Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Gujarati

(C) સાચો જવાબ $C$ છે. જેટ પ્લેન તેની પાંખો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા એરોડાયનેમિક લિફ્ટને કારણે ઉડે છે. જ્યારે પ્લેન ખૂબ ઝડપથી આગળ વધે છે,ત્યારે પાંખોના આકારને કારણે હવા ઉપરની સપાટી પર નીચેની સપાટી કરતા વધુ ઝડપથી વહે છે. બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આનાથી દબાણનો તફાવત સર્જાય છે,જેના પરિણામે ઉપરની તરફ એક બળ ઉત્પન્ન થાય છે જેને લિફ્ટ કહેવાય છે. આ લિફ્ટ બળ પ્લેન પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ની ભરપાઈ કરે છે,જેનાથી તે હવામાં રહી શકે છે.

(D) વિમાનની પાંખ પર લાગતું લિફ્ટ બળ બર્નુલીના સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
પાંખના આકાર (એરોફોઇલ) ને કારણે,ઉપરની સપાટી પર હવાની ઝડપ નીચેની સપાટી કરતા વધારે હોય છે.
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,જ્યાં પ્રવાહીની ઝડપ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે.
આમ,ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ નીચેની સપાટી કરતા ઓછું હોય છે.
આ દબાણનો તફાવત એક ઉપરની તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે જેને લિફ્ટ કહેવાય છે,જે વિમાનના વજનને સંતુલિત કરે છે.

(A) $v$ વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા આપવામાં આવતો દર એ પાવર છે,$P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}v^2 \frac{dm}{dt}$.
સમય $t$ માં પાઇપમાંથી વહેતું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times l) \times \rho$ છે,જ્યાં $l$ એ પ્રવાહીના સ્તંભની લંબાઈ છે.
આમ,દળના વહનનો દર $\frac{dm}{dt} = A \times \frac{dl}{dt} \times \rho = A v \rho$ થાય.
આ કિંમતને પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = \frac{1}{2}v^2 (A v \rho) = \frac{1}{2}A \rho v^3$.

(A) વેગ હેડ $(h)$ નું સૂત્ર $h = \frac{v^2}{2g}$ છે.
આપેલ છે:
વેગ $(v)$ = $5 \ m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ = $10 \ m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{(5)^2}{2 \times 10}$
$h = \frac{25}{20}$
$h = 1.25 \ m$
તેથી,તેલનો વેગ હેડ $1.25 \ m$ છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1v_1 = A_2v_2$. નળી $A$ અને $C$ ના આડછેદના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી $(r_A = r_C = 2 \ cm)$,$A$ અને $C$ આગળ પ્રવાહીનો વેગ સમાન હશે $(v_A = v_C)$.
આડા પાઇપ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$.
$A$ અને $C$ આગળ વેગ સમાન હોવાથી,ત્યાં દબાણ પણ સમાન હશે $(P_A = P_C)$.
દબાણ એ પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(P = \rho gh)$,નળી $A$ અને $C$ માં પ્રવાહીની ઊંચાઈ સમાન રહેશે.

(B) અદબનીય,શ્યાનતા રહિત પ્રવાહીના સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
જ્યારે નળ બંધ હોય,ત્યારે વેગ $v_1 = 0$ છે,તેથી દબાણ $P_1 = 3.5 \times 10^5 \ N/m^2$ છે.
જ્યારે નળ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે દબાણ $P_2 = 3.0 \times 10^5 \ N/m^2$ અને વેગ $v_2 = v$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ લેતા:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = P_1 - P_2$
$v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v^2 = \frac{2(3.5 \times 10^5 - 3.0 \times 10^5)}{10^3}$
$v^2 = \frac{2(0.5 \times 10^5)}{10^3} = \frac{1.0 \times 10^5}{10^3} = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(A) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,નીચેની સપાટી $(P_2)$ અને ઉપરની સપાટી $(P_1)$ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
અહીં,$\rho = 1.3 \ kg/m^3$,$v_1 = 120 \ m/s$ (ઉપરની સપાટીની ઝડપ),અને $v_2 = 90 \ m/s$ (નીચેની સપાટીની ઝડપ).
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^2 - 90^2)$
$\Delta P = 0.65 \times (14400 - 8100)$
$\Delta P = 0.65 \times 6300$
$\Delta P = 4095 \ Pa$.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1v_1 = A_2v_2$. આડી પાઇપ માટે, જેમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે, તેમ પ્રવાહનો દર જાળવી રાખવા માટે પ્રવાહીનો વેગ $v$ વધવો જોઈએ.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$.
જેમ સાંકડા ભાગમાં વેગ $v$ વધે છે, તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી, સૌથી સાંકડા ભાગમાં, પાણી મહત્તમ ઝડપ અને ન્યૂનતમ દબાણ ધરાવે છે.

(A) બર્નુલીનું સમીકરણ જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને સ્થાયી પ્રવાહી પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો પ્રવાહ રેખા પર અચળ રહે છે.
વિમાનની પાંખની ડાયનેમિક લિફ્ટ આ સિદ્ધાંતનો એક ઉત્તમ ઉપયોગ છે.
જેમ જેમ પાંખ હવામાંથી પસાર થાય છે,તેમ પાંખના આકારને કારણે પાંખની ઉપરની હવાનો વેગ પાંખની નીચેની હવાના વેગ કરતા વધારે હોય છે.
બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ,જ્યાં પ્રવાહીનો વેગ વધારે હોય છે,ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે.
તેથી,પાંખની નીચેનું દબાણ પાંખની ઉપરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે,જે ઉપરની તરફ એક બળ ઉત્પન્ન કરે છે જેને ડાયનેમિક લિફ્ટ કહેવામાં આવે છે.

(A) એટોમાઈઝર બર્નુલીના પ્રમેયના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.
જ્યારે રબરના બલ્બને દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે હવા સાંકડી નળીમાંથી ઊંચા વેગ સાથે બહાર નીકળે છે.
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,જેમ પ્રવાહી (હવા) નો વેગ વધે છે,તેમ તેનું દબાણ ઘટે છે.
આનાથી ઊભી નળીના ઉપરના ભાગમાં ઓછા દબાણનો વિસ્તાર સર્જાય છે,જેના કારણે પ્રવાહી નળીમાં ઉપર ચઢે છે અને ઊંચા વેગવાળા હવાના પ્રવાહને કારણે ઝીણા ટીપાં (mist) સ્વરૂપે બહાર ફેંકાય છે.

(B) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,જ્યારે જમણી બાજુના પલ્લાની નીચે હવા ફૂંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તારમાં હવાનો વેગ વધે છે.
જેમ હવાનો વેગ વધે છે,તેમ તે વિસ્તારમાં દબાણ ઘટે છે.
જમણી બાજુના પલ્લાની નીચે દબાણ ઘટવાને કારણે,ઉપરથી લાગતું વાતાવરણીય દબાણ પ્રમાણમાં વધારે થઈ જાય છે.
પરિણામે,જમણી બાજુનું પલ્લું નીચેની તરફ ચોખ્ખું બળ અનુભવે છે અને નીચે જાય છે.

(C) સ્થાયી,અદબનીય અને શ્યાનતા રહિત પ્રવાહ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ $\frac{P}{\rho g} + h + \frac{v^2}{2g} = \text{constant}$ છે.
આ સમીકરણમાં:
$1$. પદ $\frac{P}{\rho g}$ એ પ્રેશર હેડ (દબાણ હેડ) દર્શાવે છે.
$2$. પદ $h$ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય હેડ (સ્થિતિમાન હેડ) દર્શાવે છે.
$3$. પદ $\frac{v^2}{2g}$ એ વેલોસિટી હેડ (ગતિજ હેડ) દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો ક્રમ પ્રેશર હેડ,ગુરુત્વાકર્ષણીય હેડ અને વેલોસિટી હેડ છે.

(A) વેગ હેડનું સૂત્ર $\frac{v^2}{2g} = h_{water}$ છે.
પ્રથમ,$Hg$ ના પ્રેશર હેડને પાણીના હેડમાં રૂપાંતરિત કરીએ.
$h_{water} = h_{Hg} \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{water}} = 40 \ cm \times 13.6 = 544 \ cm$.
હવે,$v = \sqrt{2gh}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $g = 1000 \ cm/s^2$ (આપેલ ઉકેલ મુજબ):
$v = \sqrt{2 \times 1000 \times 40} = \sqrt{80000} = \sqrt{8 \times 10^4} = 282.84 \ cm/s$.
આમ,ઝડપ આશરે $282.8 \ cm/s$ છે.

(B) . પાંખની ઉપરની સપાટી તેની નીચેની સપાટી કરતા વધુ વળાંકવાળી હોય છે; તેથી,પાંખોની ઉપર હવાની ઝડપ પાંખોની નીચેની હવાની ઝડપ કરતા વધારે હોય છે.
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,પાંખોની ઉપરનું દબાણ પાંખોની નીચેના દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે.
પાંખોની બંને બાજુઓ પરના દબાણના આ તફાવતને કારણે,વિમાન પર એક શિરોલંબ લિફ્ટ (ઉર્ધ્વ બળ) લાગે છે.
જ્યારે આ લિફ્ટ વિમાન પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે પૂરતી હોય છે,ત્યારે વિમાન ઉપર ઉઠે છે અને હવામાં ટકી રહે છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A v = \text{અચળ}$. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી,પ્રવાહીનો વેગ દરેક બિંદુએ સમાન રહે છે,તેથી $v_A = v_B$.
બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે બર્નુલીનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho g h_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho g h_B$
$v_A = v_B$ હોવાથી,ગતિ ઊર્જાના પદો ઉડી જશે:
$P_A + \rho g h_A = P_B + \rho g h_B$
$P_B - P_A = \rho g (h_A - h_B)$
બિંદુ $B$ એ બિંદુ $A$ કરતા નીચલા સ્તરે હોવાથી $(h_A > h_B)$,પદ $(h_A - h_B)$ ધન છે.
તેથી,$P_B > P_A$.

(B) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ બિંદુ $A$ (કાણું) અને $B$ (ગેસોલિનની સપાટી) પર:
$P_B + \rho gh = P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2$
આપેલ છે:
$P_B = 3.10 \ atm = 3.10 \times 1.013 \times 10^5 \ Pa$
$P_A = 1.00 \ atm = 1.013 \times 10^5 \ Pa$
$h = 53.0 \ m$
$\rho = 660 \ kg \ m^{-3}$
$g = 9.8 \ m \ s^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$3.10 \times 1.013 \times 10^5 + 660 \times 9.8 \times 53.0 = 1.013 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 660 \times v_A^2$
$(3.10 - 1.00) \times 1.013 \times 10^5 + 342888 = 330 \times v_A^2$
$2.10 \times 1.013 \times 10^5 + 342888 = 330 \times v_A^2$
$212730 + 342888 = 330 \times v_A^2$
$555618 = 330 \times v_A^2$
$v_A^2 = \frac{555618}{330} \approx 1683.69$
$v_A = \sqrt{1683.69} \approx 41.0 \ m \ s^{-1}$

(B) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,પાણીના પ્રવાહની ગતિઊર્જા ફુવારાના ટોચના ભાગે સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $v = 2.45 \ m/s$ એ પાણીના પ્રવાહનો વેગ છે.
પાણી પ્રવાહની સપાટીથી જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ સુધી પહોંચી શકે તે $H = \frac{v^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$H = \frac{(2.45)^2}{2 \times 9.8} = \frac{6.0025}{19.6} = 0.30625 \ m = 30.625 \ cm$.
પાણીની સપાટીથી ઉપર ફુવારાની ઊંચાઈ $h_{jet} = H - h_{above}$ છે,જ્યાં $h_{above} = 10.6 \ cm$ છે.
તેથી,$h_{jet} = 30.625 \ cm - 10.6 \ cm = 20.025 \ cm \approx 20.0 \ cm$.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,ગતિશીલ તરલ માટે,જ્યાં તરલની ઝડપ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે.
વિમાનની પાંખને એરફોઈલ આકાર સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે,જે ઉપરની તરફ વક્ર અને નીચેની તરફ સપાટ હોય છે.
જ્યારે હવા પાંખ પરથી વહે છે,ત્યારે વક્ર ઉપરની સપાટી પરથી પસાર થતી હવા નીચેની સપાટી પરથી પસાર થતી હવા કરતા ઝડપથી ગતિ કરે છે.
ઝડપમાં આ તફાવતને કારણે,ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ નીચેની સપાટી પરના દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે.
આ દબાણનો તફાવત ઉપરની તરફ બળ ઉત્પન્ન કરે છે જેને લિફ્ટ કહેવામાં આવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આકાર એક પ્રમાણભૂત એરફોઈલ ક્રોસ-સેક્શન છે જે આ લિફ્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,અદબનીય અને અશ્યાન પ્રવાહીના ધારારેખી વહન માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
ધારો કે નળીના મુખ આગળ દબાણ $P_0$ છે અને પાણીનો વેગ $v$ છે. નળીની અંદર પાણી સ્થિર થઈ જાય છે,તેથી ઉભી નળીના ઉપરના ભાગમાં વેગ $0$ છે.
નળીના મુખ (બિંદુ $1$) અને નળીમાં પાણીના સ્તંભના ઉપરના ભાગ (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$
અહીં,$P_1 = P_2 = P_{atm}$ (વાતાવરણીય દબાણ),$v_1 = v$,$v_2 = 0$,અને $h_2 - h_1 = h$ (પાણીની સપાટીથી ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ).
આ કિંમતો મૂકતા:
$P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^2 + 0 = P_{atm} + 0 + \rho g h$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g h$
$h = \frac{v^2}{2g}$
આમ,નળીમાં પાણી $\frac{v^2}{2g}$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર ચઢે છે.

(D) ક્ષૈતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ દબાણ $P_1$ (જ્યારે નળ બંધ હોય ત્યારે સ્થિર દબાણ) એ નળ ખુલ્લો હોય ત્યારે સ્થિર દબાણ $P_2$ અને ગતિશીલ દબાણ $\frac{1}{2}\rho v^2$ ના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2$
વેગ $v$ માટે સૂત્ર:
$v = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$
અહીં $P_1 = 4.5 \times 10^5 \text{ Pa}$,$P_2 = 4 \times 10^5 \text{ Pa}$,અને પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$ છે.
$v = \sqrt{\frac{2(4.5 \times 10^5 - 4 \times 10^5)}{10^3}}$
$v = \sqrt{\frac{2(0.5 \times 10^5)}{10^3}} = \sqrt{\frac{10^5}{10^3}} = \sqrt{100} = 10 \text{ m/s}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $P + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho gh = K$ (અચળ) છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$K$ ના પરિમાણો એ $P$,$\frac{1}{2}\rho V^2$ અને $\rho gh$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
જેহেতু $K$ ના પરિમાણો $P$ ના પરિમાણો સમાન છે,તેથી ગુણોત્તર $K/P$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ખૂણો એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.
આમ,$K/P$ ના પરિમાણો ખૂણાના પરિમાણો સમાન છે.

(A) ધારો કે $A$ એ ટાંકીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $a$ એ છિદ્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે $V$ એ ટાંકીમાં પાણીનું સ્તર ઘટવાનો વેગ છે અને $v$ એ છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ (efflux velocity) છે.
સાતત્ય સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,$av = AV$,તેથી $V = \frac{av}{A}$.
પાણીની ઉપરની સપાટી (બિંદુ $1$) અને છિદ્ર (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_0 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
અહીં,$h_1 = 3 \ m$ અને $h_2 = 0.525 \ m$. છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની અસરકારક ઊંચાઈ $h = h_1 - h_2 = 3 - 0.525 = 2.475 \ m$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g h$
$v^2 - V^2 = 2gh$
$V = \frac{a}{A}v$ મૂકતા:
$v^2 - (\frac{a}{A})^2 v^2 = 2gh$
$v^2 [1 - (\frac{a}{A})^2] = 2gh$
આપેલ છે કે $\frac{a}{A} = 0.1$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $h = 2.475 \ m$:
$v^2 [1 - (0.1)^2] = 2 \times 10 \times 2.475$
$v^2 [1 - 0.01] = 49.5$
$v^2 [0.99] = 49.5$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50 \ m^2/s^2$.

$(A)$ સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1v_1 = A_2v_2$. જ્યારે નળીનો આડછેદ $A$ ઘટે છે, ત્યારે પાણીનો વેગ $v$ વધવો જોઈએ જેથી પ્રવાહનો દર અચળ રહે.
સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ, $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$.
જેમ સાંકડા ભાગમાં વેગ $v$ વધે છે, તેમ સમીકરણને સંતોષવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી, પહોળા ભાગમાં દબાણ અચળ રહે છે, જેમ નળી સાંકડી થાય છે તેમ દબાણ ઘટે છે, અને પછી સાંકડા ભાગમાં નીચા મૂલ્યે અચળ રહે છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં આડછેદ ઘટતા દબાણ $p$ ઘટે છે.

(C) પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ $p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + h \rho g = k$ માં,$k$ ના પરિમાણો દબાણ $p$ ના પરિમાણો જેટલા જ હોવા જોઈએ.
$[p] = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^{2}]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
અન્ય પદો તપાસતા:
$[\frac{1}{2} \rho v^{2}] = [ML^{-3}][L^{2}T^{-2}] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$[h \rho g] = [L][ML^{-3}][LT^{-2}] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
આમ,$[k] = [ML^{-1}T^{-2}]$,જે દબાણ,ઉર્જા ઘનતા અને સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ (સ્ટ્રેસ/સ્ટ્રેઈન) નું પારિમાણિક સૂત્ર છે,તેથી સાચો વિકલ્પ સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ છે.

(A) વેલોસીટી હેડનું સૂત્ર $h = \frac{v^2}{2g}$ છે.
અહીં,વેગ $v = 5 \ m/s$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$h = \frac{(5)^2}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = 1.25 \ m$.
આમ,વેલોસીટી હેડ $1.25 \ m$ થાય.

(B) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે કુલ દબાણ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે: $P_1 + 0 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$.
અહીં,$P_1 = 3.5 \times 10^5 \, N/m^2$ (નળ બંધ હોય ત્યારનું દબાણ) અને $P_2 = 3.0 \times 10^5 \, N/m^2$ (નળ ખુલ્લો હોય ત્યારનું દબાણ).
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \, kg/m^3$ છે.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{1}{2} \rho v^2 = P_1 - P_2$.
$v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 = \frac{2(3.5 \times 10^5 - 3.0 \times 10^5)}{10^3} = \frac{2(0.5 \times 10^5)}{10^3} = \frac{10^5}{10^3} = 100$.
તેથી,$v = \sqrt{100} = 10 \, m/s$.

$(A)$ સાતત્યના સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ, $A_1v_1 = A_2v_2$. પાઇપના સાંકડા ભાગમાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટતું હોવાથી, પ્રવાહીનો વેગ $v$ વધવો જોઈએ $(v_2 > v_1)$।
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, સમક્ષિતિજ પાઇપ માટે, $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$।
સાંકડા ભાગમાં વેગ $v$ વધતો હોવાથી, સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી, જેમ પ્રવાહી પહોળા ભાગમાંથી સાંકડા ભાગમાં જાય છે, તેમ દબાણ ઘટે છે.
આ આલેખ વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાંખની ઉપર અને નીચેના ભાગ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P$ નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$\Delta P = P_{bottom} - P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 - v_{bottom}^2)$
આપેલ છે:
હવાની ઘનતા $\rho = 1.3\, kg/m^3$
પાંખની ઉપર હવાની ઝડપ $v_{top} = 120\, m/s$
પાંખની નીચે હવાની ઝડપ $v_{bottom} = 90\, m/s$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times [(120)^2 - (90)^2]$
$\Delta P = 0.65 \times [14400 - 8100]$
$\Delta P = 0.65 \times 6300$
$\Delta P = 4095\, Pa$.

(C) બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ છાપરાની બરાબર ઉપર અને નીચે કરતા:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_0 + 0$
અહીં,$P$ એ છાપરાની ઉપરનું દબાણ છે,$P_0$ એ ઘરની અંદરનું વાતાવરણીય દબાણ છે,અને $v = 40 \ m/s$ એ પવનની ઝડપ છે.
દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_0 - P = \frac{1}{2}\rho v^2$ છે.
છાપરા પર લાગતું બળ $F = \Delta P \cdot A = \frac{1}{2}\rho A v^2$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \ kg/m^3 \times 250 \ m^2 \times (40 \ m/s)^2$
$F = 0.6 \times 250 \times 1600 = 2.4 \times 10^5 \ N$.
કારણ કે ઘરની અંદરનું દબાણ $(P_0)$ એ છાપરાની ઉપરના દબાણ $(P)$ કરતા વધારે છે,તેથી ચોખ્ખું બળ ઉપરની દિશામાં લાગશે.

(B) વર્ણવેલ ઘટના એ મેગ્નસ અસર છે,જે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ છે.
જ્યારે દડો સ્પિન સાથે હવામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે દડાની સપાટીની સાપેક્ષમાં હવાનો વેગ બદલાય છે.
જો દડો આગળ વધતી વખતે (ડાબેથી જમણે) ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્પિન કરે,તો દડાની ઉપરની સપાટી પર હવાનો વેગ નીચેની સપાટી કરતા ઓછો હોય છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યાં હવાનો વેગ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે અને જ્યાં હવાનો વેગ ઓછો હોય ત્યાં દબાણ વધારે હોય છે.
તેથી,નીચેની સપાટી પરનું દબાણ ઉપરની સપાટી પરના દબાણ કરતા વધી જાય છે,જેનાથી ઉપરની તરફ એક બળ (લિફ્ટ) ઉત્પન્ન થાય છે જેને મેગ્નસ બળ કહેવાય છે.
આ ઉપરની તરફનું બળ દડાને લાંબા સમય સુધી હવામાં રહેવામાં મદદ કરે છે,જેના પરિણામે મહત્તમ ફ્લાઇટ મળે છે.
આમ,આ અસર પ્રાપ્ત કરવા માટે ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્પિન જરૂરી છે.

(B) આપેલ છે:
$A_1 = 0.02 \ m^2$,$V_1 = 2 \ m/s$,$P_1 = 4 \times 10^4 \ N/m^2$,$A_2 = 0.01 \ m^2$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$.
સાતત્ય સમીકરણ $A_1 V_1 = A_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.02 \times 2 = 0.01 \times V_2 \implies V_2 = 4 \ m/s$.
આડી નળી માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2)$
$P_2 = 4 \times 10^4 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2^2 - 4^2)$
$P_2 = 40000 + 500 \times (4 - 16)$
$P_2 = 40000 - 6000 = 34000 \ N/m^2 = 3.4 \times 10^4 \ N/m^2$.

(B) બર્નુલીનું સમીકરણ $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પ્રવાહીના એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો દર્શાવે છે.
આદર્શ,અદબનીય અને શ્યાનતા રહિત પ્રવાહી માટે,પ્રવાહ રેખા પર પ્રવાહીની કુલ ઉર્જા અચળ રહેતી હોવાથી,બર્નુલીનું પ્રમેય એ ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું સીધું જ ઉદાહરણ છે.

(C) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$. આપેલ છે કે $A_1 = 10^{-2} \ m^2$,$v_1 = 2 \ m/s$,અને $A_2 = 0.5 \times 10^{-2} \ m^2$.
અહીં $A_2 = 0.5 A_1$ હોવાથી,વેગ $v_2 = 2 v_1 = 4 \ m/s$ થશે.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
કિંમતો મૂકતા ($P_1 = 8000 \ Pa$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$):
$8000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2$.
$8000 + 2000 = P_2 + 8000$.
$P_2 = 10000 - 8000 = 2000 \ Pa$.

(C) બર્નુલીનું સમીકરણ આદર્શ પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે નીચેની ધારણાઓ પર આધારિત છે:
$1$. પ્રવાહી અદબનીય છે (ઘનતા અચળ છે).
$2$. પ્રવાહ સ્થાયી છે (કોઈપણ બિંદુએ વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી).
$3$. પ્રવાહ બિન-સ્નિગ્ધ છે (સ્નિગ્ધતાને કારણે કોઈ આંતરિક ઘર્ષણ કે ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી).
$4$. પ્રવાહ અભ્રમણશીલ છે.
બર્નુલીનો સિદ્ધાંત પ્રવાહી બિન-સ્નિગ્ધ હોવાનું માને છે,તેથી પ્રવાહી 'સ્નિગ્ધ' છે તેવું વિધાન તેની માન્યતા માટેની ધારણા નથી.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) સાયફન કાર્ય કરે તે માટે દબાણનો તફાવત હોવો જરૂરી છે,જેના માટે $h_3 > 0$ હોવું જોઈએ. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી ($h=0$ પર) અને બહાર નીકળવાના બિંદુ $3$ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_0 + 0 = P_0 + \frac{1}{2}\rho v^2 - \rho g h_3$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g h_3$
હવે,મુક્ત સપાટી અને બિંદુ $2$ (બિંદુ $3$ થી $h_3$ ઊંચાઈ પર) વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_0 + 0 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h_3$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g h_3$ મૂકતા:
$P_0 = P_2 + \rho g h_3 + \rho g h_3 = P_2 + 2\rho g h_3$
$P_2 = P_0 - 2\rho g h_3$
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે. બિંદુ $3$ વાતાવરણમાં ખુલ્લું છે,તેથી તેનું દબાણ $P_0$ છે,જે વિધાન $C$ ને સાચું બનાવે છે. આમ,ખોટું વિધાન $B$ છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_X v_X = A_Y v_Y$. કારણ કે $X$ પાસે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $Y$ કરતા વધારે છે $(A_X > A_Y)$,તેથી $X$ પાસે પાણીનો વેગ $Y$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ $(v_X < v_Y)$.
આડી નળી માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,$P_X + \frac{1}{2} \rho v_X^2 = P_Y + \frac{1}{2} \rho v_Y^2$. કારણ કે $v_Y > v_X$,તેથી $Y$ પાસે એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $X$ કરતા વધારે છે. સરવાળો અચળ રાખવા માટે,$X$ પાસેનું દબાણ $Y$ પાસેના દબાણ કરતા વધારે હોવું જોઈએ $(P_X > P_Y)$.
તેથી,$P$ પરનું મેનોમીટર ($X$ પરનું દબાણ માપે છે) એ $Q$ પરના મેનોમીટર ($Y$ પરનું દબાણ માપે છે) કરતા વધારે દબાણ દર્શાવશે.

(D) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 V_1 = A_2 V_2 = Q$.
આપેલ છે $A_1 = 5 \text{ cm}^2$,$A_2 = 2 \text{ cm}^2$,અને $Q = 500 \text{ cm}^3/\text{s}$.
$V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{500}{5} = 100 \text{ cm/s} = 1 \text{ m/s}$.
$V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{500}{2} = 250 \text{ cm/s} = 2.5 \text{ m/s}$.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho_w V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho_w V_2^2$.
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho_w (V_2^2 - V_1^2)$.
દબાણનો તફાવત પારાના સ્તંભ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $P_1 - P_2 = h(\rho_m - \rho_w)g$.
$h = \frac{\frac{1}{2} \rho_w (V_2^2 - V_1^2)}{(\rho_m - \rho_w)g}$.
$\rho_w = 1000 \text{ kg/m}^3$,$\rho_m = 13600 \text{ kg/m}^3$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,$V_1 = 1 \text{ m/s}$,$V_2 = 2.5 \text{ m/s}$ લેતા.
$h = \frac{0.5 \times 1000 \times (2.5^2 - 1^2)}{(13600 - 1000) \times 10} = \frac{500 \times (6.25 - 1)}{126000} = \frac{2625}{126000} \text{ m} \approx 2.08 \text{ cm}$.
આથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) ધારો કે $H$ એ તળિયેથી પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ છે,$h$ એ તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$M$ એ પિસ્ટન પરનું કુલ દળ $(M = 5\ kg + 45\ kg = 50\ kg)$ છે,અને $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^3\ kg/m^3)$ છે.
પાણીની ઉપરની સપાટી અને છિદ્ર વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_{atm} + \frac{Mg}{A} + \rho gH = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g(H - h) + \frac{Mg}{A}$
આપેલ છે કે $H = 7\ m$,$h = 1\ m$,$M = 50\ kg$,$A = 1\ m^2$,$g = 10\ m/s^2$,$\rho = 10^3\ kg/m^3$:
$\frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2 = 10^3 \times 10 \times (7 - 1) + \frac{50 \times 10}{1}$
$500 v^2 = 60000 + 500$
$500 v^2 = 60500$
$v^2 = 121$
$v = 11\ m/s$

(B) ધારો કે પાઇપમાં વાયુનો વેગ $v$ છે.
પિટોટ ટ્યુબના મુખ (સ્થગિત બિંદુ $A$) અને મુક્ત પ્રવાહમાં રહેલા બિંદુ $B$ પર બર્નુલીનું પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v^2$
અહીં,$P_A$ એ સ્થગિત દબાણ છે અને $P_B$ એ વાયુનું સ્થિર દબાણ છે.
દબાણનો તફાવત $\Delta h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા માપવામાં આવે છે:
$P_A - P_B = \Delta h \rho_0 g$
આ કિંમત બર્નુલીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \rho v^2 = \Delta h \rho_0 g$
$v^2 = \frac{2 \Delta h \rho_0 g}{\rho}$
$v = \sqrt{\frac{2 \Delta h \rho_0 g}{\rho}}$
કદનો પ્રવાહ દર $Q$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $S$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$Q = S v = S \sqrt{\frac{2 \Delta h \rho_0 g}{\rho}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ, $A_1 v_1 = A_2 v_2$. બિંદુ $2$ પાસે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A_2)$ એ બિંદુ $1$ પાસેના ક્ષેત્રફળ $(A_1)$ કરતા ઓછું હોવાથી, બિંદુ $2$ પર પાણીની ઝડપ $(v_2)$ એ બિંદુ $1$ પરની ઝડપ $(v_1)$ કરતા વધારે હશે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$. બિંદુ $2$ એ ઊંચાઈ પર હોવાથી $(h_2 > h_1)$ અને તેની ઝડપ વધારે હોવાથી $(v_2 > v_1)$, સમીકરણનું સમાધાન કરવા માટે બિંદુ $2$ પરનું દબાણ $(P_2)$ એ બિંદુ $1$ પરના દબાણ $(P_1)$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ. તેથી, બિંદુ $2$ પરના પાણીની ઝડપ વધારે અને દબાણ ઓછું હોય છે.

(C) ધારો કે છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીની ઝડપ $v$ છે. સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,આંતરપૃષ્ઠ (ક્ષેત્રફળ $A$) પર પ્રવાહીની ઝડપ $v_1 = \frac{av}{A}$ છે અને ઉપરની સપાટી (ક્ષેત્રફળ $4A$) પર ઝડપ $v_2 = \frac{av}{4A}$ છે.
ઉપરની સપાટી અને છિદ્ર વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g(2h) = P_0 + \frac{1}{2}(2\rho)v^2$
$\frac{1}{2}\rho(\frac{av}{4A})^2 + 2\rho gh = \rho v^2$
$\frac{1}{32}\frac{a^2v^2}{A^2} + 2gh = v^2 \implies v^2(1 - \frac{a^2}{32A^2}) = 2gh$ (આ માત્ર એક પ્રવાહી માટે છે).
બે પ્રવાહી માટે,ઉપરની સપાટી અને આંતરપૃષ્ઠ વચ્ચે,તથા આંતરપૃષ્ઠ અને છિદ્ર વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_0 + \frac{1}{2}\rho(\frac{av}{4A})^2 + \rho gh = P_1 + \frac{1}{2}(2\rho)(\frac{av}{A})^2$
$P_1 + \frac{1}{2}(2\rho)(\frac{av}{A})^2 + \rho gh = P_0 + \frac{1}{2}(2\rho)v^2$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $P_1$ દૂર થાય છે:
$P_0 + \frac{1}{2}\rho(\frac{av}{4A})^2 + 2\rho gh = P_0 + \rho v^2 + \rho(\frac{av}{A})^2 - \frac{1}{2}\rho(\frac{av}{A})^2$
$2gh = v^2(1 + \frac{a^2}{2A^2} - \frac{a^2}{32A^2}) = v^2(1 + \frac{15a^2}{32A^2})$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચું તારણ $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - \frac{17a^2}{32A^2}}}$ મળે છે.

(D) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે, જ્યાં પ્રવાહીની ઝડપ વધારે હોય ત્યાં દબાણ ઓછું હોય છે.
આપેલ ગોઠવણીમાં, હવા ડાબેથી જમણે બદલાતા આડછેદવાળી નળીમાંથી વહે છે।
$1$. બિંદુ $a$ પર, હવા વાતાવરણમાં ખુલ્લી છે, તેથી દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $(P_{atm})$ જેટલું છે.
$2$. જેમ હવા નળીમાં પ્રવેશ કરે છે, તે વિવિધ ક્ષેત્રફળવાળા વિભાગોમાંથી પસાર થાય છે. હવાની ઝડપ સૌથી સાંકડા વિભાગ (બિંદુ $c$) માં સૌથી વધુ છે, જેનો અર્થ છે કે બિંદુ $c$ પર દબાણ સૌથી ઓછું છે.
$3$. સક્શન પંપ અને પ્રવાહને કારણે બિંદુ $b$ અને $d$ પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતા ઓછું છે, પરંતુ $c$ કરતા વધારે છે કારણ કે $b$ અને $d$ પર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $c$ કરતા મોટું છે.
$4$. મેનોમીટરમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ એ પ્રવાહીની સપાટી પર હવા દ્વારા લાગતા દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(P_{atm} - P_{tube} = \rho gh)$, નળીમાં દબાણ જેટલું ઓછું, પ્રવાહીનો સ્તંભ તેટલો ઊંચો.
$5$. દબાણની સરખામણી કરતા: $P_c < P_b = P_d < P_a$.
$6$. તેથી, ઊંચાઈનો ક્રમ: $h_c > h_b = h_d > h_a$ થાય છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને સ્થાયી પ્રવાહીના વહન માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
$1$. સ્પિનિંગ બોલનો વળાંકવાળો માર્ગ (મેગ્નસ અસર) બર્નુલીના સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
$2$. પેઇન્ટ સ્પ્રેયર (એટોમાઇઝર) નું કાર્ય બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
$3$. વાવાઝોડા દરમિયાન પતરાના છાપરા ઉડી જવા એ છાપરાની ઉપર ફૂંકાતા તેજ પવનને કારણે સર્જાતા દબાણના તફાવતને કારણે થાય છે,જે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો સીધો ઉપયોગ છે.
$4$. 'જેટ ફ્લો દ્વારા લિફ્ટ' એ સામાન્ય રીતે પ્રણોદન (propulsion) અથવા વેગમાનના સ્થાનાંતરણ સાથે સંકળાયેલ શબ્દ છે,જે પ્રમાણભૂત પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો સીધો ઉપયોગ નથી. તેથી,આ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે,$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$.
ધારો કે $P_1$ અને $v_1$ એ નીચેની સપાટી પરનું દબાણ અને ઝડપ છે,અને $P_2$ અને $v_2$ એ ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ અને ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $v_1 = v$ અને $v_2 = 2v$.
દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = \frac{1}{2}\rho((2v)^2 - v^2) = \frac{1}{2}\rho(4v^2 - v^2) = \frac{1}{2}\rho(3v^2) = \frac{3}{2}\rho v^2$.
ડાયનેમિક લિફ્ટ $L$ એ આ દબાણ તફાવતને કારણે લાગતું બળ છે: $L = \Delta P \times A$.
તેથી,$L = \frac{3}{2}\rho v^2 A$.

(A) આડી નળી માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
અહીં $P_{1} - P_{2} = h \rho g$,જ્યાં $h = 0.8\,m$.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$Q = A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$,તેથી $v_{1} = Q/A_{1}$ અને $v_{2} = Q/A_{2}$.
આ કિંમતો બર્નુલીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h \rho g = \frac{1}{2} \rho \left[ \frac{Q^{2}}{A_{2}^{2}} - \frac{Q^{2}}{A_{1}^{2}} \right]$
$2gh = Q^{2} \left[ \frac{A_{1}^{2} - A_{2}^{2}}{A_{1}^{2} A_{2}^{2}} \right]$
$Q = A_{1} A_{2} \sqrt{\frac{2gh}{A_{1}^{2} - A_{2}^{2}}}$
વ્યાસ $d_{1} = 0.3\,m$ અને $d_{2} = 0.1\,m$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_{1} = 0.15\,m$ અને $r_{2} = 0.05\,m$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \pi (0.15)^{2} = 0.0225\pi\,m^{2}$ અને $A_{2} = \pi (0.05)^{2} = 0.0025\pi\,m^{2}$ થાય.
ગણતરી કરતા $Q \approx 0.032\,m^{3}/s = 32\,ltr/s$ મળે છે.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
આપેલ છે કે $A_1 = 4.0\,cm^2$,$v_1 = 5.0\,m/s$,અને $A_2 = 8.0\,cm^2$.
$v_2 = (A_1 v_1) / A_2 = (4.0 \times 5.0) / 8.0 = 2.5\,m/s$.
બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,$P_1 + \rho g h_1 + 1/2 \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + 1/2 \rho v_2^2$.
$P_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $P_2 = P_1 + \rho g(h_1 - h_2) + 1/2 \rho(v_1^2 - v_2^2)$.
અહીં,$h_1 - h_2 = 10\,m$,$\rho = 1000\,kg/m^3$,$g = 10\,m/s^2$.
$P_2 = 1.5 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 10) + 0.5 \times 1000 \times (5^2 - 2.5^2)$.
$P_2 = 1.5 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 + 500 \times (25 - 6.25)$.
$P_2 = 2.5 \times 10^5 + 9375 = 2.59375 \times 10^5\,Pa \approx 2.7 \times 10^5\,Pa$.

(A) બે બિંદુઓ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
આપેલ છે કે $P_1 = P$,$v_1 = v$,અને $v_2 = 2v$:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho (2v)^2$
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho (4v^2)$
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + 2\rho v^2$
$P_2 = P + \frac{1}{2}\rho v^2 - 2\rho v^2$
$P_2 = P - \frac{3}{2}\rho v^2$

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,અદબનીય અને અશ્યાન પ્રવાહીના ધારારેખી વહન માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
ધારો કે બિંદુ $1$ એ નળીના આડા ભાગના મુખ પર છે જ્યાં પાણીનો વેગ $V$ છે,અને બિંદુ $2$ એ ઊભી નળીના ઉપરના ભાગે છે જ્યાં પાણી સ્થિર થાય છે $(V_2 = 0)$.
બિંદુ $1$ અને બિંદુ $2$ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 + \rho g h_2$
અહીં,સ્થગિત બિંદુ (જ્યાં વેગ શૂન્ય થાય છે) પરનું દબાણ એ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ જેટલું હોય છે:
$\frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g h$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = \frac{V^2}{2g}$

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આડી પાઇપ માટે,દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
જ્યારે નળ બંધ હોય,ત્યારે પાણીનો વેગ $v_1 = 0$ છે. ધારો કે દબાણ $P_1 = 3.5 \times 10^5 \, N/m^2$ છે.
જ્યારે નળ ખુલ્લો હોય,ત્યારે દબાણ $P_2 = 3 \times 10^5 \, N/m^2$ છે અને વેગ $v_2 = v$ છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $3.5 \times 10^5 + 0 = 3 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$.
$(3.5 - 3) \times 10^5 = \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$.
$0.5 \times 10^5 = 500 \times v^2$.
$50000 = 500 \times v^2$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \, m/s$.

(A) સમક્ષિતિજ ઉડાન માટે,વિમાન પર લાગતું કુલ શિરોલંબ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે દબાણના તફાવત દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ઉપરની તરફનું લિફ્ટ બળ વિમાનના વજનને સંતુલિત કરે છે.
$F_{\text{lift}} = mg$
કારણ કે $F_{\text{lift}} = \Delta P \times A$,જ્યાં $\Delta P$ એ દબાણનો તફાવત છે અને $A$ એ પાંખનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે,તેથી:
$\Delta P \times A = mg$
$\Delta P = \frac{mg}{A}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 3 \times 10^4\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,અને $A = 120\,m^2$:
$\Delta P = \frac{3 \times 10^4 \times 10}{120} = \frac{30 \times 10^4}{120} = \frac{300000}{120} = 2500\,Pa$
$1\,kPa = 1000\,Pa$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\Delta P = 2.5\,kPa$