Pressure and Density (of Mixure) Questions in Gujarati

(B) દબાણ એ એવી ભૌતિક રાશિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે પદાર્થની સપાટી પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા લંબ બળનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $P = \frac{F}{A}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$F$ એ બળ છે અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.

(C) બંને બિંદુઓ $P$ અને $S$ એ બે પાત્રોમાં રહેલા પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી પર આવેલા છે.
બંને પાત્રો ખુલ્લા વાતાવરણમાં હોવાથી,બિંદુ $P$ અને $S$ બંને પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $(P_{atm})$ જેટલું જ હોય છે.
તેથી,બિંદુ $P$ અને બિંદુ $S$ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_P - P_S = P_{atm} - P_{atm} = 0$ થશે.

(C) $M$ દળ ધરાવતા બરફનું કદ $V_{\text{ice}} = \frac{M}{\rho}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ બરફ સમાન દળ $M$ ના પાણીમાં ઓગળે છે,ત્યારે પાણીનું કદ $V_{\text{water}} = \frac{M}{\sigma}$ થાય છે.
પાણીની ઘનતા $\sigma$ એ બરફની ઘનતા $\rho$ કરતા વધારે હોવાથી,પાણીનું કદ બરફના કદ કરતા ઓછું હશે.
કદમાં ઘટાડો $\Delta V = V_{\text{ice}} - V_{\text{water}}$ છે.
પદોને મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta V = \frac{M}{\rho} - \frac{M}{\sigma} = M \left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\sigma} \right)$.

(B) ધારો કે પાણીનું દળ $m$ છે અને પ્રવાહીનું દળ પણ $m$ છે. પાણીની ઘનતા $\rho_1 = 1 \ g/cm^3$ અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_2 = 2 \ g/cm^3$ છે.
મિશ્રણનું કુલ દળ $M = m + m = 2m$ થશે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $V = V_1 + V_2 = \frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2} = m(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}) = m(\frac{3}{2})$ થશે.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{M}{V} = \frac{2m}{m(3/2)} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3} \ g/cm^3$ થશે.

(A) જમણી તરફના પ્રવેગ $a$ ને કારણે,પાણી પર ડાબી દિશામાં સ્યુડો ફોર્સ (આભાસી બળ) લાગે છે. આના કારણે આગળની બાજુ (બિંદુઓ $D$ અને $C$) ની સરખામણીમાં પાછળની બાજુ (બિંદુઓ $A$ અને $B$) પર દબાણ વધારે હોય છે.
વધુમાં,પ્રવાહી સ્તંભની ઊંડાઈને કારણે,ઊંડાઈ સાથે દબાણ વધે છે,જેનાથી તળિયે (બિંદુઓ $B$ અને $C$) દબાણ ઉપરની સપાટી (બિંદુઓ $A$ અને $D$) કરતા વધારે હોય છે.
આ બંને અસરોને જોડતા,દબાણ નીચેના પાછળના ખૂણે (બિંદુ $B$) મહત્તમ અને ઉપરના આગળના ખૂણે (બિંદુ $D$) ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) પ્રવાહીના તળિયે કુલ દબાણ $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = P_0 + h\rho g$
જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ (અથવા પ્રવાહીની ઉપરની હવાનું દબાણ) છે,$h$ એ પ્રવાહીની ઊંડાઈ છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
જેમ જેમ પાત્રમાંથી હવા સતત બહાર કાઢવામાં આવે છે,તેમ પ્રવાહીની સપાટી પરનું દબાણ $P_0$ ઘટે છે.
કારણ કે $h$,$\rho$ અને $g$ અચળ રહે છે,તેથી પ્રવાહીના તળિયે કુલ દબાણ $P$ ઘટશે.

(B) ડૂબેલી સપાટી પર લાગતું ધક્કો (thrust) એ સપાટીના સેન્ટ્રોઇડ (centroid) પરના દબાણ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
ત્રિકોણાકાર લેમિના માટે,જેનો પાયો પ્રવાહીની સપાટી પર છે,સપાટીથી સેન્ટ્રોઇડની ઊંડાઈ $(h_c)$ એ $\frac{h}{3}$ છે,જ્યાં $h$ એ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
સેન્ટ્રોઇડ પરનું દબાણ $P = \rho g h_c = \rho g (\frac{h}{3}) = \frac{\rho g h}{3}$ છે.
લેમિના પર લાગતું ધક્કો $F = P \times A = (\frac{\rho g h}{3}) \times A = \frac{1}{3} A \rho g h$ થાય.

(C) મિશ્રણની ઘનતા એટલે કુલ દળ ભાગ્યા કુલ કદ.
ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $m$ છે.
કુલ દળ = $m + m = 2m$.
પ્રથમ પ્રવાહીનું કદ $V_1 = \frac{m}{\rho_1}$.
બીજા પ્રવાહીનું કદ $V_2 = \frac{m}{\rho_2}$.
કુલ કદ = $V_1 + V_2 = \frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2} = m \left( \frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1\rho_2} \right)$.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ}} = \frac{2m}{m \left( \frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1\rho_2} \right)}$.
$\rho = \frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.

(A) મિશ્રણની ઘનતા એ કુલ દળ અને કુલ કદનો ગુણોત્તર છે.
ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું કદ $V$ છે.
મિશ્રણનું કુલ કદ = $V + V = 2V$.
પ્રથમ પ્રવાહીનું દળ = $m_1 = \rho_1 V$.
બીજા પ્રવાહીનું દળ = $m_2 = \rho_2 V$.
મિશ્રણનું કુલ દળ = $m_1 + m_2 = \rho_1 V + \rho_2 V = V(\rho_1 + \rho_2)$.
તેથી,મિશ્રણની ઘનતા $\rho$:
$\rho = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ}} = \frac{V(\rho_1 + \rho_2)}{2V} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$.

(B) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું કદ $V$ છે.
પ્રથમ પ્રવાહીનું દળ $m_1 = d \times V$ છે.
બીજા પ્રવાહીનું દળ $m_2 = 2d \times V$ છે.
ત્રીજા પ્રવાહીનું દળ $m_3 = 3d \times V$ છે.
મિશ્રણનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3 = V(d + 2d + 3d) = 6dV$ છે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $V_{total} = V + V + V = 3V$ છે.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mixture} = \frac{M}{V_{total}} = \frac{6dV}{3V} = 2d$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું વજન $m$ છે.
મિશ્રણનું કુલ વજન = $m + m + m = 3m$ થાય.
દરેક પ્રવાહીનું કદ $V = \frac{m}{\rho}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$V_1 = \frac{m}{d}$,$V_2 = \frac{m}{2d}$,અને $V_3 = \frac{m}{3d}$ થાય.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\rho_{mix} = \frac{3m}{\frac{m}{d} + \frac{m}{2d} + \frac{m}{3d}}$.
$\rho_{mix} = \frac{3m}{\frac{6m + 3m + 2m}{6d}} = \frac{3m}{\frac{11m}{6d}}$.
$\rho_{mix} = 3m \times \frac{6d}{11m} = \frac{18d}{11}$.

(C) $h$ ઊંડાઈએ પ્રવાહી દ્વારા લાગતું દબાણ $P = \rho gh$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ ઊંડાઈ છે.
જેમ જેમ ઊંડાઈ $h$ વધે છે,તેમ ડેમની દીવાલો પર પાણી દ્વારા લાગતું દબાણ $P$ રેખીય રીતે વધે છે.
વધારે ઊંડાઈએ આ ઊંચા દબાણને સહન કરવા માટે,ડેમનો પાયો જાડો બનાવવો પડે છે જેથી માળખાકીય સ્થિરતા મળે અને પાણીના દબાણને કારણે ઉદ્ભવતા મોટા ટોર્કને લીધે તે તૂટી ન પડે.

(C) પદાર્થનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ તેની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $s = \frac{\rho}{\rho_w}$.
તેથી,પદાર્થની ઘનતા $\rho = s \times \rho_w$ થાય.
મિશ્રધાતુનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2$ છે.
મિશ્રધાતુનું કુલ કદ $V = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{m_1}{s_1 \rho_w} + \frac{m_2}{s_2 \rho_w} = \frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)$ છે.
મિશ્રધાતુની ઘનતા $\rho_{alloy} = \frac{M}{V} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)}$ છે.
મિશ્રધાતુનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ $s_{alloy} = \frac{\rho_{alloy}}{\rho_w} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2}}$ થાય.

(B) ધારો કે ડાબા પાત્રનો વ્યાસ $d$ છે અને જમણા પાત્રનો વ્યાસ $nd$ છે. ડાબા પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi (d/2)^2$ અને જમણા પાત્રનું $A_2 = \pi (nd/2)^2 = n^2 A_1$ છે.
જ્યારે ડાબા પાત્રમાં $h$ ઊંચાઈનું પાણી રેડવામાં આવે છે,ત્યારે ડાબા પાત્રમાં પારાનું સ્તર $h_1$ જેટલું નીચે જાય છે અને જમણા પાત્રમાં $h_2$ જેટલું ઉપર આવે છે.
પારાના કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$A_1 h_1 = A_2 h_2$,જે આપણને $A_1 h_1 = (n^2 A_1) h_2$ આપે છે,તેથી $h_1 = n^2 h_2$.
$A-B$ સપાટી પરનું દબાણ બંને બાજુ સમાન હોવું જોઈએ.
ડાબી બાજુ $A$ પરનું દબાણ = $h \rho g$ (પાણીના સ્તંભને કારણે).
જમણી બાજુ $B$ પરનું દબાણ = $(h_1 + h_2) \rho_{Hg} g$,જ્યાં $\rho_{Hg} = s \rho$.
દબાણને સરખાવતા: $h \rho g = (h_1 + h_2) s \rho g$.
$h = (h_1 + h_2) s$.
$h_1 = n^2 h_2$ મૂકતા: $h = (n^2 h_2 + h_2) s = h_2 (n^2 + 1) s$.
તેથી,જમણી બાજુના પાત્રમાં પારાનું સ્તર $h_2 = \frac{h}{(n^2 + 1)s}$ જેટલું ઊંચું આવશે.

(B) પદાર્થનું દળ $m = \rho \times V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે અને $V$ કદ છે.
અહીં કદ $V$ એ $1 \text{ લિટર}$ જેટલું નિશ્ચિત હોવાથી,દળ એ ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે.
જ્યારે તાપમાન વધે છે (જેમ કે ઉનાળામાં),ત્યારે આલ્કોહોલનું પ્રસરણ થાય છે,જેના કારણે તેની ઘનતા $\rho$ ઘટે છે.
જેથી $\rho_{\text{summer}} < \rho_{\text{winter}}$ હોવાથી,ઉનાળામાં $1 \text{ લિટર}$ આલ્કોહોલનું દળ શિયાળા કરતા ઓછું હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) પ્રવાહીની ઘનતા તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે. જેમ તાપમાન ઘટે છે,તેમ પ્રવાહી સંકોચાય છે,જેના કારણે તેની ઘનતા વધે છે.
શિયાળામાં તાપમાન ઉનાળા કરતા ઓછું હોય છે. તેથી,શિયાળામાં બેન્ઝીનની ઘનતા વધારે હોય છે.
કદ $5 \text{ લીટર}$ નિશ્ચિત હોવાથી,દળ $(m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ})$ ત્યારે વધારે હશે જ્યારે ઘનતા વધારે હોય.
આમ,$5 \text{ લીટર}$ બેન્ઝીનનું વજન ઉનાળા કરતા શિયાળામાં વધારે હોય છે.

(C) બરફનું કદ $V_{ice} = \frac{M}{\rho}$ છે.
પીગળ્યા પછી બનતા પાણીનું કદ $V_{water} = \frac{M}{\sigma}$ છે.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_{ice} - V_{water}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta V = \frac{M}{\rho} - \frac{M}{\sigma} = M \left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\sigma} \right)$.

(B) ધારો કે દરેક પ્રવાહીનું દળ $m$ છે. મિશ્રણનું કુલ દળ $M = m + m = 2m$ થાય.
પ્રથમ પ્રવાહીનું કદ $V_1 = m / \rho_1$ અને બીજા પ્રવાહીનું કદ $V_2 = m / \rho_2$ છે.
મિશ્રણનું કુલ કદ $V = V_1 + V_2 = m / \rho_1 + m / \rho_2 = m(\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2})$ થાય.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho = \frac{M}{V} = \frac{2m}{m(\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2})} = \frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો $\rho_1 = 1$ અને $\rho_2 = 2$ મૂકતા:
$\rho = \frac{2 \times 1 \times 2}{1 + 2} = \frac{4}{3}$.

(A) ધારો કે બે ધાતુઓની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_1$ અને $\rho_2$ છે.
જ્યારે સમાન કદ $V$ નું મિશ્રણ કરવામાં આવે,ત્યારે મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{V\rho_1 + V\rho_2}{2V} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\rho_1 + \rho_2}{2} = 4$,તેથી $\rho_1 + \rho_2 = 8$ (સમીકરણ $i$).
જ્યારે સમાન દળ $M$ નું મિશ્રણ કરવામાં આવે,ત્યારે મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{2M}{V_1 + V_2} = \frac{2M}{\frac{M}{\rho_1} + \frac{M}{\rho_2}} = \frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1 + \rho_2} = 3$,તેથી $2\rho_1\rho_2 = 3(\rho_1 + \rho_2)$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ની કિંમત સમીકરણ $ii$ માં મૂકતા:
$2\rho_1\rho_2 = 3(8) = 24$,તેથી $\rho_1\rho_2 = 12$.
આપણને $\rho_1 + \rho_2 = 8$ અને $\rho_1\rho_2 = 12$ મળે છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 8x + 12 = 0$ ઉકેલતા:
$(x - 6)(x - 2) = 0$.
આમ,સાપેક્ષ ઘનતાઓ $6$ અને $2$ છે.

(C) વિશિષ્ટ ઘનતા $s = \frac{\text{મિશ્રણની ઘનતા}}{\text{પાણીની ઘનતા}}$.
મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ}} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$.
$V = \frac{m}{\rho}$ અને $\rho = s \cdot \rho_w$ હોવાથી,$V_1 = \frac{m_1}{s_1 \rho_w}$ અને $V_2 = \frac{m_2}{s_2 \rho_w}$ થાય.
આ કિંમતોને ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\rho_{mix} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1 \rho_w} + \frac{m_2}{s_2 \rho_w}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)}$.
તેથી,મિશ્રણની વિશિષ્ટ ઘનતા $s_{mix} = \frac{\rho_{mix}}{\rho_w} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2}}$.

(C) ધારો કે મૂળ પાણીનું સ્તર રેખા $D$ પર છે. જ્યારે ડાબી બાજુની નળીમાં તેલ રેડવામાં આવે છે,ત્યારે જમણી બાજુની નળીમાં પાણીનું સ્તર $65\, mm$ વધીને $E$ સ્તર પર પહોંચે છે. પરિણામે,ડાબી બાજુની નળીમાં પાણીનું સ્તર મૂળ સ્તર $D$ થી $65\, mm$ ઘટીને $B$ સ્તર પર આવે છે.
જમણી બાજુની નળીમાં આંતરછેદ સ્તર $BC$ ની ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_{water} = 65\, mm + 65\, mm = 130\, mm = 0.13\, m$ છે.
તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_{oil}$ એ તેલની સપાટી $A$ થી આંતરછેદ $B$ સુધીનું અંતર છે. તેલની સપાટી પાણીના સ્તર $E$ થી $10\, mm$ ઉપર હોવાથી,કુલ ઊંચાઈ $h_{oil} = 65\, mm + 65\, mm + 10\, mm = 140\, mm = 0.14\, m$ છે.
આંતરછેદ સ્તર $BC$ પર દબાણ સમાન લેતા:
$P_{atm} + \rho_{oil} g h_{oil} = P_{atm} + \rho_{water} g h_{water}$
$\rho_{oil} h_{oil} = \rho_{water} h_{water}$
$\rho_{oil} = \rho_{water} \times \frac{h_{water}}{h_{oil}}$
અહીં $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$ આપેલ છે:
$\rho_{oil} = 1000 \times \frac{130}{140} = 1000 \times \frac{13}{14} \approx 928.57\, kg/m^3$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $928\, kg/m^3$ મળે છે.

(C) ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ $H = 5 \,m = 500 \,cm$ છે.
ટાંકી અડધી પાણીથી ભરેલી હોવાથી,પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_1 = 250 \,cm$ છે.
બાકીનો અડધો ભાગ તેલથી ભરેલો છે,તેથી તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_2 = 250 \,cm$ છે.
પાણીની ઘનતા $d_1 = 1 \,g/cm^3$ છે અને તેલની ઘનતા $d_2 = 0.85 \,g/cm^3$ છે.
પ્રવાહી સ્તંભને કારણે તળિયે દબાણ $P = h_1 d_1 + h_2 d_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = (250 \,cm \times 1 \,g/cm^3) + (250 \,cm \times 0.85 \,g/cm^3)$.
$P = 250 + 212.5 = 462.5 \,g/cm^2$.

(A) જ્યારે પદાર્થોને સમાન કદમાં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\rho_{mix} = 4$,તેથી $\frac{\rho_1 + \rho_2}{2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\rho_1 + \rho_2 = 8$ .......$(i)$
જ્યારે પદાર્થોને સમાન દળમાં મિશ્ર કરવામાં આવે છે,ત્યારે મિશ્રણની ઘનતા $\rho_{mix} = \frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\rho_{mix} = 3$,તેથી $\frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $2\rho_1 \rho_2 = 3(\rho_1 + \rho_2)$ .......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$2\rho_1 \rho_2 = 3(8) = 24$,તેથી $\rho_1 \rho_2 = 12$.
આપણી પાસે $\rho_1 + \rho_2 = 8$ અને $\rho_1 \rho_2 = 12$ છે. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 8x + 12 = 0$ ના ઉકેલો છે.
$(x - 6)(x - 2) = 0$,તેથી $x = 6$ અથવા $x = 2$.
આમ,મૂલ્યો ${\rho _1} = 6$ અને ${\rho _2} = 2$ છે.

(A) પ્રવાહીમાં $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = P_0 + \rho gh$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
બંને પટ્ટીઓ સમાન પ્રવાહીમાં સમાન ઊંડાઈ $h$ પર રાખવામાં આવી હોવાથી,તેમના પર લાગતું દબાણ માત્ર ઊંડાઈ,પ્રવાહીની ઘનતા અને વાતાવરણીય દબાણ પર આધાર રાખે છે.
દબાણ એ પટ્ટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,બંને પટ્ટીઓ પરના દબાણનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા પાત્રના તળિયે દબાણ $P$ નું સૂત્ર $P = h \rho g$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
ત્રણેય પાત્રો માટે ઊંચાઈ $h$ સમાન છે અને $g$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto \rho)$.
આપેલ ઘનતાનો ક્રમ $\rho_A > \rho_B > \rho_C$ હોવાથી,સૌથી વધુ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી માટે તળિયે દબાણ મહત્તમ હશે.
તેથી,પાત્ર $A$ માં દબાણ મહત્તમ હશે.

(A) પાત્રના તળિયે દબાણ $P = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તળિયા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ છે અને $A$ એ તળિયાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પાત્રો સમાન હોવાથી,ત્રણેય પાત્રો માટે તળિયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે.
તળિયા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ $F$ એ પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,$F = mg$.
પ્રવાહીના દળ $m$ સમાન હોવાથી અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી,ત્રણેય પાત્રો માટે બળ $F$ સમાન છે.
તેથી,પ્રવાહીની ઘનતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના,ત્રણેય પાત્રોમાં દબાણ $P = \frac{mg}{A}$ સમાન રહેશે.

(A) પ્રવાહી ફ્લાસ્કની અંદર સંતુલન સ્થિતિમાં છે.
ન્યુટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ફ્લાસ્ક દ્વારા પ્રવાહી પર લાગતું બળ એ પ્રવાહી દ્વારા ફ્લાસ્ક પર લાગતા બળ જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
પ્રવાહી દ્વારા ફ્લાસ્કના તળિયે અને દીવાલો પર લાગતું કુલ અધોદિશાનું બળ એ પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જે $W = mg$ છે.
અહીં $m = 1 \ kg$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી વજન $W = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 10 \ N$ થાય.
તંત્ર સ્થિર હોવાથી અને વાતાવરણનું દબાણ અવગણતા,પ્રવાહીના વજનને ટેકો આપવા માટે ફ્લાસ્ક દ્વારા પ્રવાહી પર લાગતું લંબબળ બરાબર $10 \ N$ થાય.

(D) પાણીના સ્તંભની કુલ લંબાઈ $l_w = \frac{V}{A} = \frac{60 \ cm^3}{1 \ cm^2} = 60 \ cm$ છે.
જ્યારે $\rho_l = 4 \ g/cc$ ઘનતા ધરાવતું પ્રવાહી ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે પાણીને આડી ભુજામાંથી બહાર ધકેલે છે.
ધારો કે પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ છે. $U$-ટ્યુબમાં પ્રવાહી અને પાણીના સંપર્ક સપાટી પર સમાન આડી સપાટીએ દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
$h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ બાકી રહેલા પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતા દબાણ સાથે સંતુલિત થવું જોઈએ,જ્યાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $H = l_w - l_{horizontal} = 60 \ cm - 20 \ cm = 40 \ cm$ છે.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ સંતુલન સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\rho_l \cdot g \cdot h = \rho_w \cdot g \cdot H$.
અહીં $\rho_l = 4 \ g/cc$,$\rho_w = 1 \ g/cc$,અને $H = 40 \ cm$ આપેલ છે:
$4 \cdot h = 1 \cdot 40 \Rightarrow h = 10 \ cm$.
ટ્યુબમાં પ્રવાહીના સ્તંભની કુલ લંબાઈ $l_l = h + l_{horizontal} = 10 \ cm + 20 \ cm = 35 \ cm$ છે.
જરૂરી પ્રવાહીનું કદ $V_L = l_l \cdot A = 35 \ cm \cdot 1 \ cm^2 = 35 \ cc$ છે.

(B) ટાંકીના તળિયે કુલ દબાણ $P_{total} = P_{atm} + P_{gauge} = P + h\rho g = 3P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પાણીના સ્તંભને કારણે ગેજ દબાણ $h\rho g = 3P - P = 2P$ છે.
જ્યારે પાણીનું સ્તર એક-પંચમાંશ જેટલું ઘટે છે,ત્યારે પાણીના સ્તંભની નવી ઊંચાઈ $h' = h - (1/5)h = (4/5)h$ થાય છે.
નવું ગેજ દબાણ $P'_{gauge} = h'\rho g = (4/5)h\rho g$ છે.
$h\rho g$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P'_{gauge} = (4/5) \times 2P = (8/5)P$ મળે છે.
તળિયે નવું કુલ દબાણ $P'_{total} = P_{atm} + P'_{gauge} = P + (8/5)P = (13/5)P$ થશે.

(C) ધારો કે દરેક ભુજામાં પાણીની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H = 20 \text{ cm}$ છે. પાણીનું કુલ કદ અચળ રહે છે. જ્યારે અદ્રાવ્ય પ્રવાહી ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે એક ભુજામાં પાણીનું સ્તર $x$ જેટલું ઘટે છે અને બીજી ભુજામાં $x$ જેટલું વધે છે.
તેથી,$h_1 = H - x + 5 = 20 - x + 5 = 25 - x$ અને $h_2 = H + x = 20 + x$.
$U$-ટ્યુબના તળિયે દબાણને સમાન કરતા:
$P_{\text{left}} = P_{\text{right}}$
$5 \times 4 \times g + (h_1 - 5) \times 1 \times g = h_2 \times 1 \times g$
$20 + (25 - x - 5) = 20 + x$
$20 + 20 - x = 20 + x$
$2x = 20 \Rightarrow x = 10 \text{ cm}$.
હવે,$h_1 = 25 - 10 = 15 \text{ cm}$ અને $h_2 = 20 + 10 = 30 \text{ cm}$.
ગુણોત્તર $h_2/h_1 = 30/15 = 2/1$.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર નળીની ત્રિજ્યા $R$ છે. બે પ્રવાહી વચ્ચેની આંતર સપાટી શિરોલંબ સાથે $\alpha$ ખૂણે છે.
$d_1$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી માટે,સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h_1 = R \cos \alpha - R \sin \alpha$ છે.
$d_2$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી માટે,સ્તંભની શિરોલંબ ઊંચાઈ $h_2 = R \cos \alpha + R \sin \alpha$ છે.
સ્થિર પ્રવાહીમાં સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણ સમાન હોવાથી,આપણે આંતર સપાટીના સૌથી નીચલા બિંદુએ દબાણને સરખાવીએ:
$P_1 = P_2$
$d_1 g h_1 = d_2 g h_2$
$d_1 (R \cos \alpha - R \sin \alpha) = d_2 (R \cos \alpha + R \sin \alpha)$
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{R \cos \alpha + R \sin \alpha}{R \cos \alpha - R \sin \alpha}$
અંશ અને છેદને $R \cos \alpha$ વડે ભાગતા:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$

(B) બિંદુ $A$ આગળનું દબાણ ઉપરના પ્રવાહીની સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીને કારણે છે.
$P_A = P_{atm} + \rho gh$
બિંદુ $B$ આગળનું દબાણ $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $2h$) અને $2\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી (ઊંચાઈ $h$) ને કારણે છે.
$P_B = P_{atm} + \rho g(2h) + (2\rho)gh = P_{atm} + 2\rho gh + 2\rho gh = P_{atm} + 4\rho gh$
બિંદુ $B$ અને બિંદુ $A$ વચ્ચેના દબાણનો તફાવત:
$P_B - P_A = (P_{atm} + 4\rho gh) - (P_{atm} + \rho gh) = 3\rho gh$

(B) $U$-ટ્યુબના ઉપરના ભાગમાંથી હવા બહાર કાઢવામાં આવે ત્યારે,બંને પ્રવાહી સ્તંભોના ઉપરના ભાગે દબાણ સમાન થઈ જાય છે,જે ઘટેલું દબાણ $P_{top}$ છે.
ધારો કે $P_{atm}$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $h_A = 10\, cm$ તથા $h_B = 12\, cm$ એ છેડાઓમાં પ્રવાહી સ્તંભોની ઊંચાઈ છે.
પાત્ર $A$ માં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી પરનું દબાણ $P_{atm}$ છે. છેડા $A$ માં પ્રવાહી સ્તંભના ઉપરના ભાગે દબાણ $P_{top} = P_{atm} - \rho_w g h_A$ છે.
તે જ રીતે,પાત્ર $B$ માટે,પ્રવાહી સ્તંભના ઉપરના ભાગે દબાણ $P_{top} = P_{atm} - \rho_B g h_B$ છે.
$P_{top}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$P_{atm} - \rho_w g h_A = P_{atm} - \rho_B g h_B$
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\rho_w g h_A = \rho_B g h_B$
આપેલ છે કે $\rho_w = 1\, g/cm^3$,$h_A = 10\, cm$,અને $h_B = 12\, cm$:
$1 \times 10 = \rho_B \times 12$
$\rho_B = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.833\, g/cm^3$.
આમ,પ્રવાહી $B$ ની ઘનતા આશરે $0.83\, g/cm^3$ છે.

(A) ઊંડાઈ $h$ પર દબાણ વિકલ સમીકરણ $dP = \rho(P) g dh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાણી સંકોચનીય હોવાથી,જેમ ઊંડાઈ $h$ સાથે દબાણ $P$ વધે છે તેમ તેની ઘનતા $\rho$ પણ વધે છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ $h$ વધે છે,તેમ ઊંડાઈની સાપેક્ષમાં દબાણના ફેરફારનો દર,$\frac{dP}{dh} = \rho g$,પણ વધે છે કારણ કે $\rho$ એ $P$ નું વધતું વિધેય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{d^2P}{dh^2} = g \frac{d\rho}{dP} \frac{dP}{dh} > 0$.
આ સૂચવે છે કે $P$ વિરુદ્ધ $h$ નો આલેખ ઉપરની તરફ અંતર્મુખ (concave upward) હોવો જોઈએ (એટલે કે,જેમ $h$ વધે છે તેમ ઢાળ વધે છે).
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $A$ ઉપરની તરફ વળતો સંબંધ દર્શાવે છે,જે વધુ ઊંડાઈએ પાણીની વધતી જતી ઘનતાને કારણે દબાણમાં થતા વધતા દરને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(C) ગોળાના ફ્રેમમાં,પ્રવાહી પાછળની દિશામાં $a = 2g$ ના પ્રવેગ સાથે આભાસી બળ અનુભવે છે. અસરકારક પ્રવેગ સદિશ $\vec{g}_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $\vec{g}$ (નીચેની તરફ) અને આભાસી પ્રવેગ $\vec{a}_{pseudo} = -2g\hat{i}$ (પાછળની તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
તેથી,$\vec{g}_{eff} = -2g\hat{i} - g\hat{j}$.
અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_{eff} = \sqrt{(2g)^2 + g^2} = \sqrt{5g^2} = g\sqrt{5}$ છે.
પ્રવાહીમાં દબાણ $P = P_{min} + \rho \vec{g}_{eff} \cdot \vec{r}$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\vec{r}$ એ લઘુત્તમ દબાણના બિંદુથી રસના બિંદુ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ છે.
લઘુત્તમ દબાણ $\vec{g}_{eff}$ ની દિશામાં સૌથી દૂરના બિંદુ પર હોય છે. કેન્દ્રથી આ બિંદુનું અંતર $R$ છે.
કેન્દ્ર પર દબાણ $P_c = P_{min} + \rho g_{eff} \times R$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P_c = P_0 + \rho (g\sqrt{5}) R = P_0 + \rho gR\sqrt{5}$.

(A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, નળીની બંને બાજુએ આડી સપાટી $PP'$ પર દબાણ સમાન રહે છે。
ડાબી બાજુની નળીમાં $PP'$ સ્તર પરનું દબાણ પ્રવાહી $Y$ (ઊંચાઈ $8 \ cm$) અને મર્ક્યુરીના સ્તંભ (ઊંચાઈ $2 \ cm$) ને કારણે છે。
જમણી બાજુની નળીમાં $PP'$ સ્તર પરનું દબાણ પ્રવાહી $X$ (ઊંચાઈ $10 \ cm$) ને કારણે છે。
દબાણને સરખાવતા:
$P_{left} = P_{right}$
$h_Y \rho_Y g + h_{Hg} \rho_{Hg} g = h_X \rho_X g$
$8 \times \rho_Y + 2 \times 13.6 = 10 \times 3.36$
$8 \rho_Y + 27.2 = 33.6$
$8 \rho_Y = 33.6 - 27.2$
$8 \rho_Y = 6.4$
$\rho_Y = \frac{6.4}{8} = 0.8 \ g/cc$

(B) ધારો કે પાત્રોનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $S$ છે। ધારો કે પાત્ર $A$ માં પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ $h_A$ છે અને પાત્ર $B$ માં $h_B$ છે। કારણ કે $B$ માં પાણીનું પ્રમાણ $A$ કરતા બમણું છે, તેથી $S \cdot h_B = 2(S \cdot h_A)$, જેનો અર્થ છે કે $h_B = 2h_A$ થાય.
ધારો કે $P_A$ અને $P_B$ એ અનુક્રમે પાત્ર $A$ અને $B$ ના તળિયે પાણી દ્વારા લાગતું દબાણ છે। તળિયે દબાણ $P = P_{ext} + \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P_{ext}$ એ પિસ્ટન દ્વારા લાગતું દબાણ છે.
લિવર સંતુલનમાં રહે તે માટે, પિસ્ટન દ્વારા પાણી પર લાગતું બળ સમાન હોવું જોઈએ (ધારી લઈએ કે લિવર આર્મ કેન્દ્રમાં સંતુલિત છે)। ધારો કે $F$ એ દરેક પિસ્ટન દ્વારા લાગતું બળ છે। તો $P_{ext} = F/S$ બંને પાત્રો માટે સમાન છે.
આમ, $P_A = F/S + \rho gh_A$ અને $P_B = F/S + \rho gh_B$ થાય.
કારણ કે $h_B > h_A$, તેથી $P_B > P_A$ સાબિત થાય છે.
જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે પાણી વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહે છે। તેથી, પાણી $B$ થી $A$ તરફ વહેશે.

(B) પ્રવાહી દ્વારા ડૂબેલી સપાટી પર લાગતું બળ એ સપાટીના સેન્ટ્રોઇડ (કેન્દ્ર) પરના દબાણ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$1$. ત્રિકોણાકાર પ્લેટ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times b \times a$ છે.
$2$. પાણીની સપાટીથી ત્રિકોણના સેન્ટ્રોઇડની ઊંડાઈ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: શિરોબિંદુઓ $h$ (બિંદુ $A$ માટે),$h+a$ (બિંદુ $B$ માટે),અને $h+a$ (બિંદુ $C$ માટે) ઊંડાઈએ છે. સેન્ટ્રોઇડની ઊંડાઈ $h_c$ એ શિરોબિંદુઓની ઊંડાઈની સરેરાશ છે: $h_c = \frac{h + (h+a) + (h+a)}{3} = \frac{3h + 2a}{3} = h + \frac{2a}{3}$.
$3$. સેન્ટ્રોઇડ પરનું દબાણ $P_c = P_0 + h_c \rho g = P_0 + (h + \frac{2a}{3}) \rho g$ છે.
$4$. કુલ બળ $F = P_c \times A = (P_0 + h \rho g + \frac{2a}{3} \rho g) \times \frac{1}{2} ab = (P_0 + h \rho g) \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} ab \times \frac{2a}{3} \rho g = (P_0 + h \rho g) \frac{1}{2} ab + \frac{a^2 b}{3} \rho g$.

(A) ધારો કે પ્રવાહી $X$ ની ઘનતા $\rho_X = 3.36 \, g/cm^3$ છે, પ્રવાહી $Y$ ની ઘનતા $\rho_Y$ છે, અને મર્ક્યુરી $(Hg)$ ની ઘનતા $\rho_{Hg} = 13.6 \, g/cm^3$ છે।
સ્થિર પ્રવાહીમાં સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર દબાણ સમાન હોય છે।
સમાન સપાટીને સંદર્ભ સ્તર તરીકે લો। જમણી બાજુની નળીમાં, આ સ્તરે દબાણ $h_X = 10 \, cm$ ઊંચાઈના પ્રવાહી $X$ ના સ્તંભને કારણે છે।
ડાબી બાજુની નળીમાં, આ સ્તરે દબાણ $h_Y = 8 \, cm$ ઊંચાઈના પ્રવાહી $Y$ ના સ્તંભ અને $h_{Hg} = (10 - 8) \, cm = 2 \, cm$ ઊંચાઈના મર્ક્યુરીના સ્તંભને કારણે છે।
આ સ્તરે દબાણને સરખાવતા:
$P_{right} = P_{left}$
$\rho_X g h_X = \rho_Y g h_Y + \rho_{Hg} g h_{Hg}$
$3.36 \times 10 = \rho_Y \times 8 + 13.6 \times 2$
$33.6 = 8 \rho_Y + 27.2$
$8 \rho_Y = 33.6 - 27.2$
$8 \rho_Y = 6.4$
$\rho_Y = 0.8 \, g/cm^3$.

(B) બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ને $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ સંકોચનીયતા $K = \frac{1}{B} = 50 \times 10^{-6} \text{ atm}^{-1}$ છે.
$\rho V = \text{અચળ}$ હોવાથી, વિકલન કરતા $\rho dV + V d\rho = 0$ મળે, તેથી $\frac{dV}{V} = -\frac{d\rho}{\rho}$.
આમ, $K = \frac{\Delta P}{\Delta \rho / \rho}$.
અહીં $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 1\% = 0.01$ અને $\Delta P = \rho gh$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $50 \times 10^{-6} \text{ atm}^{-1} = \frac{\rho gh}{0.01}$.
$\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ લેતા, $\Delta P = 10^4 h \text{ Pa}$ મળે.
$K$ ને $\text{Pa}^{-1}$ માં ફેરવતા: $K = \frac{50 \times 10^{-6}}{10^5} = 5 \times 10^{-10} \text{ Pa}^{-1}$.
$0.01 = K \cdot \Delta P = (5 \times 10^{-10}) \cdot (10^4 h)$.
$0.01 = 5 \times 10^{-6} h \implies h = \frac{0.01}{5 \times 10^{-6}} = 2000 \text{ m} = 2 \text{ km}$.

(B) $U$ ટ્યુબની બંને ભુજાઓમાં પારાના સ્તંભ સમાન સ્તરે હોવાથી,પારાની ઉપરના પ્રવાહી સ્તંભો દ્વારા લાગતું દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho_w$ છે અને સ્પિરિટની ઘનતા $\rho_s$ છે.
ધારો કે પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_w = 10\,cm$ અને સ્પિરિટના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_s = 12.5\,cm$ છે.
પારાના સંપર્ક સપાટી પર દબાણને સરખાવતા:
$P_{\text{water}} = P_{\text{spirit}}$
$\rho_w h_w g = \rho_s h_s g$
સ્પિરિટની ઘનતા માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\rho_s = \frac{h_w}{h_s} \rho_w$
સ્પિરિટની સાપેક્ષ ઘનતા એ સ્પિરિટની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સાપેક્ષ ઘનતા} = \frac{\rho_s}{\rho_w} = \frac{h_w}{h_s}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{સાપેક્ષ ઘનતા} = \frac{10\,cm}{12.5\,cm} = \frac{100}{125} = 0.8$

(A) ક્ષૈતિજ નળીના સ્તરે (જ્યાં પિસ્ટન સ્થિત છે) દબાણ એ તેની ઉપરના પ્રવાહી સ્તંભો દ્વારા લાગતા દબાણના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે. પિસ્ટન પરનું દબાણ $P = P_0 + \frac{F}{A}$ છે.
હાઇડ્રોસ્ટેટિક્સના સિદ્ધાંત મુજબ,સળંગ પ્રવાહીમાં સમાન ક્ષૈતિજ સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે.
પિસ્ટન પરના ક્ષૈતિજ સ્તરને ધ્યાનમાં લેતા,દબાણ ત્રણ પ્રવાહી સ્તંભોને કારણે છે:
$1$. $\rho_1$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીને કારણે $h_1$ લંબાઈ પરનું દબાણ $\rho_1 g h_1$ છે.
$2$. $\rho_2$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીને કારણે $h_2$ ઊંચાઈ પરનું દબાણ $\rho_2 g h_2$ છે.
$3$. $\rho_3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીને કારણે $h_3$ ઊંચાઈ પરનું દબાણ $\rho_3 g h_3$ છે.
આનો સરવાળો કરતા,પિસ્ટનના સ્તરે કુલ દબાણ $P = P_0 + (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \rho_3 h_3)g$ મળે છે.
પિસ્ટન પરના દબાણ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{F}{A} = (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \rho_3 h_3)g$ મળે છે (ધારી લઈએ કે $P_0$ અવગણ્ય છે અથવા બંને બાજુ સમાન રીતે લાગે છે).

(B) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + \rho_w g h$ છે, જ્યાં $P_{atm} = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$ છે.
આપેલ છે કે કદ બમણું થાય છે, તેથી $V_2 = 2V_1$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી, $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(P_{atm} + \rho_w g h) V_1 = P_{atm} (2 V_1)$.
$P_{atm} + \rho_w g h = 2 P_{atm} \Rightarrow \rho_w g h = P_{atm}$.
$P_{atm} = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$ મૂકતા: $\rho_w g h = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$.
$h = (0.75 \, m) \times (\rho_{Hg} / \rho_w) = 0.75 \times (40/3) \, m$.
$h = 0.25 \times 40 \, m = 10 \, m$.

(C) પદાર્થનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ તેની ઘનતા અને પાણીની ઘનતા $(d_w)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$s = \frac{\rho}{\rho_w} \implies \rho = s \cdot \rho_w$.
મિશ્રધાતુનું કુલ દળ = $m_1 + m_2$.
મિશ્રધાતુનું કુલ કદ = $V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{m_1}{s_1 \rho_w} + \frac{m_2}{s_2 \rho_w} = \frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)$.
મિશ્રધાતુનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ $(s_{alloy})$ એ મિશ્રધાતુની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે:
$s_{alloy} = \frac{\rho_{alloy}}{\rho_w} = \frac{\text{કુલ દળ}}{\text{કુલ કદ} \times \rho_w}$.
કિંમતો મૂકતા:
$s_{alloy} = \frac{m_1 + m_2}{\left[ \frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right) \right] \times \rho_w} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2}}$.

(A) ધારો કે નળીની ત્રિજ્યા $r$ છે. બે પ્રવાહીઓના સમાન કદનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,દરેક પ્રવાહી વર્તુળનો ચોથો ભાગ ($\pi/2$ રેડિયનનો ચાપ) રોકે છે.
આંતરપૃષ્ઠ શિરોલંબથી $\theta$ ખૂણે છે તેમ ધારો.
સંતુલન માટે,આંતરપૃષ્ઠ પર બંને બાજુથી દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.
ભૌમિતિક ગણતરીઓ અને દબાણના સંતુલન પરથી,આપણને મળે છે: $\tan \theta = \frac{\pi}{2} \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{\pi}{2} \left( \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} \right) \right]$.

(C) ટાંકીની કુલ ઊંચાઈ $H = 5 \ m = 500 \ cm$ છે.
ટાંકી અડધી પાણીથી ભરેલી હોવાથી,પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_1 = 250 \ cm$ છે અને પાણીની ઘનતા $d_1 = 1 \ g/cm^3$ છે.
બાકીનો અડધો ભાગ તેલથી ભરેલો છે,તેથી તેલના સ્તંભની ઊંચાઈ $h_2 = 250 \ cm$ છે અને તેલની ઘનતા $d_2 = 0.85 \ g/cm^3$ છે.
પ્રવાહી સ્તંભને કારણે ટાંકીના તળિયે દબાણ $P = h_1 d_1 g + h_2 d_2 g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P = (250 \times 1 + 250 \times 0.85) \ g \ dyne/cm^2$.
$P = (250 + 212.5) \ g \ dyne/cm^2 = 462.5 \ g \ dyne/cm^2$.

(A) સતત સ્થિર પ્રવાહીમાં સમાન આડા સ્તરે દબાણ સમાન હોય છે. ધારો કે બિંદુ $D$ (તેલના સ્તંભમાં) પરનું દબાણ $P_1$ છે અને બિંદુ $B$ (પાણીના સ્તંભમાં) પરનું દબાણ $P_2$ છે.
$P_1 = P_2$
$P_0 + \rho_{\text{oil}} \cdot g \cdot h_1 = P_0 + \rho_{\text{water}} \cdot g \cdot h_2$
જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,$\rho_{\text{oil}}$ એ તેલની ઘનતા છે અને $\rho_{\text{water}}$ એ પાણીની ઘનતા છે.
$\rho_{\text{oil}} \cdot g \cdot h_1 = \rho_{\text{water}} \cdot g \cdot h_2$
$\frac{\rho_{\text{oil}}}{\rho_{\text{water}}} = \frac{h_2}{h_1}$
તેલની સાપેક્ષ ઘનતાને તેલની ઘનતા અને પાણીની ઘનતાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,તેલની સાપેક્ષ ઘનતા $\frac{h_2}{h_1}$ છે.

(B) ટાંકીના તળિયે શરૂઆતનું દબાણ $P_{bottom} = P + h \rho g = 3P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પાણીના સ્તંભની શરૂઆતની ઊંચાઈ છે.
આના પરથી,આપણને $h \rho g = 2P$ મળે છે.
જ્યારે પાણીનું સ્તર એક-પંચમાંશ જેટલું ઘટે છે,ત્યારે પાણીના સ્તંભની નવી ઊંચાઈ $h' = h - \frac{h}{5} = \frac{4h}{5}$ થાય છે.
તળિયે નવું દબાણ $P' = P + h' \rho g$ છે.
$h'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P' = P + \left(\frac{4h}{5}\right) \rho g = P + \frac{4}{5}(h \rho g)$ મળે છે.
સમીકરણમાં $h \rho g = 2P$ મૂકતા,આપણને $P' = P + \frac{4}{5}(2P) = P + \frac{8P}{5} = \frac{13P}{5}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટ્યુબના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ છે. ટ્યુબના સમક્ષિતિજ વિભાગ $AB$ ને ધ્યાનમાં લો.
સમક્ષિતિજ વિભાગ $AB$ માં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $m = \rho A d$ છે.
બિંદુ $A$ પર દબાણ $P_A = h_2 \rho g$ છે અને બિંદુ $B$ પર દબાણ $P_B = h_1 \rho g$ છે.
સમક્ષિતિજ વિભાગ $AB$ માં રહેલા પ્રવાહી પર પ્રવેગની દિશામાં લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = (P_A - P_B) A = (h_2 \rho g - h_1 \rho g) A = (h_2 - h_1) \rho g A$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = ma$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(h_2 - h_1) \rho g A = (\rho A d) a$ મળે છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$(h_2 - h_1) g = da$ મળે છે.
તેથી,પ્રવાહીના સ્તરોમાં તફાવત $h_2 - h_1 = \frac{da}{g}$ છે.

(C) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીથી ભરેલા પાત્રના પાયા પરનું દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્રના પાયા પર લાગતો ધક્કો (બળ) $T$ એ દબાણ $P$ અને પાયાના ક્ષેત્રફળ $A_{base}$ નો ગુણાકાર છે.
આમ,$T = P \times A_{base} = \rho gh \times A_{base}$.
આપેલ પ્રશ્નમાં,બંને પાત્રો $A$ અને $B$ સમાન પાયાનું ક્ષેત્રફળ $(A_{base})$ ધરાવે છે અને સમાન ઊંચાઈ $(h)$ સુધી પાણી ધરાવે છે. પ્રવાહી સમાન (પાણી) હોવાથી,બંને માટે ઘનતા $\rho$ પણ સમાન છે.
તેથી,પાત્ર $A$ ના પાયા પરનો ધક્કો $T_A = \rho gh A_{base}$ છે અને પાત્ર $B$ ના પાયા પરનો ધક્કો $T_B = \rho gh A_{base}$ છે.
આમ,ધક્કાઓનો ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\rho gh A_{base}}{\rho gh A_{base}} = 1:1$ થાય છે.