Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Gujarati

(B) ધારો કે કોર્કની ઘનતા $d$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho$ છે. કોર્કનું કદ $V$ છે.
કોર્ક પર લાગતા બળો ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho g$ (ઉપરની તરફ),કોર્કનું વજન $W = V d g$ (નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ (નીચેની તરફ) છે.
સ્થિર ફ્રેમમાં,સંતુલન સ્થિતિ $F_B = W + F_s$ છે,તેથી $F_s = V \rho g - V d g = V(\rho - d)g$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = (g - a)$ થાય છે.
નવું સ્પ્રિંગ બળ $F_s' = V(\rho - d)(g - a)$ છે.
જેમ કે $(g - a) < g$,નવું સ્પ્રિંગ બળ $F_s'$ એ મૂળ સ્પ્રિંગ બળ $F_s$ કરતા ઓછું છે. તેથી,સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ ઘટે છે અને સ્પ્રિંગની લંબાઈ ઘટે છે.

(A) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) સૂત્ર $F_B = V \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $V$ એ સ્થળાંતરિત પ્રવાહીનું કદ છે, $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે。
જ્યારે આખી સિસ્ટમ (બીકર અને પ્રવાહી) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે, ત્યારે તે નીચેની તરફ $g$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે। મુક્ત પતન કરતા બીકરના સંદર્ભ ફ્રેમમાં, અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{eff})$ $g - g = 0$ થઈ જાય છે。
ઉત્પ્લાવક બળ અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર પર આધારિત હોવાથી, અને $g_{eff} = 0$ હોવાથી, પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ શૂન્ય થઈ જાય છે。

(C) શરૂઆતમાં,માણસ તેના ડાબા હાથમાં $1 \,kg$ નો બ્લોક અને જમણા હાથમાં $10 \,kg$ ની ડોલ પકડે છે.
જ્યારે બ્લોકને ડોલમાં નાખવામાં આવે છે,ત્યારે જમણા હાથ દ્વારા ટેકો આપવામાં આવતું કુલ દળ એ ડોલ (પાણી સાથે) અને બ્લોકના દળનો સરવાળો બને છે.
કુલ દળ $= 10 \,kg + 1 \,kg = 11 \,kg$.
તેથી,માણસ તેના જમણા હાથમાં $11 \,kg$ નો ભાર વહન કરે છે.

(D) જ્યારે બ્લોક $m$ ને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) $F_B$ લાગે છે.
બેલેન્સ $A$ માટે,રીડિંગ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે. શરૂઆતમાં,$T = mg = 2 \, kg \cdot g$. જ્યારે ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે $T = mg - F_B$. કારણ કે $F_B > 0$,તેથી બેલેન્સ $A$ નું રીડિંગ $2 \, kg$ કરતા ઓછું હશે.
બેલેન્સ $B$ માટે,તે બીકર દ્વારા પૅન પર લાગતું લંબબળ માપે છે. શરૂઆતમાં,તે બીકર અને પ્રવાહીનું વજન દર્શાવે છે. જ્યારે બ્લોકને ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી બ્લોક પર ઉપરની તરફ $F_B$ બળ લગાડે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,બ્લોક પ્રવાહી પર નીચેની તરફ એટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં $F_B$ બળ લગાડે છે. આમ,બેલેન્સ $B$ પર લાગતું કુલ નીચેની તરફનું બળ $F_B$ જેટલું વધે છે. તેથી,બેલેન્સ $B$ નું રીડિંગ $5 \, kg$ કરતા વધારે હશે.
આમ,વિધાન $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) સ્પ્રિંગના સંકોચન અથવા વિસ્તરણમાં,પુનઃસ્થાપક બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે,જે સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો કરે છે.
પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ ખસેડતી વખતે,ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે છે,જે સિસ્ટમની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો કરે છે.
તેથી,કિસ્સાઓ $A$,$B$,અને $C$ માં,સિસ્ટમની સ્થિતિ ઉર્જા વધે છે.
જ્યારે પાણીમાં હવાનો પરપોટો ઉપર આવે છે,ત્યારે તે ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) ની દિશામાં ગતિ કરે છે. કારણ કે આ દિશામાં સિસ્ટમ પોતે કાર્ય કરે છે,તેથી સિસ્ટમની સ્થિતિ ઉર્જા ઘટે છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે. આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (uplift) તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન $W = m \cdot g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર $(g)$ ઘટે,તો વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન ઘટે છે,જેનાથી આર્કિમિડીઝનું ઉત્પ્લાવક બળ પણ ઘટે છે. સ્નિગ્ધ બળો અને સ્થિત વિદ્યુત બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રની તીવ્રતા પર આધાર રાખતા નથી.

(C) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app} = V(\rho - \sigma)g = \frac{m}{\rho}(\rho - \sigma)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે,$\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહી (પાણી,$\sigma = 1 \ g/cm^3$) ની ઘનતા છે.
બે પદાર્થો સંતુલનમાં હોવાથી,તેમના આભાસી વજન સમાન હોવા જોઈએ:
$\frac{m_1}{\rho_1}(\rho_1 - \sigma) = \frac{m_2}{\rho_2}(\rho_2 - \sigma)$
અહીં $m_1 = 36 \ g$,$\rho_1 = 9 \ g/cm^3$,$m_2 = 48 \ g$,અને $\sigma = 1 \ g/cm^3$ આપેલ છે:
$\frac{36}{9}(9 - 1) = \frac{48}{\rho_2}(\rho_2 - 1)$
$4(8) = \frac{48}{\rho_2}(\rho_2 - 1)$
$32 = \frac{48(\rho_2 - 1)}{\rho_2}$
$32\rho_2 = 48\rho_2 - 48$
$16\rho_2 = 48$
$\rho_2 = 3 \ g/cm^3$.

(D) ધારો કે શૂન્યાવકાશમાં પદાર્થનું સાચું દળ $M_0$ છે.
જ્યારે પદાર્થને હવામાં તોલવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થનું આભાસી વજન એ વજનિયાંના આભાસી વજન જેટલું હોય છે.
આભાસી વજન = વાસ્તવિક વજન - હવા દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force).
પદાર્થ માટે: આભાસી વજન $= M_0 g - V_1 d g = M_0 g - (M_0/d_1) d g = M_0 g (1 - d/d_1)$.
વજનિયાં માટે: આભાસી વજન $= M g - V_2 d g = M g - (M/d_2) d g = M g (1 - d/d_2)$.
બંનેને સરખાવતા: $M_0 g (1 - d/d_1) = M g (1 - d/d_2)$.
તેથી,સાચું દળ $M_0 = \frac{M(1 - d/d_2)}{(1 - d/d_1)}$ થાય.

(C) ધારો કે આઈસબર્ગનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho = 900 \ kg/m^3$ છે। પાણીની ઘનતા $\sigma = 1000 \ kg/m^3$ છે।
પ્લવનના નિયમ મુજબ, આઈસબર્ગનું વજન તેના ડૂબેલા ભાગ $(V_{in})$ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીના વજન જેટલું હોય છે।
$V \rho g = V_{in} \sigma g$
$V_{in} = \left( \frac{\rho}{\sigma} \right) V = \left( \frac{900}{1000} \right) V = 0.9 V$
પાણીની બહાર રહેલા આઈસબર્ગનું કદ $V_{out} = V - V_{in} = V - 0.9 V = 0.1 V$ થાય।
પાણીની બહાર રહેલા કદની ટકાવારી $\left( \frac{V_{out}}{V} \right) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$ છે।

(A) લાકડાના ટુકડાનું કદ $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{120}{600} = 0.2 \ m^3$ છે.
ધારો કે લાકડાના ટુકડાને ડૂબાડવા માટે તેના પર મૂકવામાં આવતું દળ $x$ છે.
લાકડું બરાબર ડૂબી જાય તે માટે,લાકડા અને વધારાના દળનું કુલ વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (વિસ્થાપિત પાણીનું વજન) જેટલું હોવું જોઈએ.
કુલ વજન = $(120 + x)g$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ = $V \rho_{\text{water}} g = 0.2 \times 1000 \times g$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $(120 + x)g = 0.2 \times 1000 \times g$.
$120 + x = 200$.
$x = 200 - 120 = 80 \ kg$.

(C) અર્ધગોળાકાર વાટકાનું વજન $W = mg = V_{material} \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_{material} = \frac{2}{3} \pi [ (D/2)^3 - (d/2)^3 ]$ એ વાટકાના દ્રવ્યનું કદ છે.
અહીં,$D = 1 \ m$ એ બહારનો વ્યાસ છે અને $d$ એ અંદરનો વ્યાસ છે. વાટકાની ઘનતા $\rho = 2 \times 10^4 \ kg/m^3$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,વાટકાનું વજન તેના દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે. વાટકો અર્ધગોળાકાર હોવાથી અને તે તરે છે,તેથી વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ બહારના અર્ધગોળાના કદ જેટલું થાય,$V_{displaced} = \frac{2}{3} \pi (D/2)^3$.
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન $W_{liquid} = V_{displaced} \sigma g$ છે,જ્યાં $\sigma = 1.2 \times 10^3 \ kg/m^3$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
બંને વજનને સરખાવતા: $\frac{2}{3} \pi (D/2)^3 \sigma g = \frac{2}{3} \pi [ (D/2)^3 - (d/2)^3 ] \rho g$.
સમાન પદો દૂર કરતા: $(D/2)^3 \sigma = [ (D/2)^3 - (d/2)^3 ] \rho$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.5)^3 \times 1.2 \times 10^3 = [ (0.5)^3 - (d/2)^3 ] \times 2 \times 10^4$.
$0.125 \times 1.2 \times 10^3 = [ 0.125 - (d/2)^3 ] \times 20 \times 10^3$.
$0.15 = [ 0.125 - (d/2)^3 ] \times 20$.
$0.0075 = 0.125 - (d/2)^3$.
$(d/2)^3 = 0.125 - 0.0075 = 0.1175$.
$d/2 = (0.1175)^{1/3} \approx 0.49$.
$d = 2 \times 0.49 = 0.98 \ m$.

(B) ધારો કે કોંક્રિટ અને લાકડાના વહેરની વિશિષ્ટ ઘનતા અનુક્રમે $\rho_1 = 2.4$ અને $\rho_2 = 0.3$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,આખા ગોળાનું વજન = ગોળા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ.
ગોળાનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1 g + \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2 g = \frac{4}{3}\pi R^3 \times 1 \times g$
$\frac{4}{3}\pi g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$(R^3 - r^3)\rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3 \rho_1 - r^3 \rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3(\rho_1 - 1) = r^3(\rho_1 - \rho_2)$
$\frac{R^3}{r^3} = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 - 1} = \frac{2.4 - 0.3}{2.4 - 1} = \frac{2.1}{1.4} = 1.5$
હવે,કોંક્રિટના દળ $(M_c)$ અને લાકડાના વહેરના દળ $(M_s)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{M_c}{M_s} = \frac{\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1}{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2} = \left( \frac{R^3}{r^3} - 1 \right) \frac{\rho_1}{\rho_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{M_c}{M_s} = (1.5 - 1) \times \frac{2.4}{0.3} = 0.5 \times 8 = 4$.

(D) બ્લોકનું કદ $V = 5 \, cm \times 5 \, cm \times 5 \, cm = 125 \, cm^3$ છે.
બ્લોકની ઘનતા $\rho = 5 \, g \, cm^{-3}$ છે.
પાણીની ઘનતા $\sigma = 1 \, g \, cm^{-3}$ છે.
આભાસી વજન $W_{app}$ શોધવાનું સૂત્ર $W_{app} = V(\rho - \sigma)g$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$W_{app} = 125 \times (5 - 1) \times g$ (બળના એકમમાં).
કારણ કે $1 \, g$ દળ એ $1 \, gf$ વજનને અનુરૂપ છે,તેથી $gf$ માં આભાસી વજન $V(\rho - \sigma) = 125 \times 4 = 500 \, gf$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$500 = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \, gf$ મળે છે.

(A) ધારો કે બ્લોકનું કદ $V$ છે, બ્લોકની ઘનતા $\rho$ છે, અને પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ છે.
શરૂઆતમાં, બ્લોક સંતુલનમાં છે, તેથી બ્લોકનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું છે:
$V \rho g = V_{in} \sigma g$
આપેલ છે કે અડધું કદ ડૂબેલું છે, $V_{in} = V/2$, તેથી:
$V \rho g = (V/2) \sigma g \implies \rho = \sigma/2$.
જ્યારે સિસ્ટમ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g' = g + a = g + g/3 = 4g/3$ થાય છે.
નવી સંતુલન સ્થિતિ છે:
$V \rho g' = V'_{in} \sigma g'$
$V \rho (4g/3) = V'_{in} \sigma (4g/3)$
$V \rho = V'_{in} \sigma$
કારણ કે $\rho = \sigma/2$, આપણને $V(\sigma/2) = V'_{in} \sigma$ મળે છે, જે $V'_{in} = V/2$ આપે છે.
ડૂબેલા કદનો અંશ $V'_{in}/V = 0.5$ રહે છે. આમ, પ્રવેગ સાથે ડૂબેલા કદનો અંશ બદલાતો નથી.

(B) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W_{app} = V(\rho_s - \rho_l)g$,જ્યાં $V$ એ પદાર્થનું કદ છે,$\rho_s$ એ પદાર્થની ઘનતા છે અને $\rho_l$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
દળ $M = V \rho_s$ હોવાથી,આપણે $V = M / \rho_s$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $W_{app} = \frac{M}{\rho_s}(\rho_s - \rho_l)g = M(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})g$.
અહીં $M = 2.1 \ kg$,$\rho_s = 10.5$,અને $\rho_l = 0.8$ આપેલ છે.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ $kg-wt$ માં આભાસી વજન જેટલું હોય છે:
$T = 2.1 \times (1 - \frac{0.8}{10.5}) \ kg-wt$.
$T = 2.1 \times (\frac{10.5 - 0.8}{10.5}) \ kg-wt$.
$T = 2.1 \times (\frac{9.7}{10.5}) \ kg-wt$.
$T = 2.1 \times 0.9238 \approx 1.94 \ kg-wt$.

(D) ધારો કે ધાતુની ઘનતા $\rho$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ છે. ધારો કે નમૂનાનું કદ $V$ છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,આભાસી વજન એ વાસ્તવિક વજન અને ઉત્પ્લાવક બળનો તફાવત છે.
હવામાં: $W_{air} = V \rho g = 210 \ g$ ... $(i)$
પાણીમાં: $W_{water} = V(\rho - 1)g = 180 \ g$ ... (ii)
પ્રવાહીમાં: $W_{liquid} = V(\rho - \sigma)g = 120 \ g$ ... (iii)
$(i)$ અને (ii) પરથી: $V \rho g - V(1)g = 180 \implies 210 - Vg = 180 \implies Vg = 30$.
$V \rho g = 210$ હોવાથી,$30 \rho = 210 \implies \rho = 7$.
$(i)$ અને (iii) પરથી: $V \rho g - V \sigma g = 120 \implies 210 - V \sigma g = 120 \implies V \sigma g = 90$.
$Vg = 30$ મૂકતા: $30 \sigma = 90 \implies \sigma = 3$.
આમ,ધાતુની સાપેક્ષ ઘનતા $7$ છે અને પ્રવાહીની સાપેક્ષ ઘનતા $3$ છે.

(C) પ્રવાહીમાં તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત) જેટલું હોય છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ ની ઘનતા અનુક્રમે $\rho_A$ અને $\rho_B$ છે,અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે.
ઘન $A$ માટે: $V_A \rho_A g = (V_A/2) \rho_w g \implies \rho_A = \frac{1}{2} \rho_w$.
ઘન $B$ માટે: $V_B \rho_B g = (2/3 V_B) \rho_w g \implies \rho_B = \frac{2}{3} \rho_w$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{(1/2) \rho_w}{(2/3) \rho_w} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
આમ,$A$ અને $B$ ની ઘનતાનો ગુણોત્તર $3:4$ છે.

(C) $\text{પ્રવાહીમાં તરતી વસ્તુ માટે, વસ્તુનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત) જેટલું હોય છે.}$
$\text{વસ્તુનું વજન = } V_0 d_0 g$.
$\text{ઉત્પ્લાવક બળ = } V_{in} d g, \text{જ્યાં } V_{in} \text{ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા વસ્તુનું કદ છે.}$
$\text{બંનેને સરખાવતા: } V_0 d_0 g = V_{in} d g$.
$\text{આનાથી ડૂબેલા ભાગનું કદ મળે છે: } V_{in} = V_0 \frac{d_0}{d}$.
$\text{સપાટીની ઉપર રહેલા વસ્તુનું કદ } V_{out} = V_0 - V_{in} \text{ છે.}$
$V_{in} \text{ ની કિંમત મૂકતા: } V_{out} = V_0 - V_0 \frac{d_0}{d} = V_0 \left( \frac{d - d_0}{d} \right)$.
$\text{સપાટીની ઉપર રહેલા વસ્તુનો અંશ } \frac{V_{out}}{V_0} = \frac{d - d_0}{d} \text{ થાય છે.}$

(A) સ્ટીલના બ્લોકનું કદ $V = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$ છે.
આપેલ છે કે સ્ટીલની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_r = 7$ છે,તેથી સ્ટીલની ઘનતા $\rho = 7 \text{ g/cm}^3$ થાય.
પાણીની ઘનતા $\sigma = 1 \text{ g/cm}^3$ છે.
પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app} = V(\rho - \sigma)g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપણે વજન $\text{gf}$ (ગ્રામ-ફોર્સ) માં ગણી રહ્યા છીએ,તેથી આપણે $W_{app} = V(\rho - \sigma) \text{ gf/cm}^3$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
કિંમતો મૂકતા: $W_{app} = (5 \times 5 \times 5) \times (7 - 1) \text{ gf}$.
$W_{app} = 125 \times 6 \text{ gf} = 6 \times 5 \times 5 \times 5 \text{ gf}$.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં એવી રીતે તરતો હોય કે તેની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા જેટલી હોય,ત્યારે તે તટસ્થ સંતુલન (neutral equilibrium) ની સ્થિતિમાં હોય છે.
જો પદાર્થને થોડો નીચે ધકેલવામાં આવે,તો ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અને પદાર્થનું વજન સમાન રહે છે કારણ કે પ્રવાહીની ઘનતા સમાન છે.
કોઈપણ ઊંડાઈએ પદાર્થ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય રહેતું હોવાથી,પદાર્થ જ્યાં છોડવામાં આવશે ત્યાં જ ડૂબેલી સ્થિતિમાં રહેશે.

(D) ધારો કે ગોળાનું કદ $V$ છે,ગોળાની ઘનતા $\rho_s$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે.
આપેલ છે કે ગોળો પાણી કરતા $\eta$ ગણો હલકો છે,તેથી $\rho_w = \eta \rho_s$.
ગોળાનું દળ $m = V \rho_s$ છે,તેથી $V = \frac{m}{\rho_s}$.
ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ગોળાનું વજન $(mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. દોરીમાં તણાવ બળ $(T)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યાં $F_B = V \rho_w g$.
સંતુલન માટે,કુલ બળ શૂન્ય થાય: $F_B = T + mg$.
તેથી,$T = F_B - mg = V \rho_w g - V \rho_s g$.
$\rho_w = \eta \rho_s$ અને $V \rho_s = m$ મૂકતા:
$T = V (\eta \rho_s) g - m g = \eta (V \rho_s) g - mg = \eta mg - mg = (\eta - 1) mg$.

(A) ધારો કે ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા $\rho$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે.
જ્યારે ગોળો અડધો ડૂબેલો તરે છે,ત્યારે ગોળાનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$W_{sphere} = F_{buoyant}$
$V \cdot \rho \cdot g = (V/2) \cdot \rho_w \cdot g$
$\rho = \rho_w / 2$
હવે,ધારો કે ગોળાની અંદર $V'$ જેટલું પાણી ભરવામાં આવે છે જેથી તે સંપૂર્ણ ડૂબી જાય. ગોળો ડૂબી જાય તે માટે,કુલ વજન (ગોળો + પાણી) એ સંપૂર્ણ ડૂબેલા ગોળા પર લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$W_{total} = F_{buoyant, total}$
$(V \cdot \rho \cdot g) + (V' \cdot \rho_w \cdot g) = V \cdot \rho_w \cdot g$
$\rho = \rho_w / 2$ મૂકતા:
$V \cdot (\rho_w / 2) \cdot g + V' \cdot \rho_w \cdot g = V \cdot \rho_w \cdot g$
$\rho_w \cdot g$ વડે ભાગતા:
$V/2 + V' = V$
$V' = V - V/2 = V/2$
તેથી,ભરવા માટેના પાણીનું ન્યૂનતમ કદ $V/2$ છે.

(A) પ્લવનના નિયમ મુજબ,તરતી વસ્તુ તેના પોતાના વજન જેટલું પ્રવાહીનું વજન વિસ્થાપિત કરે છે.
બ્લોકનું વજન અચળ રહેતું હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું વજન પણ અચળ રહેવું જોઈએ.
વિસ્થાપિત પાણીનું વજન એ વિસ્થાપિત પાણીનું કદ,પાણીની ઘનતા અને ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે $(W = V_{disp} \cdot \rho_{water} \cdot g)$. પાણીની ઘનતા અને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળ હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $(V_{disp})$ અચળ રહેવું જોઈએ.
વિસ્થાપિત પાણીના કદમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી,પાત્રમાં પાણીની સપાટીમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(B) ધારો કે દડાની ઘનતા $\rho = 0.4 \times 10^3 \ kg/m^3$ અને પાણીની ઘનતા $\sigma = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3$ છે.
જ્યારે દડો $h_0 = 9 \ cm$ ની ઊંચાઈ પરથી પડે છે,ત્યારે પાણીમાં પ્રવેશતા પહેલા તેનો વેગ $v^2 = 2gh_0$ દ્વારા મળે છે.
પાણીની અંદર,દડા પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V\sigma g$ અને નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = V\rho g$ લાગે છે. પરિણામી બળ $F_{net} = W - F_B = V(\rho - \sigma)g$ છે.
પાણીની અંદર મંદન $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V(\rho - \sigma)g}{V\rho} = \left( \frac{\rho - \sigma}{\rho} \right)g$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \left( \frac{0.4 - 1.0}{0.4} \right)g = -\frac{0.6}{0.4}g = -1.5g$.
દડો $h$ ઊંડાઈ સુધી ડૂબે છે જ્યાં તેનો અંતિમ વેગ શૂન્ય થાય છે. $v_f^2 - v_i^2 = 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - (2gh_0) = 2(-1.5g)h$.
$2gh_0 = 3gh$.
$h = \frac{2}{3}h_0 = \frac{2}{3} \times 9 \ cm = 6 \ cm$.

(B) પ્લવનના નિયમ મુજબ,પદાર્થનું વજન તેના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
ધારો કે $A$ અને $B$ ઘન પદાર્થોની ઘનતા અનુક્રમે $\rho_A$ અને $\rho_B$ છે,અને પાણીની ઘનતા $\rho_W$ છે.
ઘન પદાર્થ $A$ માટે,ડૂબેલું કદ $\frac{1}{2} V_A$ છે. તેથી,$\frac{1}{2} V_A \rho_W g = V_A \rho_A g$,જે $\rho_A = \frac{1}{2} \rho_W$ આપે છે.
ઘન પદાર્થ $B$ માટે,પાણીની ઉપરનું કદ $\frac{1}{4} V_B$ છે,તેથી ડૂબેલું કદ $V_B - \frac{1}{4} V_B = \frac{3}{4} V_B$ છે. તેથી,$\frac{3}{4} V_B \rho_W g = V_B \rho_B g$,જે $\rho_B = \frac{3}{4} \rho_W$ આપે છે.
$A$ ની ઘનતા અને $B$ ની ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{\frac{1}{2} \rho_W}{\frac{3}{4} \rho_W} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ થાય છે.

(C) ધારો કે હોડીનું દળ $M$ છે અને સ્ટીલના દડાઓનું કુલ દળ $m$ છે. ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho_{\omega}$ છે અને સ્ટીલની ઘનતા $\sigma_{s}$ છે.
જ્યારે દડાઓ હોડીમાં હોય છે,ત્યારે હોડી તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,વિસ્થાપિત પાણીનું વજન હોડી અને દડાઓના કુલ વજન જેટલું હોય છે: $W = (M + m)g$.
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{1} = \frac{M + m}{\rho_{\omega}}$ છે.
જ્યારે સ્ટીલના દડાઓને પાણીમાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ડૂબી જાય છે કારણ કે $\sigma_{s} > \rho_{\omega}$.
હવે હોડી ફક્ત તેના પોતાના વજન જેટલું જ પાણી વિસ્થાપિત કરે છે: $V_{boat} = \frac{M}{\rho_{\omega}}$.
સ્ટીલના દડાઓ તેમના પોતાના કદ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે: $V_{balls} = \frac{m}{\sigma_{s}}$.
વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ $V_{2} = \frac{M}{\rho_{\omega}} + \frac{m}{\sigma_{s}}$ છે.
કારણ કે $\sigma_{s} > \rho_{\omega}$,તેથી $\frac{m}{\sigma_{s}} < \frac{m}{\rho_{\omega}}$ થાય.
તેથી,$V_{2} < V_{1}$.
જેમ વિસ્થાપિત પાણીનું કદ ઘટે છે,તેમ ટાંકીમાં પાણીની સપાટી ઘટશે.

(C) આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = V \rho g$,જ્યાં $V$ એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ છે (જે પદાર્થના ડૂબેલા ભાગના કદ જેટલું હોય છે),$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
કારણ કે બંને ટુકડાઓ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ $F$ સમાન છે અને તેઓ એક જ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા છે (સમાન $\rho$ અને $g$),તેથી બંને ટુકડાઓ માટે $V$ સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,બંને ટુકડાઓનું કદ સમાન હોવું જોઈએ.

(B) તરતી વસ્તુ માટે,વસ્તુનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
ધારો કે $V$ એ નળાકારનું કુલ કદ છે,$\rho$ એ લાકડાની ઘનતા છે,અને $\sigma$ એ પાણીની ઘનતા છે.
લાકડાના નળાકારનું વજન $W = V \rho g$ છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = \frac{V}{2}$ છે.
પ્લવક બળ (buoyant force) $F_B = V_{disp} \sigma g = \frac{V}{2} \sigma g$ છે.
નળાકાર તરતો હોવાથી,$W = F_B$.
$V \rho g = \frac{V}{2} \sigma g$.
તેથી,$\rho = \frac{\sigma}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે લાકડાની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા અડધી છે.

(B) ધારો કે મીણબત્તીની ઘનતા $\rho_c$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_l$ છે. ધારો કે મીણબત્તીની કુલ લંબાઈ $L_0$ છે અને ડૂબેલી લંબાઈ $L_s$ છે. તરવાના સિદ્ધાંત મુજબ,મીણબત્તીનું વજન એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે:
$\rho_c \cdot A \cdot L_0 = \rho_l \cdot A \cdot L_s$
જ્યાં $A$ એ મીણબત્તીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ સૂચવે છે કે $L_s = (\rho_c / \rho_l) L_0$. ધારો કે $k = \rho_c / \rho_l$. તેથી $L_s = k L_0$.
પ્રવાહીની સપાટીથી ઉપર મીણબત્તીના ટોચની ઊંચાઈ $h = L_0 - L_s = L_0(1 - k)$ છે.
જેમ મીણબત્તી બળે છે,તેની કુલ લંબાઈ $L_0$ એ $v = dL_0/dt = 2 \text{ cm/hour}$ ના દરે ઘટે છે.
મીણબત્તીની ટોચની ઊંચાઈમાં થતો ફેરફારનો દર $dh/dt = (dL_0/dt)(1 - k)$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મીણબત્તી અડધી ડૂબેલી છે તેમ ધારતા,$k = 0.5$.
તેથી,$dh/dt = 2 \text{ cm/hour} \times (1 - 0.5) = 1 \text{ cm/hour}$.
$dh/dt$ ધન હોવાથી,મીણબત્તીની ટોચ $1 \text{ cm/hour}$ ના દરે નીચે જાય છે.

(B) ધારો કે બરફનું દળ $M_i$ છે અને કાચના દડાનું દળ $M_g$ છે.
શરૂઆતમાં,કાચના દડા સાથેનો બરફનો ટુકડો પાણીમાં તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમનું કુલ વજન વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે.
કુલ વજન $W = (M_i + M_g)g$.
શરૂઆતમાં વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_1 = \frac{M_i + M_g}{\rho_w}$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે બરફ $V_{iw} = \frac{M_i}{\rho_w}$ કદના પાણીમાં ફેરવાય છે. કાચનો દડો તળિયે બેસી જાય છે.
કાચના દડા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_g = \frac{M_g}{\rho_g}$ છે,જ્યાં $\rho_g$ એ કાચના દડાની ઘનતા છે.
કાચનો દડો પાણી કરતા વધુ ઘન હોવાથી $(\rho_g > \rho_w)$,ડૂબેલા કાચના દડા દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_g = \frac{M_g}{\rho_g} < \frac{M_g}{\rho_w}$ થાય છે.
પાણીના સ્તરનું અંતિમ કદ $V_2 = V_{iw} + V_g = \frac{M_i}{\rho_w} + \frac{M_g}{\rho_g}$ છે.
$V_1$ અને $V_2$ ની સરખામણી કરતા,કારણ કે $\frac{M_g}{\rho_g} < \frac{M_g}{\rho_w}$,તેથી $V_2 < V_1$ મળે છે.
આથી,પાણીનું સ્તર ઘટશે.

(D) સાચો જવાબ $None$ of these છે. જહાજનું તરવું અને સોયનું ડૂબવું એ તરવાના નિયમ અને ઘનતાના ખ્યાલ દ્વારા સમજાવી શકાય છે.
તરવાના નિયમ મુજબ,જો પદાર્થના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીનું વજન પદાર્થના પોતાના વજન જેટલું હોય,તો પદાર્થ તરે છે.
જહાજની રચના એવી રીતે કરવામાં આવે છે કે તેની સરેરાશ ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી હોય,જેથી તે તેના પોતાના વજન જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરી શકે છે,ભલે તેનો થોડો ભાગ જ પાણીમાં ડૂબેલો હોય.
તેનાથી વિપરીત,સ્ટીલની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઘણી વધારે હોય છે. સોય નક્કર સ્ટીલની બનેલી હોવાથી તેની સરેરાશ ઘનતા પાણી કરતા વધારે હોય છે. તેથી,સોય દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પાણીનું વજન સોયના વજન કરતા ઓછું હોય છે,જેના કારણે તે ડૂબી જાય છે.
આ ઘટના મૂળભૂત રીતે પદાર્થના વજન અને ઉત્પ્લાવક બળ (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત) વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,જે પ્રવાહીની સાપેક્ષમાં પદાર્થની ઘનતા પર આધાર રાખે છે.

(A) સબમરીનનું નિર્માણ અને સંચાલન આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં સંપૂર્ણ અથવા આંશિક રીતે ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
સબમરીનમાં બેલાસ્ટ ટાંકીઓ હોય છે,જેમાં પાણી અથવા હવા ભરીને તેની એકંદર ઘનતા બદલી શકાય છે.
આ ટાંકીઓમાં પાણીના જથ્થાને સમાયોજિત કરીને,સબમરીન ડૂબવા,સપાટી પર આવવા અથવા ચોક્કસ ઊંડાઈ જાળવી રાખવા માટે તેની ઉત્પ્લાવકતાને નિયંત્રિત કરી શકે છે.

(D) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે. પ્રવાહીમાં પ્રવેશતા પહેલા પદાર્થનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
જ્યારે પદાર્થ પ્રવાહીમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો તેનું વજન $W = Vdg$ (નીચેની તરફ) અને ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = VDg$ (ઉપરની તરફ) છે.
પ્રવાહીની અંદર પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_B - W = VDg - Vdg = V(D - d)g$ છે.
પદાર્થનો પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V(D - d)g}{Vd} = \left( \frac{D - d}{d} \right)g$ છે.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તે સ્થિર થાય છે. $v = at$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{v}{a}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{\sqrt{2gh}}{\left( \frac{D - d}{d} \right)g} = \frac{\sqrt{2gh}}{g} \cdot \frac{d}{D - d} = \sqrt{\frac{2h}{g}} \cdot \frac{d}{D - d}$.

(A) નળાકાર સંતુલનમાં તરે તે માટે,તેનું વજન બંને પ્રવાહી દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) જેટલું હોવું જોઈએ.
નળાકારનું વજન = $V \times D \times g = (A/5) \times L \times D \times g$.
ઉપરના પ્રવાહી (ઘનતા $d$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ: $F_1 = (A/5) \times (3L/4) \times d \times g$.
નીચેના પ્રવાહી (ઘનતા $2d$) દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ: $F_2 = (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$.
વજનને કુલ ઉત્પ્લાવક બળ સાથે સરખાવતા:
$(A/5) \times L \times D \times g = (A/5) \times (3L/4) \times d \times g + (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$.
બંને બાજુ $(A/5) \times L \times g$ વડે ભાગતા:
$D = (3/4)d + (1/4) \times 2d = (3/4)d + (2/4)d = (5/4)d$.
તેથી,ઘન પદાર્થની ઘનતા $D = \frac{5}{4}d$ છે.

(D) શરૂઆતમાં,બ્લોક સિક્કા સાથે તરે છે. તરવાના નિયમ મુજબ,બ્લોક અને સિક્કાનું કુલ વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે બ્લોકના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે. ધારો કે $M$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $m$ એ સિક્કાનું દળ છે. કુલ વજન $(M+m)g$ છે. વિસ્થાપિત પાણીનું કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ છે,જ્યાં $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
જ્યારે સિક્કો પાણીમાં પડે છે,ત્યારે તે ડૂબી જાય છે (ધારી લઈએ કે તેની ઘનતા પાણી કરતા વધારે છે). હવે બ્લોકે માત્ર પોતાનું વજન $Mg$ જ ટેકવવાનું છે. બ્લોક દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું નવું કદ $V'_{disp} = M/\rho_w$ છે. કારણ કે $V'_{disp} < V_{disp}$,બ્લોકની ડૂબેલી ઊંડાઈ $l$ ઘટે છે.
$h$ ના સંદર્ભમાં,શરૂઆતમાં વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ હતું. સિક્કો પડી ગયા પછી,બ્લોક $M/\rho_w$ કદનું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે અને સિક્કો તેના પોતાના કદ $V_c = m/\rho_c$ જેટલું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે. વિસ્થાપિત પાણીનું નવું કુલ કદ $V'_{total} = M/\rho_w + m/\rho_c$ છે. સિક્કાની ઘનતા $\rho_c > \rho_w$ હોવાથી,$m/\rho_c < m/\rho_w$ થાય છે. તેથી,$V'_{total} < V_{disp}$. જેમ વિસ્થાપિત પાણીનું કુલ કદ ઘટે છે,તેમ પાણીનું સ્તર $h$ પણ ઘટે છે. આમ,$l$ અને $h$ બંને ઘટે છે.

(C) જ્યારે ગોળો પ્રવાહીમાં તરે છે,ત્યારે તેનું વજન તેના પર લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust force) જેટલું હોય છે.
ધારો કે ગોળાનું કુલ કદ $V$ છે અને તેની ઘનતા $\rho$ છે.
ગોળાનું વજન = $V \rho g$
ઓઈલ દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = (ઓઈલમાં રહેલું કદ) $\times$ (ઓઈલની ઘનતા) $\times g = (V/2) \times 0.8 \times g = 0.4 Vg$
મર્ક્યુરી દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = (મર્ક્યુરીમાં રહેલું કદ) $\times$ (મર્ક્યુરીની ઘનતા) $\times g = (V/2) \times 13.6 \times g = 6.8 Vg$
કુલ ઉત્પ્લાવક બળ = $0.4 Vg + 6.8 Vg = 7.2 Vg$
વજન અને કુલ ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા:
$V \rho g = 7.2 Vg$
$\rho = 7.2 \; g/cm^3$

(A) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - a)$
જ્યાં $V$ એ સ્થળાંતરિત થયેલા પ્રવાહીનું કદ છે,$\rho_{\text{liquid}}$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $a$ એ સિસ્ટમનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે.
મુક્ત પતનના કિસ્સામાં,આખી સિસ્ટમ (બીકર અને પ્રવાહી) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,એટલે કે $a = g$.
સૂત્રમાં $a = g$ મૂકતા:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - g) = V \rho_{\text{liquid}} (0) = 0$.
તેથી,પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ શૂન્ય છે.

(A) ધારો કે $L$ એ સળિયાની કુલ લંબાઈ છે. સળિયો સમાન હોવાથી,તેનું વજન $W = A L \rho g$ તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે નીચેના છેડા $P$ થી $L/2$ અંતરે છે.
ધારો કે $l$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા સળિયાની લંબાઈ છે. પ્રવાહીની ઊંડાઈ $h = L/2$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = h/l = (L/2)/l = L/(2l)$,જેનો અર્થ છે કે $l = L/(2 \sin \theta)$.
પ્લવક બળ $F_B = A l \rho_0 g$ ડૂબેલા ભાગના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે નીચેના છેડા $P$ થી $l/2$ અંતરે છે.
નીચેના છેડા $P$ ની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,વજનને કારણે લાગતું ટોર્ક એ પ્લવક બળને કારણે લાગતા ટોર્ક સાથે સંતુલિત થવું જોઈએ:
$W \cdot (L/2) \cos \theta = F_B \cdot (l/2) \cos \theta$
$(A L \rho g) \cdot (L/2) \cos \theta = (A l \rho_0 g) \cdot (l/2) \cos \theta$
$L^2 \rho = l^2 \rho_0$
$(l/L)^2 = \rho / \rho_0$
$l = L/(2 \sin \theta)$ મૂકતા:
$(1 / (2 \sin \theta))^2 = \rho / \rho_0$
$1 / (4 \sin^2 \theta) = \rho / \rho_0$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{\rho_0}{\rho}$
$\sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho}}$

(B) ધારો કે બરફના ટુકડાનું દળ $M$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,બરફનું વજન એ સ્થાનાંતરિત થયેલા પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે.
તેથી,$M \cdot g = V_D \cdot \sigma_L \cdot g$,જ્યાં $V_D$ એ સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનું કદ છે અને $\sigma_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
તેથી,$V_D = \frac{M}{\sigma_L}$.
જ્યારે બરફ ઓગળે છે,ત્યારે તે $M$ દળનું પાણી બનાવે છે. આ પાણીનું કદ $V_F = \frac{M}{\sigma_W}$ છે,જ્યાં $\sigma_W$ એ પાણીની ઘનતા $(1 \ g/cm^3)$ છે.
અહીં $\sigma_L = 1.2 \ g/cm^3$ અને $\sigma_W = 1 \ g/cm^3$ આપેલ છે,તેથી $\sigma_L > \sigma_W$.
કદની સરખામણી કરતા: $\sigma_L > \sigma_W$ હોવાથી,$\frac{M}{\sigma_L} < \frac{M}{\sigma_W}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $V_D < V_F$.
બનેલા પાણીનું કદ $(V_F)$ એ તરતા બરફ દ્વારા સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના કદ $(V_D)$ કરતા વધારે હોવાથી,બીકરમાં પ્રવાહીની સપાટી ઊંચી આવશે.

(A) સળિયાનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દ્રવ્ય $(\rho)$ અને લંબાઈ $(L)$ સમાન હોવાથી,$R \propto \frac{1}{A}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{A_1}{A_2} = \frac{R_2}{R_1} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $A_1 = 2A_2$.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે વજનમાં થતો ઘટાડો એ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલો હોય છે,જે $F_B = V \sigma_L g = A L \sigma_L g$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $V$ એ કદ છે,$\sigma_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અહીં $L$,$\sigma_L$ અને $g$ બંને સળિયા માટે સમાન હોવાથી,વજનમાં થતો ઘટાડો એ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\frac{\text{વજનમાં ઘટાડો}_1}{\text{વજનમાં ઘટાડો}_2} = \frac{A_1}{A_2} = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2$ હોવાથી,સળિયા $A$ ના વજનમાં વધુ ઘટાડો થાય છે.

(A) સળિયાનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \cdot l$ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત મૂકતા,$R = \rho \frac{l^2}{V}$.
ઘનતા $\sigma = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\sigma}$ મળે.
આમ,$R = \rho \frac{l^2 \sigma}{m}$.
બંને સળિયાની લંબાઈ $l$ અને દ્રવ્ય (ઘનતા $\sigma$ અને અવરોધકતા $\rho$) સમાન હોવાથી,$R \propto \frac{1}{m}$ થાય.
આપેલ છે કે $R_A : R_B = 1 : 2$,તેથી $m_A : m_B = 2 : 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $m_A > m_B$.
પાણીમાં ડુબાડતા વજનમાં થતો ઘટાડો એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલો હોય છે,જે $W_{loss} = V_{rod} \cdot \sigma_{water} \cdot g = \frac{m}{\sigma_{rod}} \cdot \sigma_{water} \cdot g$ છે.
$m_A > m_B$ હોવાથી,સળિયા $A$ ના વજનમાં થતો ઘટાડો $B$ કરતા વધારે હશે.

(C) પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું આભાસી વજન $W_{app} = V(\rho - \sigma)g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ કદ છે,$\rho$ પદાર્થની ઘનતા છે અને $\sigma$ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
$V = m/\rho$ હોવાથી,આભાસી વજન $W_{app} = \frac{m}{\rho}(\rho - \sigma)g = m(1 - \frac{\sigma}{\rho})g$ થાય.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો પાણીમાં સમતોલનમાં છે,તેથી તેમના આભાસી વજન સમાન હોવા જોઈએ:
$m_1(1 - \frac{\sigma}{\rho_1}) = m_2(1 - \frac{\sigma}{\rho_2})$
આપેલ છે: $m_1 = 36 \, g$,$\rho_1 = 9 \, g/cm^{3}$,$m_2 = 48 \, g$,અને $\sigma = 1 \, g/cm^{3}$ (પાણીની ઘનતા).
કિંમતો મૂકતા:
$36(1 - \frac{1}{9}) = 48(1 - \frac{1}{\rho_2})$
$36(\frac{8}{9}) = 48(\frac{\rho_2 - 1}{\rho_2})$
$32 = 48(\frac{\rho_2 - 1}{\rho_2})$
$\frac{32}{48} = \frac{\rho_2 - 1}{\rho_2}$
$\frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{\rho_2}$
$\frac{1}{\rho_2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$\rho_2 = 3 \, g/cm^{3}$.

(A) નળાકાર સંતુલનમાં તરે તે માટે,નળાકારનું વજન બંને પ્રવાહી દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $A_c = A/5$ એ નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ઉપરના પ્રવાહીમાં (ઘનતા $d$) ડૂબેલી નળાકારની લંબાઈ $3L/4$ છે.
નીચેના પ્રવાહીમાં (ઘનતા $2d$) ડૂબેલી નળાકારની લંબાઈ $L/4$ છે.
નળાકારનું વજન = $V_{total} \times D \times g = (A_c \times L) \times D \times g = (A/5) \times L \times D \times g$.
ઉત્પ્લાવક બળ = (સ્થળાંતરિત થયેલા ઉપરના પ્રવાહીનું વજન) + (સ્થળાંતરિત થયેલા નીચેના પ્રવાહીનું વજન)
ઉત્પ્લાવક બળ = $(A_c \times 3L/4) \times d \times g + (A_c \times L/4) \times 2d \times g$
ઉત્પ્લાવક બળ = $(A/5) \times (3L/4) \times d \times g + (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$
વજન અને ઉત્પ્લાવક બળને સરખાવતા:
$(A/5) \times L \times D \times g = (A/5) \times g \times [ (3L/4) \times d + (L/4) \times 2d ]$
$L \times D = (3L/4) \times d + (2L/4) \times d$
$L \times D = (5L/4) \times d$
$D = 5/4 d$

(C) ધારો કે ગોળાનું કુલ કદ $V$ છે અને ગોળાની ઘનતા $\rho$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,ગોળાનું વજન એ બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
ગોળાનું વજન = $V \rho g$
તેલ દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = $(\frac{V}{2}) \rho_{\text{oil}} g$
પારા દ્વારા લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ = $(\frac{V}{2}) \rho_{\text{Hg}} g$
બળોને સરખાવતા: $V \rho g = \frac{V}{2} \rho_{\text{oil}} g + \frac{V}{2} \rho_{\text{Hg}} g$
$Vg$ વડે ભાગતા: $\rho = \frac{\rho_{\text{oil}} + \rho_{\text{Hg}}}{2}$
કિંમતો મૂકતા: $\rho = \frac{0.8 + 13.6}{2} = \frac{14.4}{2} = 7.2 \text{ g/cm}^3$.

(C) પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ, પદાર્થનું વજન તેના ડૂબેલા ભાગ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે।
ધારો કે $V_{in}$ એ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થનું કદ છે।
પદાર્થનું વજન = $V_0 d_0 g$.
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $V_{in} d g$.
બંનેને સરખાવતા: $V_0 d_0 g = V_{in} d g$.
આના પરથી $V_{in} = V_0 \frac{d_0}{d}$ મળે છે।
પ્રવાહીની બહાર રહેલા પદાર્થનું કદ $V_{out} = V_0 - V_{in}$ છે।
$V_{in}$ ની કિંમત મૂકતા: $V_{out} = V_0 - V_0 \frac{d_0}{d} = V_0 \left( 1 - \frac{d_0}{d} \right) = V_0 \left( \frac{d - d_0}{d} \right)$.
પ્રવાહીની બહાર રહેલા કદનો અંશ $\frac{V_{out}}{V_0} = \frac{d - d_0}{d}$ થાય છે।

(C) ધારો કે $d$ એ નળાકારની ઘનતા છે અને $A$ એ નળાકારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,નળાકારનું વજન એ બંને પ્રવાહી દ્વારા લાગતા કુલ ઉત્પ્લાવક બળ જેટલું હોય છે.
નળાકારનું વજન = $L \times A \times d \times g$
વધુ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઘનતા $n\rho$) દ્વારા ઉત્પ્લાવક બળ = $(pL \times A) \times n\rho \times g$
ઓછી ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઘનતા $\rho$) દ્વારા ઉત્પ્લાવક બળ = $((L - pL) \times A) \times \rho \times g$
વજનને કુલ ઉત્પ્લાવક બળ સાથે સરખાવતા:
$L \times A \times d \times g = (pL \times A) \times n\rho \times g + ((L - pL) \times A) \times \rho \times g$
બંને બાજુને $A \times L \times g$ વડે ભાગતા:
$d = p \times n\rho + (1 - p) \times \rho$
$d = np\rho + \rho - p\rho$
$d = [1 + (n - 1)p]\rho$

(C) ગોળા પર લાગતા બળો તેનું વજન $(W = Vdg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે અને ઉત્પ્લાવક બળ $(F_B = V\rho g)$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma = Vda$ થાય.
$Vda = Vdg - V\rho g$
બંને બાજુ $Vd$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$a = g - \frac{\rho g}{d} = g \left( 1 - \frac{\rho}{d} \right) = g \left( \frac{d - \rho}{d} \right)$.
આમ,ગોળો $g \left( \frac{d - \rho}{d} \right)$ ના પ્રવેગ સાથે શિરોલંબ નીચે પડશે.

(D) સ્પ્રિંગ બેલેન્સનું રીડિંગ એ બ્લોકનું આભાસી વજન દર્શાવે છે જ્યારે તે પાણીમાં ડૂબેલું હોય.
આભાસી વજન = વાસ્તવિક વજન - ઉત્પ્લાવક બળ (Upthrust).
હવામાં બ્લોકનું વાસ્તવિક વજન $W = 12\, N$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{sub} \cdot \rho_w \cdot g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_{sub}$ એ ડૂબેલું કદ છે,$\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા $(1000\, kg/m^3)$ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(10\, m/s^2)$ છે.
આપેલ છે કે $V = 1000\, cm^3 = 10^{-3}\, m^3$,અને બ્લોકનો અડધો ભાગ ડૂબેલો હોવાથી,$V_{sub} = 0.5 \times 10^{-3}\, m^3 = 500 \times 10^{-6}\, m^3$.
$F_B = (500 \times 10^{-6}\, m^3) \times (10^3\, kg/m^3) \times (10\, m/s^2) = 5\, N$.
આભાસી વજન = $12\, N - 5\, N = 7\, N$.

(A) દડાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે. દડાની ઘનતા $\sigma = 0.5\rho$ છે.
શરૂઆતમાં,દડો તેના અડધા કદ સાથે તરે છે. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{submerged} \rho g = (V/2)\rho g = (2/3)\pi r^3 \rho g$. સંતુલનમાં હોવાથી,દડાનું વજન $W = V \sigma g = V(0.5\rho)g = (2/3)\pi r^3 \rho g$. આમ,$F_B = W$.
દડાને સંપૂર્ણપણે ડૂબાડવા માટે,આપણે ચોખ્ખા ઉત્પ્લાવક બળને દૂર કરવા માટે બાહ્ય બળ લગાડવું પડે. કરેલું કાર્ય એ સિસ્ટમની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
જ્યારે દડાને $x$ અંતર સુધી નીચે ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનું ડૂબેલું કદ $A(x)dx$ થાય છે. કરેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{r} F_{ext} dx$ છે. કોઈપણ ઊંડાઈ $y$ પર જરૂરી ચોખ્ખું બળ $F_{ext} = F_{buoyant} - Weight = (V_{submerged}(y) - V_{submerged, initial})\rho g$ છે.
સ્થાનાંતર પર બળનું સંકલન કરતા,કરેલું કાર્ય $W = \frac{5}{12}\pi r^4 \rho g$ મળે છે.