Force due to Liquid in pipe Questions in Gujarati

(A) ભ્રમણાક્ષથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈ ધરાવતા પ્રવાહીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dM = (M/L)dx$ છે.
આ ઘટકને $x$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફેરવવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dM)\omega^2 x$ છે.
$dM$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dF = (M/L)dx \cdot \omega^2 x = (M\omega^2/L)x dx$ મળે છે.
બાહ્ય છેડા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F$ એ $x = 0$ થી $x = L$ સુધીના આ કેન્દ્રગામી બળોનું સંકલન છે:
$F = \int_0^L \frac{M\omega^2}{L} x dx = \frac{M\omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M\omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{1}{2}ML\omega^2$.

(D) પાણીના વહનનો દર $\frac{dV}{dt} = 10\,cm^3/s = 10 \times 10^{-6}\,m^3/s$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3\,kg/m^3$ છે.
પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3}\,m)^2 = \pi \times 0.25 \times 10^{-6}\,m^2$ છે.
પાણીનો વેગ $v = \frac{dV/dt}{A} = \frac{10 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.25 \times 10^{-6}} = \frac{40}{\pi}\,m/s$ છે.
પ્રતિક્રિયાત્મક બળ $F$ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે: $F = \frac{dm}{dt} v = (\rho \frac{dV}{dt}) v$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (10^3) \times (10 \times 10^{-6}) \times \frac{40}{\pi} = 10^{-2} \times \frac{40}{3.14} \approx 0.127\,N$.

(B) $h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભને કારણે પાત્રના તળિયે લાગતું દબાણ $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ઊંચાઈ $h = 0.4 \, m$
ઘનતા $\rho = 900 \, kg/m^3$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
તળિયાનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 10^{-3} \, m^2$
તળિયા પર લાગતું બળ $F = P \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (h \rho g) \times A$
$F = 0.4 \times 900 \times 10 \times (2 \times 10^{-3})$
$F = 3600 \times 2 \times 10^{-3}$
$F = 7200 \times 10^{-3} = 7.2 \, N$.
તેથી,તળિયા પર લાગતું બળ $7.2 \, N$ છે.

(D) જો પાત્રની દીવાલો શિરોલંબ હોય,તો પાત્રના તળિયે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ એ પ્રવાહીના સ્તંભના વજન જેટલું હોય છે.
કારણ કે સમાન જથ્થાનું પ્રવાહી (સમાન દળ $m$) બંને પાત્રોમાં રેડવામાં આવે છે,તેથી પ્રવાહીનું વજન $W = mg$ અચળ રહે છે.
શિરોલંબ દીવાલો ધરાવતા પાત્ર માટે,તળિયે લાગતું બળ એ પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,$F = mg$.
તેથી,$F_1 = mg$ અને $F_2 = mg$.
આમ,$F_1 = F_2$.

(B) પાણીના જેટ દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ એ પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,દીવાલને સમાંતર વેગનો ઘટક બદલાતો નથી,જ્યારે દીવાલને લંબ ઘટક દિશા બદલે છે.
એકમ સમયમાં વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv \cos \theta}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\frac{m}{\Delta t} = \rho A v$,જ્યાં $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ એ પાણીની ઘનતા છે,$A = 6 \times 10^{-4} \ m^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $v = 12 \ m/s$ એ વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = 2(\rho A v) v \cos 60^{\circ} = 2 \rho A v^2 \cos 60^{\circ}$.
$F = 2 \times 10^3 \times (6 \times 10^{-4}) \times (12)^2 \times \cos 60^{\circ}$.
$F = 2 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-4} \times 144 \times 0.5$.
$F = 10^3 \times 6 \times 10^{-4} \times 144 = 86.4 \ N$.

(D) ધારો કે $t$ સમયમાં વહેતા પાણીનું દળ $m = \rho L t$ છે.
ઊભી દિશામાં પાણીનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = m V = \rho L t V$ (ઉપરની તરફ) છે.
ઊભી દિશામાં પાણીનું અંતિમ વેગમાન $p_f = 0$ છે.
ઊભી દિશામાં વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p_y = p_f - p_i = -\rho L V t$.
આડી દિશામાં પાણીનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = 0$ છે.
આડી દિશામાં પાણીનું અંતિમ વેગમાન $p_f = m V = \rho L t V$ (આડી દિશામાં) છે.
આડી દિશામાં વેગમાનમાં ફેરફાર: $\Delta p_x = p_f - p_i = \rho L V t$.
$t$ સમયમાં વેગમાનમાં કુલ ફેરફાર $\Delta p = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{(\rho L V t)^2 + (-\rho L V t)^2} = \sqrt{2} \rho L V t$ છે.
ખૂણા પર પાણી દ્વારા લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે:
$F = \frac{\Delta p}{t} = \sqrt{2} \rho L V$.

(A) દળનો પ્રવાહ દર $\dot{m} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho = 1000 \ kg/m^3$,$A = 10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2$,અને $v = 20 \ m/s$ છે.
$\dot{m} = 1000 \times 10^{-3} \times 20 = 20 \ kg/s$.
$90^{\circ}$ ના વળાંક માટે વેગ સદિશમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$ છે.
પાણી દ્વારા પાઇપ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = \dot{m} \Delta v = \dot{m} v \sqrt{2}$ છે.
$F = 20 \times 20 \times \sqrt{2} = 400 \times 1.4142 = 565.68 \ N \approx 565.7 \ N$.

(B) સપાટ પ્લેટ પર પાણીના ફુવારા દ્વારા લાગતું બળ એ પાણીના રેખીય વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
અહીં દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(1000 \ kg/m^3)$,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $v$ એ વેગ છે.
$F = (\rho A v) v = \rho A v^2$
આપેલ છે:
$A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$
$v = 10 \ m/s$
$\rho = 1000 \ kg/m^3$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 1000 \times (2 \times 10^{-4}) \times (10)^2$
$F = 1000 \times 2 \times 10^{-4} \times 100$
$F = 20 \ N$

(A) પદાર્થ પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ એ તેની સપાટી પર કાર્યરત દબાણ બળનો શિરોલંબ ઘટક છે.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક્સના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થ પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું નીચેની તરફનું બળ એ પ્રવાહીના તે સ્તંભના વજન જેટલું હોય છે જે પાત્રની અંદર પદાર્થના $V$ કદ જેટલી જગ્યા રોકે છે.
આ બળ $F = \rho Vg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ તળિયે બેસાડેલો હોવાથી,પ્રવાહી પદાર્થની ઉપરની સપાટી પર નીચેની તરફ બળ લગાડે છે.
તેથી,પદાર્થ પર પ્રવાહીને કારણે લાગતું કુલ બળ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું એટલે કે $\rho Vg$ હોય છે.

(A) હથેળી પર પાણી દ્વારા લાગતું બળ એ પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
અહીં દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = A \rho v$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે અને $v$ એ વેગ છે.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = v(A \rho v) = A \rho v^2$
આપેલ કિંમતો: $v = 1.5\, ms^{-1}$,$A = 10^{-2}\, m^2$,$\rho = 10^3\, kgm^{-3}$.
$F = 10^{-2} \times 10^3 \times (1.5)^2$
$F = 10 \times 2.25 = 22.5\, N$.

(A) એકમ સમયમાં દીવાલ સાથે અથડાતા પ્રવાહીનું દળ $\frac{dm}{dt} = A \cdot v \cdot \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$v$ એ વેગ છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
ધાર દીવાલ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી હોવાથી,દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $v_n = v \sin \theta$ છે.
પ્રવાહી સ્થિતિસ્થાપક રીતે પાછું ફેંકાય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગનો લંબ ઘટક $v \sin \theta$ થી બદલાઈને $-v \sin \theta$ થાય છે.
દીવાલ દ્વારા પ્રવાહી પર લાગતું વેગમાનમાં ફેરફારનો દર (બળ) $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \cdot \Delta v_n$ છે.
$F = (av\rho) \cdot (v \sin \theta - (-v \sin \theta)) = (av\rho) \cdot (2v \sin \theta) = 2av^2\rho \sin \theta$.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પ્રવાહી દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે,તેથી લંબબળ $2av^2\rho \sin \theta$ છે.

(D) પાણીના પ્રવાહની ઝડપ,$v = 15\; m s^{-1}$.
નળીનો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 10^{-2}\; m^2$.
દર સેકન્ડે નળીમાંથી બહાર આવતા પાણીનું કદ,$V = A \times v = 10^{-2} \times 15 = 0.15\; m^3 s^{-1}$.
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3\; kg m^{-3}$.
દર સેકન્ડે નળીમાંથી બહાર આવતા પાણીનું દળ,$\frac{dm}{dt} = \rho \times V = 10^3 \times 0.15 = 150\; kg s^{-1}$.
પાણી દીવાલ સાથે અથડાય છે અને પાછું ફેંકાતું નથી. તેથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ દીવાલ પર લાગતું બળ:
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \times \frac{dm}{dt}$.
$F = 15\; m s^{-1} \times 150\; kg s^{-1} = 2250\; N$.

(D) દીવાલ સાથે અથડાતા અને સ્થિર થતા પ્રવાહીના પ્રવાહ દ્વારા લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ હોવાથી,બળ $F = \rho A v^{2}$ થાય.
આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^{3}$
ક્ષેત્રફળ $A = 10 \, cm^{2} = 10 \times 10^{-4} \, m^{2} = 10^{-3} \, m^{2}$
વેગ $v = 20 \, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 1000 \times 10^{-3} \times (20)^{2}$
$F = 1 \times 400 = 400 \, N$.

(D) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો પ્રવાહીનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું દળ $dm = (m/L) dx$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) \omega^2 x = (m/L) \omega^2 x dx$ છે.
બીજા છેડે લાગતું કુલ બળ $F$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$F = \int_{0}^{L} \frac{m}{L} \omega^2 x dx = \frac{m \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{m \omega^2 L}{2}$.
અહીં $m = 250\,g = 0.25\,kg$ અને $L = 50\,cm = 0.5\,m$ આપેલ છે,તેથી:
$F = \frac{0.25 \times \omega^2 \times 0.5}{2} = \frac{0.125}{2} \omega^2 = 0.0625 \omega^2$.
આમ,$\omega^2 = F / 0.0625 = 16F$,જે આપણને $\omega = 4 \sqrt{F}$ આપે છે.
આને $\omega = x \sqrt{F}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(B) પાણીની સપાટીથી $x$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho g x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડેમ પર $x$ ઊંડાઈએ $dx$ જાડાઈ અને $w$ પહોળાઈ ધરાવતી એક નાની આડી પટ્ટીનો વિચાર કરો.
આ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA = w \cdot dx$ છે.
આ પટ્ટી પર લાગતું બળ $dF = P \cdot dA = (\rho g x)(w \cdot dx)$ છે.
ડેમ પર લાગતું કુલ પરિણામી બળ $F$ શોધવા માટે,આપણે આ પદનું $x = 0$ થી $x = H$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$F = \int_{0}^{H} \rho g w x \, dx$
$F = \rho g w \int_{0}^{H} x \, dx$
$F = \rho g w \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{H}$
$F = \frac{1}{2} \rho g w H^2$.

(A) પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી $H$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho g H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવાહીને બહાર નીકળતું અટકાવવા માટે,આપણે છિદ્ર પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતા બળ જેટલું જ બળ લગાડવું પડે.
છિદ્ર પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ $F = P \times A$ છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,જરૂરી આડું બળ $F = (\rho g H) \times (\pi r^2) = \rho g H \pi r^2$ થાય.

(B) નળીના તળિયે લાગતું કુલ બળ $F$ એ વાતાવરણીય દબાણને કારણે લાગતું બળ અને પારાના સ્તંભના વજનને કારણે લાગતા બળનો સરવાળો છે.
$F = (P_0 + \rho gh) A$
અહીં,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2} \,m)^2 = \frac{22}{7} \times 4 \times 10^{-4} \,m^2 \approx 1.257 \times 10^{-3} \,m^2$.
વાતાવરણીય દબાણને કારણે બળ $F_{atm} = P_0 A = 10^5 \times 1.257 \times 10^{-3} = 125.7 \,N$.
પારાના સ્તંભને કારણે બળ $F_{Hg} = \rho gh A = (1.36 \times 10^4) \times 10 \times (30 \times 10^{-2}) \times (1.257 \times 10^{-3}) = 13600 \times 10 \times 0.3 \times 1.257 \times 10^{-3} \approx 51.3 \,N$.
કુલ બળ $F = 125.7 + 51.3 = 177 \,N$.

(D) ભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના પ્રવાહીના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો. આ ઘટકનું દળ $dm = \frac{M_{total}}{L} dx = \frac{2M}{1} dx = 2M dx$ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) \omega^2 x = (2M dx) \omega^2 x$ છે.
બાહ્ય છેડે પ્રવાહી દ્વારા લાગતું કુલ બળ $F$ એ $x = 0$ થી $x = L = 1 \ m$ સુધીના આ બળોનું સંકલન છે:
$F = \int_{0}^{L} 2M \omega^2 x dx = 2M \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2M \omega^2 \left( \frac{1}{2} \right) = M \omega^2$.
આપેલ છે કે કોણીય વેગ $\omega = \sqrt{\frac{F}{\alpha M}}$ છે,તેથી $\omega^2 = \frac{F}{\alpha M}$.
$F = M \omega^2$ ને $\omega^2 = \frac{F}{M}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 1$ મળે છે.

(C) પાણી દ્વારા દીવાલ પર લાગતું બળ એ પાણીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે।
આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 10^{-3} \,m^2$
વેગ $v = 12 \,m \,s^{-1}$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3}$
એકમ સમયમાં દીવાલ સાથે અથડાતા પાણીનું દળ $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dm}{dt} = 1000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 12 = 24 \,kg \,s^{-1}$.
બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે: $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \times v$.
પાણી પાછું ફેંકાતું ન હોવાથી, અંતિમ વેગ $0$ છે।
$F = (24 \,kg \,s^{-1}) \times (12 \,m \,s^{-1}) = 288 \,N$.
તેથી, દીવાલ પર લાગતું બળ $288 \,N$ છે।

(B) સપાટીથી '$y$' ઊંડાઈએ દબાણ $P(y) = P_{atm} + \rho gy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$b$' પહોળાઈના ડેમ પર લાગતું કુલ બળ '$F$' એ ક્ષેત્રફળ પર દબાણનું સંકલન છે:
$F = \int_{0}^{h} (P_{atm} + \rho gy) b \, dy = (P_{atm} h + \frac{1}{2} \rho g h^2) b$.
સપાટીથી કાર્યબિંદુ '$y_{cp}$' (દબાણનું કેન્દ્ર) એ બળના મોમેન્ટ અને કુલ બળના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y_{cp} = \frac{\int_{0}^{h} y (P_{atm} + \rho gy) b \, dy}{F} = \frac{b [P_{atm} \frac{h^2}{2} + \rho g \frac{h^3}{3}]}{(P_{atm} h + \frac{1}{2} \rho g h^2) b}$.
જો આપણે ફક્ત પાણીને કારણે લાગતા બળને ધ્યાનમાં લઈએ (વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm}$ ને અવગણીને અથવા બંને બાજુ સમાન ગણીને),તો દબાણનું કેન્દ્ર સપાટીથી $\frac{2h}{3}$ ઊંડાઈએ છે,જે પાયા '$O$' થી $\frac{h}{3}$ અંતરે છે.
આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણભૂત સંદર્ભમાં જ્યાં પાણીના દબાણનું વિતરણ (ત્રિકોણાકાર) ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યાં દબાણનું કેન્દ્ર પાયા '$O$' થી $\frac{h}{3}$ અંતરે હોય છે.