Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Gujarati

(N/A) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને ધારારેખી વહન ધરાવતા તરલ માટે,દબાણ ઊર્જા $(P)$,એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા $\left(\frac{1}{2}\rho v^{2}\right)$ અને એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઊર્જા $(\rho gh)$ નો સરવાળો ધારારેખા પરના દરેક બિંદુએ અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવી શકાય છે: $P + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho gh = \text{constant}$.

(N/A) જ્યારે ટ્રેન ખૂબ ઝડપથી પસાર થાય છે,ત્યારે ટ્રેનના સંપર્કમાં રહેલી હવા ટ્રેનની સમાન વેગથી ગતિ કરે છે. બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,જેમ હવાનો વેગ વધે છે,તેમ તેનું દબાણ ઘટે છે. આનાથી વ્યક્તિ અને ટ્રેન વચ્ચેના વિસ્તારમાં ઓછા દબાણનો પ્રદેશ સર્જાય છે. ટ્રેનથી દૂરના વિસ્તારમાં હવાનું દબાણ વધારે હોવાથી,દબાણનો તફાવત સર્જાય છે. આ દબાણના તફાવતને કારણે વ્યક્તિ પર ટ્રેન તરફ એક બળ લાગે છે,જે વ્યક્તિને ગતિશીલ ટ્રેન તરફ ખેંચી શકે છે,જે જોખમી છે.

(N/A) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,જ્યારે પ્રવાહીના પ્રવાહનો વેગ વધે છે ત્યારે દબાણ ઘટે છે.
જ્યારે હોડીઓ એકબીજાને સમાંતર ગતિ કરે છે,ત્યારે હોડીઓની વચ્ચેના વિસ્તારમાં પાણીનો વેગ હોડીઓની બહારની બાજુના પાણીના વેગ કરતા વધી જાય છે.
પરિણામે,હોડીઓની વચ્ચેના વિસ્તારમાં પાણી દ્વારા લાગતું દબાણ બહારની બાજુના પાણીના દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે.
આ દબાણના તફાવતને કારણે એક ચોખ્ખું બળ ઉત્પન્ન થાય છે જે બંને હોડીઓને એકબીજા તરફ ધકેલે છે,જેના કારણે તેઓ આકર્ષાય છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ $A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$ મુજબ, $v \propto \frac{1}{A}$ થાય છે. જ્યારે પ્રવાહી સાંકડા ભાગમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે, જેના કારણે વેગ $v$ વધે છે。
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, આડી પાઇપ માટે $P + \frac{1}{2}\rho v^{2} = \text{અચળ}$. જેમ વેગ $v$ વધે છે, તેમ કુલ ઉર્જા અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.

(N/A) જ્યારે જોરદાર પવન ફૂંકાય છે,ત્યારે હવા ધ્વજની સપાટી પર ઝડપથી વહે છે. બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીના સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે,પ્રવાહીની ઝડપમાં વધારો થવાની સાથે દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
ધ્વજના મુક્ત છેડા પર પવનની ઝડપ વધુ હોવાથી,ત્યાં દબાણ ઓછું થઈ જાય છે.
જોકે,આધાર (થાંભલા) પાસેનું દબાણ પ્રમાણમાં વધારે રહે છે.
આ દબાણના તફાવતને કારણે બળ ઉત્પન્ન થાય છે જે ધ્વજને દોલન કરવા અથવા ફરકવા માટે મજબૂર કરે છે.

(N/A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આદર્શ પ્રવાહીના ધારારેખી વહન માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે. તોફાન દરમિયાન,મકાનના છાપરા ઉપર પવન ખૂબ જ ઊંચી ઝડપે ફૂંકાય છે. આ ઊંચી ઝડપવાળી હવા છાપરાની ઉપરના ભાગમાં ઓછા દબાણનો વિસ્તાર બનાવે છે. મકાનની અંદર હવા પ્રમાણમાં સ્થિર હોય છે,જેના પરિણામે છાપરાની નીચેના ભાગમાં વાતાવરણનું દબાણ વધારે હોય છે. આ દબાણનો તફાવત છાપરા પર ઉપરની તરફનું બળ (લિફ્ટ) ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે આ ઉપરની તરફનું બળ છાપરાના વજન કરતાં વધી જાય છે,ત્યારે છાપરું ઉડી જાય છે.

(N/A) વિમાનની પાંખને $airfoil$ તરીકે ઓળખાતા ખાસ આકાર સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે. જેમ જેમ વિમાન રનવે પર આગળ વધે છે,તેમ હવા પાંખની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી વહે છે. પાંખના આકારને કારણે,ઉપરની તરફ હવાનો વેગ નીચેની તરફના વેગ કરતા વધારે હોય છે. $Bernoulli$ ના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યાં પ્રવાહીનો વેગ વધારે હોય ત્યાં તેનું દબાણ ઓછું હોય છે. આમ,પાંખની ઉપરનું દબાણ નીચેના દબાણ કરતા ઓછું થઈ જાય છે. આ દબાણનો તફાવત ઉપરની તરફ એક બળ ઉત્પન્ન કરે છે જેને લિફ્ટ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે વિમાન પૂરતી ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે,ત્યારે લિફ્ટ બળ વિમાનના વજન કરતા વધી જાય છે,જેનાથી તે ઉડાન ભરી શકે છે.

(N/A) મેગ્નસ અસર એ એક એવી ઘટના છે જેમાં પ્રવાહી (જેમ કે હવા) માં ગતિ કરતો ફરતો પદાર્થ તેની ગતિની દિશાને લંબ બળ અનુભવે છે.
જ્યારે પદાર્થ ફરે છે,ત્યારે તે સ્નિગ્ધતાને કારણે તેની આસપાસના પ્રવાહીને પોતાની સાથે ખેંચે છે.
પદાર્થના એક તરફ,પ્રવાહીનો વેગ વધે છે (કારણ કે સ્પિનની દિશા પ્રવાહ સાથે સંરેખિત થાય છે),જેના પરિણામે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
વિરુદ્ધ બાજુએ,પ્રવાહીનો વેગ ઘટે છે,જેના પરિણામે દબાણમાં વધારો થાય છે.
આ દબાણના તફાવતને કારણે ચોખ્ખું બળ ઉદભવે છે,જે ફરતા પદાર્થના ગતિપથને વળાંક આપે છે.

(C) પ્રવાહી મિકેનિક્સમાં, ખાસ કરીને બર્નુલીના સમીકરણમાં, પ્રવાહીના એકમ વજન દીઠ ઉર્જાને 'હેડ' (heads) ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે છે:
$1$. વેલોસિટી હેડ: આ પ્રવાહીની એકમ વજન દીઠ ગતિ ઉર્જા દર્શાવે છે, જે $\frac{v^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(a-iii)$.
$2$. પ્રેશર હેડ: આ પ્રવાહીની એકમ વજન દીઠ દબાણ ઉર્જા દર્શાવે છે, જે $\frac{P}{\rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(b-i)$.
$3$. પોટેન્શિયલ હેડ: આ પ્રવાહીની એકમ વજન દીઠ સ્થિતિ ઉર્જા દર્શાવે છે, જે $h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, $(c-ii)$.
આમ, સાચી જોડ $(a-iii), (b-i)$ છે.

(B) સમક્ષિતિજ પાઈપ માટે,ઊંચાઈ $h$ અચળ છે,તેથી $h_1 = h_2$. બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
અહીં $P_1 = P$,$v_1 = v$,$P_2 = \frac{P}{2}$,અને $v_2 = V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}\rho V^2$
બંને બાજુથી $\frac{P}{2}$ બાદ કરતા:
$\frac{P}{2} + \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{1}{2}\rho V^2$
આખા સમીકરણને $\frac{2}{\rho}$ વડે ગુણતા:
$\frac{P}{\rho} + v^2 = V^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$V = \sqrt{\frac{P}{\rho} + v^2}$

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી $(A_{1} = A_{2})$,પ્રવાહીની ઝડપ અચળ રહે છે,તેથી $V_{1} = V_{2} = 3.5 \ m/s$.
બિંદુ $A_{1}$ (ઊંચાઈ $0$ પર) અને બિંદુ $A_{2}$ ની ઉપર પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ (જ્યાં અંતિમ વેગ $0$ છે) વચ્ચે બર્નુલીનું પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_{atm} + \frac{1}{2} \rho V_{1}^{2} + \rho g(0) = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho(0)^{2} + \rho gh$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} \rho V_{1}^{2} = \rho gh$
$h = \frac{V_{1}^{2}}{2g}$
આપેલ કિંમતો ($V_{1} = 3.5 \ m/s$ અને $g = 10 \ m/s^{2}$) મૂકતા:
$h = \frac{(3.5)^{2}}{2 \times 10} = \frac{12.25}{20} = 0.6125 \ m$
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$h = 0.6125 \times 100 = 61.25 \ cm$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) $1$. સાતત્ય સમીકરણ લાગુ કરો: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$.
$A = \pi (d/2)^{2}$ હોવાથી,$d_{1}^{2} v_{1} = d_{2}^{2} v_{2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $5^{2} \times 4 = 2^{2} \times v_{2} \implies 25 \times 4 = 4 \times v_{2} \implies v_{2} = 25 \, m/s$.
$2$. બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ કરો (ક્ષૈતિજ પ્રવાહ ધારતા): $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$.
$3$. દબાણનો તફાવત શોધવા માટે ગોઠવણી કરતા: $\Delta P = P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1000 \times (25^{2} - 4^{2})$.
$\Delta P = 500 \times (625 - 16) = 500 \times 609 = 304500 \, Pa$.

(A) આપેલ છે:
ભારનું દળ $m = 24\, kg$
ટાંકીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.4\, m^{2}$
બાકોરાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a = 1\, cm^{2} = 10^{-4}\, m^{2}$
પાણીની ઊંચાઈ $H = 40\, cm = 0.4\, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, ms^{-2}$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000\, kg/m^{3}$
ઉપરની સપાટી અને બાકોરા $B$ પર બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરતા:
$P_{top} + \rho gH + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$
જ્યાં $P_{top} = P_{atm} + \frac{mg}{A}$
કિંમતો મૂકતા:
$(P_{atm} + \frac{mg}{A}) + \rho gH = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$ ($A \gg a$ હોવાથી $v_{1} \approx 0$ લેતા)
$\frac{mg}{A} + \rho gH = \frac{1}{2}\rho v^{2}$
$v = \sqrt{2gH + \frac{2mg}{A\rho}}$
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.4 + \frac{2 \times 24 \times 10}{0.4 \times 1000}}$
$v = \sqrt{8 + \frac{480}{400}} = \sqrt{8 + 1.2} = \sqrt{9.2}$
$v \approx 3.033\, m/s$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$v = 3\, m/s$.

(A) સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં $A_1 = a$ અને $A_2 = \frac{a}{2}$ આપેલ છે,તેથી $a v_1 = \frac{a}{2} v_2$,જેનો અર્થ છે કે $v_2 = 2 v_1$.
બંને વિભાગો વચ્ચે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
નીચલા વિભાગને સંદર્ભ સ્તર $(h_2 = 0)$ તરીકે લેતા,$h_1 = 1 \; m$ મળે.
$P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $4100 = 800 \times [10 \times (0 - 1) + \frac{1}{2} ( (2v_1)^2 - v_1^2 )]$.
$4100 = 800 \times [-10 + \frac{3 v_1^2}{2}]$.
$\frac{4100}{800} = -10 + \frac{3 v_1^2}{2}$.
$5.125 = -10 + 1.5 v_1^2$.
$15.125 = 1.5 v_1^2$.
$v_1^2 = \frac{15.125}{1.5} = \frac{121}{12}$.
$v_1 = \sqrt{\frac{121}{12}} = \frac{11}{\sqrt{12}} = \frac{11 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{121 \times 3}}{6} = \frac{\sqrt{363}}{6}$.
આને $\frac{\sqrt{x}}{6}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 363$ મળે છે.

(C) ધારો કે $A = 0.5 \; m^{2}$ એ ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ છે,$a = 1 \; cm^{2} = 10^{-4} \; m^{2}$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે,$M = 25 \; kg$ એ લાગુ પાડેલ દળ છે,અને $h = 40 \; cm = 0.4 \; m$ એ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે.
ટોચની સપાટી અને છિદ્ર પર બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{top} + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
અહીં,$P_{top} = P_{atm} + \frac{Mg}{A}$.
કિંમતો મૂકતા:
$P_{atm} + \frac{25 \times 10}{0.5} + 1000 \times 10 \times 0.4 = P_{atm} + \frac{1}{2} \times 1000 \times v^{2}$
$500 + 4000 = 500 v^{2}$
$4500 = 500 v^{2}$
$v^{2} = 9$
$v = 3 \; m \; s^{-1} = 300 \; cm \; s^{-1}$.

(C) આપેલ છે:
ઘનતા $\rho = 750\,kg\,m^{-3}$
$A_{1} = 1.2 \times 10^{-2}\,m^{2}$
$A_{2} = \frac{A_{1}}{2} = 0.6 \times 10^{-2}\,m^{2}$
દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{1} - P_{2} = 4500\,Pa$
સાતત્ય સમીકરણ (Equation of Continuity) નો ઉપયોગ કરતા:
$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$
$A_{1}V_{1} = (A_{1}/2)V_{2} \Rightarrow V_{2} = 2V_{1}$
આડા પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_{1} = h_{2})$:
$P_{1} + \frac{1}{2}\rho V_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2}\rho(V_{2}^{2} - V_{1}^{2})$
$4500 = \frac{1}{2} \times 750 \times ((2V_{1})^{2} - V_{1}^{2})$
$4500 = 375 \times (4V_{1}^{2} - V_{1}^{2})$
$4500 = 375 \times 3V_{1}^{2}$
$4500 = 1125V_{1}^{2}$
$V_{1}^{2} = 4 \Rightarrow V_{1} = 2\,m\,s^{-1}$
વહનનો દર (કદ વહન દર) $Q = A_{1}V_{1}$
$Q = (1.2 \times 10^{-2}) \times 2 = 2.4 \times 10^{-2}\,m^{3}\,s^{-1}$
$Q = 24 \times 10^{-3}\,m^{3}\,s^{-1}$
આમ,વહનનો દર $24 \times 10^{-3}\,m^{3}\,s^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ $P_{1}$ છે અને કાણા પાસેનું દબાણ $P_{2}$ છે.
પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = \pi(1)^{2} = \pi\,m^{2}$.
પિસ્ટન દ્વારા લાગતું દબાણ $P_{piston} = \frac{F}{A} = \frac{5 \times 10^{5}}{\pi}\,Pa$.
ઉપરની સપાટી પરનું કુલ દબાણ $P_{1} = P_{A} + P_{piston} = 1.01 \times 10^{5} + \frac{5 \times 10^{5}}{\pi}$.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{1} + \rho g h_{1} = P_{2} + \rho g h_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{e}^{2}$
અહીં $P_{2} = P_{A}$,$h_{1} = 15\,m$,$h_{2} = 5\,m$,અને $\rho = 1000\,kg/m^{3}$.
$\frac{5 \times 10^{5}}{\pi} + \rho g (h_{1} - h_{2}) = \frac{1}{2} \rho v_{e}^{2}$
$\frac{5 \times 10^{5}}{\pi} + 1000 \times 10 \times (15 - 5) = \frac{1}{2} \times 1000 \times v_{e}^{2}$
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$v_{e} = 17.8\,m/s$ મળે છે.

(B) બોટલની અંદર (બિંદુ $1$) અને નોઝલ પર (બિંદુ $2$) બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
અહીં,$p_{1} = p_{\text{atm}} + \frac{F}{A}$ અને $p_{2} = p_{\text{atm}}$. દબાવવાની પ્રક્રિયા ધીમી હોવાથી,આપણે $v_{1} \approx 0$ ધારીએ છીએ.
તેથી,$p_{\text{atm}} + \frac{F}{A} = p_{\text{atm}} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{2F}{\rho A}$ .......... $(i)$
$h$ ઊંચાઈથી આડી પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,અવધિ $R$ એ $R = v_{2} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$R^{2} = v_{2}^{2} \left(\frac{2h}{g}\right) \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{R^{2}g}{2h}$ .......... $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{2F}{\rho A} = \frac{R^{2}g}{2h} \Rightarrow F = \frac{R^{2}g \rho A}{4h}$
આપેલ છે $R = 2 \,m$,$g = 10 \,m/s^{2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^{3}$,$A = 10 \,cm^{2} = 10^{-3} \,m^{2}$,અને $h = 1 \,m$:
$F = \frac{(2)^{2} \times 10 \times 1000 \times 10^{-3}}{4 \times 1} = 10 \,N$.

(C) અદબનીય,શ્યાનતા રહિત પ્રવાહીના સુરેખ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho g h = \text{અચળ}$
આપેલ આડી પાઇપમાં,ઊંચાઈ $h$ તમામ વિભાગો માટે અચળ છે.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = \text{અચળ}$
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$. પાઇપનો વચ્ચેનો ભાગ સાંકડો હોવાથી ($A$ નાનું છે),પ્રવાહનો દર જાળવી રાખવા માટે તે વિભાગમાં પ્રવાહીનો વેગ $(v)$ વધવો જોઈએ.
જેમ સાંકડા વિભાગમાં વેગ $v$ વધે છે,તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $p$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,વચ્ચેની ઊભી પાઇપમાં પાણીનું સ્તર ડાબી અને જમણી બાજુના પહોળા વિભાગોમાં રહેલા પાણીના સ્તર કરતા નીચું હશે. સાચું નિરૂપણ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$ થાય છે. સાંકડા વિસ્તારમાં,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે છે,તેથી પ્રવાહીનો વેગ $v$ વધે છે $(v \propto \frac{1}{A})$.
આડા પાઇપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$ થાય છે. સાંકડા વિસ્તારમાં વેગ $v$ વધતો હોવાથી,દબાણ $p$ ઘટવું જોઈએ.
જેમ સાંકડા વિસ્તારમાં હવાના પરપોટા પરનું બાહ્ય દબાણ ઘટે છે,તેમ પરપોટાની અંદરની હવા વિસ્તરે છે,જેના કારણે પરપોટા કદમાં મોટા થાય છે. આમ,પરપોટા વધુ ઝડપે ગતિ કરે છે અને કદમાં મોટા હોય છે.

(B) ધારો કે $A_1$ એ પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ છે અને $v_1$ એ આ પ્રદેશમાં રક્તનો વેગ છે.
તે જ રીતે,$A_2$ અને $v_2$ એ પ્રદેશ $II$ માં ક્ષેત્રફળ અને વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
જેમ કે $A_1 > A_2$,તેથી $v_2 > v_1$.
હવે,બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$.
જેમ કે $v_2 > v_1$,તેથી $p_2 < p_1$.
આમ,જ્યારે પ્લેટલેટ્સ સંકોચનમાં પ્રવેશ કરે છે ત્યારે પ્રદેશ $II$ માં દબાણ ઓછું હોય છે.

(C) આડી પાઇપ માટે, પાઇપની ઊંચાઈ $h$ તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે।
એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઉર્જા $\rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે, $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે, અને $h$ એ ઊંચાઈ છે, તેથી આ રાશિ સમગ્ર પ્રવાહ દરમિયાન અચળ રહે છે।
અસમાન પાઇપમાં, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય છે, જેના કારણે સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ વેગ $v$ બદલાય છે।
પરિણામે, બર્નુલીના સિદ્ધાંતને સંતોષવા માટે એકમ કદ દીઠ ગતિ ઉર્જા $(\frac{1}{2}\rho v^2)$ અને દબાણ ઉર્જા $(P)$ પાઇપની સાથે બદલાય છે।
તેથી, એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઉર્જા એ રાશિ છે જે બદલાતી નથી।

(D) વેગ હેડ (velocity head) નું સૂત્ર $\frac{v^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગ $v = 4 \, m/s$ આપેલ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ લેતા.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{વેગ હેડ} = \frac{4^2}{2 \times 10} = \frac{16}{20} = 0.8 \, m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પ્રવાહીની એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જાનું સૂત્ર: $\frac{KE}{V} = \frac{1}{2} \rho v^2$ છે.
અહીં,પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \, kg/m^3$ અને ઝડપ $v = 2 \, m/s$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{KE}{V} = \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$
$\frac{KE}{V} = \frac{1}{2} \times 1000 \times 4$
$\frac{KE}{V} = 2000 \, J/m^3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) બર્નુલીના સિદ્ધાંત અને સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
બિંદુ $A$ અને $B$ ની સરખામણી કરતા:
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_A V_A = A_B V_B$.
અહીં $A_A < A_B$ હોવાથી,$V_A > V_B$ થાય.
$A$ અને $B$ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ (સમાન ઊંચાઈ પર) લાગુ પાડતા: $P_A + \frac{1}{2} \rho V_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho V_B^2$.
$V_A > V_B$ હોવાથી,$\frac{1}{2} \rho V_A^2 > \frac{1}{2} \rho V_B^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $P_A < P_B$ ... $(1)$.
બિંદુ $B$ અને $C$ ની સરખામણી કરતા:
$A_B = A_C$ હોવાથી,પ્રવાહીનો વેગ સમાન રહેશે,એટલે કે $V_B = V_C$.
બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા: $P_B + \frac{1}{2} \rho V_B^2 + \rho g h_B = P_C + \frac{1}{2} \rho V_C^2 + \rho g h_C$.
$V_B = V_C$ હોવાથી,આ સમીકરણ $P_B + \rho g h_B = P_C + \rho g h_C$ માં પરિણમે છે.
અહીં $h_B > h_C$ હોવાથી,$P_B < P_C$ મળે ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ ને જોડતા,આપણને $P_A < P_B < P_C$ મળે છે.

(A) આડા પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
જ્યાં $P_1$ અને $v_1$ એ ઉપરની સપાટી પરનું દબાણ અને વેગ છે,અને $P_2$ અને $v_2$ એ નીચેની સપાટી પરનું દબાણ અને વેગ છે.
દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_2 - P_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
આપેલ છે: $\rho = 1.293 \, kg/m^3$,$v_1 = 60 \, m/s$,$v_2 = 45 \, m/s$.
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.293 \times (60^2 - 45^2)$
$\Delta P = 0.6465 \times (3600 - 2025)$
$\Delta P = 0.6465 \times 1575$
$\Delta P \approx 1018.23 \, N/m^2$.
આમ,દબાણનો તફાવત આશરે $1018 \, N/m^2$ છે.

(D) લિફ્ટ ફોર્સ $F_L$ એ એરક્રાફ્ટના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F_L = mg = (5.4 \times 10^5 \, kg) \times (10 \, m/s^2) = 5.4 \times 10^6 \, N$.
નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = P_2 - P_1$ એ $\Delta P = \frac{F_L}{A} = \frac{5.4 \times 10^6 \, N}{500 \, m^2} = 1.08 \times 10^4 \, Pa$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$,જ્યાં $v_1$ એ નીચેની સપાટી પરની ઝડપ છે અને $v_2$ એ ઉપરની સપાટી પરની ઝડપ છે.
$P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) = \frac{1}{2} \rho (v_1 - v_2)(v_1 + v_2)$.
એરક્રાફ્ટની ઝડપ $v = 1080 \, km/h = 1080 \times \frac{5}{18} \, m/s = 300 \, m/s$ છે. ધારો કે $v_1 + v_2 \approx 2v = 600 \, m/s$.
$1.08 \times 10^4 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2 - v_1) \times 600$.
$1.08 \times 10^4 = 360 \times (v_2 - v_1) \implies v_2 - v_1 = \frac{10800}{360} = 30 \, m/s$.
આંશિક વધારો $\frac{v_2 - v_1}{v} \times 100 = \frac{30}{300} \times 100 = 10 \%$ છે.

(D) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 1.25 \times 10^3 \, kg \, m^{-3}$, $A_1 = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2$, $A_2 = 5 \, cm^2 = 5 \times 10^{-4} \, m^2$, $\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \, N \, m^{-2}$.
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
તેથી, $v_1 = \frac{A_2}{A_1} v_2 = \frac{5}{10} v_2 = 0.5 v_2$.
ક્ષૈતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
$v_1 = 0.5 v_2$ મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} \times (1.25 \times 10^3) \times (v_2^2 - (0.5 v_2)^2)$.
$3 = 0.625 \times 10^3 \times (v_2^2 - 0.25 v_2^2) = 0.625 \times 10^3 \times 0.75 v_2^2$.
$3 = 468.75 v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{3}{468.75} = 0.0064$.
$v_2 = \sqrt{0.0064} = 0.08 \, m \, s^{-1}$.
પ્રવાહ દર (ડિસ્ચાર્જ) $Q = A_2 v_2 = (5 \times 10^{-4} \, m^2) \times (0.08 \, m \, s^{-1}) = 40 \times 10^{-6} \, m^3 \, s^{-1} = 4 \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$.
$x \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ છે:
$A$ આગળ ક્ષેત્રફળ,$A_A = 1.5 \, cm^2 = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$
$B$ આગળ ક્ષેત્રફળ,$A_B = 25 \, mm^2 = 25 \times 10^{-6} \, m^2$
$B$ આગળ વેગ,$v_B = 60 \, cm/s = 0.6 \, m/s$
ઘનતા,$\rho = 1000 \, kg/m^3$
સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_A v_A = A_B v_B$:
$1.5 \times 10^{-4} \times v_A = 25 \times 10^{-6} \times 0.6$
$v_A = \frac{25 \times 10^{-6} \times 0.6}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{15 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = 10 \times 10^{-2} = 0.1 \, m/s$
સમક્ષિતિજ નળી માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.1)^2)$
$P_A - P_B = 500 \times (0.36 - 0.01)$
$P_A - P_B = 500 \times 0.35 = 175 \, Pa$

(C) વેન્ચ્યુરી-મીટર એ પાઇપમાંથી વહેતા પ્રવાહીના પ્રવાહનો દર માપવા માટેનું સાધન છે.
તે બર્નુલીના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને શાંત પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
જ્યારે પ્રવાહી વેન્ચ્યુરી-મીટરના સાંકડા ભાગ (ગળા) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેનો વેગ વધે છે,જેના પરિણામે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ દબાણમાં ઘટાડો થાય છે.
પહોળા ભાગ અને ગળા વચ્ચેના દબાણના તફાવતને માપીને,પ્રવાહનો દર ગણી શકાય છે.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,આડા પ્રવાહ માટે કુલ દબાણ (સ્થિર દબાણ + ગતિશીલ દબાણ) અચળ રહે છે.
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
જ્યાં $P_1$ એ પાણી સ્થિર હોય ત્યારનું પ્રારંભિક દબાણ $(4.5 \times 10^4 \ N/m^2)$ છે,$P_2$ એ પાણી વહેતું હોય ત્યારનું દબાણ $(2.0 \times 10^4 \ N/m^2)$ છે,અને $\rho$ એ પાણીની ઘનતા $(10^3 \ kg/m^3)$ છે.
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$
$(4.5 \times 10^4) - (2.0 \times 10^4) = \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$
$2.5 \times 10^4 = 0.5 \times 10^3 \times v^2$
$v^2 = \frac{2.5 \times 10^4}{0.5 \times 10^3} = 5 \times 10 = 50$
$v = \sqrt{50} \ m/s$
આપેલ છે કે વેગ $\sqrt{V} \ m/s$ છે,તેથી $\sqrt{V} = \sqrt{50}$.
આમ,$V = 50$.

(B) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પાંખની નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_1$ એ ઉપરની સપાટી પરની ઝડપ છે અને $v_2$ એ નીચેની સપાટી પરની ઝડપ છે।
લિફ્ટ બળ $F$ ની ગણતરી $F = \Delta P \times A$ તરીકે કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પાંખનું ક્ષેત્રફળ છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\rho = 1.2 \,kg/m^3$,$v_1 = 70 \,m/s$,$v_2 = 65 \,m/s$,અને $A = 2 \,m^2$.
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (70^2 - 65^2) \times 2$
$F = 1.2 \times (4900 - 4225)$
$F = 1.2 \times 675 = 810 \,N$.

(D) બંને પાંખોનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times 40 \,m^2 = 80 \,m^2$ છે.
હવાની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવતા:
$V_1 = 180 \,km/h = 180 \times \frac{5}{18} = 50 \,m/s$ (નીચેની સપાટી)
$V_2 = 252 \,km/h = 252 \times \frac{5}{18} = 70 \,m/s$ (ઉપરની સપાટી)
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનું દબાણ તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2$ એ લિફ્ટ ફોર્સ $F_L$ આપે છે:
$F_L = (P_1 - P_2) A = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2) A$
સમતલ ઉડાન માટે,લિફ્ટ ફોર્સ વિમાનના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$mg = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2) A$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$m \times 10 = \frac{1}{2} \times 1 \times (70^2 - 50^2) \times 80$
$10m = 40 \times (4900 - 2500)$
$10m = 40 \times 2400$
$10m = 96000$
$m = 9600 \,kg$.

(B) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને ધારારેખી વહન ધરાવતા તરલ માટે,દબાણ ઉર્જા,એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઉર્જા અને એકમ કદ દીઠ ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $P + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$.
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$\rho$ એ તરલની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$h$ એ ઊંચાઈ છે અને $v$ એ તરલનો વેગ છે.

(D) ટ્રેનના સંદર્ભ ફ્રેમનો વિચાર કરો. આ ફ્રેમમાં,ટ્રેન સ્થિર છે અને ટનલ $v_t$ ઝડપે ગતિ કરે છે. ટ્રેનની આગળની હવા $v_t$ ઝડપે ટ્રેન તરફ ગતિ કરે છે.
ધારો કે ટ્રેન અને ટનલની દીવાલો વચ્ચેની જગ્યામાં હવાની ઝડપ ટ્રેનની સાપેક્ષમાં $v$ છે. જગ્યાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{gap} = S_0 - S_t = 4S_t - S_t = 3S_t$ છે.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં હવાના પ્રવાહ માટે સાતત્ય સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$S_0 v_t = A_{gap} v$
$4S_t v_t = 3S_t v$
$v = \frac{4}{3} v_t$
હવે,ટ્રેનની આગળથી ગેપ વિસ્તાર સુધીના સ્ટ્રીમલાઇન પર હવાના પ્રવાહ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$p_0 + \frac{1}{2} \rho v_t^2 = p + \frac{1}{2} \rho v^2$
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho (v^2 - v_t^2)$
$v = \frac{4}{3} v_t$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho ((\frac{4}{3} v_t)^2 - v_t^2)$
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho (\frac{16}{9} v_t^2 - v_t^2)$
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho (\frac{7}{9} v_t^2) = \frac{7}{18} \rho v_t^2$
આને આપેલ સમીકરણ $p_0 - p = \frac{7}{2N} \rho v_t^2$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{7}{2N} = \frac{7}{18}$
$2N = 18$
$N = 9$

(A, B, C, D) દળનો પ્રવાહ દર: $\frac{dm}{dt} = \rho_1 A_1 v_1 = 0.8 \ kg/s$.
નીચેના છેડે વેગ: $v_1 = \frac{0.8}{0.2 \times 0.1} = 40 \ m/s$.
એડિબેટિક વિસ્તરણ માટે: $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$,તેથી $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.
આપેલ છે $\gamma=2$,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{300}{150}\right)^2 = 4 \implies P_2 = 600 \times \frac{1}{4} = 150 \ Pa$.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $\rho = \frac{PM}{RT}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = \left(\frac{600}{150}\right)\left(\frac{150}{300}\right) = 2 \implies \rho_2 = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ kg/m^3$.
ઉપરના છેડે વેગ: $v_2 = \frac{0.8}{\rho_2 A_2} = \frac{0.8}{0.1 \times 0.4} = 20 \ m/s$.
સંકુચિત પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા (ઉર્જા સંરક્ષણ): $\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{P_1}{\rho_1} + \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{P_2}{\rho_2} + \frac{1}{2}v_2^2 + gh$.
$\frac{2}{1} \frac{600}{0.2} + \frac{1}{2}(40)^2 = \frac{2}{1} \frac{150}{0.1} + \frac{1}{2}(20)^2 + 10h$.
$6000 + 800 = 3000 + 200 + 10h \implies 6800 = 3200 + 10h \implies 10h = 3600 \implies h = 360 \ m$.

(A) આડી પાઈપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
જ્યારે વાલ્વ બંધ હોય,ત્યારે પાણીનો વેગ $v_1 = 0$ છે અને દબાણ $P_1$ છે.
જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનો વેગ $v$ છે અને દબાણ $P_2$ છે.
બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho (0)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$.
પદોને ગોઠવતા: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{2}{\rho}} \times \sqrt{P_1 - P_2}$.
અહીં $\rho$ (પાણીની ઘનતા) અચળ હોવાથી,ઝડપ $v$ એ $\sqrt{P_1 - P_2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $1$ પાણીની ઉપરની સપાટી છે અને બિંદુ $2$ છિદ્ર છે.
બિંદુ $1$ અને $2$ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ કરતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
અહીં,$P_1 = P_0 + \frac{F}{A} = P_0 + \frac{mg}{A}$,જ્યાં $m = 50 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $A = 0.5 \ m^2$.
$P_1 = P_0 + \frac{50 \times 10}{0.5} = P_0 + 1000 \ Pa$.
$P_2 = P_0$ (વાતાવરણીય દબાણ).
ઊંચાઈનો તફાવત $h = h_1 - h_2 = 1.6 \ m - 0.9 \ m = 0.7 \ m$.
ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ મોટું હોવાથી,$v_1 \approx 0$.
કિંમતો મૂકતા:
$(P_0 + 1000) + 0 + \rho g (0.7) = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$1000 + 1000 \times 10 \times 0.7 = \frac{1}{2} \times 1000 \times v_2^2$
$1000 + 7000 = 500 \times v_2^2$
$8000 = 500 \times v_2^2$
$v_2^2 = 16$
$v_2 = 4 \ m/s$.

(C) સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
આપેલ છે $A_1 = 2 \times 10^{-2} \ m^2$,$V_1 = 2 \ m/s$,અને $A_2 = 0.01 \ m^2 = 10^{-2} \ m^2$.
$(2 \times 10^{-2})(2) = (10^{-2}) V_2$.
$V_2 = 4 \ m/s$.
આડી પાઈપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$: $P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ લેતા.
$4 \times 10^4 + \frac{1}{2}(10^3)(2)^2 = P_2 + \frac{1}{2}(10^3)(4)^2$.
$40000 + 2000 = P_2 + 8000$.
$P_2 = 42000 - 8000 = 34000 \ Pa = 3.4 \times 10^4 \ Pa$.

(C) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે, $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
ઘરની અંદર હવા સ્થિર છે, તેથી $v_1 = 0$ અને $P_1 = P_{atm}$.
ઘરની બહાર પવનની ઝડપ $v_2 = 50 \,m/s$ છે અને દબાણ $P_2$ છે।
આમ, $P_{atm} = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$, જે દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{atm} - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$ આપે છે।
કિંમતો મૂકતા: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \,kg/m^3 \times (50 \,m/s)^2 = 0.6 \times 2500 = 1500 \,N/m^2$.
છાપરા પર લાગતું બળ $F = \Delta P \times A = 1500 \,N/m^2 \times 300 \,m^2 = 4.5 \times 10^5 \,N$ થાય.

(C) $1$. સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા, $A_1 v_1 = A_2 v_2$. આપેલ છે $A_1 = 10 \,cm^2$, $v_1 = 1 \,m/s$, અને $A_2 = 5 \,cm^2$. તેથી, $10 \times 1 = 5 \times v_2$, જે આપણને $v_2 = 2 \,m/s$ આપે છે.
$2$. પાઇપલાઇન આડી હોવાથી, ઊંચાઈ $h_1 = h_2$ સમાન રહેશે। બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$3$. કિંમતો મૂકતા: $2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$.
$4$. $2000 + 500 = P_2 + 2000$.
$5$. $2500 = P_2 + 2000$, તેથી $P_2 = 500 \,Pa$.

(B) આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે:
$P_1 + \frac{1}{2} \varrho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho V_2^2$
આપેલ છે:
$P_1 = P$,$V_1 = V$,$V_2 = 3V$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (3V)^2$
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (9V^2)$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \varrho V^2 - \frac{9}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - 4 \varrho V^2$
આમ,બીજા બિંદુએ દબાણ $P - 4 \varrho V^2$ છે.

(A) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 1.25 \times 10^3 \ kg/m^3$,$A_1 = 10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2$,$A_2 = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,$\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \ N/m^2$.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$
$3 = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^3 \times (v_2^2 - v_1^2)$
$v_2^2 - v_1^2 = \frac{6}{1.25 \times 10^3} = 4.8 \times 10^{-3} \dots (i)$
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$:
$10 \times 10^{-4} \times v_1 = 5 \times 10^{-4} \times v_2 \Rightarrow v_2 = 2v_1 \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$(2v_1)^2 - v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3}$
$3v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3} \Rightarrow v_1^2 = 1.6 \times 10^{-3}$
$v_1 = \sqrt{1.6 \times 10^{-3}} \approx 0.04 \ m/s$
વહનનો દર $Q = A_1 v_1 = 10 \times 10^{-4} \times 0.04 = 4 \times 10^{-5} \ m^3/s$.

(D) આડા પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
આપેલ છે: $P_1 = P$,$v_1 = v$,અને $v_2 = 3v$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (3v)^2$
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - 4 \rho v^2$

(C) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 V_1 = A_2 V_2$:
$10 \,cm^2 \times V_1 = 5 \,cm^2 \times 60 \,cm/s$
$V_1 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$
$V_2 = 60 \,cm/s = 0.6 \,m/s$
ક્ષૈતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2)$:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$ લેતા:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.3)^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (0.36 - 0.09)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 0.27 = 135 \,N/m^2$

(C) ગતિશીલ પ્રવાહી માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ,પ્રવાહ રેખા પર એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
ધારો કે પાઇપ આડી છે અને પાઇપની અંદરનો પ્રારંભિક વેગ $v_1$ નગણ્ય છે $(v_1 \approx 0)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
કારણ કે $v_1 = 0$ છે,તેથી સમીકરણ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_1 V_1 = A_2 V_2$.
જ્યાં $Av$ નો ગુણાકાર અચળ હોવાથી,સૌથી સાંકડા ભાગમાં જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ન્યૂનતમ હોય છે,ત્યાં વેગ $v$ મહત્તમ હશે.
આડા પાઈપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ ($h$ અચળ છે),$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$.
જેમ વેગ $v$ વધે છે,તેમ સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,સૌથી સાંકડા ભાગમાં વેગ મહત્તમ અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(C) વેન્ચ્યુરીમીટર એ પાઇપમાંથી વહેતા અદબનીય પ્રવાહીના વહનનો દર માપવા માટે વપરાતું સાધન છે. તે બર્નુલીના પ્રમેયના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જેમાં પાઇપમાં રહેલો સાંકડો ભાગ દબાણમાં ઘટાડો કરે છે જે પ્રવાહના દરના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$.
પ્રવાહનો દર અચળ હોવાથી,જો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે,તો વેગ $V$ વધવો જોઈએ.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,$P + \frac{1}{2}\rho V^{2} = \text{constant}$.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ વેગ $V$ વધે છે,તેમ દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,પાઇપના સૌથી સાંકડા ભાગમાં,વેગ મહત્તમ હોય છે અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીના સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
જ્યારે બે લટકાવેલા દડાઓ વચ્ચેની જગ્યામાંથી હવાના પ્રવાહને ફૂંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તારમાં હવાનો વેગ વધે છે.
જેમ વેગ વધે છે,તેમ તે વિસ્તારમાં દબાણ દડાઓની બહારની બાજુએ રહેલા વાતાવરણીય દબાણની સરખામણીમાં ઘટે છે.
આ દબાણનો તફાવત દડાઓ પર ચોખ્ખું બળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે તેમને એકબીજાની નજીક ધકેલે છે.
તેથી,દડાઓ વચ્ચેનું અંતર ઘટશે.