c & c^3 & -1 \end{array} \right| = 0$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા: $abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3 \end{array} \right| - \left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & 1 \\ b & b^3 & 1 \\ c & c^3 & 1 \end{array} \right| = 0$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લાગુ પાડતા,આપણે $(a-b)(b-c)(c-a)$ સામાન્ય અવયવ તરીકે મેળવીએ છીએ.
સરળીકરણ પછી,પદાવલિ $(abc)(ab + bc + ca) = a + b + c$ માં પરિણમે છે.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ: $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }\\{{{\cos }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }\\{4\sin 4\theta }&{4\sin 4\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ $C_1 \to C_1 - C_3$ અને $C_2 \to C_2 - C_3$ લાગુ પાડતા:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&{{{\sin }^2}\theta }\\{ - 1}&1&{{{\cos }^2}\theta }\\{ - 1}&{ - 1}&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 + 4\sin 4\theta + \cos^2 \theta) + \sin^2 \theta(1 + 1) = 0$
$1 + 4\sin 4\theta + \cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = 0$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$1 + 4\sin 4\theta + 1 + \sin^2 \theta = 0$ (અહીં ગણતરી મુજબ $2 + 4\sin 4\theta = 0$ મળે છે).
$4\sin 4\theta = -2$
$\sin 4\theta = -1/2$.

(C) ધારો કે $r$ એ $G$.$P$. નો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. તેથી ${a_n} = {a_1}{r^{n-1}}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\log {a_n} = \log {a_1} + (n-1)\log r$.
ધારો કે $A = \log {a_1}$ અને $R = \log r$. તેથી $\log {a_n} = A + (n-1)R$.
હવે,નિશ્ચાયકના પદો $\log {a_{n+k}} = A + (n+k-1)R$ સ્વરૂપમાં છે.
સ્તંભ પ્રક્રિયાઓ ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ અને ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ લાગુ પાડતા:
${C_2} - {C_1}$ ના ઘટકો: $(n+2-1)R - (n-1)R = 2R$,$(n+8-1)R - (n+6-1)R = 2R$,અને $(n+14-1)R - (n+12-1)R = 2R$ મળે છે.
${C_3} - {C_2}$ ના ઘટકો: $(n+4-1)R - (n+2-1)R = 2R$,$(n+10-1)R - (n+8-1)R = 2R$,અને $(n+16-1)R - (n+14-1)R = 2R$ મળે છે.
જેથી સ્તંભ ${C_2}$ અને ${C_3}$ સમાન બને છે (બંનેમાં $2R$ છે),તેથી નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયક પર સરવાળો $\sum\limits_{r = 1}^n$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = \left| \begin{array}{ccc} \sum\limits_{r = 1}^n {2^{r - 1}} & \sum\limits_{r = 1}^n {2 \cdot 3^{r - 1}} & \sum\limits_{r = 1}^n {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $\sum\limits_{k=0}^{n-1} ar^k = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum\limits_{r = 1}^n {2^{r - 1}} = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.
$2\sum\limits_{r = 1}^n {3^{r - 1}} = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} = 3^n - 1$.
$4\sum\limits_{r = 1}^n {5^{r - 1}} = 4 \cdot \frac{5^n - 1}{5 - 1} = 5^n - 1$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = \left| \begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \\ x & y & z \\ 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \end{array} \right|$.
અહીં હાર $1$ $(R_1)$ અને હાર $3$ $(R_3)$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $n$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે અને $A = kB$,જ્યાં $k$ એ અદિશ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,જો આપણે $n$ કક્ષાના શ્રેણિકને અદિશ $k$ વડે ગુણીએ,તો મળતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક એ મૂળ શ્રેણિકના નિશ્ચાયક કરતા $k^n$ ગણો થાય છે.
તેથી,$|A| = |kB| = k^n|B|$.

(A) $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ $det(kA) = k^n det(A)$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $A$ એ $n = 3$ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક છે,તેથી $det(-A) = det((-1)A)$ થાય.
$k = -1$ અને $n = 3$ માટે $det(kA) = k^n det(A)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$det(-A) = (-1)^3 det(A) = -1 \times det(A) = -det(A)$.
તેથી,વિધાન $det(-A) = -det(A)$ સત્ય છે.

(A) અહીં આપણને બે ચોરસ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ આપેલા છે.
નિશ્ચાયકના મૂળભૂત ગુણધર્મો મુજબ,સમાન કક્ષાના બે ચોરસ શ્રેણિકોના ગુણાકારનો નિશ્ચાયક એ તેમના વ્યક્તિગત નિશ્ચાયકોના ગુણાકાર બરાબર હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $|AB| = |A| \times |B|$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો ગુણધર્મ $|AB| = |A||B|$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $|A| = 6$.
આપણને $B = 5A^2$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$n \times n$ શ્રેણિક $A$ અને અદિશ $k$ માટે,$|kA| = k^n |A|$.
અહીં,$n = 3$ છે,તેથી $|B| = |5A^2| = 5^3 |A^2|$.
કારણ કે $|A^2| = |A|^2$,તેથી $|B| = 125 \times |A|^2$.
$|A| = 6$ મૂકતા,આપણને $|B| = 125 \times (6)^2 = 125 \times 36$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા,$125 \times 36 = 4500$.
આમ,$B$ નો નિશ્ચાયક $4500$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta = \begin{vmatrix} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{vmatrix} = 0$.
$C_1, C_2, C_3$ માંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} \frac{1}{a} + 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} + 1 & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} + 1 \end{vmatrix}$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & \frac{1}{b} + 1 & \frac{1}{c} \\ 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} + 1 \end{vmatrix}$.
$C_1$ માંથી $(1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = abc (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ 1 & \frac{1}{b} + 1 & \frac{1}{c} \\ 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} + 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\Delta = abc (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_1$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા,$\Delta = abc (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \times 1 = 0$.
કારણ કે $a, b, c \neq 0$,તેથી $abc \neq 0$. તેથી,$1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = -1$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} p & b & c \\ p + a & q + b & 2c \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$ છે.
$R_2 \to R_2 - R_1$ પ્રક્રિયા કરતા,આપણને મળે છે:
$\begin{vmatrix} p & b & c \\ a & q & c \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$.
હવે,$R_2 \to R_2 - R_3$ અને $R_1 \to R_1 - R_3$ પ્રક્રિયા કરતા:
$\begin{vmatrix} p - a & 0 & c - r \\ 0 & q - b & c - r \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(p - a)[(q - b)r - b(c - r)] + (c - r)[0 - a(q - b)] = 0$.
$(p - a)(q - b)r - (p - a)b(c - r) - a(q - b)(c - r) = 0$.
$(p - a)(q - b)(r - c)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $p \ne a, q \ne b, r \ne c$):
$\frac{r}{r - c} + \frac{b}{q - b} + \frac{a}{p - a} = 0$.
$\frac{x}{x - y} = 1 + \frac{y}{x - y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{p}{p - a} = 1 + \frac{a}{p - a}$.
આમ,$\frac{p}{p - a} + \frac{q}{q - b} + \frac{r}{r - c} = (1 + \frac{a}{p - a}) + (1 + \frac{b}{q - b}) + (1 + \frac{c}{r - c}) = 3 + (\frac{a}{p - a} + \frac{b}{q - b} + \frac{c}{r - c})$.
વિસ્તરણ પરથી,આપણને $\frac{a}{p - a} + \frac{b}{q - b} + \frac{c}{r - c} = -1$ મળ્યું.
તેથી,$3 - 1 = 2$.

(A) $n$ કક્ષાના કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $A$ માટે,નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જણાવે છે કે $|kA| = k^n |A|$.
અહીં આપેલ છે કે શ્રેણિક $A$ ની કક્ષા $n = 3$ છે અને અદિશ અચળાંક $k = -2$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|-2A| = (-2)^3 |A|$
$|-2A| = -8 |A|$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.