Velocity of Efflux and Torricelli's law Questions in Gujarati

(B) ડોલના તળિયે રહેલા કાણામાંથી પાણીના વહેવાનો દર ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh_{eff}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
સ્થિર લિફ્ટમાં,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે. તેથી,$R_0 \propto \sqrt{g}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = g + a$ થાય છે. કારણ કે $g + a > g$,તેથી વહેવાનો દર $R_u$ વધે છે,એટલે કે $R_u > R_0$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = g - a$ થાય છે. કારણ કે $g - a < g$,તેથી વહેવાનો દર $R_d$ ઘટે છે,એટલે કે $R_d < R_0$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $R_u > R_0 > R_d$ મળે છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા નાના છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{2gh}$
આપેલ છે:
નળાકારની ઊંચાઈ $h = 20\;m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\;m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20}$
$v = \sqrt{400}$
$v = 20\;m/s$
તેથી,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $20\;m/s$ છે.

(A) ટાંકીના તળિયે કુલ દબાણ $P = P_{\text{atm}} + h\rho g = 3 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ છે.
વાતાવરણનું દબાણ $P_{\text{atm}} = 1 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ હોવાથી,પ્રવાહી સ્તંભને કારણે લાગતું ગેજ દબાણ $P_l = h\rho g = P - P_{\text{atm}} = 3 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 2 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ થાય.
બહાર આવતા પાણીનો વેગ ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
$P_l = h\rho g$ હોવાથી,$h = \frac{P_l}{\rho g}$ મળે.
વેગના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $v = \sqrt{2g \left( \frac{P_l}{\rho g} \right)} = \sqrt{\frac{2P_l}{\rho}}$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$ લેતા,$v = \sqrt{\frac{2 \times 2 \times 10^5}{10^3}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} \text{ m/s}$ મળે.

(C) આડછેદ ધરાવતા નળાકાર પાત્રને $A_0$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તળિયાના છિદ્ર દ્વારા $H$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલું હોય ત્યારે ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2H}{g}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સમય $t$ એ ઊંચાઈ $H$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે:
$t \propto \sqrt{H}$
તેથી,$H_2 = 4h$ અને $H_1 = h$ ઊંચાઈ માટે સમય $t_2$ અને $t_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{H_2}{H_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$
આમ,$t_2 = 2t_1 = 2t$.

(A) ટાંકીમાં પાણીની ઊંચાઈ ત્યારે મહત્તમ બને છે જ્યારે ટાંકીમાં પ્રતિ સેકન્ડ દાખલ થતા પાણીનું કદ, બહાર નીકળતા પાણીના કદ જેટલું થાય।
પ્રતિ સેકન્ડ બહાર નીકળતા પાણીનું કદ $Q_{out} = A \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A = 1 \, cm^2$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે, $g = 980 \, cm/s^2$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $h$ એ પાણીની ઊંચાઈ છે।
પ્રતિ સેકન્ડ અંદર આવતા પાણીનું કદ $Q_{in} = 70 \, cm^3/s$ છે।
મહત્તમ ઊંચાઈએ, $Q_{in} = Q_{out}$।
$70 = 1 \times \sqrt{2 \times 980 \times h}$
$70 = \sqrt{1960 \times h}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4900 = 1960 \times h$
$h = \frac{4900}{1960} = 2.5 \, cm$.

(C) કાણામાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ (બહિઃસ્ત્રાવનો વેગ) ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gD}$ છે.
ટાંકીના તળિયેથી કાણાની ઊંચાઈ $(H - D)$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $(H - D) = \frac{1}{2}gt^2$,જે આપણને $t = \sqrt{\frac{2(H - D)}{g}}$ આપે છે.
પાણી દ્વારા કપાતું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ એ સમક્ષિતિજ વેગ અને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતા સમયનો ગુણાકાર છે:
$x = v \times t$
$x = \sqrt{2gD} \times \sqrt{\frac{2(H - D)}{g}}$
$x = \sqrt{2gD \times \frac{2(H - D)}{g}}$
$x = \sqrt{4D(H - D)}$
$x = 2\sqrt{D(H - D)}$

(B) $H$ કુલ ઊંચાઈ ધરાવતા પાત્રમાં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીથી $y$ ઊંડાઈએ આવેલા નાના છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પાણીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ $H = 90 \ cm$ છે.
છિદ્રો તળિયાથી $h_1 = 20 \ cm, h_2 = 30 \ cm, h_3 = 45 \ cm$ અને $h_4 = 50 \ cm$ ની ઊંચાઈ પર છે.
મુક્ત સપાટીથી દરેક છિદ્રની ઊંડાઈ $y = H - h$ છે.
છિદ્ર $1$ માટે: $y_1 = 90 - 20 = 70 \ cm$.
છિદ્ર $2$ માટે: $y_2 = 90 - 30 = 60 \ cm$.
છિદ્ર $3$ માટે: $y_3 = 90 - 45 = 45 \ cm$.
છિદ્ર $4$ માટે: $y_4 = 90 - 50 = 40 \ cm$.
જ્યારે ઊંડાઈ $y$ એ કુલ ઊંચાઈના અડધા જેટલી હોય,એટલે કે $y = H/2 = 90/2 = 45 \ cm$ હોય ત્યારે સમક્ષિતિજ અવધિ મહત્તમ હોય છે.
ઊંડાઈઓની સરખામણી કરતા,છિદ્ર $3$ મુક્ત સપાટીથી $45 \ cm$ ની ઊંડાઈ પર છે.
તેથી,મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતરે પડતું પાણી છિદ્ર $3$ માંથી આવે છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રવાહનો દર $\frac{dV}{dt} = A_0 v = A_0 \sqrt{2gh}$ છે,જ્યાં $A_0$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
$V = Ah$ હોવાથી (જ્યાં $A$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે),આપણને મળે છે $A \frac{dh}{dt} = -A_0 \sqrt{2gh}$.
આનું સંકલન કરતા,$H$ ઊંચાઈ ધરાવતું પાત્ર ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2H}{g}}$ મળે છે.
આમ,$t \propto \sqrt{H}$.
ઊંચાઈ $H$ માટે $t_1 = 10 \text{ મિનિટ}$ આપેલ છે,તેથી ઊંચાઈ $H/2$ માટે સમય $t_2$:
$t_2 = t_1 \sqrt{\frac{H/2}{H}} = \frac{t_1}{\sqrt{2}}$.
$t_2 = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07 \text{ મિનિટ}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સમય $7 \text{ મિનિટ}$ થાય છે.

(C) ધારો કે $A$ એ કાણાંનો આડછેદ છે,$v$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો પ્રારંભિક વેગ છે,અને $d$ એ પાણીની ઘનતા છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
દર સેકન્ડે બહાર આવતા પાણીનું કદ $V = Av$ છે.
દર સેકન્ડે બહાર આવતા પાણીનું દળ $m = Avd$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફારનો દર (ધક્કા બળ) $F = \frac{dp}{dt} = (Avd)v = Adv^2$ છે.
પાણીના પ્રવાહની પ્રતિક્રિયાને કારણે આ ધક્કા બળ નળાકાર પર ઉપરની તરફ લાગે છે.
$v^2 = 2gh$ મૂકતા,ઉપરની તરફ લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ $F = Ad(2gh) = 2Adgh$ મળે છે.
અહીં $A = \frac{1}{4} \ cm^2$,$d = 1 \ g/cm^3$,$g = 980 \ cm/s^2$,અને $h = 25 \ cm$ આપેલ છે.
$F = 2 \times \frac{1}{4} \times 1 \times 980 \times 25 = 12250 \ dynes$.
$1 \ gm-wt = 980 \ dynes$ હોવાથી,$gm-wt$ માં બળ $F = \frac{12250}{980} = 12.5 \ gm-wt$ થાય.
આ બળ ઉપરની તરફ લાગતું હોવાથી,તે ત્રાજવા પર નળાકારના અસરકારક વજનમાં ઘટાડો કરે છે.

(C) ધારો કે ઉપરના છિદ્ર $A$ અને નીચેના છિદ્ર $B$ માંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ અનુક્રમે $v_A$ અને $v_B$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીના પ્રવાહ દ્વારા લાગતું બળ એ વેગમાનના ફેરફારનો દર છે,$F = \frac{dp}{dt} = \rho a v^2$.
છિદ્રો વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોવાથી,બળો વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. પાત્રને સંતુલનમાં રાખવા માટે જરૂરી ચોખ્ખું બળ $F$ છે:
$F = F_B - F_A = \rho a v_B^2 - \rho a v_A^2 = \rho a (v_B^2 - v_A^2)$
બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h$ એ બંને છિદ્રો વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર છે:
$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g h_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g h_B$
બંને છિદ્રો પર દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $(P_A = P_B = P_{atm})$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g h = \frac{1}{2}\rho v_B^2 + 0$ (નીચેના છિદ્રને સંદર્ભ સ્તર $0$ તરીકે લેતા)
$v_B^2 - v_A^2 = 2gh$
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \rho a (2gh) = 2\rho agh$.

(A) ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંચાઈએ પ્રવાહીના બહાર નીકળવાનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીના કદનો દર $dV/dt = a \cdot v = a \sqrt{2gh}$ છે.
જેમ જેમ સ્તર ઘટે છે તેમ પાત્રમાં પ્રવાહીનું કદ ઘટે છે,તેથી $dV = -A \cdot dh$ (જ્યાં $dh$ એ ઊંચાઈમાં થતો ફેરફાર છે).
$dV/dt$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $-A \cdot dh = a \sqrt{2gh} \cdot dt$.
$dt$ માટે ગોઠવતા: $dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} \cdot h^{-1/2} \cdot dh$.
કુલ સમય $t$ શોધવા માટે $H_1$ થી $H_2$ સુધી સંકલન કરતા: $t = \int_{0}^{t} dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} \int_{H_1}^{H_2} h^{-1/2} \cdot dh$.
$t = \frac{A}{a \sqrt{2g}} \int_{H_2}^{H_1} h^{-1/2} \cdot dh = \frac{A}{a \sqrt{2g}} [2\sqrt{h}]_{H_2}^{H_1}$.
$t = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} [\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2}]$.

(C) પાણીની સપાટી $H_1$ થી $H_2$ ઊંચાઈ સુધી નીચે ઉતરવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે: $t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2})$,જ્યાં $A$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A_0$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે ($h$ થી $\frac{h}{2}$): $t_1 = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{\frac{h}{2}})$.
બીજા અંતરાલ માટે ($\frac{h}{2}$ થી $0$): $t_2 = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{\frac{h}{2}} - 0)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{h} - \sqrt{\frac{h}{2}}}{\sqrt{\frac{h}{2}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીના વેગ $v$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $v = \sqrt{2gh}$.
આપેલ છે:
ઊંચાઈ $h = 20 \ m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20}$
$v = \sqrt{400}$
$v = 20 \ m/s$.
આમ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $20 \ m/s$ થશે.

(B) ટાંકીના તળિયે દબાણ $P = h \rho g = 3 \times 10^{5} \, N/m^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
અહીં $P = h \rho g$ હોવાથી,આપણે $h = P / (\rho g)$ લખી શકીએ.
આ કિંમત વેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{2g(P / \rho g)} = \sqrt{2P / \rho}$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^{3} \, kg/m^{3}$ અને $P = 3 \times 10^{5} \, N/m^{2}$ આપેલ છે.
તેથી,$v = \sqrt{(2 \times 3 \times 10^{5}) / 10^{3}} = \sqrt{6 \times 10^{2}} = \sqrt{600} \, m/s$.

(C) આડછેદ ધરાવતા પાત્રમાંથી $A_0$ આડછેદ ધરાવતા છિદ્ર દ્વારા $H$ ઊંચાઈએથી પાણી ખાલી થવા માટે લાગતો સમય $t$ નીચે મુજબ છે: $t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે સમય $t$ એ ઊંચાઈના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $t \propto \sqrt{H}$.
પ્રારંભિક ઊંચાઈ $H_1 = h$ અને સમય $t_1 = t$ આપેલ છે.
નવી ઊંચાઈ $H_2 = 4h$ માટે,ધારો કે સમય $t_2$ છે.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{H_2}{H_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$t_2 = 2t$.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો દર: $Q_{out} = A \cdot v = A \sqrt{2gh}$.
પાત્રમાં પાણી નાખવાનો દર $Q_{in} = 70 \, cm^3/s$ આપેલ છે.
જ્યારે પાણીની ઊંચાઈ મહત્તમ હોય, ત્યારે અંદર આવતા પાણીનો દર અને બહાર જતા પાણીનો દર સમાન હોય છે: $Q_{in} = Q_{out}$.
કિંમતો મૂકતા: $70 = 1 \times \sqrt{2 \times 980 \times h}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $70^2 = 2 \times 980 \times h$.
$4900 = 1960 \times h$.
$h = \frac{4900}{1960} = 2.5 \, cm$.

(D) ઓરિફિસ (છિદ્ર) માંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ ટોર્સેલીના નિયમ મુજબ: $v = \sqrt{2gy}$ છે.
જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $(h - y) + h = 2h - y$ છે. પ્રવાહીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t = \sqrt{\frac{2(2h - y)}{g}}$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $x$ એ સમક્ષિતિજ વેગ અને સમયનો ગુણાકાર છે:
$x = v \cdot t = \sqrt{2gy} \cdot \sqrt{\frac{2(2h - y)}{g}} = \sqrt{4y(2h - y)}$.
મહત્તમ અવધિ શોધવા માટે,આપણે $y$ ની સાપેક્ષમાં $x^2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવીએ:
$x^2 = 4y(2h - y) = 8hy - 4y^2$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા અને તેને શૂન્ય લેતા:
$\frac{d(x^2)}{dy} = 8h - 8y = 0 \implies y = h$.
$x$ ના સમીકરણમાં $y = h$ મૂકતા:
$x_m = \sqrt{4h(2h - h)} = \sqrt{4h^2} = 2h$.
આમ,$y = h$ અને $x_m = 2h$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) છિદ્રની ઉપર પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ $D$ છે. જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $(H-D)$ છે.
ટોરિસેલીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીના ફુવારાનો વેગ $v = \sqrt{2gD}$ છે.
પાણીના ફુવારાને $(H-D)$ ઊંચાઈથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S = H-D$,$u = 0$,અને $a = g$ છે.
$H-D = 0 + \frac{1}{2}gt^2 \implies t = \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$.
સમક્ષિતિજ અંતર $x$ (રેન્જ) એ સમક્ષિતિજ વેગ અને સમયનો ગુણાકાર છે:
$x = v \times t = \sqrt{2gD} \times \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$.
$x = \sqrt{2gD \times \frac{2(H-D)}{g}} = \sqrt{4D(H-D)} = 2\sqrt{D(H-D)}$.

(D) ટોરીસેલીના પ્રમેય મુજબ,બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ એટલે કે જે વેગથી પ્રવાહી કાણામાંથી બહાર આવે છે તે $\sqrt{2gh}$ જેટલો હોય છે,જ્યાં $h$ એ પ્રવાહીની સપાટીથી નીચે કાણાની ઊંડાઈ છે.
ધારો કે સમઘનની બાજુ $a$ છે. જ્યારે બોક્સ ભરેલું હોય,ત્યારે પ્રવાહીની સપાટીથી નીચે નળીની ઊંડાઈ $h = a$ છે. તેથી,પ્રારંભિક વેગ:
$v_0 = \sqrt{2ga}$
જ્યારે સમઘન બોક્સ અડધું ખાલી હોય અને તેને $45^{\circ}$ પર નમાવવામાં આવે જેથી નળી સૌથી નીચા બિંદુ પર રહે,ત્યારે પ્રવાહીની સપાટી સમઘનના વિકર્ણમાંથી પસાર થતું સમતલ બનાવે છે. નળીની ઉપર પ્રવાહીની સપાટીની ઊંચાઈ એ નીચેના ખૂણાથી વિકર્ણ સમતલ સુધીના અંતર જેટલી હોય છે,જે સમઘનના ફલકના વિકર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી છે:
$h' = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
હવે,નળીમાંથી વાઇનનો વેગ:
$v' = \sqrt{2gh'} = \sqrt{2g \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)} = \sqrt{\frac{2ga}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2ga}}{\sqrt[4]{2}} = \frac{v_0}{\sqrt[4]{2}}$

(B) આકૃતિ મુજબ,નળી ઉપરથી વાતાવરણમાં ખુલ્લી છે અને તેનો નીચેનો છેડો છિદ્રથી $h = 20 \ cm = 0.2 \ m$ ની ઊંડાઈએ પાણીમાં ડૂબેલો છે.
નળીમાં પાણીની સપાટી (જે વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ પર છે) અને છિદ્ર (જે પણ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ પર છે) વચ્ચે બર્નુલીનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_0 + \rho g h + 0 = P_0 + 0 + \frac{1}{2} \rho v^2$
અહીં,$h$ એ નળીમાં પાણીની સપાટી અને છિદ્ર વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર છે.
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ અને $h = 0.2 \ m$ આપેલ છે:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m/s$.

(C) આડછેદ ધરાવતી ટાંકીમાં $a$ આડછેદ ધરાવતા છિદ્ર દ્વારા પાણીની સપાટી $H_1$ થી $H_2$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2})$ છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે,ઊંચાઈ $H$ થી ઘટીને $H/\eta$ થાય છે. તેથી,$T_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H} - \sqrt{H/\eta})$.
બીજા અંતરાલ માટે,ઊંચાઈ $H/\eta$ થી ઘટીને $0$ થાય છે. તેથી,$T_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H/\eta} - \sqrt{0}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{H/\eta}$.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી:
$\sqrt{H} - \sqrt{H/\eta} = \sqrt{H/\eta}$.
$\sqrt{H} = 2\sqrt{H/\eta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$H = 4(H/\eta)$.
તેથી,$\eta = 4$.

(D) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાત્રમાં પાણીના કદમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = -A_h v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_h$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $A$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A \frac{dh}{dt} = -A_h \sqrt{2gh}$
આ સમીકરણનું $H$ થી $0$ ઊંચાઈ સુધી $t_0$ સમયમાં સંકલન કરતા:
$\int_{H}^{0} \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A_h}{A} \sqrt{2g} \int_{0}^{t_0} dt$
$2\sqrt{H} = \frac{A_h}{A} \sqrt{2g} \cdot t_0$
આનો અર્થ એ છે કે $t_0 \propto \sqrt{H}$.
નવી ઊંચાઈ $H' = 4H$ માટે,નવો સમય $t'$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{t'}{t_0} = \sqrt{\frac{H'}{H}} = \sqrt{\frac{4H}{H}} = 2$
તેથી,$t' = 2t_0$.

(C) ધારો કે ટાંકીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $H$ છે અને છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A_h$ છે. ટાંકીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_t = N A_h$ છે.
કેન્દ્રમાં (ઊંડાઈ $h = H/2$ પર) છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v$ એ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ છે: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(H/2)} = \sqrt{gH}$.
પ્રવાહીના બહાર નીકળવાને કારણે ટાંકી પર લાગતું બળ $F = \rho A_h v^2$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
$v^2 = gH$ મૂકતા,આપણને $F = \rho A_h (gH)$ મળે છે.
ટાંકીમાં રહેલા પ્રવાહીનું દળ $M = \rho V = \rho (A_t H) = \rho (N A_h H)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ ટાંકીનો પ્રારંભિક પ્રવેગ $a = \frac{F}{M}$ છે.
$a = \frac{\rho A_h g H}{\rho N A_h H} = \frac{g}{N}$.

(B) પાણીના આવવાનો દર $Q_{in} = 10^{-4} \; m^3/s$ છે.
કાણામાંથી બહાર નીકળતા પાણીનો દર $Q_{out} = A_{hole} \times v$ છે, જ્યાં $v$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ, બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીનું સ્તર સ્થિર રહે તે માટે, આવતા પાણીનો દર અને બહાર નીકળતા પાણીનો દર સમાન હોવો જોઈએ: $Q_{in} = Q_{out}$.
$10^{-4} = (10^{-4}) \times \sqrt{2gh}$.
બંને બાજુ $10^{-4}$ વડે ભાગતા, $1 = \sqrt{2gh}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $1 = 2gh$.
$h$ માટે ઉકેલતા, $h = \frac{1}{2g}$.
$g = 9.8 \; m/s^2$ લેતા, $h = \frac{1}{2 \times 9.8} = \frac{1}{19.6} \approx 0.051 \; m$.

(C) ધારો કે જમીનથી પ્રવાહીની સપાટીની કુલ ઊંચાઈ $h_{total} = 2H + H = 3H$ છે.
ધારો કે છિદ્ર જમીનથી $y$ ઊંચાઈ પર છે. પ્રવાહીની સપાટીથી છિદ્રની ઊંડાઈ $h = 3H - y$ છે.
બહિઃસ્ત્રાવનો વેગ $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(3H - y)}$ છે.
પ્રવાહીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $R = v \cdot t = \sqrt{2g(3H - y)} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(3H - y)} = 2\sqrt{3Hy - y^2}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,વર્ગમૂળની અંદરનું પદ $f(y) = 3Hy - y^2$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય લેતા: $\frac{df}{dy} = 3H - 2y = 0$.
આમ,$y = 1.5H$.
તેથી,જમીનથી અંતર $1.5H$ છે.

(D) પાત્રમાં $H$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલા પ્રવાહીમાં તળિયેથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા છિદ્ર માટે પ્રવાહની અવધિ $x = 2 \sqrt{(H - h)h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈએ રહેલા બે છિદ્રો માટે અવધિ સમાન છે,તેથી:
$2 \sqrt{(H - h_1)h_1} = 2 \sqrt{(H - h_2)h_2}$
$(H - h_1)h_1 = (H - h_2)h_2$
$Hh_1 - h_1^2 = Hh_2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = h_1^2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = (h_1 - h_2)(h_1 + h_2)$
$H = h_1 + h_2$
પ્રવાહની અવધિ $x = 2 \sqrt{Hh - h^2}$ ત્યારે મહત્તમ હોય જ્યારે વર્ગમૂળની અંદરનું પદ મહત્તમ હોય. ધારો કે $f(h) = Hh - h^2$. મહત્તમ મૂલ્ય માટે,$f'(h) = 0$.
$H - 2h = 0 \Rightarrow h = \frac{H}{2}$.
$H = h_1 + h_2$ મૂકતા,મહત્તમ અવધિ માટેની ઊંચાઈ $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ મળે છે.

(D) $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની રેન્જ $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $H$ એ પાણીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ છે. જો છિદ્ર તળિયે હોય $(h=H)$,તો રેન્જ $R = 2h$ થાય છે.
$h=10 \ m$ ની ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્ર માટે,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે. રેન્જ $R = v \cdot t$ છે,જ્યાં $t = \sqrt{2(H-h)/g}$ છે.
જો આપણે સપાટી પર વધારાનું દબાણ $P_{ext}$ આપીએ,તો છિદ્ર પરનું અસરકારક દબાણ $P_{eff} = P_{atm} + P_{ext} + \rho gh$ થાય છે. બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v' = \sqrt{2(P_{ext} + \rho gh)/\rho} = \sqrt{2gh + 2P_{ext}/\rho}$ થાય છે.
રેન્જ $2R$ કરવા માટે,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $2v$ થવો જોઈએ (કારણ કે છિદ્રનું સ્થાન નિશ્ચિત હોવાથી ઉડાનનો સમય સમાન રહે છે).
તેથી,$v' = 2v \implies v'^2 = 4v^2$.
$2gh + 2P_{ext}/\rho = 4(2gh) = 8gh$.
$2P_{ext}/\rho = 6gh \implies P_{ext} = 3\rho gh$.
અહીં $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $h = 10 \ m$ આપેલ છે:
$P_{ext} = 3 \times 10^3 \times 10 \times 10 = 3 \times 10^5 \ Pa$.
$1 \ atm = 10^5 \ Pa$ હોવાથી,જરૂરી વધારાનું દબાણ $3 \ atm$ છે.

(B) ધારો કે પીપમાં પાણીની ઊંડાઈ $d$ છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,તળિયે બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gd}$ છે.
$h$ ઊંચાઈના ટેબલ પરથી પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $h = \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
પાણીના પ્રવાહ દ્વારા કપાતું સમક્ષિતિજ અંતર $R = v \times t$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{4dh} = 2\sqrt{dh}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$R^2 = 4dh$.
તેથી,પાણીની ઊંડાઈ $d = \frac{R^2}{4h}$ મળે છે.

(B) છિદ્ર પાસેનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ,પિસ્ટનનું વજન અને પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈને કારણે હોય છે.
ધારો કે $A = 1000 \ cm^2 = 0.1 \ m^2$ એ પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ છે અને $m = 10 \ kg$ એ તેનું દળ છે.
પિસ્ટન દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ $P_p = \dfrac{mg}{A} = \dfrac{10 \times 9.8}{0.1} = 980 \ Pa$ છે.
આ દબાણ ઉત્પન્ન કરતા પાણીના સ્તંભની સમતુલ્ય ઊંચાઈ $h_p = \dfrac{P_p}{\rho g} = \dfrac{980}{1000 \times 9.8} = 0.1 \ m = 10 \ cm$ છે.
છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની કુલ અસરકારક ઊંચાઈ $H_{eff} = h_p + h = 10 \ cm + 50 \ cm = 60 \ cm = 0.6 \ m$ છે.
ટોરીસેલીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gH_{eff}}$ છે.
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.6} = \sqrt{11.76} \approx 3.43 \ m/s$.
આમ,વેગ આશરે $3.4 \ m/s$ છે.

(D) પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ માં $h/2$ ઊંડાઈએ આવેલા પ્રથમ છિદ્ર માટે:
ટોરિસેલીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$v_1 = \sqrt{2g(h/2)} = \sqrt{gh}$.
સપાટીથી $3h/2$ ઊંડાઈએ આવેલા બીજા છિદ્ર માટે,તે $2\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં $h/2$ ઊંડાઈએ છે:
ઉપરની સપાટી અને બીજા છિદ્ર વચ્ચે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P_0 + \rho gh + 2\rho g(h/2) = P_0 + \frac{1}{2}(2\rho)v_2^2$
$\rho gh + \rho gh = \rho v_2^2$
$2\rho gh = \rho v_2^2$
$v_2 = \sqrt{2gh}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2gh}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,પાત્રમાં પ્રવેશતા પાણીનો કદનો પ્રવાહ દર એ છિદ્ર દ્વારા બહાર નીકળતા પાણીના કદના પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $Q$ એ અંદર આવતા પાણીનો દર છે,$a$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $h$ એ પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ છે.
બહાર નીકળતા પાણીનો દર ટોર્સેલીના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q_{out} = a v = a \sqrt{2gh}$.
અંદર આવતા અને બહાર જતા પાણીના દરને સરખાવતા: $Q = a \sqrt{2gh}$.
$h$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $h = \frac{Q^2}{2 g a^2}$.
આપેલ છે કે $Q = 100 \ cm^3 s^{-1}$,$a = 1 \ cm^2$,અને $g = 1000 \ cm s^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{(100)^2}{2 \times 1000 \times (1)^2} = \frac{10000}{2000} = 5 \ cm$.

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ આવેલા નાના છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા કદનો દર $\frac{dV}{dt} = a \cdot v = a \sqrt{2gh}$ છે,જ્યાં $a$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
ટાંકીઓની ઊંચાઈ $h$ સમાન હોવાથી અને છિદ્રો સમાન (સમાન ક્ષેત્રફળ $a$) હોવાથી,ત્રણેય ટાંકીઓ માટે બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ અને પ્રવાહનો દર સમાન રહેશે.
ટાંકી ખાલી થવા માટે લાગતો સમય તેના કુલ કદ $V$ અને પ્રવાહના દર પર આધાર રાખે છે. ત્રણેય ટાંકીઓનું કુલ કદ $V$ સમાન છે અને પ્રવાહનો દર ઊંચાઈ $h$ (જે પણ સમાન છે) દ્વારા નક્કી થાય છે,તેથી ટાંકી ખાલી થવા માટે લાગતો સમય પાત્રના આકાર પર આધારિત નથી.
તેથી,ત્રણેય ટાંકીઓ ખાલી થવા માટે સમાન સમય લેશે.

(A) છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીના પ્રવાહ દ્વારા લાગતું બળ $F = \rho A v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ પાણીનો વેગ છે.
ટોરિસેલીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તળિયે પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gH}$ છે.
આમ,બળ $F = \rho A (2gH)$ થાય.
પાત્ર ગતિ કરવાનું શરૂ કરે તે માટે,આ બળ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_s = \mu Mg$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
બંનેને સરખાવતા: $\rho A (2gH) = \mu Mg$.
$A = \frac{\pi D^2}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે: $\rho \left( \frac{\pi D^2}{4} \right) (2gH) = \mu Mg$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{\rho \pi D^2 g H}{2} = \mu Mg$.
$D$ માટે ઉકેલતા: $D^2 = \frac{2\mu M}{\pi \rho H}$.
તેથી,$D = \sqrt{\frac{2\mu M}{\pi \rho H}}$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gy}$ છે.
પ્રવાહીને $(H-y)$ ઊંચાઈથી જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $x = v \cdot t = \sqrt{2gy} \cdot \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} = 2\sqrt{y(H-y)}$ છે.
મહત્તમ અવધિ શોધવા માટે,આપણે $x^2 = 4(Hy - y^2)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{d}{dy}(4Hy - 4y^2) = 4H - 8y = 0 \implies y = \frac{H}{2}$.
$x$ ના સમીકરણમાં $y = \frac{H}{2}$ મૂકતા,આપણને $x_{max} = 2\sqrt{\frac{H}{2}(H - \frac{H}{2})} = 2\sqrt{\frac{H^2}{4}} = H$ મળે છે.
તેથી,$y = \frac{H}{2}$ પર $x$ મહત્તમ છે અને તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $H$ છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(C) પ્રવાહીની ઉપરની સપાટી અને છિદ્ર પર બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_0 + h_1\rho_1g + h_2\rho_2g = P_0 + \frac{1}{2}\rho_1v^2$
અહીં,$P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે,અને આપણે ધારીએ છીએ કે ઉપરની સપાટીનો વેગ છિદ્ર પરના વેગ $v$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
બંને બાજુથી $P_0$ બાદ કરતા:
$h_1\rho_1g + h_2\rho_2g = \frac{1}{2}\rho_1v^2$
$\rho_1$ વડે ભાગતા:
$h_1g + \frac{h_2\rho_2g}{\rho_1} = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_1 + \frac{h_2\rho_2}{\rho_1})$
$v = \sqrt{2g(h_1 + \frac{h_2\rho_2}{\rho_1})}$

(A) પાણીની ઉપરની સપાટી અને છિદ્ર માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ:
$P_{top} + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v_{top}^{2} = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$
પાત્ર બંધ હોવાથી અને ઉપરનું દબાણ $0.9 P_{0}$ હોવાથી,અને $v_{top} \approx 0$ ધારતા:
$0.9 P_{0} + \rho gh = P_{0} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$\rho gh - 0.1 P_{0} = \frac{1}{2} \rho v^{2}$
કિંમતો મૂકતા: $10^{3} \times 10 \times (9/4) - 0.1 \times 10^{5} = \frac{1}{2} \times 10^{3} \times v^{2}$
$22500 - 10000 = 500 v^{2}$
$12500 = 500 v^{2}$
$v^{2} = 25$
$v = 5 \text{ m/s}$

(B) ટાંકીમાં પાણીની કુલ ઊંચાઈ $H = 1 \, m = 100 \, cm$ છે.
ઉપરની સપાટીથી કાણાની ઊંડાઈ $h = 20 \, cm$ છે.
ટાંકીના તળિયેથી કાણાની ઊંચાઈ $y = H - h = 100 - 20 = 80 \, cm$ છે.
બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ છે.
આડી અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = v \times t = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} = 2 \sqrt{h(H-h)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $R = 2 \sqrt{20 \times (100 - 20)} = 2 \sqrt{20 \times 80} = 2 \sqrt{1600} = 2 \times 40 = 80 \, cm$.

(D) ધારો કે પ્રવાહીની ઉપરની સપાટી બિંદુ $1$ છે અને છિદ્ર બિંદુ $2$ છે. ઉપરની સપાટી (બિંદુ $1$) અને છિદ્ર (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_0 + \rho_1 g \left( \frac{H}{2} \right) + \rho_2 g \left( \frac{H}{2} - h \right) = P_0 + \frac{1}{2} \rho_2 v^2$
અહીં,$\rho_1 = d$,$\rho_2 = 2d$,અને $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d g \left( \frac{H}{2} \right) + 2d g \left( \frac{H}{2} - h \right) = \frac{1}{2} (2d) v^2$
$g \left( \frac{H}{2} + H - 2h \right) = v^2$
$g \left( \frac{3H}{2} - 2h \right) = v^2$
$v^2 = g \left( \frac{3H - 4h}{2} \right)$
$v = \sqrt{\frac{(3H - 4h)g}{2}}$

(A) ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$,જ્યાં $R = 0.08\,m$ છે.
કાણાનું ક્ષેત્રફળ $a = \pi r^2$,જ્યાં $r = 5 \times 10^{-3}\,m$ છે.
સાતત્ય સમીકરણ અને ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,કદમાં થતો ફેરફારનો દર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ છે.
સમય $t$ માટે ગોઠવતા: $dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
$h = 0.16\,m$ થી $h = 0$ સુધી સંકલન કરતા:
$t = \frac{A}{a \sqrt{2g}} \int_{0}^{0.16} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a \sqrt{2g}} [2\sqrt{h}]_{0}^{0.16}$.
$t = \frac{\pi (0.08)^2}{\pi (5 \times 10^{-3})^2 \sqrt{2 \times 9.8}} \times 2 \times \sqrt{0.16}$.
$t = \frac{0.0064}{25 \times 10^{-6} \times 4.427} \times 0.8 \approx 46.26\,s$.

(A) ધારો કે છિદ્ર પાસે પાણીનો વેગ $v_1$ છે અને જ્યારે તે જમીન સાથે અથડાય છે ત્યારે પાણીનો વેગ $v_2$ છે.
ટોરીસેલીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,છિદ્ર પાસે વેગ $v_1 = \sqrt{2gH}$ છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,જમીન પાસે વેગ $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{2gH + 2gh} = \sqrt{2g(H + h)}$ મળે છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે:
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
$\pi r^2 v_1 = \pi x^2 v_2$
$r^2 \sqrt{2gH} = x^2 \sqrt{2g(H + h)}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$r^4 (2gH) = x^4 (2g(H + h))$
$x^4 = r^4 \frac{H}{H + h}$
$x = r \left( \frac{H}{H + h} \right)^{\frac{1}{4}}$

(B) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,ટાંકીના તળિયે દબાણ એ બંને પ્રવાહીના હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.
$P = h_w \rho_w g + h_k \rho_k g$
અહીં,$h_w = 3\,m$,$\rho_w = 1000\,kg/m^3$,$h_k = 2\,m$,અને $\rho_k = 0.8 \times 1000 = 800\,kg/m^3$.
$P = (3 \times 1000 \times 10) + (2 \times 800 \times 10) = 30000 + 16000 = 46000\,Pa$.
તળિયે બહાર નીકળતા વેગ $v$ માટે ટોરિસેલીના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં દબાણ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$P = \frac{1}{2} \rho_w v^2$
$46000 = \frac{1}{2} \times 1000 \times v^2$
$v^2 = \frac{46000 \times 2}{1000} = 92$
$v = \sqrt{92} \approx 9.6\,ms^{-1}$.

(B) ધારો કે પાણીની સપાટી નીચે ઉતરવાનો દર $-\frac{dh}{dt}$ છે.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,એકમ સમયમાં છિદ્રમાંથી બહાર નીકળતા પાણીનું કદ એ પાત્ર દ્વારા ગુમાવેલા પાણીના કદ જેટલું હોય છે.
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a_{hole} \cdot v$
જ્યાં $a_{hole} = \pi a^2$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v = \sqrt{2gh}$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ (ટોરિસેલીનો નિયમ) છે.
તેથી,$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = \pi a^2 \sqrt{2gh}$.
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$dt = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
$t = 0$ થી $T$ (કુલ સમય) અને $h = h$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^T dt = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \int_h^0 h^{-1/2} dh$.
$T = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \left[ \frac{h^{1/2}}{1/2} \right]_h^0$.
$T = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \cdot 2 [0 - \sqrt{h}] = \frac{2A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \sqrt{h}$.
$T = \frac{2A}{\pi a^2} \sqrt{\frac{h}{2g}} = \frac{\sqrt{2}A}{\pi a^2} \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(A) પાણીના વહેવાનો દર (કદ વહેવાનો દર) $Q = A \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કાણાંનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,$d$ ઊંડાઈએ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gd}$ છે.
$h$ ઊંડાઈએ રહેલા ચોરસ કાણાં માટે: ક્ષેત્રફળ $A_1 = l^2$,વેગ $v_1 = \sqrt{2gh}$. તેથી,$Q_1 = l^2 \sqrt{2gh}$.
$4h$ ઊંડાઈએ રહેલા ગોળાકાર કાણાં માટે: ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi r^2$,વેગ $v_2 = \sqrt{2g(4h)} = 2\sqrt{2gh}$. તેથી,$Q_2 = \pi r^2 (2\sqrt{2gh})$.
આપેલ છે કે વહેવાનો દર સમાન છે,તેથી $Q_1 = Q_2$:
$l^2 \sqrt{2gh} = 2\pi r^2 \sqrt{2gh}$
$l^2 = 2\pi r^2$
$r^2 = \frac{l^2}{2\pi}$
$r = \frac{l}{\sqrt{2\pi}}$

(A) કુલ ઊંચાઈ $H$ ધરાવતી ટાંકીમાં સપાટીથી $y$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છિદ્ર $A$ માટે,સપાટીથી ઊંડાઈ $h_1$ છે,તેથી અવધિ $R_A = 2\sqrt{h_1(H - h_1)}$ છે.
છિદ્ર $B$ માટે,તળિયેથી ઊંચાઈ $h_2$ છે,તેથી સપાટીથી ઊંડાઈ $(H - h_2)$ છે. અવધિ $R_B = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$ છે.
બંને અવધિ સમાન હોવાથી,$R_A = R_B$:
$2\sqrt{h_1(H - h_1)} = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h_1(H - h_1) = h_2(H - h_2)$
$Hh_1 - h_1^2 = Hh_2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = h_1^2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = (h_1 - h_2)(h_1 + h_2)$
જો $h_1 \neq h_2$ હોય,તો આપણને $H = h_1 + h_2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $h_1/h_2$ નો ગુણોત્તર કોઈ નિશ્ચિત અચળાંક નથી પરંતુ તે $H$ પર આધાર રાખે છે.

(B) કદનો પ્રવાહ દર $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = \sqrt{2gh}$ એ બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ છે.
આપેલ છે: $Q = 0.74\,m^3/min = \frac{0.74}{60}\,m^3/s$,ત્રિજ્યા $r = 2\,cm = 0.02\,m$,અને $g = 9.8\,m/s^2$.
છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.02)^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-4}\,m^2$ છે.
આ કિંમતોને $Q = A\sqrt{2gh}$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{0.74}{60} = (3.14 \times 4 \times 10^{-4}) \sqrt{2 \times 9.8 \times h}$.
$\frac{0.01233}{1.256 \times 10^{-3}} = \sqrt{19.6h}$.
$9.816 = \sqrt{19.6h}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $96.36 = 19.6h$.
$h = \frac{96.36}{19.6} \approx 4.92\,m$.
આમ,ઊંડાઈ આશરે $4.8\,m$ ની નજીક છે.

(A) ટાંકીમાં પાણીના કદમાં થતો ફેરફાર એ અંદર આવતા પાણીના દર અને બહાર જતા પાણીના દરનો તફાવત છે.
$\frac{dV}{dt} = Q_{in} - Q_{out} = 0$ (કારણ કે ઊંચાઈ સ્થિર રહે છે).
$Q_{in} = 10^{-4} \, m^3 s^{-1}$.
બહાર નીકળતા પાણીનો દર ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ: $Q_{out} = a \sqrt{2gh}$, જ્યાં $a = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ અને $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
અંદર આવતા અને બહાર જતા પાણીના દરને સરખાવતા: $10^{-4} = 10^{-4} \sqrt{2 \times 9.8 \times h}$.
$1 = \sqrt{19.6 \times h}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = 19.6 \times h$.
$h = \frac{1}{19.6} \approx 0.051 \, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $h = 0.051 \times 100 = 5.1 \, cm$.

(D) જ્યારે ડોલ મુક્ત પતન કરતી હોય, ત્યારે તે નીચેની તરફ $g$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે. ડોલની અંદરનું પાણી પણ નીચેની તરફ સમાન પ્રવેગ $g$ અનુભવે છે. તેથી, ડોલની સાપેક્ષમાં પાણી પર લાગતું અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય થઈ જાય છે. પ્રવાહીમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = P_{atm} + \rho g_{eff} h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, અને અહીં $g_{eff} = 0$ હોવાથી, છિદ્ર પાસેનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું થઈ જાય છે. પરિણામે, પાણીને છિદ્રમાંથી બહાર ધકેલવા માટે કોઈ દબાણ તફાવત રહેતો નથી અને પાણી વહેવાનું બંધ થઈ જાય છે.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ કાણાની ઉપર પાણીના સ્તરની ઊંચાઈ છે.
જેহেতু $v$ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,તેથી જ્યારે કાણાનું કદ વધારવામાં આવે ત્યારે પાણીના બહાર નીકળવાનો વેગ બદલાતો નથી.
દર સેકન્ડે બહાર વહેતા પાણીનું કદ (પ્રવાહનો દર) $Q = A \times v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ છે.
જેহেতু કાણાનું કદ (ક્ષેત્રફળ $A$) વધે છે,તેથી દર સેકન્ડે બહાર વહેતા પાણીનું કદ વધશે.

(C) ધારો કે $d_w$ અને $d_o$ એ અનુક્રમે પાણી અને તેલની ઘનતા છે. ટાંકીના તળિયે દબાણ $P = h_w d_w g + h_o d_o g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે પાણીના સ્તંભની સમતુલ્ય ઊંચાઈ $h$ શોધી શકીએ છીએ જે તળિયે સમાન દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે: $h d_w g = h_w d_w g + h_o d_o g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h = h_w + \frac{h_o d_o}{d_w} = 100 + \frac{400 \times 0.9}{1} = 100 + 360 = 460 \, cm$.
ટોરીસેલીના પ્રમેય મુજબ,બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{2 \times 980 \times 460} = \sqrt{920 \times 980} \, cm/s$.

(A) $h$ ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ $(v)$ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
આપેલ છે: $h = 5\, m$,$g = 10\, m/s^2$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 1\, cm^2 = 10^{-4}\, m^2$.
વેગની ગણતરી: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\, m/s$.
કદનો પ્રવાહ દર $(Q)$ $Q = A \times v$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = 10^{-4}\, m^2 \times 10\, m/s = 10^{-3}\, m^3/s$.