Types of Flow, Equation of Continuity and Flow Rate Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: પ્રથમ પાઈપનો વ્યાસ $d_A = 2 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r_A = 1 \text{ cm}$.
બીજી પાઈપનો વ્યાસ $d_B = 4 \text{ cm}$,તેથી ત્રિજ્યા $r_B = 2 \text{ cm}$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(A_1v_1 = A_2v_2)$.
તેથી,$\frac{v_A}{v_B} = \frac{A_B}{A_A} = \frac{\pi (r_B)^2}{\pi (r_A)^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_A}{v_B} = \left( \frac{2}{1} \right)^2 = 4$.
આમ,$v_A = 4v_B$. એટલે કે $2 \text{ cm}$ વ્યાસવાળી પાઈપમાં વેગ એ $4 \text{ cm}$ વ્યાસવાળી પાઈપના વેગ કરતા $4$ ગણો છે.

(C) અદબનીય પ્રવાહી માટે, જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહીનો કદ-પ્રવાહ દર (volume flow rate) જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના કદ-પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ (સાતત્યનું સમીકરણ).
$A_{in} v_{in} = A_1 v_1 + A_2 v_2$
આકૃતિ પરથી, પ્રવેશદ્વારનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને વેગ $v_1 = 3 \ m/s$ છે. બહાર નીકળતા ક્ષેત્રફળો $A$ અને $1.5A$ છે, જેના વેગ અનુક્રમે $v_2 = 1.5 \ m/s$ અને $v$ છે.
$A \times 3 = A \times 1.5 + 1.5A \times v$
બંને બાજુ $A$ વડે ભાગતા:
$3 = 1.5 + 1.5v$
$1.5 = 1.5v$
$v = 1 \ m/s$.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,નળીના તમામ બિંદુઓ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને પ્રવાહીનો વેગ $v$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે,એટલે કે $A_1 v_1 = A_2 v_2$ થાય.
નળી નળાકાર હોવાથી,તેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમગ્ર લંબાઈ દરમિયાન સમાન રહે છે,એટલે કે $A_1 = A_2$ થાય.
તેથી,નળીની દિશા (આડી કે શિરોલંબ) ગમે તે હોય,$v_1 = v_2$ હંમેશા સાચું રહે છે.
આ સિદ્ધાંત દળ સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,જે ત્રણેય કિસ્સાઓમાં લાગુ પડે છે.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,પાઇપ પરના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
આપેલ છે:
$A_1 = 4.20 \; cm^2$
$V_1 = 5.18 \; ms^{-1}$
$A_2 = 7.60 \; cm^2$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$4.20 \times 5.18 = 7.60 \times V_2$
$V_2 = \frac{4.20 \times 5.18}{7.60}$
$V_2 = \frac{21.756}{7.60}$
$V_2 \approx 2.86 \; ms^{-1}$
તેથી,નીચલા સ્તરે પ્રવાહની ઝડપ $2.86 \; ms^{-1}$ છે.

(A) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
અહીં,$A_1$ અને $A_2$ એ પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના સ્થાને આડછેદના ક્ષેત્રફળ છે,અને $v_1$ અને $v_2$ એ અનુક્રમે પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના વેગ છે.
આડછેદ વર્તુળાકાર હોવાથી,$A = \pi r^2$,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$\pi r_1^2 v_1 = \pi r_2^2 v_2$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ મળે છે.
પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના છેડાની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 3 : 2$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = \frac{2}{3}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{v_1}{v_2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.
આમ,પ્રવેશ અને બહાર નીકળવાના વેગનો ગુણોત્તર $4:9$ છે.

(B) અદબનીય અને શ્યાનતા રહિત પ્રવાહીના સ્થાયી વહન માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,નળીના દરેક ભાગમાં દળ વહનનો દર અચળ રહે છે.
કદ વહનનો દર (અથવા ડિસ્ચાર્જ) એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
તેથી,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
ઝડપનો ગુણોત્તર $v_1/v_2$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ:
$v_1/v_2 = A_2/A_1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહમાં,કોઈપણ આપેલ બિંદુએ પ્રવાહીના કણનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ચોક્કસ બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા દરેક કણનો વેગ (મૂલ્ય અને દિશા બંને) તે જ બિંદુ $P$ માંથી પસાર થયેલા અગાઉના કણ જેટલો જ હશે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ એ કણની ઝડપ $v$ પર આધારિત હોવાથી,અને બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા તમામ કણોનો વેગ સમાન હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જા પણ સમાન હોવી જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચું વિધાન છે.

(C) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,અદબનીય તરલ માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને વેગનો ગુણાકાર સમગ્ર પ્રવાહ દરમિયાન અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં,$A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\pi d_1^2}{4} v_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} v_2$.
જેનું સાદું રૂપ: $d_1^2 v_1 = d_2^2 v_2$.
આપેલ છે કે $d_1 = 4 \text{ cm}$,$v_1 = 3 \text{ m/s}$,અને $d_2 = 2 \text{ cm}$.
કિંમતો મૂકતા: $(4)^2 \times 3 = (2)^2 \times v_2$.
$16 \times 3 = 4 \times v_2$.
$48 = 4 v_2$.
$v_2 = 12 \text{ m/s}$.

(A) જ્યારે પાણી નળમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તે નીચે તરફ જતાં પ્રવેગિત થાય છે.
સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,$A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
જેમ જેમ પાણી નીચે પડે છે તેમ તેમ વેગ $v$ વધે છે,તેથી પ્રવાહનો દર અચળ રાખવા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,પાણીના પ્રવાહનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.

(D) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,પાઇપના તમામ બિંદુઓ પર કદનો પ્રવાહ દર (volume flow rate) અચળ રહે છે.
તેથી,બિંદુ $A$ પર પ્રતિ સેકન્ડ પ્રવેશતું પ્રવાહીનું કદ એ બિંદુ $B$ પરથી પ્રતિ સેકન્ડ બહાર નીકળતા પ્રવાહીના કદ જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $v_A = v$ છે અને બિંદુ $B$ પર વેગ $v_B$ છે.
બિંદુ $A$ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2$ છે.
બિંદુ $B$ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi(r)^2 = \pi r^2$ છે.
સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $A_A v_A = A_B v_B$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(4\pi r^2) v = (\pi r^2) v_B$.
$v_B$ માટે ઉકેલતા: $v_B = \frac{4\pi r^2 v}{\pi r^2} = 4v$.

(A) એકમ સમયમાં પાઇપમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનું દળ $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
ગતિ ઊર્જા મળવાનો દર એટલે કે પાવર $P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} \left( \frac{dm}{dt} \right) v^2$ થાય.
$\frac{dm}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા:
$P = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$.

(A) નળીમાંથી એકમ સમયમાં પસાર થતા પ્રવાહીનું દળ,દળના વહન દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dm}{dt} = \rho A V$,જ્યાં $\rho = d$ એ ઘનતા છે.
તેથી,$\frac{dm}{dt} = dAV$.
$V$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} m V^2$ છે.
એકમ સમયમાં મળતી ગતિ ઊર્જા $\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} V^2 \frac{dm}{dt}$ થાય.
$\frac{dm}{dt}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dK}{dt} = \frac{1}{2} V^2 (dAV) = \frac{1}{2} AdV^3$ મળે છે.

(A) સાતત્ય સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,અદબનીય પ્રવાહીના સ્થાયી વહન માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વેગ $(v)$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \, cm$ અને $r_2 = 4 \, cm$ આપેલી છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\pi (r_1)^2 v_1 = \pi (r_2)^2 v_2$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{(r_2)^2}{(r_1)^2} = \left( \frac{4}{2} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,વહન વેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,જંકશનમાં પ્રવેશતા પ્રવાહીનો કુલ દળ પ્રવાહ દર એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા કુલ દળ પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ.
પ્રવાહી અદબનીય હોવાથી,કદ પ્રવાહ દરનું સંરક્ષણ થાય છે:
$A_1 v_1 = A_2 v_2 + A_3 v_3$
આકૃતિ પરથી,પ્રવેશ ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને વેગ $v_1 = 3 \ m/s$ છે.
બહાર નીકળતા ક્ષેત્રફળો $A$ (વેગ $v_2 = 1.5 \ m/s$) અને $1.5A$ (વેગ $v$) છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$A \times 3 = A \times 1.5 + 1.5A \times v$
બંને બાજુ $A$ વડે ભાગતા:
$3 = 1.5 + 1.5v$
$1.5 = 1.5v$
$v = 1 \ m/s$

(C) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ,ટ્યુબમાં પ્રવાહીનો કદ પ્રવાહ દર (volume flow rate) અચળ રહે છે.
નળાકાર ટ્યુબની અંદર કદ પ્રવાહ દર $A_1 v_1 = \pi R^2 v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ ઝીણા છિદ્રોમાંથી કુલ કદ પ્રવાહ દર $A_2 v_2 = n (\pi r^2) v_{ejection}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પ્રવાહ દરને સરખાવતા:
$\pi R^2 v = n \pi r^2 v_{ejection}$.
બહાર નીકળતા પ્રવાહીની ઝડપ $(v_{ejection})$ માટે ઉકેલતા:
$v_{ejection} = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{v R^2}{n r^2}$.

(B) અશાંત પ્રવાહ (turbulent flow) ઊંચા વેગ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે,ખાસ કરીને જ્યારે પ્રવાહીનો વેગ ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ કરતા વધી જાય છે. આ સ્થિતિમાં,પ્રવાહ અનિયમિત અથવા અસ્તવ્યસ્ત બની જાય છે,અને પ્રવાહીના કણો સ્તરોની વચ્ચે ગતિ કરે છે,જેનાથી મિશ્રણ થાય છે. તેનાથી વિપરીત,જ્યારે વેગ ક્રાંતિક વેગ કરતા ઓછો હોય,ત્યારે પ્રવાહ લેમિનર (laminar) અથવા ધારારેખી હોય છે,જે સરળ અને વ્યવસ્થિત હોય છે. તેથી,ક્રાંતિક વેગ કરતા ઓછો વેગ હોવો એ લેમિનર પ્રવાહનું લક્ષણ છે,અશાંત પ્રવાહનું નહીં. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સાચી સમજૂતી સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) પર આધારિત છે. સુરેખ પ્રવાહમાં અદબનીય પ્રવાહી માટે,પ્રવાહના દરેક આડછેદ પર કદના પ્રવાહનો દર અચળ રહે છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ: $A_1 V_1 = A_2 V_2 = \text{અચળ}$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
જેમ પાણી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ઊભી રીતે નીચે પડે છે,તેમ તેનો વેગ $V$ નીચે તરફ જતાં વધે છે $(V = \sqrt{2gh})$.
કારણ કે $A \times V$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ,જો વેગ $V$ વધે,તો અચળ પ્રવાહ દર જાળવી રાખવા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટવું જ જોઈએ. તેથી,પાણીનો સ્તંભ નીચે પડતાં સાંકડો થાય છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,પાણીનો કદ પ્રવાહ દર (Volume flow rate) અચળ રહે છે.
ધારો કે $A_1$ એ પાઇપનો આડછેદનો વિસ્તાર છે અને $v_1$ એ પાઇપમાં પાણીનો વેગ છે.
ધારો કે $A_2$ એ $100$ છિદ્રોનો કુલ આડછેદનો વિસ્તાર છે અને $v_2$ એ છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ છે.
$A_1 v_1 = 100 \times A_{hole} \times v_2$
આપેલ છે:
પાઇપનો વ્યાસ $D_1 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \times 10^{-2} \ m$.
વેગ $v_1 = 3 \ ms^{-1}$.
દરેક છિદ્રનો વ્યાસ $d = 0.05 \ cm = 0.05 \times 10^{-2} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.025 \times 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$\pi (1 \times 10^{-2})^2 \times 3 = 100 \times \pi (0.025 \times 10^{-2})^2 \times v_2$
$10^{-4} \times 3 = 100 \times (2.5 \times 10^{-4})^2 \times v_2$
$3 \times 10^{-4} = 100 \times 6.25 \times 10^{-8} \times v_2$
$3 \times 10^{-4} = 6.25 \times 10^{-6} \times v_2$
$v_2 = \frac{3 \times 10^{-4}}{6.25 \times 10^{-6}} = \frac{300}{6.25} = 48 \ ms^{-1}$.

(A) આપેલ છે: પાઈપ $P$ નો વ્યાસ $d_{p} = 2 \times 10^{-2} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r_{p} = 10^{-2} \ m$.
પાઈપ $Q$ નો વ્યાસ $d_{q} = 4 \times 10^{-2} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r_{q} = 2 \times 10^{-2} \ m$.
સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,અદબનીય પ્રવાહી માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_{p}v_{p} = A_{q}v_{q}$.
તેથી,વેગ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{v_{p}}{v_{q}} = \frac{A_{q}}{A_{p}}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ હોવાથી,$\frac{v_{p}}{v_{q}} = \frac{\pi r_{q}^{2}}{\pi r_{p}^{2}} = \left(\frac{r_{q}}{r_{p}}\right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{p}}{v_{q}} = \left(\frac{2 \times 10^{-2}}{10^{-2}}\right)^{2} = (2)^{2} = 4$.
આમ,$v_{p} = 4v_{q}$. એટલે કે પાઈપ $P$ માં પાણીનો વેગ $Q$ કરતા $4$ ગણો છે.

(B) ધારો કે $A_1 = 1 \ cm^2$ અને $A_2 = 0.5 \ cm^2$ એ નળ પાસે અને તેનાથી $h = 10 \ cm$ નીચેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ છે.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,તેથી $1 \cdot v_1 = 0.5 \cdot v_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 2v_1$.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_0 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh = P_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$.
$v_2 = 2v_1$ મૂકતા: $gh + \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}(2v_1)^2 = 2v_1^2$.
આમ,$gh = \frac{3}{2}v_1^2$,તેથી $v_1 = \sqrt{\frac{2gh}{3}}$.
અહીં $g = 980 \ cm/s^2$ અને $h = 10 \ cm$ લેતા,$v_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 980 \cdot 10}{3}} = \sqrt{\frac{19600}{3}} \approx 80.83 \ cm/s$.
કદ પ્રવાહ દર $Q = A_1 v_1 = 1 \ cm^2 \cdot 80.83 \ cm/s = 80.83 \ cm^3/s$.
$litre/min$ માં રૂપાંતર કરતા: $Q = 80.83 \times 10^{-3} \ litre/s = 80.83 \times 10^{-3} \times 60 \ litre/min \approx 4.85 \ litre/min$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ જવાબ $4.9 \ litre/min$ મળે છે.

(C) ધારો કે નળ પાસે વેગ $v_1 = 0.4 \ m/s$ અને વ્યાસ $D_1 = 8 \times 10^{-3} \ m$ છે.
નળની નીચે $h = 0.2 \ m$ અંતરે વેગ $v_2$ અને વ્યાસ $D_2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v_2^2 = v_1^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v_2 = \sqrt{(0.4)^2 + 2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{0.16 + 4} = \sqrt{4.16} \approx 2.04 \ m/s$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A = \frac{\pi D^2}{4}$.
તેથી,$D_1^2 v_1 = D_2^2 v_2$.
$D_2 = D_1 \sqrt{\frac{v_1}{v_2}} = (8 \times 10^{-3}) \sqrt{\frac{0.4}{2.04}} \approx (8 \times 10^{-3}) \sqrt{0.196} \approx (8 \times 10^{-3}) \times 0.443 \approx 3.54 \times 10^{-3} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,આ મૂલ્ય $3.6 \times 10^{-3} \ m$ ની નજીક છે.

(C) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે,એટલે કે $A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$.
અહીં,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ પહોળાઈ $W$ અને ઊંડાઈ $d$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે. પહોળાઈ $W$ અચળ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$A_{1} = W \times 4 \ m$
$A_{2} = W \times 8 \ m$
આપેલ છે કે $v_{1} = 12 \ m/s$,આ કિંમતોને સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(W \times 4) \times 12 = (W \times 8) \times v_{2}$
બંને બાજુને $W$ વડે ભાગતા (કારણ કે $W \neq 0$):
$4 \times 12 = 8 \times v_{2}$
$48 = 8 \times v_{2}$
$v_{2} = \frac{48}{8} = 6 \ m/s$.
આમ,$8 \ m$ ની ઊંડાઈએ વેગ $6 \ m/s$ છે.

(A) પ્રવાહનો દર (કદ પ્રવાહ દર) સમીકરણ $Q = A \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ સરેરાશ વેગ છે.
આપેલ છે:
$A = 0.25\,m^2$
$Q = 100\,cm^3/s = 100 \times 10^{-6}\,m^3/s = 10^{-4}\,m^3/s$
વેગ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$v = \frac{Q}{A} = \frac{10^{-4}}{0.25} = 4 \times 10^{-4}\,m/s$
વેગને $m/s$ માંથી $mm/s$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,$1000$ વડે ગુણો:
$v = 4 \times 10^{-4} \times 10^3\,mm/s = 0.4\,mm/s$.

(D) સાતત્યના સિદ્ધાંત મુજબ, અસમાન આડછેદ ધરાવતી નળીમાંથી અદબનીય અને શ્યાનતા રહિત પ્રવાહીના ધારારેખી વહન માટે, પ્રવાહીના વહનનો દર (જેને ડિસ્ચાર્જ રેટ, $Q$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) નળીના દરેક આડછેદ પાસે અચળ રહે છે.
સાતત્યનું સમીકરણ $A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
પ્રવાહી અદબનીય હોવાથી અને વહન સ્થાયી (ધારારેખી) હોવાથી, આપેલ સમયમાં નળીના કોઈપણ વિભાગમાં પ્રવેશતા પ્રવાહીનો જથ્થો તે વિભાગમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના જથ્થા જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી, પ્રવાહીના વહનનો દર $M$ અને $N$ બંને બિંદુઓ પાસે સમાન છે.

(D) ધારારેખી વહનમાં અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદ વહન દર (અથવા ડિસ્ચાર્જ) $Q_v = A \cdot v$ નળીમાં સમગ્ર રીતે અચળ રહે છે.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સમયમાં કોઈપણ આડછેદમાંથી પ્રવેશતા પ્રવાહીનું કદ એ અન્ય કોઈપણ આડછેદમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના કદ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,પ્રવાહીના વહનનો દર નળીના તમામ બિંદુઓ પર સમાન હોય છે,જેમાં $P$ અને $Q$ બિંદુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(A) $t$ સમયમાં $A$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા હવાનું કદ એ ક્ષેત્રફળ,વેગ અને સમયના ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = A \times v \times t$।
હવાની ઘનતા $\rho$ હોવાથી,હવાનું દળ $m$ એ ઘનતા અને કદના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $m = \rho \times V$।
કદ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે: $m = \rho \times (A \times v \times t) = Av\rho t$।

(A) જ્યારે નળમાંથી પાણી નીચે પડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તે નીચે તરફ ગતિ કરતી વખતે પ્રવેગિત થાય છે.
સાતત્યના સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
જેમ જેમ પાણી નીચે પડે છે તેમ તેનો વેગ $v$ વધે છે,તેથી પ્રવાહનો દર અચળ રાખવા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,પાણીની ધારનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.

(D) સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહમાં,કોઈપણ આપેલા બિંદુએ પ્રવાહીના કણનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
ચોક્કસ બિંદુએ વેગ $v$ અચળ હોવાથી,તે બિંદુએ પહોંચતા કોઈપણ કણનું વેગમાન $p = mv$ સમાન હશે,જો આપણે ધારીએ કે કણોનું દળ $m$ સમાન છે.
તે જ રીતે,તે ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ પણ સમાન હશે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(D) અશાંત પ્રવાહ (turbulent flow) અસ્તવ્યસ્ત અને અનિયમિત પ્રવાહી ગતિ દ્વારા લાક્ષણિક છે.
અશાંત પ્રવાહમાં,પ્રવાહીના કણો યાદચ્છિક માર્ગો પર ગતિ કરે છે,જે પ્રવાહીના વિવિધ સ્તરોના મિશ્રણને નોંધપાત્ર રીતે વધારે છે.
આ વધેલું મિશ્રણ લેમિનર પ્રવાહની તુલનામાં પ્રવાહીના સ્તરો વચ્ચે વેગમાન અને ઊર્જાના સ્થાનાંતરણનો દર વધારે છે.
વધુમાં,આ અસ્તવ્યસ્ત ગતિને કારણે થતું આંતરિક ઘર્ષણ ગતિ ઊર્જાને ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત કરે છે.
તેથી,એ વિધાન કે અશાંત પ્રવાહ વેગમાન અને ઊર્જાના સ્થાનાંતરણનો દર ઘટાડે છે,તે ખોટું છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કુલ પ્રવાહ દર $Q_{total}$ એ બે શાખાઓમાં પ્રવાહ દરના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$Q_{total} = A_1 v_p + A_2 v_Q$
આપેલ છે:
$Q_{total} = 0.1\, m^3/sec$
$A_1 = A/3 = 10^{-2}/3\, m^2$
$A_2 = 2A/3 = 2 \times 10^{-2}/3\, m^2$
$v_p = 20\, m/sec$
કિંમતો મૂકતા:
$0.1 = (A/3) \times 20 + (2A/3) \times v_Q$
$3/A$ વડે ગુણતા:
$0.1 \times (3/A) = 20 + 2 v_Q$
$0.3 / 10^{-2} = 20 + 2 v_Q$
$30 = 20 + 2 v_Q$
$10 = 2 v_Q$
$v_Q = 5\, m/sec$

(C) અદબનીય પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં,$d_1 = 3\, cm$ (ત્રિજ્યા $r_1 = 1.5\, cm$) અને $d_2 = 6\, cm$ (ત્રિજ્યા $r_2 = 3.0\, cm$) છે.
સાંકડી પાઈપમાં વેગ $V_1 = 4\, m/s$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\pi (r_1)^2 V_1 = \pi (r_2)^2 V_2$.
$\pi (1.5)^2 \times 4 = \pi (3.0)^2 \times V_2$.
$2.25 \times 4 = 9 \times V_2$.
$9 = 9 \times V_2$.
તેથી,$V_2 = 1\, m/s$.

(A) જ્યારે પાણી નળમાંથી નીચે પડે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તેનો વેગ $v$ વધે છે.
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ,અદબનીય પ્રવાહી માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને વેગ $v$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A \cdot v = \text{constant}$.
જેમ જેમ પાણી નીચે પડે છે તેમ વેગ $v$ વધતો હોવાથી,$A \cdot v$ નો ગુણાકાર અચળ રાખવા માટે ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,પાણીના પ્રવાહનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે.

(C) ગતિના સમીકરણ $v_2^2 = v_1^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_1 = 0.04\, ms^{-1}$,$g = 10\, ms^{-2}$,અને $h = 8 \times 10^{-1}\, m$ છે:
$v_2^2 = (0.04)^2 + 2 \times 10 \times 0.8 = 0.0016 + 16 = 16.0016 \approx 16\, m^2s^{-2}$.
આમ,$v_2 \approx 4\, ms^{-1}$.
સાતત્યના સમીકરણ $A_1v_1 = A_2v_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \pi (D/2)^2$ છે:
$D_1^2 v_1 = D_2^2 v_2$
$(8 \times 10^{-3})^2 \times 0.04 = D_2^2 \times 4$
$64 \times 10^{-6} \times 0.04 = D_2^2 \times 4$
$D_2^2 = 16 \times 10^{-6} \times 0.04 = 0.64 \times 10^{-6}$
$D_2 = \sqrt{0.64 \times 10^{-6}} = 0.8 \times 10^{-3}\, m$.

(D) આદર્શ પ્રવાહી માટે સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને પ્રવાહીના વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
આનો અર્થ એ છે કે વેગ એ ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $v \propto \frac{1}{A}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ વેગ અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર એ ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ અને મહત્તમ ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર જેટલો થાય:
$\frac{v_{\min}}{v_{\max}} = \frac{A_{\min}}{A_{\max}} = \left( \frac{d_{\min}}{d_{\max}} \right)^2$.
આપેલ કિંમતો $d_{\min} = 4.8 \; cm$ અને $d_{\max} = 6.4 \; cm$ મૂકતા:
$\frac{v_{\min}}{v_{\max}} = \left( \frac{4.8}{6.4} \right)^2 = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$.

(C) સ્પ્રે પંપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A_{1} = 8 \; cm^{2} = 8 \times 10^{-4} \; m^{2}$.
છિદ્રોની સંખ્યા,$n = 40$. દરેક છિદ્રનો વ્યાસ,$d = 1 \; mm = 1 \times 10^{-3} \; m$.
દરેક છિદ્રની ત્રિજ્યા,$r = d/2 = 0.5 \times 10^{-3} \; m$.
દરેક છિદ્રના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$a = \pi r^{2} = \pi (0.5 \times 10^{-3})^{2} \; m^{2}$.
$40$ છિદ્રોનું કુલ ક્ષેત્રફળ,$A_{2} = n \times a = 40 \times \pi (0.5 \times 10^{-3})^{2} \; m^{2} \approx 31.416 \times 10^{-6} \; m^{2}$.
નળીની અંદર પ્રવાહીના વહનનો વેગ,$V_{1} = 1.5 \; m/min = 1.5/60 \; m/s = 0.025 \; m/s$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_{1} V_{1} = A_{2} V_{2}$.
$V_{2} = (A_{1} V_{1}) / A_{2} = (8 \times 10^{-4} \times 0.025) / (31.416 \times 10^{-6}) \approx 0.636 \; m/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $0.63 \; m/s$ છે.

(N/A) જો કોઈ પ્રવાહીના પ્રવાહમાં કોઈપણ આપેલા બિંદુએ,ત્યાંથી પસાર થતા દરેક પ્રવાહી કણનો વેગ સમય સાથે અચળ રહેતો હોય,તો તે પ્રવાહને સ્થાયી પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહીના કોઈપણ કણનો વેગ જ્યારે તે કોઈ ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે તે સમાન રહે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,ધારો કે બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા દરેક કણનો વેગ $\overrightarrow{v_{P}}$ છે,બિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતા દરેક કણનો વેગ $\overrightarrow{v_{Q}}$ છે,અને બિંદુ $R$ માંથી પસાર થતા દરેક કણનો વેગ $\overrightarrow{v_{R}}$ છે.
તે જરૂરી નથી કે $\overrightarrow{v_{P}} = \overrightarrow{v_{Q}} = \overrightarrow{v_{R}}$ હોય.
જ્યારે કણ એક બિંદુથી બીજા બિંદુ પર જાય છે,ત્યારે તેનો વેગ બદલાઈ શકે છે.
જો પ્રવાહીનો વેગ ઓછો હોય તો તેની ગતિને સ્થાયી પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,પાણીના પ્રવાહની ખૂબ જ ધીમી ગતિ,ધીમેથી ફૂંકાતો પવન.

(N/A) પ્રવાહીના કણના ગતિપથને વહનરેખા કહેવામાં આવે છે.
ધારારેખા એ એક એવો વક્ર છે કે જેના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ પ્રવાહીના વેગની દિશા દર્શાવે છે.
સ્થાયી વહનમાં,પ્રવાહીના કણ દ્વારા લેવામાં આવેલો માર્ગ એ ધારારેખા છે. આકૃતિ $(a)$ માં પ્રવાહીના કણનો લાક્ષણિક ગતિપથ દર્શાવેલ છે,જે ધારારેખાનું નિરૂપણ કરે છે. કોઈપણ બિંદુએ કણનો વેગ તે બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ધારારેખીય વહન એવું વહન છે જેમાં ધારારેખાઓ સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈપણ આપેલા બિંદુએ પ્રવાહીનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી.
અસ્થાયી વહનમાં,કોઈપણ બિંદુએ વેગ સમય સાથે બદલાય છે,તેથી કણનો માર્ગ (વહનરેખા) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે,પરંતુ નિશ્ચિત ધારારેખા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી.

પ્રવાહ નળી એ સ્ટ્રીમલાઇન્સ (streamlines) નો એક સમૂહ છે જે પ્રવાહીના પ્રવાહમાં નળાકાર પ્રદેશ બનાવે છે.
પ્રવાહ નળીની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રવાહ નળીની સીમા સ્ટ્રીમલાઇન્સ દ્વારા બનેલી હોવાથી,કોઈ પણ પ્રવાહી કણ આ સીમાને ઓળંગી શકતું નથી. પ્રવાહી એક છેડેથી દાખલ થાય છે અને બીજા છેડેથી બહાર નીકળે છે.
$2$. નળીની અંદર પ્રવાહની દિશાને લંબ કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતા તમામ પ્રવાહી કણોનો વેગ કોઈ ચોક્કસ સમયે સમાન માનવામાં આવે છે.
$3$. જ્યારે પ્રવાહી કોઈ ભૌતિક પાઇપ કે નળીમાંથી ખૂબ જ ધીમી ગતિએ (લેમિનર પ્રવાહ) વહેતું હોય,ત્યારે આખી પાઇપને એક પ્રવાહ નળી તરીકે ગણી શકાય છે.

(N/A) સ્ટ્રીમલાઇન્સના લક્ષણો:
$(i)$ સ્થાયી પ્રવાહમાં,સ્ટ્રીમલાઇન્સ ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી.
$(ii)$ સ્ટ્રીમલાઇન પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ પ્રવાહીના કણના વેગની દિશા સૂચવે છે.
$(iii)$ સ્ટ્રીમલાઇન પરના કોઈ ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થતા દરેક પ્રવાહી કણનો વેગ સમાન હોય છે,પરંતુ તે અલગ-અલગ બિંદુઓ પર અલગ હોઈ શકે છે.
$(iv)$ દૂર-દૂર રહેલી સ્ટ્રીમલાઇન્સ ઓછા વેગનો વિસ્તાર સૂચવે છે અને નજીક-નજીક રહેલી સ્ટ્રીમલાઇન્સ વધુ વેગનો વિસ્તાર સૂચવે છે.

(N/A) વહેતા પ્રવાહીમાં કણ દ્વારા લેવામાં આવતા માર્ગને તેની પ્રવાહ રેખા (line of flow) કહેવામાં આવે છે.
ગતિશીલ પ્રવાહીમાં,સામાન્ય રીતે કણોનો વેગ અને દિશા સમય સાથે બદલાતા રહે છે. તેથી,એક બિંદુમાંથી પસાર થતા કણો એક જ માર્ગે ગતિ કરે તે જરૂરી નથી.
જોકે,સ્થાયી પ્રવાહ (steady flow) માં,કોઈ ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થતા કણનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી.
ધારો કે બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા કણનો વેગ $\overrightarrow{V}_{P}$ છે,અને બિંદુઓ $Q, R$ અને $S$ માંથી પસાર થતા કણોના વેગ અનુક્રમે $\overrightarrow{V}_{Q}, \overrightarrow{V}_{R}$ અને $\overrightarrow{V}_{S}$ છે.
સ્થાયી પ્રવાહમાં,બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતા કણનો માર્ગ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હોય છે. આ સ્થાયી માર્ગને સ્ટ્રીમલાઇન કહેવામાં આવે છે.
સ્થાયી પ્રવાહમાં,પ્રવાહ રેખા અને સ્ટ્રીમલાઇન એકબીજા પર સંપાત થાય છે.
સ્ટ્રીમલાઇન: સ્ટ્રીમલાઇન એ એક એવી વક્ર રેખા છે કે જેના પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએથી પસાર થતા પ્રવાહી કણના વેગની દિશા દર્શાવે છે.
સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહ: જે પ્રવાહમાં સ્ટ્રીમલાઇન વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે,તેને સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે.
અસ્થાયી પ્રવાહમાં,કોઈ ચોક્કસ કણ માટે પ્રવાહ રેખા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે,પરંતુ સ્ટ્રીમલાઇન વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી કારણ કે કોઈ બિંદુએ વેગ સમય સાથે બદલાય છે.

(N/A) સ્થાયી વહનમાં,જો આપણે દરેક કણ માટે પ્રવાહરેખાઓ દોરીએ,તો તે નળી જેવી રચના બનાવે છે જેને પ્રવાહની નળી (tube of flow) કહેવામાં આવે છે. કોઈ પણ પ્રવાહીનો કણ આ નળીની બાજુઓમાંથી બહાર જતો નથી કે અંદર પ્રવેશતો નથી.
આકૃતિમાં $P$,$R$ અને $Q$ બિંદુઓ ધરાવતી પ્રવાહની નળી દર્શાવેલ છે.
ધારો કે $P$,$Q$ અને $R$ બિંદુઓ પર પ્રવાહીના કણનો વેગ અનુક્રમે $v_{P}$,$v_{Q}$ અને $v_{R}$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{P}$,$A_{Q}$ અને $A_{R}$ છે.
વહન સ્થાયી હોવાથી,આપેલ સમયગાળા $\Delta t$ માં કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતું પ્રવાહીનું દળ સમાન રહે છે.
સમય $\Delta t$ માં $A_{P}$ આડછેદમાંથી $v_{P}$ વેગ સાથે પસાર થતું પ્રવાહીનું દળ $m_{P}$ નીચે મુજબ છે:
$m_{P} = A_{P} v_{P} \Delta t \rho$,જ્યાં $\rho$ એ અદબનીય પ્રવાહીની ઘનતા છે.
તે જ રીતે,સમાન સમયગાળા $\Delta t$ માં $Q$ અને $R$ માંથી પસાર થતું પ્રવાહીનું દળ:
$m_{Q} = A_{Q} v_{Q} \Delta t \rho$ અને $m_{R} = A_{R} v_{R} \Delta t \rho$.
પ્રવાહી અદબનીય હોવાથી અને વહન સ્થાયી હોવાથી,નળીમાં પ્રવેશતું દળ તેમાંથી બહાર નીકળતા દળ જેટલું જ હોય છે. તેથી:
$m_{P} = m_{R} = m_{Q}$
પદોને મૂકતા:
$A_{P} v_{P} \Delta t \rho = A_{R} v_{R} \Delta t \rho = A_{Q} v_{Q} \Delta t \rho$
સામાન્ય પદો $\Delta t$ અને $\rho$ ને દૂર કરતા:
$A_{P} v_{P} = A_{R} v_{R} = A_{Q} v_{Q}$
આ સ્થાયી વહન માટે સાતત્યનું સમીકરણ છે,જે અદબનીય પ્રવાહી માટે દળ સંરક્ષણનો નિયમ દર્શાવે છે.
સામાન્ય રીતે,$A v = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $v \propto \frac{1}{A}$.
ગુણાકાર $Av$ એ કદ ફ્લક્સ અથવા વહન દર દર્શાવે છે,જે સમગ્ર પ્રવાહ નળીમાં અચળ રહે છે. સાંકડા ભાગોમાં પ્રવાહરેખાઓ નજીક હોય છે,જે વધુ વેગ સૂચવે છે,જ્યારે પહોળા ભાગોમાં પ્રવાહરેખાઓ દૂર હોય છે,જે ઓછો વેગ સૂચવે છે.

(N/A) ક્રાંતિક ઝડપ (Critical speed): ઓછી ઝડપે વહેતા તરલના વહનમાં એક મર્યાદિત મૂલ્ય સુધી સ્થાયી વહન પ્રાપ્ત થાય છે,જેને ક્રાંતિક ઝડપ કહે છે.
પ્રક્ષુબ્ધ વહન (Turbulent flow): તરલના વહનમાં,જો તરલનો વેગ દરેક બિંદુએ અને સમય સાથે અનિયમિત રીતે બદલાતો હોય,તો તે વહનને પ્રક્ષુબ્ધ વહન કહેવામાં આવે છે. જો તરલની ઝડપ ક્રાંતિક ઝડપ કરતા વધી જાય,તો વહન તેની સ્થિરતા ગુમાવે છે અને પ્રક્ષુબ્ધ બને છે.
વ્હાઇટ વોટર રેપિડ્સ (White water rapids): જ્યારે ઝડપથી વહેતી નદી કે પ્રવાહ ખડકો સાથે અથડાય છે,ત્યારે નાના ફીણવાળા વમળ જેવા પ્રદેશો રચાય છે,જેને 'વ્હાઇટ વોટર રેપિડ્સ' કહેવામાં આવે છે.

(N/A) સ્થાયી પ્રવાહ એ પ્રવાહીની ગતિનો એક પ્રકાર છે જેમાં અવકાશના કોઈપણ આપેલા બિંદુએ પ્રવાહીના કણોનો વેગ સમયની સાપેક્ષમાં અચળ રહે છે.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો,પ્રવાહીના માર્ગમાં કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુએ,સમય પસાર થવા છતાં વેગ સદિશ બદલાતો નથી.
ગાણિતિક રીતે,સ્થાયી પ્રવાહ માટે,બિંદુ $(x, y, z)$ પર વેગ $v$ એ શરત સંતોષે છે: $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$.

(N/A) $1$. પ્રવાહ રેખા (Line of Flow): પ્રવાહ રેખા એ એક એવો વક્ર છે કે જેના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ પ્રવાહીના વેગની દિશા દર્શાવે છે. તે પ્રવાહીના કણ દ્વારા ગતિ દરમિયાન લેવાયેલો માર્ગ દર્શાવે છે.
$2$. સ્ટ્રીમલાઇન (Streamline): સ્ટ્રીમલાઇન એ સ્થાયી પ્રવાહમાં પ્રવાહ રેખાનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે,જ્યાં રેખા પરના દરેક બિંદુએ વેગ સદિશ તે સ્ટ્રીમલાઇનને સ્પર્શક હોય છે. સ્થાયી પ્રવાહમાં,સ્ટ્રીમલાઇનની ભાત સમય સાથે બદલાતી નથી,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહીના કણો એક જ માર્ગને અનુસરે છે.

(B) સ્ટ્રીમલાઇન એ એક એવો વક્ર છે કે જેના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુએ પ્રવાહી કણના વેગ સદિશની દિશામાં હોય છે.
તેથી,સ્ટ્રીમલાઇન પરના કોઈપણ બિંદુએ પ્રવાહી કણનો વેગ હંમેશા તે બિંદુએ સ્ટ્રીમલાઇનના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ પણ પ્રવાહી કણ સ્ટ્રીમલાઇનને ઓળંગી શકતું નથી,કારણ કે વેગ સદિશ હંમેશા માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.

(B) ના,બે સ્ટ્રીમલાઇન એકબીજાને છેદી શકતી નથી.
જો બે સ્ટ્રીમલાઇન એકબીજાને છેદે,તો છેદન બિંદુ પર પહોંચતા પ્રવાહીના કણ પાસે એકસાથે ગતિની બે શક્ય દિશાઓ હોય.
આનો અર્થ એ થાય કે તે બિંદુ પર પ્રવાહીના કણનો વેગ સદિશ અનન્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.
સ્થાયી પ્રવાહમાં પ્રવાહીના કણનો વેગ પ્રવાહ ક્ષેત્ર દ્વારા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવતો હોવાથી,આવી છેદન ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(B) પ્રવાહ નળી (tube of flow) એટલે સ્ટ્રીમલાઇન્સનો એવો સમૂહ જે અવકાશના એક સીમિત વિસ્તારને ઘેરે છે,જેમાંથી પ્રવાહી વહે છે.
સ્ટ્રીમલાઇન્સ એકબીજાને છેદી શકતી ન હોવાથી,પ્રવાહ નળીની અંદર રહેલા પ્રવાહીના કણો તેમની ગતિ દરમિયાન તેની અંદર જ રહે છે.
પ્રવાહ નળીની સીમા એક બંધ વક્રની પરિમિતિમાંથી પસાર થતી સ્ટ્રીમલાઇન્સ દ્વારા રચાય છે.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) ફ્લુઇડ ડાયનેમિક્સમાં પ્રવાહ રેખાઓના ગુણધર્મો અનુસાર,પ્રવાહ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર પ્રવાહીના વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે પ્રવાહ રેખાઓ એકબીજાની નજીક હોય,ત્યારે તે દર્શાવે છે કે પ્રવાહી સાંકડા વિસ્તારમાંથી પસાર થઈ રહ્યું છે.
સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ,$A_1v_1 = A_2v_2$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
જેમ ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે,તેમ પ્રવાહનો દર જાળવી રાખવા માટે વેગ $v$ માં વધારો થવો જોઈએ.
તેથી,નજીક રહેલી પ્રવાહ રેખાઓ પ્રવાહીના ઉચ્ચ વેગવાળા વિસ્તારોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(B) સ્ટ્રીમલાઇન્સના ગુણધર્મો અનુસાર,સ્ટ્રીમલાઇન્સ વચ્ચેનું અંતર પ્રવાહીના વેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
જ્યારે સ્ટ્રીમલાઇન્સ વચ્ચેનું અંતર વધારે હોય,ત્યારે તે દર્શાવે છે કે પ્રવાહી મોટા આડછેદના ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થઈ રહ્યું છે,જેના પરિણામે વેગ ઘટે છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે સ્ટ્રીમલાઇન્સ એકબીજાની નજીક હોય,ત્યારે પ્રવાહીનો વેગ વધારે હોય છે.
તેથી,જો સ્ટ્રીમલાઇન્સ વચ્ચેનું અંતર વધારે હોય,તો પ્રવાહીનો વેગ ઘટે છે.

(N/A) લેમિનર પ્રવાહ, જેને સ્ટ્રીમલાઇન પ્રવાહ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે પ્રવાહીના પ્રવાહનો એક પ્રકાર છે જેમાં પ્રવાહીના કણો સરળ, સુનિશ્ચિત માર્ગો અથવા સ્તરો (સ્ટ્રીમલાઇન્સ) માં ગતિ કરે છે જે એકબીજાને ક્યારેય છેદતા નથી.
આ પ્રકારના પ્રવાહમાં, કોઈપણ આપેલા બિંદુ પર પ્રવાહીનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
લેમિનર પ્રવાહ સામાન્ય રીતે ઓછા વેગ પર જોવા મળે છે અને તે ઓછા રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re < 2000)$ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.