Pascal's Law Questions in Gujarati

(C) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,જે $1652$ માં બ્લેઝ પાસ્કલ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો,બંધ અદબનીય પ્રવાહી પર લાગુ કરવામાં આવતા દબાણમાં થતો ફેરફાર પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને તેના પાત્રની દિવાલો પર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
આ દબાણનો ફેરફાર પ્રવાહીની અંદરની ઊંચાઈ કે દિશાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતી બંધ પાઇપમાં હવા ફૂંકવામાં આવે છે,ત્યારે દબાણમાં થતો વધારો સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે દબાણ બધી દિશાઓમાં વધશે.

(D) આ વિધાન $Pascal$ ના નિયમનું વર્ણન કરે છે.
$Pascal$ નો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર કોઈપણ ઘટાડા વગર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લાગુ પાડવામાં આવતું બાહ્ય સ્થિર દબાણ પ્રવાહીમાં બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે અથવા પ્રસારિત થાય છે.

(C) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે. તેથી,$P_1 = P_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$.
આપેલ છે: $A_1 = 100 \, cm^2 = 10^2 \, cm^2$,$F_1 = 10^7 \, dynes$,$m = 2000 \, kg = 2 \times 10^6 \, g$,અને $g \approx 980 \, cm/s^2 \approx 10^3 \, cm/s^2$.
બળ $F_2 = m \times g = 2000 \times 10^3 \times 10^3 \, dynes = 2 \times 10^9 \, dynes$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^7}{10^2} = \frac{2 \times 10^9}{A_2}$.
$10^5 = \frac{2 \times 10^9}{A_2}$.
$A_2 = \frac{2 \times 10^9}{10^5} = 2 \times 10^4 \, cm^2$.

(C) પિસ્ટન પર દળ દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈના તફાવત $h$ ને કારણે ઉદ્ભવતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A}$.
આપેલ છે: $m = 12 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$A = 800 \ cm^2 = 800 \times 10^{-4} \ m^2 = 0.08 \ m^2$.
દળને કારણે દબાણ = $\frac{12 \times 10}{0.08} = \frac{120}{0.08} = 1500 \ Pa$.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $P = \rho g h$,જ્યાં પાણી માટે $\rho = 1000 \ kg/m^3$.
$1500 = 1000 \times 10 \times h$.
$1500 = 10000 \times h$.
$h = \frac{1500}{10000} = 0.15 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા: $h = 0.15 \times 100 = 15 \ cm$.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ માટે,બંને બાજુઓ પરનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ:
$P_1 = P_2$
દબાણ $P = \frac{F}{A}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બાજુ $1$ નું ક્ષેત્રફળ $(A_1)$ એ બાજુ $2$ ના ક્ષેત્રફળ $(A_2)$ કરતા નાનું છે,એટલે કે $A_1 < A_2$.
બળ $F_2$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1}$
અહીં $\frac{A_2}{A_1} > 1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $F_2 > F_1$,અથવા $F_1 < F_2$.
તેથી,બાજુ $1$ પરનું બળ બાજુ $2$ પરના બળ કરતાં ઓછું છે.

(B) હાઇડ્રોલિક પ્રેસનો યાંત્રિક ફાયદો $(MA)$ એ મોટા પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $(A_1)$ અને નાના પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $(A_2)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$MA = \frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi (D_1/2)^2}{\pi (D_2/2)^2} = \frac{D_1^2}{D_2^2}$
અહીં વ્યાસ $D_1 = 0.6\, m$ અને $D_2 = 0.1\, m$ આપેલ છે:
$MA = \frac{(0.6)^2}{(0.1)^2} = \frac{0.36}{0.01} = 36$
તેથી,યાંત્રિક ફાયદો $36$ છે.

(A) પિસ્ટન પર દળ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{mg}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ દબાણ $h$ ઊંચાઈના પાણીના સ્તંભના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે $P = \rho gh$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{mg}{A} = \rho gh$.
તેથી,$h = \frac{m}{\rho A}$.
આપેલ છે: $m = 12\,kg$,$A = 800\,cm^2 = 800 \times 10^{-4}\,m^2 = 0.08\,m^2$,અને પાણીની ઘનતા $\rho = 1000\,kg/m^3$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{12}{1000 \times 0.08} = \frac{12}{80} = 0.15\,m$.

(A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે.
$(a)$ ધારો કે $F_1 = 10 \; N$ એ નાના પિસ્ટન પરનું બળ છે જેનો વ્યાસ $d_1 = 1.0 \; cm$ છે અને $F_2$ એ મોટા પિસ્ટન પરનું બળ છે જેનો વ્યાસ $d_2 = 3.0 \; cm$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (d_1/2)^2$ અને $A_2 = \pi (d_2/2)^2$ છે.
દબાણ $P = F_1/A_1 = F_2/A_2$ હોવાથી,$F_2 = F_1 \times (A_2/A_1) = F_1 \times (d_2/d_1)^2$ મળે.
$F_2 = 10 \; N \times (3.0 \; cm / 1.0 \; cm)^2 = 10 \times 9 = 90 \; N$.
$(b)$ પાણી અદબનીય હોવાથી,નાના પિસ્ટન દ્વારા સ્થાનાંતરિત પાણીનું કદ એ મોટા પિસ્ટન દ્વારા સ્થાનાંતરિત કદ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,જ્યાં $L_1 = 6.0 \; cm$ એ નાના પિસ્ટનનું સ્થાનાંતર છે.
$L_2 = L_1 \times (A_1/A_2) = L_1 \times (d_1/d_2)^2$.
$L_2 = 6.0 \; cm \times (1.0 \; cm / 3.0 \; cm)^2 = 6.0 \times (1/9) = 0.67 \; cm$.

(N/A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લાગુ પાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દિવાલો પર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
આપેલ છે:
નાના પિસ્ટનની ત્રિજ્યા,$r_{1} = 5.0 \; cm = 5.0 \times 10^{-2} \; m$
મોટા પિસ્ટનની ત્રિજ્યા,$r_{2} = 15 \; cm = 15 \times 10^{-2} \; m$
કારનું દળ,$m = 1350 \; kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \; m s^{-2}$
મોટા પિસ્ટન પર કાર દ્વારા લાગતું બળ $F_{2} = m \times g = 1350 \times 9.8 = 13230 \; N$ છે.
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટના સિદ્ધાંત મુજબ,$\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}$,જ્યાં $A_{1} = \pi r_{1}^{2}$ અને $A_{2} = \pi r_{2}^{2}$ છે.
$F_{1} = F_{2} \times \frac{A_{1}}{A_{2}} = F_{2} \times \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$F_{1} = 13230 \times \left(\frac{5}{15}\right)^{2} = 13230 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 13230 \times \frac{1}{9} = 1470 \; N$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$F_{1} \approx 1.5 \times 10^{3} \; N$.
જરૂરી દબાણ $P = \frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{1470}{\pi \times (5.0 \times 10^{-2})^{2}} = \frac{1470}{3.14159 \times 25 \times 10^{-4}} \approx 1.87 \times 10^{5} \; Pa \approx 1.9 \times 10^{5} \; Pa$.

(C) ઊંચકવાની કારનું મહત્તમ દળ $m = 3000 \; kg$ છે.
લોડ વહન કરતા પિસ્ટનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 425 \; cm^{2} = 425 \times 10^{-4} \; m^{2}$ છે.
લોડ દ્વારા લાગતું મહત્તમ બળ $F = mg = 3000 \times 9.8 = 29400 \; N$ છે.
લોડ વહન કરતા પિસ્ટન પર લાગતું દબાણ $P = \frac{F}{A}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{29400}{425 \times 10^{-4}} = 6.917 \times 10^{5} \; Pa$ મળે છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીમાં દબાણ બધી દિશામાં સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે. તેથી,નાના પિસ્ટને સહન કરવું પડતું મહત્તમ દબાણ $6.917 \times 10^{5} \; Pa$ છે.

(A) સ્થિર પ્રવાહી તેના સંપર્કમાં રહેલી પાત્રની સપાટી પર બળ લગાડે છે.
પાસ્કલના નિયમ અને સ્થિર પ્રવાહીના ગુણધર્મો અનુસાર,આ બળ હંમેશા દરેક બિંદુએ પાત્રની સપાટીને લંબ દિશામાં હોય છે.
જો બળનો કોઈ ઘટક સપાટીને સમાંતર હોત,તો પ્રવાહી સપાટી પર સ્પર્શક બળ અનુભવત,જેના કારણે તે સપાટી પર વહેવા લાગત.
પ્રવાહી સ્થિર અવસ્થામાં હોવાથી,બળનો કોઈ સ્પર્શક ઘટક હોઈ શકે નહીં.
તેથી,પ્રવાહી દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ હંમેશા સપાટીને લંબ (Normal) હોય છે.

(N/A) નિયમ: "સ્થિર તરલમાં ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણવામાં આવે તો, તમામ બિંદુઓએ દબાણ સમાન હોય છે."
સાબિતી: સ્થિર તરલની અંદર એક નાનો ઘટક $ABC-DEF$ ધ્યાનમાં લો, જે કાટકોણ પ્રિઝમના સ્વરૂપમાં છે. ઘટક ખૂબ નાનો હોવાથી, ગુરુત્વાકર્ષણની અસરને અવગણી શકાય છે.
ધારો કે સપાટીઓના ક્ષેત્રફળ $A_a$ (નીચેની સપાટી $BEFC$), $A_c$ (ઊભી સપાટી $ABED$), અને $A_b$ (ઢળતી સપાટી $ADFC$) છે.
ધારો કે આ સપાટીઓને લંબ રૂપે લાગતા બળો અનુક્રમે $F_a$, $F_c$, અને $F_b$ છે.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી:
$A_a = A_b \cos \theta$
$A_c = A_b \sin \theta$
ઘટક સંતુલનમાં રહે તે માટે, કોઈપણ દિશામાં ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
આડી દિશામાં: $F_c = F_b \sin \theta$
ઊભી દિશામાં: $F_a = F_b \cos \theta$
દબાણ $P = F/A$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$P_c = F_c / A_c = (F_b \sin \theta) / (A_b \sin \theta) = F_b / A_b = P_b$
$P_a = F_a / A_a = (F_b \cos \theta) / (A_b \cos \theta) = F_b / A_b = P_b$
આમ, $P_a = P_c = P_b$. આ સાબિત કરે છે કે સ્થિર તરલમાં તમામ બિંદુઓએ દબાણ સમાન હોય છે.

(N/A) પાસ્કલનો દબાણ પ્રસરણનો નિયમ જણાવે છે કે: "સ્થિર તરલમાં સમાન ઊંચાઈએ આવેલા તમામ બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે. બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લાગુ પાડવામાં આવતો દબાણનો ફેરફાર તરલના દરેક બિંદુએ અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે."
એક પાત્રનો વિચાર કરો જેમાં પિસ્ટન અને અલગ-અલગ બિંદુઓ પર કેટલીક ઊભી નળીઓ છે. પાત્રમાં રહેલું દબાણ ઊભી નળીઓમાં રહેલા પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જ્યારે પિસ્ટનને દબાવવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીનું સ્તર બધી નળીઓમાં ઉપર ચઢે છે અને દરેક નળીમાં સમાન સ્તરે પહોંચે છે.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે તરલ પરનું દબાણ વધારવામાં આવ્યું, ત્યારે તે સમગ્ર કદમાં સમાન રીતે વહેંચાઈ ગયું.
ઘણા ઉપકરણો આ નિયમ પર આધારિત છે, જેમ કે ડોર ક્લોઝર, હાઇડ્રોલિક બ્રેક્સ, હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ અને વાહનોમાં શોક એબ્સોર્બર.

(N/A) પાસ્કલનો નિયમ: "બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લગાડવામાં આવતો દબાણનો ફેરફાર તરલના દરેક બિંદુએ અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે."
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ આ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, $A_{1}$ અને $A_{2}$ આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે સિલિન્ડર ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $A_{1} < < A_{2}$ છે.
આ પાત્રમાં પ્રવાહી ભરેલું છે.
નાના આડછેદ $A_{1}$ વાળા પિસ્ટનનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહી પર સીધું બળ $F_{1}$ લગાડવામાં આવે છે. આ દબાણ $P_{1} = \frac{F_{1}}{A_{1}}$ પ્રવાહી દ્વારા સમગ્ર પાત્રમાં પ્રસરિત થઈને $A_{2}$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા મોટા પિસ્ટન સુધી પહોંચે છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ, દબાણ સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે, તેથી $P_{1} = P_{2}$.
આથી, $\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}$, જેનો અર્થ છે કે $F_{2} = F_{1} \left( \frac{A_{2}}{A_{1}} \right)$.
અહીં $A_{2} > > A_{1}$ હોવાથી, મોટા પિસ્ટન પર લાગતું બળ $F_{2}$ એ લગાડેલા બળ $F_{1}$ કરતા ઘણું વધારે હોય છે, જેના કારણે લિફ્ટ કાર જેવા ભારે ભારને ઊંચકી શકે છે.

(N/A) હાઇડ્રોલિક બ્રેક્સ પાસ્કલના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે વાહનચાલક બ્રેક પેડલ પર $F_1$ જેટલું બળ લગાડે છે,ત્યારે નાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ ધરાવતો માસ્ટર પિસ્ટન માસ્ટર સિલિન્ડરમાં દાખલ થાય છે. આ ક્રિયાને લીધે બ્રેક ઓઈલ ટ્યુબ દ્વારા વ્હીલ સિલિન્ડરમાં ધકેલાય છે.
વ્હીલ સિલિન્ડરમાં બે પિસ્ટન હોય છે જેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ ખૂબ મોટું હોય છે. પાસ્કલના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીમાં દબાણ સમાન રીતે પ્રસરણ પામે છે. અહીં $A_2 \gg A_1$ હોવાથી,વ્હીલ પિસ્ટન પર ખૂબ મોટું બળ $F_2$ લાગે છે,જ્યાં $F_2 = F_1 \times (A_2 / A_1)$ થાય છે.
આ મોટા બળ $F_2$ ને કારણે બ્રેક શૂઝ બહારની તરફ ધકેલાય છે અને ફરતા વ્હીલ રિમના સંપર્કમાં આવે છે,જેનાથી બ્રેક લાગે છે.
જ્યારે ચાલક બ્રેક પેડલ પરથી પગ હટાવે છે,ત્યારે રિસ્ટોરિંગ સ્પ્રિંગ બ્રેક શૂઝને તેમની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા ખેંચે છે,જેથી વ્હીલ રિમ મુક્ત થાય છે. પિસ્ટન પોતાની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા ફરતા બ્રેક ઓઈલ ફરીથી માસ્ટર સિલિન્ડરમાં પાછું આવે છે.

(N/A) પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લગાડવામાં આવતું દબાણ,તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે અને ઘટ્યા વગર પ્રસરે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો કોઈ બંધ તરલ પર બાહ્ય દબાણ $P_{ext}$ લગાડવામાં આવે,તો તરલની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta P$ એ લગાડેલા દબાણ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $\Delta P = P_{ext}$.

(N/A) પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલના કોઈ પણ ભાગ પર લગાડવામાં આવતું દબાણ,તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે અને ઘટ્યા વગર પ્રસરિત થાય છે.
મહત્વ:
$1$. તે હાઇડ્રોલિક સિસ્ટમ્સ જેવી કે હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ,હાઇડ્રોલિક બ્રેક્સ અને હાઇડ્રોલિક જેક પાછળનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે.
$2$. તે બળના ગુણાકાર માટે પરવાનગી આપે છે,જ્યાં નાના ક્ષેત્રફળ પર લગાડવામાં આવેલ નાનું બળ મોટા ક્ષેત્રફળ પર ઘણું મોટું આઉટપુટ બળ ઉત્પન્ન કરી શકે છે,જે $F_2 = F_1 \times (A_2 / A_1)$ સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લાગુ પાડવામાં આવતા દબાણમાં થતો ફેરફાર તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
આ સિદ્ધાંત પર કામ કરતા બે સામાન્ય સાધનો નીચે મુજબ છે:
$1$. હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ: સર્વિસ સ્ટેશનોમાં કાર જેવી ભારે વસ્તુઓ ઊંચકવા માટે વપરાય છે.
$2$. હાઇડ્રોલિક બ્રેક્સ: વાહનોમાં બ્રેક ફ્લુઇડ પર દબાણ આપીને વાહનને રોકવા અથવા તેની ગતિ ધીમી કરવા માટે વપરાય છે.

(N/A) જ્યારે $a$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કોર્ક પર $F$ બળથી ફટકો મારવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રવાહી પર $P = \frac{F}{a}$ જેટલું દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે. પાસ્કલના નિયમ મુજબ,આ દબાણ સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે અને ઘટ્યા વગર પ્રસરિત થાય છે. બોટલના તળિયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ એ કોર્કના ક્ષેત્રફળ $a$ કરતા ઘણું મોટું હોવાથી,તળિયા પર લાગતું બળ $F_{bottom} = P \times A$ થાય છે. $A \gg a$ હોવાને કારણે,પરિણામી બળ $F_{bottom}$ ખૂબ જ વધારે હોય છે,જે બોટલનું તળિયું તોડી નાખે છે.

(N/A) પાસ્કલના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરતા સાધનો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ: તેનો ઉપયોગ નાનું બળ લગાડીને કાર જેવી ભારે વસ્તુઓને ઊંચકવા માટે થાય છે.
$(2)$ હાઇડ્રોલિક બ્રેક્સ: તેનો ઉપયોગ વાહનોમાં પ્રવાહી દ્વારા દબાણનું પ્રસરણ કરીને ગતિને રોકવા અથવા ધીમી કરવા માટે થાય છે.

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લાગતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
કારના વજનને કારણે મોટા પિસ્ટન પર લાગતું બળ:
$F = m \times g$
$F = 3000 \, kg \times 9.8 \, m/s^{2} = 29400 \, N$
મોટા પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ:
$A = 425 \, cm^{2} = 425 \times 10^{-4} \, m^{2} = 0.0425 \, m^{2}$
મોટા પિસ્ટન પર લાગતું દબાણ:
$P = \frac{F}{A}$
$P = \frac{29400 \, N}{0.0425 \, m^{2}}$
$P \approx 6.92 \times 10^{5} \, Pa$
દબાણ પ્રવાહીમાં સમાન રીતે વહેંચાતું હોવાથી,નાના પિસ્ટને પણ $6.92 \times 10^{5} \, Pa$ જેટલું જ દબાણ સહન કરવું પડશે.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે. હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ માટે,બંને પિસ્ટન પરનું દબાણ સમાન હોય છે:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
પ્રથમ કિસ્સામાં,ધારો કે $A_1$ એ નાના પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_2$ એ મોટા પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ છે. નાના પિસ્ટન પરનું બળ $mg$ છે અને મોટા પિસ્ટન પરનું બળ $100g$ છે:
$\frac{mg}{A_1} = \frac{100g}{A_2} \implies \frac{100}{m} = \frac{A_2}{A_1} \quad .......(1)$
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર વ્યાસના ગુણોત્તરના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$.
બીજા કિસ્સામાં,મોટા પિસ્ટનનો નવો વ્યાસ $d_2' = 4d_2$ છે અને નાના પિસ્ટનનો નવો વ્યાસ $d_1' = \frac{d_1}{4}$ છે.
ધારો કે નવું ઊંચકાયેલું દળ $M_0$ છે. નવા ક્ષેત્રફળો $A_2' = (4)^2 A_2 = 16A_2$ અને $A_1' = (\frac{1}{4})^2 A_1 = \frac{A_1}{16}$ થશે.
ફરીથી પાસ્કલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\frac{mg}{A_1'} = \frac{M_0g}{A_2'} \implies \frac{M_0}{m} = \frac{A_2'}{A_1'} = \frac{16A_2}{A_1/16} = 256 \left(\frac{A_2}{A_1}\right)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $\frac{A_2}{A_1} = \frac{100}{m}$ મૂકતા:
$\frac{M_0}{m} = 256 \left(\frac{100}{m}\right)$
$M_0 = 256 \times 100 = 25600 \, kg$.

(A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સ્થિર પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ દબાણ ફક્ત પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી તે બિંદુની ઊંડાઈ $h$ પર આધાર રાખે છે. દબાણ $p = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AB$ અને $CD$ ની લંબાઈ પાણીના કુલ સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ ની સરખામણીમાં ખૂબ નાની હોવાથી,સપાટીઓ $AB$,$BC$ અને $CD$ પરના તમામ બિંદુઓની ઊંડાઈ આશરે $h$ જેટલી જ છે.
દબાણ એ અદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે આપેલ ઊંડાઈએ તમામ દિશાઓમાં સમાન રીતે કાર્ય કરે છે. તેથી,$h$ ઊંડાઈએ કોઈપણ સપાટી પર પાણી દ્વારા લાગતા દબાણનું મૂલ્ય સપાટીના અભિગમ (orientation) પર આધારિત નથી.
આમ,$p_1 = p_2 = p_3 = h \rho g$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે સ્થિર અવસ્થામાં રહેલા બંધ પ્રવાહીના કોઈપણ ભાગ પર બાહ્ય દબાણ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે અને કોઈપણ ઘટાડા વગર પ્રસારિત થાય છે.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,બંને પિસ્ટન પરનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આપેલ છે:
$F_1 = F$
$A_1 = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2$
$A_2 = 10 \, m^2$
$F_2 = W \times g = 800 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 8000 \, N$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F}{10 \times 10^{-4}} = \frac{8000}{10}$
$F = 800 \times 10 \times 10^{-4}$
$F = 8000 \times 10^{-4}$
$F = 0.8 \, N$

(C) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ટૂથપેસ્ટની ટ્યુબને દબાવવી એ પાસ્કલના સિદ્ધાંતનો વ્યવહારુ ઉપયોગ છે,જ્યાં એક બિંદુ પર લાગુ કરાયેલ દબાણ પ્રવાહી દ્વારા ખુલ્લા ભાગ સુધી પ્રસારિત થાય છે.
કારણ $R$ એ પાસ્કલના સિદ્ધાંતની ઔપચારિક વ્યાખ્યા છે,જે જણાવે છે કે બંધ અદબનીય પ્રવાહી પર લાગુ કરાયેલ દબાણમાં ફેરફાર પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર અવિભાજિત રીતે પ્રસારિત થાય છે.
જેમ કે $A$ માં વર્ણવેલ ઘટના $R$ માં વર્ણવેલ ભૌતિક નિયમને કારણે જ થાય છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) લોડ દ્વારા લાગતું બળ $F = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 5000\,kg$ અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $F = 5000 \times 10 = 50000\,N$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 250\,cm^2 = 250 \times 10^{-4}\,m^2 = 2.5 \times 10^{-2}\,m^2$ છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,પ્રવાહી પર લાગતું દબાણ સમગ્ર પાત્રમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે. લોડ દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \frac{F}{A}$ છે.
$P = \frac{50000}{250 \times 10^{-4}} = \frac{5 \times 10^4}{2.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6\,Pa$.

(B) સ્થિર તરલ માટે,સમાન આડી ઊંડાઈ $h$ પરના કોઈપણ બિંદુએ દબાણ $P = P_{atm} + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે આપેલ આડી સપાટી માટે $P_{atm}$,$\rho$,$g$,અને $h$ અચળ છે,તેથી સમાન સ્તરે આવેલા તમામ બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ અદબનીય તરલ પર લગાડવામાં આવતા દબાણમાં થતો ફેરફાર તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે. આમ,વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસરિત થાય છે।
તેથી, સંતુલન માટે બંને ભુજાઓ પરનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં, $F_1$ એ જાડી ભુજા પરનું બળ છે, $A_1$ એ જાડી ભુજાનું ક્ષેત્રફળ છે, $F_2 = 10 \,N$ એ પાતળી ભુજા પરનું બળ છે, અને $A_2$ એ પાતળી ભુજાનું ક્ષેત્રફળ છે।
જાડી ભુજાનો વ્યાસ $D_1 = 14 \,cm$ છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 7 \,cm$ છે।
પાતળી ભુજાનો વ્યાસ $D_2 = 1.4 \,cm$ છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_2 = 0.7 \,cm$ છે।
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ મૂકતા:
$\frac{F_1}{\pi (7)^2} = \frac{10}{\pi (0.7)^2}$
$F_1 = 10 \times \frac{49}{0.49}$
$F_1 = 10 \times 100 = 1000 \,N$.

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,ઇનપુટ પિસ્ટન પર લગાડવામાં આવેલ દબાણ આઉટપુટ પિસ્ટન પર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
$P_1 = P_2 \implies \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આપેલ છે: $F_1 = 100 \ N$,$A_1 = 6 \ cm^2$,$A_2 = 1500 \ cm^2$.
$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 100 \times \frac{1500}{6} = 100 \times 250 = 25000 \ N$.
આઉટપુટ પિસ્ટન પર કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = F_2 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
$W = 25000 \ N \times 0.2 \ m = 5000 \ J$.
$1 \ kJ = 1000 \ J$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $5 \ kJ$ છે.

(C) 'હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ' પાસ્કલના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે।
પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે જ્યારે કોઈ બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર દબાણ આપવામાં આવે છે, ત્યારે તે દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે।
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરે છે, જેમાં નાના પિસ્ટન પર ઓછું બળ લગાડીને દબાણ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે, જે પ્રવાહી દ્વારા મોટા પિસ્ટન સુધી પહોંચાડવામાં આવે છે, જેના પરિણામે ભારે વસ્તુઓને ઊંચકવા માટે મોટું બળ મળે છે।
ગાણિતિક રીતે, $Pressure = \frac{Force}{Area}$. સિસ્ટમમાં દબાણ સમાન હોવાથી, $P = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$, જે નાના ઇનપુટ બળને મોટા આઉટપુટ બળમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે।

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ માટે,બંને પિસ્ટન પરનું દબાણ સમાન હોય છે: $P_1 = P_2$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$,જ્યાં $F_1$ એ નાના પિસ્ટન પરનું બળ છે,$A_1$ તેનું ક્ષેત્રફળ છે,$F_2$ એ મોટા પિસ્ટન પરનું બળ (વજન) છે અને $A_2$ તેનું ક્ષેત્રફળ છે.
વર્તુળાકાર પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{F_1}{\pi r_1^2} = \frac{F_2}{\pi r_2^2}$,જેનું સાદું રૂપ $F_2 = F_1 \times (\frac{r_2}{r_1})^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $F_1 = 250 \ N$,$r_1 = 5 \ cm$,અને $r_2 = 50 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $F_2 = 250 \times (\frac{50}{5})^2 = 250 \times (10)^2 = 250 \times 100 = 25,000 \ N$.
કિલોન્યુટનમાં રૂપાંતર કરતા: $F_2 = 25 \ kN$.

(C) હાઇડ્રોલિક લિફ્ટનો સિદ્ધાંત પાસ્કલના નિયમ પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લાગુ પાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
નાના પિસ્ટન પરનું દબાણ $(P_1)$ = મોટા પિસ્ટન પરનું દબાણ $(P_2)$.
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં,$F_1 = F$,$r_1 = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,અને $F_2 = mg = 1875 \times 10 = 18750 \ N$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F}{\pi (3 \times 10^{-2})^2} = \frac{18750}{\pi (5 \times 10^{-2})^2}$
$\frac{F}{9 \times 10^{-4}} = \frac{18750}{25 \times 10^{-4}}$
$F = \frac{18750 \times 9}{25}$
$F = 750 \times 9 = 6750 \ N$.

(A) હાઇડ્રોલિક મશીનમાં, પાસ્કલના નિયમ મુજબ બંને પિસ્ટન પર દબાણ સમાન હોય છે。
પિસ્ટન $P_1$ પરનું દબાણ $=$ પિસ્ટન $P_2$ પરનું દબાણ
$\Rightarrow \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
જ્યાં $F_1 = mg = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 20 \,N$.
$A_1 = \pi R_1^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \,m^2$.
$A_2 = \pi R_2^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \,m^2$.
હવે, $F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 20 \times \frac{64\pi}{4\pi} = 20 \times 16 = 320 \,N$.

(B) પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લાગુ પાડવામાં આવતો દબાણનો ફેરફાર તરલના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે.
હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ એ પાસ્કલના નિયમનો વ્યવહારુ ઉપયોગ છે. હાઇડ્રોલિક લિફ્ટમાં,નાના ક્ષેત્રફળ $A_1$ પર લાગુ પાડવામાં આવતું નાનું બળ $F_1$ દબાણ $p_1 = F_1 / A_1$ ઉત્પન્ન કરે છે. આ દબાણ તરલ દ્વારા મોટા ક્ષેત્રફળ $A_2$ સુધી પ્રસારિત થાય છે,જ્યાં તે મોટું બળ $F_2 = p_2 \times A_2$ લગાડે છે. કારણ કે $p_1 = p_2$,તેથી:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
આમ,હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ પાસ્કલના નિયમના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે।
આપેલ છે:
નાના પિસ્ટનનો વ્યાસ, $d_1 = 8 \text{ cm}$
મોટા પિસ્ટનનો વ્યાસ, $d_2 = 24 \text{ cm}$
વાહનનું દળ, $M = 1400 \text{ kg}$
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \text{ ms}^{-2}$
મોટા પિસ્ટન પરનું બળ, $F_2 = M \times g = 1400 \times 10 = 14000 \text{ N}$
નાના પિસ્ટન પરનું દબાણ = મોટા પિસ્ટન પરનું દબાણ
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી:
$\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{d_2^2}$
$F_1 = F_2 \times \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{8}{24}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{14000}{9} \approx 1555.55 \text{ N}$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ, $F \approx 1600 \text{ N}$.

(D) આપેલ ત્રિજ્યાઓ: $r_A = 10 \,cm = 0.1 \,m$, $r_B = 100 \,cm = 1 \,m$, $r_C = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
પિસ્ટન $A$ પર મૂકવામાં આવેલ વજન $F_A = m_A g = 2g$ છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ, દબાણ સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે: $\frac{F_A}{A_A} = \frac{F_B}{A_B} = \frac{F_C}{A_C}$.
$A = \pi r^2$ હોવાથી, $\frac{F_A}{r_A^2} = \frac{F_B}{r_B^2} = \frac{F_C}{r_C^2}$ મળે.
પિસ્ટન $B$ માટે: $F_B = F_A \times \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{1}{0.1}\right)^2 = 2g \times 100 = 200g$.
આમ, $B$ દ્વારા ઊંચકી શકાતું દળ $m_B = 200 \,kg$ છે.
પિસ્ટન $C$ માટે: $F_C = F_A \times \left(\frac{r_C}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{0.05}{0.1}\right)^2 = 2g \times (0.5)^2 = 2g \times 0.25 = 0.5g$.
આમ, $C$ દ્વારા ઊંચકી શકાતું દળ $m_C = 0.5 \,kg$ છે.
ગણતરી કરેલ દળ $200 \,kg$ અને $0.5 \,kg$ છે. જે આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ સાથે મળતું નથી, તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ પિસ્ટનની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \ m$ અને $r_2 = 5 \ m$ છે. ધારો કે પિસ્ટન $P_1$ પર રાખેલ દળ $m_1$ છે અને પિસ્ટન $P_2$ પર રાખેલ દળ $m_2 = x$ છે.
પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સ્થિર તરલમાં સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
$p_1 = p_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં $F = mg$ અને $A = \pi r^2$ હોવાથી:
$\frac{m_1 g}{\pi r_1^2} = \frac{m_2 g}{\pi r_2^2}$
$\frac{m_1}{r_1^2} = \frac{m_2}{r_2^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{m_1}{2^2} = \frac{x}{5^2}$
$\frac{m_1}{4} = \frac{x}{25}$
$m_1 = \frac{4}{25} x = 0.16 x$
આમ,$P_1$ પર રાખવું પડતું લઘુત્તમ દળ $0.16 x$ છે.

(A) પાસ્કલના નિયમ મુજબ, $\text{બંધ પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહી પર લગાડવામાં આવતું દબાણ પ્રવાહીના દરેક ભાગમાં અને પાત્રની દીવાલો પર સમાન રીતે વહેંચાય છે।}$ તેથી, બંને પિસ્ટન $P_1$ અને $P_2$ પરનું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ।
ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ એ અનુક્રમે પિસ્ટન $P_1$ અને $P_2$ પર લાગતા બળો છે, અને $A_1$ અને $A_2$ એ તેમના ક્ષેત્રફળ છે।
$F_1 = m_1 g = 2g$
$F_2 = m_2 g = 32g$
$A_1 = \pi (2)^2 = 4\pi$
$A_2 = \pi R^2$
દબાણને સરખાવતા: $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
$\frac{2g}{4\pi} = \frac{32g}{\pi R^2}$
$\frac{1}{2} = \frac{32}{R^2}$
$R^2 = 64$
$R = 8 \,m$

(B) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સંતુલન માટે બંને પિસ્ટન પર લાગતું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
$P_1 = P_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
અહીં,$F_1 = M_1 g = 1000 \times g$ અને $F_2 = M_2 g$ છે.
આપેલ છે કે $A_1 = 1 \ m^2$ અને $A_2 = 0.01 \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1000 \times g}{1} = \frac{M_2 \times g}{0.01}$
$1000 = \frac{M_2}{0.01}$
$M_2 = 1000 \times 0.01 = 10 \ kg$.
આમ,$1000 \ kg$ ના દળને ઊંચકવા માટે પિસ્ટન $(P_2)$ પર $10 \ kg$ દળ મૂકવાની જરૂર છે.