Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Gujarati

(B) બર્નુલીનું સમીકરણ એ વહેતા પ્રવાહી માટે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ છે,જે કોઈ બિંદુએ દબાણ,વેગ અને ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
આ સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{P}{\rho g} + h + \frac{v^2}{2g} = \text{અચળ}$
આ સમીકરણમાં:
$1$. $\frac{P}{\rho g}$ ને પ્રેશર હેડ (દબાણ શીર્ષ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$2$. $h$ એ પોટેન્શિયલ હેડ (સ્થિતિમાન શીર્ષ) છે.
$3$. $\frac{v^2}{2g}$ એ વેલોસિટી હેડ (વેગ શીર્ષ) છે.
તેથી,પ્રેશર હેડ $\frac{P}{\rho g}$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ:
$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2)$
મેનોમીટરની ઊંચાઈ $h = 5\, cm$ દ્વારા દબાણનો તફાવત માપવામાં આવે છે,તેથી $P_A - P_B = \rho gh$.
આમ,$\frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2) = \rho gh \implies v_B^2 - v_A^2 = 2gh$.
અહીં $g = 10\, m/s^2 = 1000\, cm/s^2$ અને $h = 5\, cm$ આપેલ છે,તેથી $v_B^2 - v_A^2 = 2 \times 1000 \times 5 = 10000\, cm^2/s^2$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_A v_A = A_B v_B$.
$A_A = 6\, mm^2$ અને $A_B = 10\, mm^2$ આપેલ છે,તેથી $6 v_A = 10 v_B \implies v_B = 0.6 v_A$.
બર્નુલીના સમીકરણમાં $v_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_A^2 - v_B^2 = 2gh$ (અહીં $A$ પાસે વેગ વધારે છે)
$v_A^2 - (0.6 v_A)^2 = 10000$
$v_A^2 (1 - 0.36) = 10000$
$0.64 v_A^2 = 10000 \implies v_A^2 = 15625$
$v_A = 125\, cm/s$.
પ્રવાહનો દર $Q = A_A v_A = 0.06\, cm^2 \times 125\, cm/s = 7.5\, cc/s$.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આડા પ્રવાહ માટે,દબાણનો તફાવત $\Delta P$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = \frac{1}{2} \rho (v_{upper}^2 - v_{lower}^2)$
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1.2 \, kg \, m^{-3}$
પાંખની ઉપરનો વેગ $v_{upper} = 150 \, m \, s^{-1}$
પાંખની નીચેનો વેગ $v_{lower} = 100 \, m \, s^{-1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (150^2 - 100^2)$
$\Delta P = 0.6 \times (22500 - 10000)$
$\Delta P = 0.6 \times 12500$
$\Delta P = 7500 \, N \, m^{-2}$

(A) આડા પ્રવાહ માટે $Bernoulli$ ના પ્રમેય મુજબ:
${P_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
${P_1} - {P_2} = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2) \, ... (i)$
આપેલ છે: ${P_1} - {P_2} = 3 \times 10^5 \, N \, m^{-2}$,$\rho = 1000 \, kg \, m^{-3}$,અને $\frac{A}{A'} = 5$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A v_1 = A' v_2$,તેથી $\frac{v_2}{v_1} = \frac{A}{A'} = 5$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 5v_1$.
$v_2 = 5v_1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3 \times 10^5 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((5v_1)^2 - v_1^2)$
$3 \times 10^5 = 500 \times (25v_1^2 - v_1^2)$
$3 \times 10^5 = 500 \times 24v_1^2$
$3000 = 120v_1^2$
$v_1^2 = \frac{3000}{120} = 25$
$v_1 = 5 \, m \, s^{-1}$.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A_1 = 10^{-4}\,m^2$ અને $v_1 = 1.0\,ms^{-1}$ છે.
તેથી,$A_2 v_2 = A_1 v_1 = 10^{-4} \times 1 = 10^{-4}\,m^3s^{-1} \dots (1)$.
અચળ દબાણ હેઠળ ધારારેખી પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$.
દબાણ અચળ હોવાથી,$\frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$ મળે.
આને ગોઠવતા $v_2^2 - v_1^2 = 2g(h_1 - h_2) = 2gh$ મળે,જ્યાં $h = 0.15\,m$ છે.
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{1^2 + 2 \times 10 \times 0.15} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$.
સમીકરણ $(1)$ માં $v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $A_2 \times 2 = 10^{-4}$.
તેથી,$A_2 = \frac{10^{-4}}{2} = 0.5 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-5}\,m^2$.

(B) સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,બે બિંદુઓ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત વેગમાં થતા ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે. બે ઊભી નળીઓમાં પાણીની સપાટી વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત $h = 5.1 \, mm = 0.51 \, cm$ છે.
સમીકરણ $V_Y^2 = V_X^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં $V_X = 2 \, cm/s$,$g = 1000 \, cm/s^2$,અને $h = 0.51 \, cm$ આપેલ છે.
$V_Y^2 = (2)^2 + 2 \times 1000 \times 0.51$
$V_Y^2 = 4 + 1020 = 1024$
$V_Y = \sqrt{1024} = 32 \, cm/s$.

(D) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,પાંખની નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = \frac{1}{2} \rho (v_{upper}^2 - v_{lower}^2)$
આપેલ છે:
હવાની ઘનતા $\rho = 1.3\, kg/m^3$
પાંખની નીચેની ઝડપ $v_{lower} = 90\, m/s$
પાંખની ઉપરની ઝડપ $v_{upper} = 120\, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^2 - 90^2)$
$\Delta P = 0.65 \times (14400 - 8100)$
$\Delta P = 0.65 \times 6300$
$\Delta P = 4095\, N/m^2$
આમ,દબાણનો તફાવત $4095\, N/m^2$ છે.

(A) બર્નુલીનું પ્રમેય જણાવે છે કે અદબનીય,અશ્યાન અને ધારારેખી વહન ધરાવતા તરલ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
વિમાનની પાંખનો આકાર એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે પાંખની ઉપરની તરફ હવાનો વેગ પાંખની નીચેની તરફના વેગ કરતા વધારે હોય.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,વધુ વેગ એટલે ઓછું દબાણ.
આ દબાણ તફાવતને કારણે ઉપરની તરફ એક બળ લાગે છે જેને ડાયનેમિક લિફ્ટ કહેવામાં આવે છે,જે વિમાનને ઉડવામાં મદદ કરે છે.

(B) આપેલ છે: $A_1 = 30\, cm^2 = 30 \times 10^{-4}\, m^2$,$A_2 = 15\, cm^2 = 15 \times 10^{-4}\, m^2$,$\Delta P = P_1 - P_2 = 600\, N/m^2$,$\rho = 1000\, kg/m^3$.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,તેથી $v_2 = (A_1/A_2) v_1 = (30/15) v_1 = 2 v_1$.
આડા પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \rho ((2v_1)^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \rho (3v_1^2)$.
$600 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 3 v_1^2 = 1500 v_1^2$.
$v_1^2 = 600 / 1500 = 6/15 = 0.4 = 4/10$.
$v_1 = \sqrt{4/10} = 2/\sqrt{10}\, m/s$.
પ્રવાહનો દર $Q = A_1 v_1 = (30 \times 10^{-4}) \times (2/\sqrt{10}) = 60 \times 10^{-4} / \sqrt{10} = \frac{6}{\sqrt{10}} \times 10^{-3}\, m^3/s$.

(A) સમક્ષિતિજ ઉડાનમાં રહેલા વિમાન માટે,લિફ્ટ ફોર્સ $F$ એ વિમાનના વજન $W = mg$ ને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,$F = mg = (3 \times 10^4 \, kg) \times (10 \, m/s^2) = 3 \times 10^5 \, N$.
પાંખોની ઉપરની અને નીચેની સપાટી વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P$ એ લિફ્ટ ફોર્સ અને પાંખના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\Delta P = \frac{F}{A} = \frac{3 \times 10^5 \, N}{120 \, m^2}$.
$\Delta P = \frac{300000}{120} \, Pa = 2500 \, Pa$.
કારણ કે $1 \, kPa = 1000 \, Pa$,તેથી $\Delta P = 2.5 \, kPa$ થાય.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદનો પ્રવાહ દર અચળ છે: $A_1v_1 = A_2v_2$. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
આડી નળી માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$
દબાણનો તફાવત મેનોમીટરમાં ઊંચાઈના તફાવત $h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $P_1 - P_2 = \rho gh$.
તેથી,$\rho gh = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v_2^2 - v_1^2 = 2gh$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
વિકલ્પ $(B)$ જણાવે છે કે $v_2 - v_1 = \sqrt{2gh}$,જે ગાણિતિક રીતે ખોટું છે કારણ કે $\sqrt{v_2^2 - v_1^2} \neq v_2 - v_1$.
વિકલ્પ $(D)$ ખોટું છે કારણ કે વાસ્તવિક પ્રવાહીના પ્રવાહમાં સ્નિગ્ધતાને કારણે ઉર્જાનો વ્યય થાય છે,અને આદર્શ પ્રવાહીમાં પણ,એકમ દળ દીઠ કુલ ઉર્જા (બર્નુલીનો અચળાંક) સંરક્ષિત રહે છે,પરંતુ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જા વચ્ચેનું વિતરણ બદલાય છે. જોકે,આ પ્રશ્નના સંદર્ભમાં,વિકલ્પ $(B)$ સૌથી સ્પષ્ટ રીતે ખોટું ગાણિતિક વિધાન છે.

(C) બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2}$
પાંખ આડી હોવાથી,$h_{1} = h_{2}$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{2} - P_{1}$ શોધવા માટે:
$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$
અહીં $\rho = 1.3\, kg/m^3$,$v_{1} = 120\, m/s$ (ઉપરની સપાટી),અને $v_{2} = 90\, m/s$ (નીચેની સપાટી) આપેલ છે:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^{2} - 90^{2})$
$\Delta P = 0.65 \times (14400 - 8100)$
$\Delta P = 0.65 \times 6300 = 4095\, N/m^2$.

(B) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત વહેતા પ્રવાહી માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી તારવવામાં આવ્યો છે.
તે જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને શાંત વહન ધરાવતા પ્રવાહી માટે,પ્રવાહ રેખા પરના દરેક બિંદુએ એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
તેથી,તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(A) બર્નુલીનો પ્રમેય જણાવે છે કે અદબનીય અને અશ્યાન તરલના ધારારેખી વહન માટે,તરલની ઝડપમાં વધારો થવાથી દબાણમાં ઘટાડો થાય છે અથવા તરલની સ્થિતિ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
સેન્ટ સ્પ્રેયરમાં,જ્યારે હવાને નોઝલ દ્વારા ઊંચા વેગથી બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ ત્યાં ઓછા દબાણનો વિસ્તાર સર્જાય છે.
પાત્ર અને નોઝલ વચ્ચેના આ દબાણના તફાવતને કારણે,પ્રવાહી અત્તર નળી દ્વારા ઉપરની તરફ ધકેલાય છે અને હવાના પ્રવાહ સાથે બહાર છંટાય છે.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,અદબનીય અને અશ્યાન પ્રવાહીના ધારારેખી વહન માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે $(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant})$.
માનવ રુધિરાભિસરણ તંત્રમાં,વૃદ્ધાવસ્થાને કારણે અથવા પ્લેક જમા થવાને લીધે જ્યારે ધમનીઓ સાંકડી થાય છે,ત્યારે લોહીના પ્રવાહનો વેગ $(v)$ બદલાય છે. જોકે લોહીની શ્યાનતાને કારણે આ સંબંધ જટિલ છે,પરંતુ બર્નુલીનો સિદ્ધાંત સમજાવે છે કે વાહિનીના આડછેદના ક્ષેત્રફળમાં ઘટાડો થવાથી દબાણમાં ફેરફાર થાય છે. ખાસ કરીને,ધમનીઓ સાંકડી થવાથી પ્રવાહ સામે અવરોધ વધે છે અને વાહિનીની અંદરનું દબાણ પ્રવાહી મિકેનિક્સના સિદ્ધાંતો દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જે મુખ્યત્વે બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.

(B) વિમાનની પાંખની લિફ્ટ બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
વિમાનની પાંખને એરફોઇલ નામના ખાસ આકાર સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે.
આ આકારને કારણે,પાંખની ઉપરની હવાના વેગ પાંખની નીચેની હવાના વેગ કરતા વધારે હોય છે.
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં પ્રવાહીનો વેગ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે.
તેથી,પાંખની નીચેનું દબાણ પાંખની ઉપરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે,જે લિફ્ટ તરીકે ઓળખાતું ઉપર તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે.

(D) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,આદર્શ પ્રવાહીના ધારારેખી પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
સમીકરણ $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ છે.
જો આપણે સમક્ષિતિજ પ્રવાહ $(h = \text{constant})$ ધ્યાનમાં લઈએ,તો $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે જો દબાણ $P$ વધે,તો સરવાળો અચળ રાખવા માટે વેગ $v$ ઘટવો જોઈએ,અને તેનાથી ઉલટું. આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે એકમ દળ દીઠ કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે. બર્નુલીનું પ્રમેય જણાવે છે કે આદર્શ પ્રવાહી માટે એકમ કદ (અથવા દળ) દીઠ કુલ ઉર્જા અચળ હોય છે. તેથી,કારણ પણ સાચું છે અને તે વિધાન માટે ભૌતિક આધાર પૂરો પાડે છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ,જ્યારે પાણી સાંકડી પાઇપ (નાનું ક્ષેત્રફળ $A_1$) માંથી પહોળી પાઇપ (મોટું ક્ષેત્રફળ $A_2$) માં વહે છે,ત્યારે વેગ $v$ ઘટે છે કારણ કે $v \propto 1/A$.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{અચળ}$.
સમક્ષિતિજ પાઇપ માટે $(h = \text{અચળ})$,જેમ વેગ $v$ ઘટે છે,તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ વધવું જોઈએ.
તેથી,જ્યારે પાણી સાંકડી પાઇપમાંથી પહોળી પાઇપમાં વહે છે ત્યારે દબાણ વધે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) પાણીના વહનનો દર અચળ છે,તેથી $A_{A} V_{A} = A_{B} V_{B}$.
આપેલ છે કે $A_{A} = 40 \; cm^{2}$ અને $A_{B} = 20 \; cm^{2}$,તેથી $40 V_{A} = 20 V_{B}$,જેનો અર્થ છે કે $V_{B} = 2 V_{A}$.
આડી નળી માટે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P_{A} + \frac{1}{2} \rho V_{A}^{2} = P_{B} + \frac{1}{2} \rho V_{B}^{2}$.
ગોઠવતા $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \rho (V_{B}^{2} - V_{A}^{2})$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($P_{A} - P_{B} = 700 \; Pa$,$\rho = 1000 \; kg/m^{3}$):
$700 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((2 V_{A})^{2} - V_{A}^{2})$
$700 = 500 \times (4 V_{A}^{2} - V_{A}^{2})$
$700 = 500 \times 3 V_{A}^{2}$
$V_{A}^{2} = \frac{700}{1500} = \frac{7}{15} \; m^{2}/s^{2}$
$V_{A} = \sqrt{\frac{7}{15}} \approx 0.683 \; m/s = 68.3 \; cm/s$.
વહનનો દર $Q = A_{A} V_{A} = 40 \; cm^{2} \times 68.3 \; cm/s \approx 2732 \; cm^{3}/s$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $2720 \; cm^{3}/s$ છે.

(C) સમક્ષિતિજ વેન્ચ્યુરી મીટર માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_1^2 \left[ \left( \frac{A}{a} \right)^2 - 1 \right]$.
આપેલ છે: દબાણનો તફાવત $\Delta P = 24 \; Pa$,રુધિરની ઘનતા $\rho = 1.06 \times 10^3 \; kg/m^3$,$A = 8 \; mm^2$,$a = 4 \; mm^2$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A}{a} = \frac{8}{4} = 2$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$24 = \frac{1}{2} \times 1060 \times v_1^2 \times (2^2 - 1)$
$24 = 530 \times v_1^2 \times 3$
$24 = 1590 \times v_1^2$
$v_1^2 = \frac{24}{1590} \approx 0.01509$
$v_1 = \sqrt{0.01509} \approx 0.123 \; m/s$.

(N/A) બોઇંગ એરક્રાફ્ટનું વજન દબાણના તફાવતને કારણે ઉદ્ભવતા ઉપરના બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$\Delta P \times A = m \times g$
$\Delta P = \frac{3.3 \times 10^{5} \; kg \times 9.8 \; m/s^{2}}{500 \; m^{2}} = 6.468 \times 10^{3} \; N/m^{2} \approx 6.5 \times 10^{3} \; N/m^{2}$.
$(b)$ ઊંચાઈના નાના તફાવતને અવગણતા,બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ દબાણનો તફાવત:
$\Delta P = \frac{\rho}{2} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{\rho}{2} (v_{2} - v_{1})(v_{2} + v_{1})$
અહીં સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} = 960 \; km/h = 266.7 \; m/s$ છે.
$\frac{v_{2} - v_{1}}{v_{av}} = \frac{\Delta P}{\rho \cdot v_{av}^{2}} = \frac{6.5 \times 10^{3}}{1.2 \times (266.7)^{2}} \approx 0.076 \approx 0.08$.
પાંખની ઉપરની ઝડપ નીચેની ઝડપ કરતા આશરે $8\%$ વધારે હોવી જોઈએ.

(N/A) ના.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ નદીના રેપિડ (ઝડપી પ્રવાહ) માંથી વહેતા પાણીના પ્રવાહનું વર્ણન કરવા માટે થઈ શકતો નથી કારણ કે પાણીનો પ્રવાહ અશાંત (turbulent) હોય છે. બર્નુલીનો સિદ્ધાંત એ ધારણા પર આધારિત છે કે પ્રવાહ સ્થાયી (steady),અદબનીય (incompressible) અને સ્નિગ્ધતા રહિત (non-viscous) હોવો જોઈએ. નદીના રેપિડમાં,પાણીનો પ્રવાહ અત્યંત અનિયમિત,અસ્તવ્યસ્ત અને અશાંત હોય છે,જે આ પાયાની ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

(N/A) ના,બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતી વખતે ગેજ દબાણ અથવા નિરપેક્ષ દબાણનો ઉપયોગ કરવાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. બર્નુલીનું સમીકરણ $P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$ છે. જો આપણે ગેજ દબાણનો ઉપયોગ કરીએ,તો આપણે $P$ ને $P_{gauge} = P_{abs} - P_{atm}$ વડે બદલીએ છીએ. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm}$ સમીકરણની બંને બાજુએ આવે છે અને તે એકબીજાને રદ કરે છે. તેથી,જો બંને બિંદુઓ પર વાતાવરણીય દબાણ સમાન હોય,તો દબાણના માપક્રમની પસંદગી પરિણામને અસર કરતી નથી.

(A) આપેલ છે:
પાંખની ઉપરની સપાટી પર હવાનો વેગ,$V_{1} = 70 \; m s^{-1}$
પાંખની નીચેની સપાટી પર હવાનો વેગ,$V_{2} = 63 \; m s^{-1}$
પાંખનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2.5 \; m^{2}$
હવાની ઘનતા,$\rho = 1.3 \; kg m^{-3}$
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$P_{2} - P_{1} = \frac{1}{2} \rho (V_{1}^{2} - V_{2}^{2})$
પાંખ પર લાગતું લિફ્ટ એ આ દબાણ તફાવતને કારણે લાગતું બળ છે:
$Lift = (P_{2} - P_{1}) \times A$
$Lift = \frac{1}{2} \rho (V_{1}^{2} - V_{2}^{2}) A$
કિંમતો મૂકતા:
$Lift = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (70^{2} - 63^{2}) \times 2.5$
$Lift = 0.65 \times (4900 - 3969) \times 2.5$
$Lift = 0.65 \times 931 \times 2.5$
$Lift = 1512.875 \; N$
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,લિફ્ટ આશરે $1.51 \times 10^{3} \; N$ મળે છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1 V_1 = A_2 V_2$, જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
પાઈપના સાંકડા ભાગમાં (વેન્ચ્યુરીમીટર), આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ એ પહોળા ભાગના ક્ષેત્રફળ $A_1$ કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી, સાંકડા ભાગમાં પ્રવાહીનો વેગ $V_2$ એ પહોળા ભાગના વેગ $V_1$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ $(V_2 > V_1)$.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, અદબનીય અને અશ્યાન પ્રવાહીના સમક્ષિતિજ વહન માટે, એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યાં પ્રવાહીનો વેગ વધારે હોય, ત્યાં દબાણ ઓછું હોવું જોઈએ.
$V_2 > V_1$ હોવાથી, સાંકડા ભાગમાં દબાણ $P_2$ એ પહોળા ભાગના દબાણ $P_1$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ $(P_2 < P_1)$.
દબાણ એ શિરોલંબ નળીઓમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $(h)$ સાથે $P = \rho gh$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે. આમ, ઓછું દબાણ એ નીચા પ્રવાહી સ્તરને અનુરૂપ છે.
પરિણામે, સાંકડા ભાગ સાથે જોડાયેલી નળીમાં પ્રવાહીનું સ્તર પહોળા ભાગ સાથે જોડાયેલી નળીના સ્તર કરતા નીચું હોવું જોઈએ.
આકૃતિઓ સાથે સરખામણી કરતા, આકૃતિ $(a)$ સાંકડા ભાગમાં ઊંચું સ્તર દર્શાવે છે, જે બર્નુલીના સિદ્ધાંતથી વિરુદ્ધ છે. તેથી, આકૃતિ $(a)$ ખોટી છે.

(D) વિમાનની પાંખોનું કુલ ક્ષેત્રફળ,$A = 2 \times 25 = 50 \; m^{2}$.
નીચેની પાંખ પર હવાની ઝડપ,$V_{1} = 180 \; km/h = 180 \times \frac{5}{18} = 50 \; m/s$.
ઉપરની પાંખ પર હવાની ઝડપ,$V_{2} = 234 \; km/h = 234 \times \frac{5}{18} = 65 \; m/s$.
હવાની ઘનતા,$\rho = 1 \; kg \; m^{-3}$.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને,નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $(P_{1} - P_{2})$ છે:
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (V_{2}^{2} - V_{1}^{2})$.
ઉપરની તરફ લાગતું લિફ્ટ બળ $F$ એ $(P_{1} - P_{2}) A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{2} \rho (V_{2}^{2} - V_{1}^{2}) A$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{1}{2} \times 1 \times (65^{2} - 50^{2}) \times 50$.
$F = 25 \times (4225 - 2500) = 25 \times 1725 = 43125 \; N$.
વિમાન સમતલ ઉડાનમાં હોવાથી,લિફ્ટ બળ વિમાનના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$F = mg \implies m = \frac{F}{g}$.
$m = \frac{43125}{9.8} \approx 4400.51 \; kg$.
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,વિમાનનું દળ $4400 \; kg$ છે.

(C) એકમ સમય દીઠ પાણીની સ્થિતિ ઊર્જા એ ટર્બાઇન માટે પાવર ઇનપુટ છે.
પાવર ઇનપુટ $P_{in} = \frac{mgh}{t} = \rho V g h$,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^{3}\; kg/m^{3})$,$V$ એ કદ પ્રવાહ દર $(100\; m^{3}/s)$,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(9.8\; m/s^{2})$ અને $h$ એ ઊંચાઈ $(300\; m)$ છે.
$P_{in} = 10^{3} \times 100 \times 9.8 \times 300 = 294 \times 10^{6}\; W = 294\; MW$.
ઉપલબ્ધ વિદ્યુત પાવર એ આઉટપુટ પાવર છે,જે કાર્યક્ષમતા અને ઇનપુટ પાવરનો ગુણાકાર છે.
$P_{out} = \eta \times P_{in} = 0.60 \times 294\; MW$.
$P_{out} = 176.4\; MW$.

(N/A) ધારો કે એક અદબનીય,શ્યાનતા રહિત પ્રવાહી બદલાતા આડછેદ અને ઊંચાઈ ધરાવતી પાઈપમાંથી વહે છે.
ઇનલેટ પર (બિંદુ $B$):
- આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= A_1$
- પ્રવાહીની ઝડપ $= v_1$
- દબાણ $= P_1$
આઉટલેટ પર (બિંદુ $D$):
- આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $= A_2$
- પ્રવાહીની ઝડપ $= v_2$
- દબાણ $= P_2$
નાના સમયગાળા $\Delta t$ માં,ઇનલેટ પરનું પ્રવાહી $v_1 \Delta t$ જેટલું અંતર કાપે છે. દાખલ થતા પ્રવાહીનું કદ $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t$ છે. ઇનલેટ પર દબાણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_1 = F_1 \times (v_1 \Delta t) = P_1 A_1 v_1 \Delta t = P_1 \Delta V$ છે.
તે જ રીતે,આઉટલેટ પર,દબાણની વિરુદ્ધ પ્રવાહી દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_2 = P_2 A_2 v_2 \Delta t = P_2 \Delta V$ છે. દબાણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય $W = W_1 - W_2 = (P_1 - P_2) \Delta V$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,આ કુલ કાર્ય એ પ્રવાહીના દળ $\Delta m = \rho \Delta V$ માં થતા ગતિ ઊર્જાના ફેરફાર અને સ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K + \Delta U$
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \Delta m (v_2^2 - v_1^2) + \Delta m g (h_2 - h_1)$
$\Delta V$ વડે ભાગતા અને $\Delta m / \Delta V = \rho$ મૂકતા:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) + \rho g (h_2 - h_1)$
પુનઃ ગોઠવતા બર્નુલીનું સમીકરણ મળે છે:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
આમ,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{અચળ}$.

(N/A) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત વહેતા પ્રવાહી માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
ધારો કે એક પ્રવાહી બદલાતા આડછેદ અને ઊંચાઈ ધરાવતી પાઇપમાંથી વહી રહ્યું છે.
ધારો કે ઇનલેટ પર દબાણ,ક્ષેત્રફળ,વેગ અને ઊંચાઈ $P_1, A_1, v_1, h_1$ છે અને આઉટલેટ પર અનુરૂપ મૂલ્યો $P_2, A_2, v_2, h_2$ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$\Delta t$ સમયમાં એક છેડેથી પ્રવેશતા પ્રવાહીનું કદ બીજા છેડેથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના કદ જેટલું હોય છે: $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t = A_2 v_2 \Delta t$.
ઇનલેટ પર દબાણ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_1 = F_1 \Delta x_1 = P_1 A_1 (v_1 \Delta t) = P_1 \Delta V$.
આઉટલેટ પર દબાણ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_2 = -F_2 \Delta x_2 = -P_2 A_2 (v_2 \Delta t) = -P_2 \Delta V$ (ઋણ કારણ કે તે પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે).
દબાણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય: $W = (P_1 - P_2) \Delta V$.
ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} (\rho \Delta V) (v_2^2 - v_1^2)$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta U = mg(h_2 - h_1) = (\rho \Delta V) g (h_2 - h_1)$.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = \Delta K + \Delta U$.
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \rho \Delta V (v_2^2 - v_1^2) + \rho \Delta V g (h_2 - h_1)$.
$\Delta V$ વડે ભાગતા અને પદોને ગોઠવતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$.
આમ,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{અચળ}$.

(N/A) $(i)$ બર્નુલીનું પ્રમેય ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જેમાં એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે ઘર્ષણને કારણે કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી. પરંતુ વાસ્તવમાં,જ્યારે પ્રવાહી વહે છે,ત્યારે આંતરિક ઘર્ષણ (શ્યાનતા) ને કારણે ઉર્જાનો વ્યય થાય છે. પ્રવાહીના વિવિધ સ્તરો વચ્ચે કાર્યરત શ્યાન બળોને કારણે ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.
$(ii)$ આ પ્રમેય ધારણા કરે છે કે પ્રવાહી અદબનીય (incompressible) છે. વ્યવહારમાં,પ્રવાહીની સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી,જે દબનીય પ્રવાહી માટે આ પ્રમેયની ઉપયોગિતાને મર્યાદિત કરે છે.
$(iii)$ આ પ્રમેય સ્થાયી અને ધારારેખીય વહનની ધારણા કરે છે. તે અશાંત (turbulent) વહનને ધ્યાનમાં લેતું નથી,જ્યાં કોઈ બિંદુએ વેગ અને દબાણ સમય સાથે અનિયમિત રીતે બદલાય છે.

(N/A) બર્નુલીનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho g h_{2}$
જ્યારે તરલ સ્થિર હોય,ત્યારે દરેક બિંદુએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે. તેથી,આપણે સમીકરણમાં $v_{1} = 0$ અને $v_{2} = 0$ મૂકીએ છીએ:
$P_{1} + \rho g h_{1} = P_{2} + \rho g h_{2}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$P_{1} - P_{2} = \rho g(h_{2} - h_{1})$
આ સ્થિર તરલમાં હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણનો ફેરફાર દર્શાવે છે.

(N/A) ના,બર્નુલીનું સમીકરણ અસ્થાયી નથી. તે ખાસ કરીને પ્રવાહીના સ્થાયી (steady),અદબનીય (incompressible),શ્યાનતા રહિત (non-viscous) અને અપરિભ્રમણીય (irrotational) પ્રવાહ માટે મેળવવામાં આવ્યું છે.
$1$. સ્થાયી પ્રવાહ: પ્રવાહીના કોઈપણ બિંદુએ વેગ,દબાણ અને ઘનતા સમયની સાપેક્ષમાં અચળ રહે છે.
$2$. અદબનીય: પ્રવાહીની ઘનતા અચળ રહે છે.
$3$. શ્યાનતા રહિત: પ્રવાહીમાં કોઈ આંતરિક ઘર્ષણ કે શ્યાનતા હોતી નથી.
$4$. અપરિભ્રમણીય: પ્રવાહીના કણો તેમની પોતાની ધરી પર ફરતા નથી.
કારણ કે આ સમીકરણની તારવણીમાં એવી ધારણા કરવામાં આવી છે કે પ્રવાહના પરિમાણો સમય સાથે બદલાતા નથી,તેથી આ સમીકરણ માત્ર સ્થાયી પ્રવાહની સ્થિતિ માટે જ લાગુ પડે છે.

(N/A) બર્નુલીનું સમીકરણ એ ધારણા પર આધારિત છે કે વહન સ્થાયી (steady) અને ધારારેખીય (streamline) છે,જ્યાં કોઈપણ બિંદુએ વેગ અને દબાણ સમય સાથે અચળ રહે છે. પ્રક્ષુબ્ધ વહનમાં,કોઈપણ બિંદુએ વેગ $(v)$ અને દબાણ $(P)$ અનિયમિત રીતે વધઘટ પામે છે અને સમય સાથે સતત બદલાતા રહે છે. તેથી,પ્રક્ષુબ્ધ વહનમાં બર્નુલીના સમીકરણના તારણ માટે જરૂરી શરતોનું પાલન થતું નથી.

(N/A) બર્નુલીનું સમીકરણ આદર્શ તરલની ધારણા પર આધારિત છે. તેની મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. તે માત્ર અદબનીય (incompressible),શ્યાનતા રહિત (non-viscous) અને ધારારેખી (steady) વહન માટે જ માન્ય છે.
$2$. તે તરલના સ્તરો વચ્ચેની શ્યાનતા અથવા ઘર્ષણને કારણે થતા ઉર્જાના વ્યયને ધ્યાનમાં લેતું નથી.
$3$. તે તરલના વહન દરમિયાન ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જાને અવગણે છે.
બર્નુલીના સમીકરણના ઉપયોગો નીચે મુજબ છે:
$1$. તેનો ઉપયોગ બહાર નીકળતા તરલના વેગ (Torricelli's Law) ની ગણતરી કરવા માટે થાય છે.
$2$. તે વેન્ચ્યુરી મીટરના કાર્યકારી સિદ્ધાંતને સમજાવે છે,જેનો ઉપયોગ તરલના વહનનો દર માપવા માટે થાય છે.
$3$. તે વિમાનની પાંખ પર લાગતા એરોડાયનેમિક લિફ્ટ (ઉર્ધ્વ બળ) ને સમજાવે છે.
$4$. તેનો ઉપયોગ એટમાઈઝર અને બુનસેન બર્નરની રચનામાં થાય છે.

(N/A) વેન્ચ્યુરીમીટર એ અદબનીય પ્રવાહીના વહનનો વેગ માપવા માટેનું સાધન છે.
રચના:
તેમાં એક નળી હોય છે જેનો વ્યાસ પહોળો હોય છે અને મધ્યમાં એક નાનો સાંકડો ભાગ હોય છે,જેને ગળું (throat) કહેવામાં આવે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તેની સાથે $U$-આકારની નળી ધરાવતું મેનોમીટર જોડાયેલું હોય છે,જેનો એક છેડો નળીના પહોળા ભાગ પર અને બીજો છેડો ગળાના ભાગ પર હોય છે.
કાર્ય:
મેનોમીટરમાં $\rho_{m}$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી ભરેલું હોય છે. ધારો કે વહન પામતા પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ છે.
બિંદુ $1$ પર,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પ્રવાહીનો વેગ $v_{1}$ છે. બિંદુ $2$ (ગળાના ભાગ) પર,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a$ છે અને પ્રવાહીનો વેગ $v_{2}$ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ:
$A v_{1} = a v_{2}$
$\therefore v_{2} = \frac{A v_{1}}{a}$
બિંદુ $1$ અને $2$ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરતા (ક્ષૈતિજ વહન ધારતા,$h_{1} = h_{2}$):
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
$\therefore P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
મેનોમીટરના અવલોકન પરથી,દબાણનો તફાવત નીચે મુજબ મળે છે:
$P_{1} - P_{2} = \rho_{m} g h$
દબાણના તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\rho_{m} g h = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$v_{2} = \frac{A v_{1}}{a}$ ની કિંમત મૂકવાથી પ્રવાહીના વહનનો વેગ $v_{1}$ શોધી શકાય છે.

(N/A) ઓટોમોબાઈલનું કાર્બ્યુરેટર એક વેન્ચ્યુરી ચેનલ (નોઝલ) નો ઉપયોગ કરે છે,જેમાંથી હવા ખૂબ ઝડપથી વહે છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,જેમ વેન્ચ્યુરીના સાંકડા ગળામાં હવાની ઝડપ વધે છે,તેમ દબાણ ઘટે છે.
આ સાંકડા ગળા પાસે સર્જાતું ઓછું દબાણ ફ્યુઅલ ચેમ્બરમાંથી પેટ્રોલને હવાના પ્રવાહમાં ખેંચે છે,જે એન્જિનમાં દહન માટે જરૂરી હવા-બળતણનું યોગ્ય મિશ્રણ બનાવે છે.
બનસેન બર્નર,એટમાઈઝર,પરફ્યુમ સ્પ્રેયર અને જંતુનાશક સ્પ્રેયર જેવા સાધનો પણ આ જ સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે.
સ્પ્રે પંપમાં,પિસ્ટન હવાને પ્રવાહી પાત્ર સાથે જોડાયેલી નળીના ખુલ્લા છેડા પર ઉચ્ચ ઝડપે ધકેલે છે. આ નળીના ઉપરના ભાગમાં ઓછા દબાણનો વિસ્તાર બનાવે છે,જેના કારણે પ્રવાહી ઉપર ચઢે છે અને હવાના પ્રવાહ સાથે બહાર સ્પ્રે થાય છે.

(N/A) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય, અશ્યાન અને ધારારેખી વહન માટે, એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા, ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
માનવ રુધિરાભિસરણ તંત્રમાં, ધમનીઓની અંદરની દીવાલો પર પ્લેક (ચરબી) જમા થવાને કારણે તે સાંકડી થઈ શકે છે.
સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ, જ્યારે ધમનીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ ઘટે છે, ત્યારે રુધિરના પ્રવાહનો વેગ $(v)$ વધવો જોઈએ.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત $(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant})$ ને લાગુ પાડતા, જેમ સાંકડા ભાગમાં રુધિરનો વેગ વધે છે, તેમ આંતરિક પ્રવાહી દબાણ $(P)$ ઘટે છે.
જો આંતરિક દબાણ નોંધપાત્ર રીતે ઘટી જાય, તો આસપાસના પેશીઓનું બાહ્ય દબાણ ધમનીને દબાવી શકે છે.
ત્યારબાદ હૃદય આ સાંકડા ભાગમાંથી રુધિરને ધકેલવા માટે વધારાનું દબાણ આપે છે. જેમ રુધિર આ સાંકડા માર્ગમાંથી ઝડપથી પસાર થાય છે, તેમ ઊંચા વેગને કારણે દબાણ ફરીથી ઘટે છે.
આ સંકોચન અને દબાણના ઘટાડાનું ચક્ર ધમનીના સંપૂર્ણ બ્લોકેજ તરફ દોરી શકે છે, જેના પરિણામે હાર્ટ એટેક આવે છે.

(N/A) $(i)$ સ્પિન વગર ગતિ કરતો દડો:
જ્યારે દડો સ્પિન કર્યા વગર તરલમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તરલની સ્ટ્રીમલાઇન્સ દડાની ઉપર અને નીચે સમાન હોય છે. દડાની ઉપર અને નીચેના અનુરૂપ બિંદુઓ પર તરલનો વેગ સમાન હોય છે,જે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ શૂન્ય દબાણ તફાવત પરિણમે છે. તેથી,હવા દડા પર કોઈ ચોખ્ખું ઉપર કે નીચેનું બળ લગાડતી નથી.
$(ii)$ સ્પિન સાથે ગતિ કરતો દડો:
જ્યારે દડો ફરે છે,ત્યારે તે તેની સપાટીને કારણે હવાને પોતાની સાથે ખેંચે છે. જો સપાટી ખરબચડી હોય,તો વધુ હવા ખેંચાય છે.
ધારો કે એક દડો હવામાં ગતિ કરતી વખતે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ફરે છે. જે બાજુએ પરિભ્રમણ હવાના પ્રવાહની દિશામાં હોય છે,ત્યાં હવાનો વેગ વધે છે. વિરુદ્ધ બાજુએ,જ્યાં પરિભ્રમણ હવાના પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે,ત્યાં હવાનો વેગ ઘટે છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યાં તરલનો વેગ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે અને જ્યાં તરલનો વેગ ઓછો હોય ત્યાં દબાણ વધારે હોય છે.
પરિણામે,દડાની ઉપર સ્ટ્રીમલાઇન્સની ગીચતા વધુ વેગ અને ઓછું દબાણ સૂચવે છે,જ્યારે દડાની નીચેની છૂટીછવાઈ સ્ટ્રીમલાઇન્સ ઓછો વેગ અને વધુ દબાણ સૂચવે છે. આ દબાણનો તફાવત દડા પર ઉપરની તરફ ચોખ્ખું બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જેના કારણે તે તેના સીધા માર્ગથી વિચલિત થાય છે. આ ઘટનાને મેગ્નસ અસર (Magnus effect) કહેવામાં આવે છે.

(N/A) એરોફોઇલ એ એક વિશિષ્ટ આકાર ધરાવતો ઘન પદાર્થ છે,જેને એવી રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યો છે કે જ્યારે તે હવા જેવા તરલ પદાર્થમાં આડી દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે ઉપરની તરફ ગતિશીલ લિફ્ટ (dynamic lift) ઉત્પન્ન થાય.
વિમાનની પાંખનો આડછેદ એરોફોઇલ જેવો હોય છે,જે તેની આસપાસ વહેતી હવાની સ્ટ્રીમલાઇન્સ (streamlines) ને અસર કરે છે.
જ્યારે એરોફોઇલ પવનની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવાહની દિશાને સાપેક્ષ તેના ઓરિએન્ટેશનને કારણે પાંખની ઉપરની બાજુએ સ્ટ્રીમલાઇન્સ નીચેની બાજુ કરતાં વધુ ગીચ બને છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાંખની ઉપર સ્ટ્રીમલાઇન્સ નજીક હોવાથી,ઉપરની સપાટી પર પ્રવાહની ઝડપ નીચેની સપાટી કરતાં વધારે હોય છે.
પ્રવાહની ઝડપમાં રહેલો આ તફાવત દબાણનો તફાવત સર્જે છે (નીચે વધુ દબાણ અને ઉપર ઓછું દબાણ),જે ગતિશીલ લિફ્ટ નામનું ઉપરની તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે વિમાનના વજનને સંતુલિત કરવામાં મદદ કરે છે.

(N/A) એરોફોઈલ એ વિશિષ્ટ આકારનો એક ઘન પદાર્થ છે. હવામાં તેની સમક્ષિતિજ ગતિને કારણે તેના પર ઊર્ધ્વદિશામાં બળ લાગે છે.
વિમાનની પાંખનો આડછેદ એરોફોઈલ જેવો હોય છે. તેની આસપાસની ધારારેખાઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય છે.
જ્યારે એરોફોઈલ પવનની સામે ગતિ કરે છે,ત્યારે પાંખના નમન (Orientation) ને કારણે પાંખની ઉપરના ભાગની ધારારેખાઓ નીચેના ભાગની ધારારેખાઓ કરતા વધુ ગીચ બને છે. તેથી,પાંખની ઉપરના ભાગમાં હવાની ઝડપ નીચેના ભાગની ઝડપ કરતા વધારે હોય છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,હવાની ઝડપ વધતા દબાણ ઘટે છે. પરિણામે,એરોફોઈલની નીચેના ભાગનું હવાનું દબાણ ઉપરના ભાગના દબાણ કરતા વધી જાય છે.
આ દબાણના તફાવતને કારણે પાંખ પર ઊર્ધ્વદિશામાં બળ લાગે છે,જેને ડાયનેમિક લિફ્ટ કહે છે,જે વિમાનના વજનને સંતુલિત કરે છે.

(N/A) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય (incompressible),શ્યાનતા રહિત (non-viscous) અને ધારારેખી વહન ધરાવતા તરલ માટે,દબાણ ઉર્જા,એકમ કદ દીઠ ગતિ ઉર્જા અને એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
તેનું ગાણિતિક સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$
જ્યાં:
$P$ = તરલનું દબાણ
$\rho$ = તરલની ઘનતા
$v$ = તરલનો વેગ
$g$ = ગુરુત્વપ્રવેગ
$h$ = સંદર્ભ સપાટીથી તરલની ઊંચાઈ

(B) બર્નુલીનું સમીકરણ પ્રવાહીના પ્રવાહની પ્રકૃતિ અંગેની કેટલીક મુખ્ય ધારણાઓ પર આધારિત છે.
$1$. પ્રવાહી અસંકોચનીય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સમગ્ર પ્રવાહ દરમિયાન તેની ઘનતા અચળ રહે છે.
$2$. પ્રવાહી અસ્નિગ્ધ (આદર્શ) હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે સ્નિગ્ધતાને કારણે કોઈ આંતરિક ઘર્ષણ કે ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી.
$3$. પ્રવાહ સ્થાયી હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બિંદુએ વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી.
$4$. પ્રવાહ અપરિભ્રમણીય હોવો જોઈએ.
તેથી,બર્નુલીનું સમીકરણ અસંકોચનીય અને અસ્નિગ્ધ પ્રવાહી માટે લાગુ પડે છે.

(N/A) બર્નુલીના સમીકરણની મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ તરલ શ્યાનતા રહિત (non-viscous) હોવું જોઈએ (એટલે કે,આંતરિક ઘર્ષણ નગણ્ય હોવું જોઈએ).
$(ii)$ તરલ અદબનીય (incompressible) હોવું જોઈએ (એટલે કે,તરલની ઘનતા અચળ રહેવી જોઈએ).
$(iii)$ તરલનો પ્રવાહ ધારારેખી (streamline) હોવો જોઈએ,અશાંત (turbulent) નહીં.
$(iv)$ તરલનો પ્રવાહ અચક્રિય (irrotational) હોવો જોઈએ (એટલે કે,તરલના કણોની તેમના કેન્દ્રની આસપાસ કોઈ ચોખ્ખો કોણીય વેગ હોવો જોઈએ નહીં).

(N/A) બર્નુલીના સમીકરણની મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. આ સમીકરણ ફક્ત અદબનીય (incompressible) પ્રવાહી માટે જ માન્ય છે,એટલે કે પ્રવાહીની ઘનતા અચળ રહે છે.
$2$. તે ધારે છે કે પ્રવાહ સ્થાયી (steady) છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બિંદુએ વેગ,દબાણ અને ઘનતા સમય સાથે બદલાતા નથી.
$3$. તે ફક્ત શ્યાનતા રહિત (non-viscous/ideal) પ્રવાહી માટે લાગુ પડે છે,જ્યાં આંતરિક ઘર્ષણ અથવા શ્યાનતાને અવગણવામાં આવે છે.
$4$. તે ધારે છે કે પ્રવાહ અચક્રિય (irrotational) છે,એટલે કે પ્રવાહીના કણોનો કોઈ ચોખ્ખો કોણીય વેગ નથી.
$5$. તે પ્રવાહ દરમિયાન ઘર્ષણ અથવા અશાંતિ (turbulence) ને કારણે થતા ઉર્જાના વ્યયને ધ્યાનમાં લેતું નથી.

(N/A) વેન્ચ્યુરી મીટર એ પાઇપમાંથી વહેતા અદબનીય (incompressible) પ્રવાહીના પ્રવાહનો દર માપવા માટે વપરાતું સાધન છે.
તે બર્નુલીના પ્રમેયના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
તેમાં પાઇપમાં એક સાંકડો ભાગ અથવા 'થ્રોટ' (throat) હોય છે,જે પાઇપના પહોળા ભાગ અને સાંકડા ભાગ વચ્ચે દબાણનો તફાવત ઉત્પન્ન કરે છે.
મેનોમીટરનો ઉપયોગ કરીને આ દબાણના તફાવતને માપીને,પ્રવાહીનો વેગ અને કદનો પ્રવાહ દર (volume flow rate) ગણી શકાય છે.

(A) વેન્ચ્યુરી-મીટરમાં,ધારો કે $A_1$ એ પહોળા ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે અને $a_2$ એ સાંકડા ભાગ (ગળા) નું ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $v_1$ એ પહોળા ભાગમાં પ્રવાહીનો વેગ છે અને $v_2$ એ ગળામાં વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = a_2 v_2$,જે સૂચવે છે કે $v_2 = \frac{A_1}{a_2} v_1$.
બંને વિભાગો પર બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
દબાણનો તફાવત $P_1 - P_2 = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મેનોમીટરમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનો તફાવત છે.
$v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \rho [(\frac{A_1}{a_2} v_1)^2 - v_1^2]$.
$v_1$ માટે ઉકેલતા: $2gh = v_1^2 [(\frac{A_1}{a_2})^2 - 1] = v_1^2 [\frac{A_1^2 - a_2^2}{a_2^2}]$.
આમ,$v_1 = \frac{a_2}{\sqrt{A_1^2 - a_2^2}} \sqrt{2gh}$.

(D) આદર્શ તરલના ધારારેખી પ્રવાહમાં,બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ એકમ દળ (અથવા એકમ કદ) દીઠ કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
તેમાં હાજર ત્રણ પ્રકારની ઊર્જાઓ નીચે મુજબ છે:
$(1)$ ગતિઊર્જા: તરલના કણોની ગતિને કારણે.
$(2)$ સ્થિતિઊર્જા: ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં તરલની ઊંચાઈ અથવા સ્થાનને કારણે.
$(3)$ દબાણ ઊર્જા: તરલને ગતિ કરાવવા માટે દબાણ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યને કારણે.

(B) બર્નુલીનું સમીકરણ પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી મેળવવામાં આવે છે.
તે જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને ધારારેખી પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
તેથી,તે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.