Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension Questions in Gujarati

(B) જ્યારે પાણી ધરાવતા નળાકાર પાત્રને તેની ઊભી મધ્ય અક્ષની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીનો દરેક કણ પરિભ્રમણની અક્ષથી ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ લાગતા કેન્દ્રત્યાગી બળનો અનુભવ કરે છે.
આ કેન્દ્રત્યાગી બળ પાણીના કણોને પાત્રની દીવાલો તરફ ધકેલે છે.
પરિણામે,પાત્રની બાજુઓ પાસે પાણીનું સ્તર વધે છે,જ્યારે કેન્દ્ર (અક્ષની નજીક) પાસે પાણીનું સ્તર ઘટે છે,જે પરવલયાકાર આકાર બનાવે છે.
તેથી,પાણીની સપાટી બાજુઓથી ઉપર તરફ જાય છે.

(C) જ્યારે બોટલને ઊર્ધ્વ વર્તુળમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી (જે ગેસના પરપોટા કરતા વધુ ઘન હોય છે) પરિભ્રમણના કેન્દ્રથી દૂરની દિશામાં મોટું કેન્દ્રત્યાગી બળ અનુભવે છે.
આ કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે પ્રવાહી બોટલના તળિયા તરફ ધકેલાય છે,તેથી હલકા ગેસના પરપોટા ઓછા કેન્દ્રત્યાગી બળવાળા વિસ્તાર તરફ એટલે કે બોટલના ગળાની નજીક સ્થાનાંતરિત થાય છે.

(D) ધારો કે જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે ત્યારે સામાન્ય ઊંચાઈ $h$ છે. દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીનું કુલ કદ અચળ રહે છે:
$A h_1 + A h_2 = A h + A h = 2Ah$
$h = \frac{h_1 + h_2}{2}$
તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા એ દરેક પાત્રમાં રહેલા પ્રવાહીની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે. નળાકાર પાત્રમાં પ્રવાહીનું ગુરુત્વકેન્દ્ર તેની ઊંચાઈના અડધા ભાગ પર હોય છે:
$U_i = (A h_1 \rho) g \frac{h_1}{2} + (A h_2 \rho) g \frac{h_2}{2} = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2)$
પાત્રોને જોડ્યા પછી,દરેક પાત્રમાં અંતિમ ઊંચાઈ $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ થાય છે. તંત્રની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા:
$U_f = 2 \times (A h \rho) g \frac{h}{2} = A \rho g h^2 = A \rho g \left( \frac{h_1 + h_2}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો છે:
$W = U_i - U_f = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2) - \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
$W = \frac{1}{4} A \rho g [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1 h_2)]$
$W = \frac{1}{4} A \rho g (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1 h_2) = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 - h_2)^2$

(C) પાઇપના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને પાણીનો વેગ $v$ હોય ત્યારે પંપ માટે જરૂરી પાવર $P = \frac{1}{2} \rho A v^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ એ પાણીની ઘનતા છે。
તે જ સમયમાં કદનો પ્રવાહ દર $Q = Av$ બમણો કરવો હોવાથી, વેગ $v$ ને બમણો કરવો પડે $(v' = 2v)$。
આ કિંમત પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P' = \frac{1}{2} \rho A (2v)^3 = \frac{1}{2} \rho A (8v^3) = 8P$.
તેથી, મોટરની પાવર મૂળ પાવર કરતા $8$ ગણી વધારવી પડશે。

(A) પાવર એટલે કાર્ય કરવાનો દર,જેને $P = \frac{W}{t}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
દબાણ દ્વારા થતું કાર્ય $W = P \times \Delta V$ હોવાથી,પાવર $P = \frac{P \times \Delta V}{t}$ થાય.
આપેલ છે:
દબાણ $(P)$ = $20000 \ N/m^2$
કદ $(\Delta V)$ = $1 \ cc = 1 \ cm^3 = 1 \times 10^{-6} \ m^3$
સમય $(t)$ = $1 \ s$
કિંમતો મૂકતા:
$P = \frac{20000 \times 1 \times 10^{-6}}{1} \ W$
$P = 2 \times 10^4 \times 10^{-6} \ W$
$P = 2 \times 10^{-2} \ W = 0.02 \ W$.

(D) જ્યારે પાણીને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નીચે મુજબના ફેરફારો થાય છે:
$1$. પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ તાપમાન સાથે વધે છે,જે પરપોટાની અંદર વધુ દબાણ પેદા કરે છે,જેના કારણે તે વિસ્તરે છે.
$2$. જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પરપોટાની અંદરના હવાના અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જેનાથી તેમનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ વધે છે,જે પરપોટાની દીવાલો પર હવા દ્વારા લાગતું દબાણ વધારે છે.
$3$. તાપમાન વધવાની સાથે પાણીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે. પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = 2T/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી પૃષ્ઠતાણ $(T)$ માં ઘટાડો થવાથી પરપોટો વિસ્તરી શકે છે.
તેથી,આપેલા તમામ પરિબળો પરપોટાના કદમાં વધારો કરવામાં ફાળો આપે છે.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે. હલાવ્યા પછી પ્રવાહીની સપાટી સ્થિર થઈ જાય છે તે ઘટના પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા (viscosity) ને કારણે છે,જે ગતિને ધીમી કરવા માટે આંતરિક ઘર્ષણ પૂરું પાડે છે. અન્ય વિકલ્પો (કપૂરનું નાચવું,પારાના ટીપાંનો ગોળાકાર આકાર,અને પારા દ્વારા કાચનું ન ભીંજાવું) એ પૃષ્ઠતાણના સીધા પરિણામો છે.

(C) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે.
કદનું સંરક્ષણ થતાં: $n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $n = \frac{R^3}{r^3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ મૂકતા,$\Delta A = 4 \pi \left( \frac{R^3}{r} - R^2 \right) = 4 \pi R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi R^3 T \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
આ ઉર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $Q = mS \Delta \theta$,જ્યાં $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
$W = JQ$ લેતા,$4 \pi R^3 T \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = J \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot S \cdot \Delta \theta$.
પાણી માટે,ઘનતા $\rho = 1 \text{ g/cm}^3$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $S = 1 \text{ cal/g}^{\circ}\text{C}$.
તેથી,$\Delta \theta = \frac{3T}{J} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.

(C) ધારો કે વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 75 \ cm$ $Hg$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_0 + h\rho_w g$ છે,જ્યાં $h$ એ તળાવની ઊંડાઈ છે અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_0$ છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
આપેલ છે કે $V_2 = 3V_1$,તેથી $(P_0 + h\rho_w g)V_1 = P_0(3V_1)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $P_0 + h\rho_w g = 3P_0$ અથવા $h\rho_w g = 2P_0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_w = \frac{1}{10} \rho_{Hg}$,આપણે $P_0 = h_{Hg} \rho_{Hg} g$ મૂકીએ જ્યાં $h_{Hg} = 0.75 \ m$ છે.
તેથી,$h (\frac{1}{10} \rho_{Hg}) g = 2 (h_{Hg} \rho_{Hg} g)$.
$h / 10 = 2 \times 0.75$.
$h = 20 \times 0.75 = 15 \ m$.

(D) સંતુલનની સ્થિતિમાં,સળંગ પ્રવાહીમાં એક જ સમક્ષિતિજ સપાટી પર દબાણ સમાન હોય છે.
ધારો કે સમક્ષિતિજ સપાટી ગ્લિસરીન સ્તંભના તળિયે છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બિંદુઓ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $A$ પરનું દબાણ = બિંદુ $B$ પરનું દબાણ.
$A$ પરનું દબાણ $10 \text{ cm}$ ઊંચાઈના ગ્લિસરીન સ્તંભને કારણે છે.
$P_A = h_{\text{glycerin}} \times \rho_{\text{glycerin}} \times g = 10 \times 1.3 \times g$.
$B$ પરનું દબાણ $h$ ઊંચાઈના તેલના સ્તંભ અને $(10 - h)$ ઊંચાઈના મર્ક્યુરીના સ્તંભને કારણે છે.
$P_B = h \times \rho_{\text{oil}} \times g + (10 - h) \times \rho_{\text{mercury}} \times g = h \times 0.8 \times g + (10 - h) \times 13.6 \times g$.
$P_A$ અને $P_B$ ને સરખાવતા:
$10 \times 1.3 \times g = h \times 0.8 \times g + (10 - h) \times 13.6 \times g$.
$g$ વડે ભાગતા:
$13 = 0.8h + 136 - 13.6h$.
$13 = 136 - 12.8h$.
$12.8h = 136 - 13 = 123$.
$h = \frac{123}{12.8} \approx 9.609 \text{ cm}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,તેલના સ્તંભની લંબાઈ $9.6 \text{ cm}$ છે.

(A) જ્યારે નળી કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફરે છે,ત્યારે આડી બાજુઓમાં રહેલું પાણી બહારની તરફ કેન્દ્રત્યાગી બળ અનુભવે છે.
ભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે રહેલા $dm$ દળના પાણીના નાના ઘટક માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ દબાણના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $dP = \rho \omega^2 r dr$.
આનું ધરી $(r=0)$ થી $r$ અંતર સુધી સંકલન કરતા,આપણને $r$ અંતરે દબાણ $P(r) = P_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$ મળે છે,જ્યાં $P_0$ એ ધરી પરનું દબાણ છે.
કારણ કે ઊભી નળીઓમાં પાણીની સપાટી પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી ધરીથી $r$ અંતરે રહેલી નળીમાં પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ એ $\rho gh = P(r) - P_{atm}$ દ્વારા મળે છે.
જેમ $r$ વધે છે,તેમ દબાણ $P(r)$ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે આ દબાણને સંતુલિત કરવા માટે પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h$ વધવી જોઈએ.
નળી $A$ અને $B$ બંને ધરીથી અનુક્રમે $L$ અને $2L$ અંતરે હોવાથી,પાણીના દળના પરિભ્રમણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવા માટે બંને નળીઓમાં પાણીનું સ્તર મધ્ય ધરીના સ્તરની તુલનામાં ઉપર જશે.

(D) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + h \rho g$ છે,જ્યાં $P_{atm} = P \rho g$ ($P \text{ cm}$ પાણી તરીકે આપેલ છે). તેથી,$P_1 = (P + h) \rho g$.
સપાટી પરનું દબાણ $P_2 = P_{atm} = P \rho g$ છે.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળિયે પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે અને સપાટી પર $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3)$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(P + h) \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = P \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi (8r^3)$
બંને બાજુ $\rho g \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ વડે ભાગતા:
$P + h = 8P$
$h$ માટે ઉકેલતા:
$h = 8P - P = 7P$.

(D) અશાંત પ્રવાહમાં,પ્રવાહીની ગતિ વેગ અને દબાણમાં અસ્તવ્યસ્ત,અનિયમિત વધઘટ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. લેમિનર (laminar) પ્રવાહથી વિપરીત,જ્યાં 'નો-સ્લિપ' શરત સખત રીતે સૂચવે છે કે સ્થિર સપાટીના સંપર્કમાં રહેલા પ્રવાહી સ્તરનો વેગ શૂન્ય હોય છે,અશાંત પ્રવાહમાં દીવાલની નજીક જટિલ વમળ રચનાઓ અને બદલાતા વેગના ઢાળ (velocity gradients) હોય છે.
આ અનિયમિત વધઘટ અને અશાંત પ્રવાહમાં સીમા સ્તર (boundary layer) ની ગતિશીલ પ્રકૃતિને કારણે,દીવાલ પરના પ્રવાહી અણુઓનો ત્વરિત વેગ હંમેશા શૂન્ય હોવો જરૂરી નથી. તે સ્થાનિક ત્વરિત પ્રવાહની સ્થિતિના આધારે વિવિધ મૂલ્યો ધરાવી શકે છે. તેથી,અશાંત પ્રવાહમાં,નળીની દીવાલના સંપર્કમાં રહેલા પ્રવાહીના અણુઓનો વેગ કોઈપણ મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,એકમ સમયમાં નળીમાંથી વહેતા પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે,એટલે કે $A_1 v_1 = A_2 v_2$. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે.
આડી નળી માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,એકમ દળ દીઠ કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,એટલે કે $P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$. તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.
બર્નુલીના સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$.
કારણ કે દબાણનો તફાવત ઊભી નળીઓમાં ઊંચાઈના તફાવત $h$ દ્વારા માપવામાં આવે છે,$P_1 - P_2 = h\rho g$.
આ બંનેને સરખાવતા,$h\rho g = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$,જેનું સાદું રૂપ $v_2^2 - v_1^2 = 2gh$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.
આમ,$(a)$,$(b)$ અને $(c)$ ત્રણેય સાચા હોવાથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે ડાબી નળીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને જમણી નળીનું $4A$ છે.
ધારો કે જમણી નળીમાં મર્ક્યુરીના સ્તરમાં થતો વધારો $x \text{ cm}$ છે.
કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ડાબી નળીમાં મર્ક્યુરીના સ્તરમાં થતો ઘટાડો $4x \text{ cm}$ હશે,કારણ કે જમણી નળીનું ક્ષેત્રફળ ડાબી નળી કરતાં $4$ ગણું છે.
શરૂઆતમાં,મર્ક્યુરીનું સ્તર ઉપરથી $36 \text{ cm}$ અંતરે હતું. ઘટાડા પછી,ડાબી નળીમાં મર્ક્યુરીનું સ્તર ઉપરથી $(36 + 4x) \text{ cm}$ ના અંતરે હશે.
હવે,મર્ક્યુરી અને પાણીના સંપર્ક સપાટી પર (ડાબી નળીમાં નવા સ્તર $A'B'$ પર) દબાણને સમાન કરતા:
પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ = જમણી નળીમાં મર્ક્યુરીના સ્તંભમાં થયેલા વધારાને કારણે દબાણ.
$(36 + 4x) \times 1 \times g = (4x + x) \times 13.6 \times g$
$(36 + 4x) = 5x \times 13.6$
$36 + 4x = 68x$
$64x = 36$
$x = \frac{36}{64} = 0.56 \text{ cm}$.

(B) પ્રવાહીની સપાટી પરના બે બિંદુઓ $A$ (કેન્દ્ર પર) અને $B$ (કિનારી પર) ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે $P_A$ અને $P_B$ એ અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના દબાણ છે.
બંને બિંદુઓ પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી પર હોવાથી,$P_A = P_B = P_{atm}$ થાય.
પાત્રના પરિભ્રમણ સંદર્ભમાં,પ્રવાહીના એક કણ પર લાગતું અસરકારક બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ અને કેન્દ્રત્યાગી બળનું સંયોજન છે.
પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહીમાં દબાણનો ફેરફાર $dP = \rho \omega^2 x dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ અક્ષથી અંતર છે.
$x = 0$ થી $x = r$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{P_A}^{P_B} dP = \int_{0}^{r} \rho \omega^2 x dx$
$P_B - P_A = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
અહીં $P_A = P_B$ હોવાથી,આ દબાણનો તફાવત ઊંચાઈના તફાવત $h$ ને કારણે ઉદ્ભવતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના તફાવત દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$P_B - P_A = \rho g h$
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\rho g h = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
$h = \frac{r^2 \omega^2}{2g}$

(B) જ્યારે કપમાં રહેલા પ્રવાહીને હલાવવામાં આવે છે અને તે વમળ વગર ફરે છે,ત્યારે તે કેન્દ્રની નજીક ફોર્સ્ડ વોર્ટેક્સ ગતિ અને દૂર ફ્રી વોર્ટેક્સ ગતિ દર્શાવે છે. જો કે,ચાના સામાન્ય કપમાં,કેન્દ્રની નજીકનું પ્રવાહી કપ સાથે ફરે છે,અને જેમ આપણે કેન્દ્ર $(X=0)$ થી ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ કપની ધાર સુધી જઈએ છીએ,તેમ પ્રવાહીના દ્રઢ પદાર્થ તરીકે પરિભ્રમણને કારણે સ્પર્શક વેગ $v$ રેખીય રીતે $(v = \omega X)$ વધે છે. એકવાર પ્રવાહી સીમા પર પહોંચી જાય,પછી વેગ દીવાલ પર નો-સ્લિપ શરતને સંતોષવો જોઈએ. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,રેખીય સંબંધ $v \propto X$ આલેખ $B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે.

(B) દબાણ વધવાની સાથે બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે બરફ જામતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે,એટલે કે જ્યારે તે પ્રવાહી પાણીમાંથી ઘન બરફમાં ફેરવાય છે ત્યારે તેનું કદ વધે છે. લે ચેટલિયરના સિદ્ધાંત અને ક્લોસિયસ-ક્લેપાયરોન સંબંધ મુજબ,જે પદાર્થો થીજી જતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે,તેમના માટે દબાણમાં વધારો ગલનબિંદુને ઘટાડે છે.

(A) સાપેક્ષ આદ્રતા એટલે હવામાં રહેલી પાણીની વરાળનું પ્રમાણ અને તે તાપમાને હવા મહત્તમ જેટલી વરાળ ધારણ કરી શકે તેના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જ્યારે સાપેક્ષ આદ્રતા ઓછી હોય (દા.ત., $25\%$), ત્યારે હવા સૂકી હોય છે અને તે વધુ ભેજ શોષી શકે છે.
આનાથી આપણી ત્વચા પરથી પરસેવાનું બાષ્પીભવન ઝડપથી થાય છે.
બાષ્પીભવન એ ઉષ્માશોષક પ્રક્રિયા હોવાથી તે શરીરમાંથી ગુપ્ત ઉષ્મા (latent heat) શોષે છે, તેથી બાષ્પીભવનનો દર વધવાથી ઠંડકનો અનુભવ વધુ થાય છે.
તેથી, ઓછી સાપેક્ષ આદ્રતા વાળા દિવસે આપણે વધુ ઠંડક અનુભવીએ છીએ.

(C) સાપેક્ષ આદ્રતા એ આપેલ તાપમાને પાણીની વરાળના આંશિક દબાણ અને પાણીના સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પાણીની વરાળનું આંશિક દબાણ $(P_W)$ = $0.012 \times 10^5 \, Pa$
પાણીનું સંતૃપ્ત બાષ્પ દબાણ $(P_V)$ = $0.016 \times 10^5 \, Pa$
સાપેક્ષ આદ્રતા = $\frac{P_W}{P_V} \times 100\%$
સાપેક્ષ આદ્રતા = $\frac{0.012 \times 10^5}{0.016 \times 10^5} \times 100\%$
સાપેક્ષ આદ્રતા = $\frac{0.012}{0.016} \times 100\% = \frac{12}{16} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$.

(B) $27^{\circ}C$ તાપમાને વજનમાં ઘટાડો $W_1 = 46 - 30 = 16 \, g$ છે. આ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: $V_1 \times \rho_1 \times g = 16 \, g$,જ્યાં $\rho_1 = 1.24 \, g/cm^3$. તેથી,$V_1 = 16 / 1.24 \, cm^3$.
$42^{\circ}C$ તાપમાને વજનમાં ઘટાડો $W_2 = 46 - 30.5 = 15.5 \, g$ છે. આ $V_2 \times \rho_2 \times g = 15.5 \, g$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $\rho_2 = 1.20 \, g/cm^3$. તેથી,$V_2 = 15.5 / 1.20 \, cm^3$.
ધાતુનું કદ પ્રસરણ $V_2 = V_1(1 + \gamma \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma = 3\alpha$ અને $\Delta T = 42 - 27 = 15^{\circ}C$.
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{15.5 / 1.20}{16 / 1.24} = \frac{15.5 \times 1.24}{16 \times 1.20} = \frac{19.22}{19.2} \approx 1.0010416$.
$1 + 3\alpha(15) = 1.0010416$ હોવાથી,$3\alpha(15) = 0.0010416$.
$\alpha = \frac{0.0010416}{45} \approx 2.315 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(D) પ્રસરણ એ કણોનું વધુ સાંદ્રતાવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછી સાંદ્રતાવાળા વિસ્તારમાં ગતિ કરવાની પ્રક્રિયા છે.
વાયુઓમાં,આંતરઆણ્વિય બળો ખૂબ જ નબળા હોય છે અને કણો પાસે ઉચ્ચ ગતિજ ઉર્જા હોય છે,જે તેમને મુક્તપણે અને ઝડપથી ગતિ કરવા દે છે.
પ્રવાહીમાં,કણો વાયુઓ કરતા વધુ નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે,અને ઘન પદાર્થોમાં,તેઓ ખૂબ જ ઓછી ગતિ કરવાની જગ્યા સાથે ચુસ્તપણે ગોઠવાયેલા હોય છે.
તેથી,આંતરઆણ્વિય અવકાશ અને ગતિજ ઉર્જામાં તફાવતને કારણે પ્રસરણનો દર વાયુઓમાં સૌથી વધુ,ત્યારબાદ પ્રવાહીમાં અને ઘન પદાર્થોમાં સૌથી ઓછો હોય છે.

(D) શરૂઆતમાં,જેમ જેમ ખાલી પાત્રમાં વરાળ દાખલ કરવામાં આવે છે,તેમ વરાળના મોલની સંખ્યા વધે છે,જેના કારણે દબાણ વધે છે.
જ્યારે દબાણ આપેલા તાપમાને સંતૃપ્ત વરાળના દબાણ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે વરાળ પ્રવાહીમાં રૂપાંતરિત થવાનું શરૂ કરે છે.
એકવાર સિસ્ટમ પ્રવાહી અને વરાળ અવસ્થાઓ વચ્ચે ગતિશીલ સંતુલન પ્રાપ્ત કરી લે,પછી વરાળના સતત દરે વધુ ઇન્જેક્શન આપવા છતાં દબાણ અચળ રહે છે.

(C) તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $H$ એ તળાવની ઊંડાઈ છે.
તળિયે,દબાણ $P_1 = P_0 + \rho gH$ છે.
તળિયે કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_0$ છે.
સપાટી પર કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (5r/4)^3 = \frac{4}{3} \pi r^3 (125/64)$ છે.
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ ને સરખાવતા:
$(P_0 + \rho gH) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = P_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 (125/64)$.
$P_0 + \rho gH = P_0 (125/64)$.
$\rho gH = P_0 (125/64 - 1) = P_0 (61/64)$.
આપેલ છે કે $P_0 = \rho g (10 \, m)$,તેથી $P_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$\rho gH = \rho g (10) (61/64)$.
$H = 10 \times (61/64) = 610 / 64 = 9.53125 \, m$.
આમ,તળાવની ઊંડાઈ આશરે $9.53 \, m$ છે.

(A) વોટર વોલ્ટામીટરમાં,શુદ્ધ પાણી વિદ્યુતનું મંદ વાહક છે.
વિદ્યુતવિભાજનની પ્રક્રિયાને સરળ બનાવવા માટે,પાણીમાં મંદ $H_2SO_4$ જેવા વિદ્યુતવિભાજ્યનો થોડો જથ્થો ઉમેરવામાં આવે છે.
જોકે,જે પદાર્થનું વાસ્તવિક વિદ્યુતવિભાજન (તેના ઘટક તત્વોમાં વિઘટન) થાય છે તે પાણી $(H_2O)$ છે.
તેથી,$H_2O$ નું વિદ્યુતવિભાજન થાય છે.

(C) પાવર $P$ એ કાર્ય કરવાના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \frac{dW}{dt} = \frac{P_{pressure} \cdot dV}{dt} = P_{pressure} \cdot \frac{dV}{dt}$.
પ્રથમ,દબાણ $P_{pressure} = h \cdot \rho \cdot g$ ની ગણતરી કરો:
$h = 0.1 \ m$,$\rho = 13600 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
$P_{pressure} = 0.1 \times 13600 \times 9.8 = 13328 \ Pa$.
ત્યારબાદ,કદના ડિસ્ચાર્જનો દર $\frac{dV}{dt}$ શોધો:
પ્રતિ ધબકારે કદ $= 75 \ cc = 75 \times 10^{-6} \ m^3$.
પ્રતિ સેકન્ડ ધબકારા $= \frac{72}{60} = 1.2 \ s^{-1}$.
$\frac{dV}{dt} = 75 \times 10^{-6} \times 1.2 = 90 \times 10^{-6} \ m^3/s$.
અંતે,પાવરની ગણતરી કરો:
$P = 13328 \times 90 \times 10^{-6} \approx 1.1995 \ W \approx 1.19 \ W$.

(C) દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન સમયમાં $n$ ગણું દળ મેળવવા માટે,નવો દળ પ્રવાહ દર $\left(\frac{dm}{dt}\right)' = n \frac{dm}{dt}$ હોવો જોઈએ.
અહીં $\rho$ અને $A$ અચળ હોવાથી,$v' = nv$ મળે છે.
બળ $F = v \frac{dm}{dt}$ છે.
તેથી,$F' = v' \left(\frac{dm}{dt}\right)' = (nv) (n \frac{dm}{dt}) = n^2 F$.
પાવર $P = Fv$ છે.
તેથી,$P' = F' v' = (n^2 F) (nv) = n^3 P$.
આમ,વેગ,બળ અને પાવરમાં અનુક્રમે $n, n^2, n^3$ ગણો વધારો કરવો પડે.

(D) આડછેદ ધરાવતા પાત્રમાં $h$ ઊંચાઈના પ્રવાહી સ્તંભની સ્થિતિઊર્જા $U = (\text{દળ}) \times g \times (\text{દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ}) = (A \cdot h \cdot d) \cdot g \cdot (h/2) = \frac{1}{2}Adgh^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{1}{2}Adgh_1^2 + \frac{1}{2}Adgh_2^2$.
જ્યારે જોડવામાં આવે,ત્યારે બંને પાત્રમાં અંતિમ ઊંચાઈ $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ થશે.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = 2 \times (\frac{1}{2}Adgh^2) = Adg(\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થતું કાર્ય $W = U_i - U_f = \frac{1}{2}Adg(h_1^2 + h_2^2) - Adg(\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
$W = Adg [\frac{h_1^2 + h_2^2}{2} - \frac{h_1^2 + h_2^2 + 2h_1h_2}{4}] = Adg [\frac{2h_1^2 + 2h_2^2 - h_1^2 - h_2^2 - 2h_1h_2}{4}] = \frac{Adg}{4}(h_1 - h_2)^2$.

(B) ધારો કે તળાવના તળિયે દબાણ અને કદ $P_1$ અને $V_1$ છે,અને સપાટી પર દબાણ અને કદ $P_2$ અને $V_2$ છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળિયે દબાણ $P_1 = P_0 + h \rho_w g$ છે,જ્યાં $P_0$ વાતાવરણીય દબાણ છે,$h = 47.6\, m = 4760\, cm$,$\rho_w = 1\, g/cm^3$,અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 70\, cm$ $Hg = 70 \times 13.6 \times g$ ($dyne/cm^2$ માં).
તળિયે દબાણ $P_1 = (70 \times 13.6 \times g) + (4760 \times 1 \times g) = g(952 + 4760) = 5712g$.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_0 = 70 \times 13.6 \times g = 952g$.
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5712g \times 50 = 952g \times V_2$
$V_2 = \frac{5712 \times 50}{952} = 6 \times 50 = 300\, cm^3$.

(B) ધારો કે પ્રવાહીની સપાટીના કેન્દ્ર પર એક બિંદુ $A$ છે અને પાત્રની બાજુ પર $A$ ની સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર બિંદુ $B$ છે.
ભ્રમણ કરતી ફ્રેમમાં બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્ર અને બાજુ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત ઊંચાઈ $h$ ને કારણે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P_B - P_A = h \rho g$
ભ્રમણ કરતી ફ્રેમમાં,કેન્દ્રત્યાગી બળને કારણે અસરકારક દબાણનો તફાવત છે:
$P_B - P_A = \int_0^r \rho \omega^2 x \, dx = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
દબાણના તફાવત માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$h \rho g = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
$h = \frac{r^2 \omega^2}{2g}$

(D) આપેલ છે:
પંપ કરેલ લોહીનું કદ, $V = 5 \, \text{litres} = 5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$.
સમય, $t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}$.
દબાણ, $P = 150 \, \text{mm of Hg} = 0.15 \, \text{m of Hg}$.
મર્ક્યુરીની ઘનતા, $\rho = 13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.
પ્રથમ, $P = h \rho g$ નો ઉપયોગ કરીને દબાણ $\text{N/m}^2$ માં શોધો:
$P = (0.15 \, \text{m}) \times (13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3) \times (10 \, \text{m/s}^2)$
$P = 20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2$.
હવે, $Power = \frac{P \times V}{t}$ નો ઉપયોગ કરીને પાવર શોધો:
$Power = \frac{(20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2) \times (5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3)}{60 \, \text{s}}$
$Power = \frac{20.4 \times 5}{60} \, \text{W}$
$Power = \frac{102}{60} \, \text{W} = 1.7 \, \text{W}$.

(B) જ્યારે પાણીનું એક ટીપું બે ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે દળ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ સિસ્ટમનું કુલ દળ સમાન રહે છે.
ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને બે નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે. દળ સંરક્ષિત હોવાથી,કુલ કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 2r^3$ અથવા $R = 2^{1/3} r$ મળે છે.
કુલ દળ એ વ્યક્તિગત ટીપાંના દળનો સરવાળો હોવાથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે. આ પ્રક્રિયા દરમિયાન સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે અને સપાટી ઉર્જામાં ફેરફારને કારણે તાપમાનમાં ફેરફાર થઈ શકે છે.

(D) આપેલ છે: $a = g/2$. ધારો કે ડાબી બાજુના પ્રવાહીનું સ્તર $x$ જેટલું વધે છે અને જમણી બાજુના સ્તરમાં $x$ જેટલો ઘટાડો થાય છે. બિંદુ $A$ (ડાબો ખૂણો) પર દબાણ $P_A = P_0 + \rho g h + 2\rho g(h-x) = P_0 + 3\rho g h - 2\rho g x$ છે.
બિંદુ $B$ (જમણો ખૂણો) પર દબાણ $P_B = P_0 + \rho g x$ છે.
આડા પ્રવેગને કારણે $A$ અને $B$ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $P_A - P_B = (2\rho) \cdot (2h) \cdot a$ થાય.
$P_A - P_B = (2\rho)(2h)(g/2) = 2\rho g h$.
$P_A$ અને $P_B$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$(P_0 + 3\rho g h - 2\rho g x) - (P_0 + \rho g x) = 2\rho g h$.
$3\rho g h - 3\rho g x = 2\rho g h$.
$\rho g h = 3\rho g x \implies x = h/3$.
ઊંચાઈનો તફાવત $\Delta H = (h+x) - (h-x) = 2x = 2h/3$ થાય.
આથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) ધારો કે (ડોલ $+$ પાણી) નું દળ $M$ છે. વજનનું દળ $M/2$ છે.
સિસ્ટમ ગરગડી પર દોરડા દ્વારા જોડાયેલ છે. સિસ્ટમ પરનું કુલ બળ $Mg - (M/2)g = Mg/2$ છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M + M/2 = 3M/2$ છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = \frac{\text{કુલ બળ}}{\text{કુલ દળ}} = \frac{Mg/2}{3M/2} = g/3$ છે.
ડોલ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a = g - g/3 = 2g/3$ થશે.
તળિયે ગેજ દબાણ $P - P_0 = \rho g_{eff} h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\rho = 1000 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 0.15 \ m$.
$P - P_0 = 1000 \times (2 \times 10 / 3) \times 0.15 = 1000 \times (20/3) \times 0.15 = 1000 \times 1 = 1000 \ Pa = 1 \ kPa$.

(B) મુક્ત સપાટી પર $m$ દળનો એક પ્રવાહી કણ ધ્યાનમાં લો. પાત્રના અજડત્વીય ફ્રેમમાં,કણ પર લાગતા અસરકારક બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ),સ્યુડો ફોર્સ ($ma$ ઢાળની નીચેની તરફ) અને નીચેના પ્રવાહી દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી અસરકારક પ્રવેગ સદિશ $\vec{g}_{eff}$ ને લંબ હોવી જોઈએ.
અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
ઢાળની સમાંતર અને લંબ ઘટકો લેતા:
ઢાળને લંબ $\vec{g}$ નો ઘટક = $g\cos\alpha$ (નીચેની તરફ).
ઢાળને સમાંતર $\vec{g}$ નો ઘટક = $g\sin\alpha$ (ઢાળની નીચેની તરફ).
ઢાળને સમાંતર $\vec{a}$ નો ઘટક = $a$ (ઢાળની ઉપરની તરફ).
ઢાળને સમાંતર કુલ અસરકારક પ્રવેગ $a_{||} = g\sin\alpha + a$ (ઢાળની નીચેની તરફ).
ઢાળને લંબ કુલ અસરકારક પ્રવેગ $a_{\perp} = g\cos\alpha$ (નીચેની તરફ).
મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે અસરકારક પ્રવેગના ઘટકોના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\tan\theta = \frac{a_{||}}{a_{\perp}} = \frac{a + g\sin\alpha}{g\cos\alpha}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left[\frac{a+g\sin\alpha}{g\cos\alpha}\right]$.

(C) ધારો કે દરેક ભુજાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $S$ છે. જ્યારે નળી ફરે છે,ત્યારે ભુજા $B$ માં પ્રવાહીનું સ્તર શૂન્ય થઈ જાય છે,અને ભુજા $A$ અને $C$ માં પ્રવાહી ઉપર ચઢે છે. પ્રવાહીનું કુલ કદ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,ભુજા $A$ અને $C$ માં પ્રવાહી $l/2$ જેટલું ઉપર ચઢે છે,જેથી તેની ઊંચાઈ $3l/2$ થાય છે.
ભુજા $A$ (અથવા $C$) ના તળિયે દબાણ $P = P_0 + \rho g (3l/2)$ છે.
ભુજા $A$ ના તળિયે અને પરિભ્રમણની અક્ષ (ભુજા $B$) વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $l$ લંબાઈના આડા વિભાગમાં રહેલા પ્રવાહી માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. આ પ્રવાહી સ્તંભનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અક્ષથી $l/2$ અંતરે છે.
દબાણના તફાવતને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા:
$(P - P_0) S = (\rho S l) \omega^2 (l/2)$
$P - P_0 = \rho g (3l/2)$ મૂકતા:
$\rho g (3l/2) S = \rho S l^2 \omega^2 / 2$
બંને બાજુથી $\rho, S,$ અને $l$ ને દૂર કરતા:
$3g/2 = l \omega^2 / 2$
$\omega^2 = 3g/l$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$

(B) ધારો કે ઘનાકાર ટાંકીની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે ટાંકીને સમક્ષિતિજ દિશામાં $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જ્યાં $\tan \theta = a/g$ થાય છે.
ટાંકીમાં ખાલી થયેલી જગ્યાનું કદ એ ત્રાંસી પાણીની સપાટી દ્વારા બનતા ત્રિકોણીય પ્રિઝમના કદ જેટલું હોય છે. પાછળની દીવાલ પર આ ખાલી જગ્યાની ઊંચાઈ $h = L \tan \theta$ છે.
બહાર ઢોળાયેલા પાણીનું કદ આ ખાલી જગ્યાના કદ જેટલું હોય છે:
$V_{\text{spilled}} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = \frac{1}{2} \times L \times (L \tan \theta) \times L = \frac{L^3 \tan \theta}{2}$.
આપેલ છે કે કુલ કદ $(V_{\text{total}} = L^3)$ નો ત્રીજો ભાગ બહાર ઢોળાય છે:
$\frac{L^3 \tan \theta}{2} = \frac{1}{3} L^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{\tan \theta}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan \theta = \frac{2}{3}$.
$\tan \theta = a/g$ હોવાથી:
$a/g = 2/3 \Rightarrow a = 2g/3$.

(B) નળાકાર સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ આડું બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વક્ર સપાટી પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું આડું બળ એ તે સપાટીના શિરોલંબ પ્રક્ષેપણ પર સમાન પ્રવાહી દ્વારા લાગતા બળ જેટલું હોય છે.
ધારો કે નળાકારની લંબાઈ $L$ છે.
ડાબી બાજુએ $2\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ $F_1 = P_{avg} \times A = (2\rho g \frac{h}{2}) \times (hL) = \rho g h^2 L$ છે.
જમણી બાજુએ $3\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ $F_2 = P_{avg} \times A = (3\rho g \frac{h}{2}) \times (hL) = 1.5 \rho g h^2 L$ છે.
સંતુલન માટે,આ બળો સમાન હોવા જોઈએ. ગણતરી મુજબ,$2h^2 = 3R^2$ લેતા,$h = R\sqrt{3/2}$ મળે છે.

(D) ગેટ એ $R$ ત્રિજ્યા અને $l$ લંબાઈનો અર્ધ-નળાકાર છે. મુક્ત સપાટીથી $h$ ઊંડાઈએ દબાણ $P = \rho g h$ છે.
શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે ગેટની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો,જેની પહોળાઈ $R d\theta$ અને લંબાઈ $l$ છે. મુક્ત સપાટીથી આ પટ્ટીની ઊંડાઈ $h = R(1 - \cos\theta)$ છે.
આ પટ્ટી પરનું દબાણ $P = \rho g R(1 - \cos\theta)$ છે.
આ પટ્ટી પર લાગતું બળ $dF_p = P \cdot dA = \rho g R(1 - \cos\theta) \cdot (l R d\theta) = \rho g R^2 l (1 - \cos\theta) d\theta$ છે.
પીવોટ $O$ ની આસપાસ આ બળને કારણે ટોર્ક $d\tau = dF_p \cdot R \sin\theta = \rho g R^3 l (1 - \cos\theta) \sin\theta d\theta$ છે.
$O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક $\tau$ શોધવા માટે,આપણે $\theta = 0$ થી $\pi$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\tau = \int_{0}^{\pi} \rho g R^3 l (\sin\theta - \sin\theta \cos\theta) d\theta = \rho g R^3 l [-\cos\theta - \frac{\sin^2\theta}{2}]_{0}^{\pi} = \rho g R^3 l [(-(-1) - 0) - (-1 - 0)] = 2 \rho g R^3 l$.
બળ $F$ નીચેની ધાર પર લાગુ કરવામાં આવે છે,જે પીવોટ $O$ થી $R$ અંતરે છે. તેથી,$F$ ને કારણે ટોર્ક $\tau_F = F \cdot R$ છે.
ટોર્કને સરખાવતા: $F \cdot R = 2 \rho g R^3 l$,જે આપણને $F = 2 \rho g R^2 l$ આપે છે.

(A) ધારો કે પાણીમાં ડૂબેલા સળિયાની લંબાઈ $x$ છે. પાણીની બહાર રહેલા સળિયાની લંબાઈ $(2L - x)$ છે.
દોરી જ્યાં બાંધેલી છે તે બિંદુને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,ઉત્પ્લાવક બળને કારણે લાગતું ટોર્ક સળિયાના વજનને કારણે લાગતા ટોર્કને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ઉત્પ્લાવક બળ $B$ ડૂબેલા ભાગના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે ડૂબેલા છેડાથી $x/2$ અંતરે અથવા પીવટથી $(2L - x/2)$ અંતરે છે.
વજન $mg$ સળિયાના કેન્દ્ર પર લાગે છે,જે પીવટથી $L$ અંતરે છે.
પીવટને અનુલક્ષીને મોમેન્ટ લેતા:
$B(2L - x/2) \cos \theta = mg(L \cos \theta)$
જ્યાં $B = \rho_w A x g$ અને $mg = \rho_{rod} A (2L) g$,અને $\rho_{rod} = 0.75 \rho_w$:
$\rho_w A x g (2L - x/2) \cos \theta = 0.75 \rho_w A (2L) g (L \cos \theta)$
$x(2L - x/2) = 0.75(2L^2)$
$2Lx - x^2/2 = 1.5L^2$
$2$ વડે ગુણતા:
$4Lx - x^2 = 3L^2$
$x^2 - 4Lx + 3L^2 = 0$
$(x - L)(x - 3L) = 0$
અહીં $x$ એ $2L$ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ,તેથી $x = L$.
પાણીની બહાર રહેલા સળિયાની લંબાઈ $2L - x = 2L - L = L$ છે.

(A) સાતત્ય સમીકરણ (continuity equation) મુજબ, $A(x)v(x) = \text{અચળ}$, જ્યાં $A(x)$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v(x)$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
ક્ષેત્રફળ $A(x)$ એ $x$ સાથે રેખીય રીતે વધતું હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $A(x) = A_0 + kx$ (જ્યાં $k > 0$).
આમ, વેગ $v(x) = \frac{\text{અચળ}}{A_0 + kx}$.
આડા નળાકાર માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ, $P(x) + \frac{1}{2}\rho v(x)^2 = \text{અચળ}$.
તેથી, $P(x) = \text{અચળ} - \frac{1}{2}\rho \left(\frac{C}{A_0 + kx}\right)^2$, જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.
જેમ $x$ વધે છે, તેમ છેદ $(A_0 + kx)^2$ વધે છે, જેનો અર્થ છે કે પદ $\frac{1}{2}\rho v(x)^2$ ઘટે છે.
પરિણામે, જેમ $x$ વધે તેમ દબાણ $P(x)$ વધવું જોઈએ.
$P(x)$ એ $x$ ના રેખીય વિધેયના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી, $P$ વિરુદ્ધ $x$ નો વક્ર વધતો જશે અને અંતર્મુખ (concave down) હશે, જે આલેખ $A$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ટાંકીમાં પાણીના કદમાં થતો ફેરફારનો દર એ અંદર આવતા પાણીના દર અને બહાર જતા પાણીના દરના તફાવત જેટલો હોય છે.
$A \frac{dh}{dt} = a_1 v_1 - a_2 \sqrt{2gh}$
અહીં $A = 4000 \ cm^2 = 0.4 \ m^2$,$a_1 = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$,$v_1 = 2 \ m/s$,$a_2 = 0.5 \ cm^2 = 0.5 \times 10^{-4} \ m^2$,અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
સ્થાયી અવસ્થાએ,અંદર આવતા પાણીનો દર અને બહાર જતા પાણીનો દર સમાન હોય છે,તેથી $\frac{dh}{dt} = 0$.
$a_1 v_1 = a_2 \sqrt{2gh_{steady}}$
$1 \times 10^{-4} \times 2 = 0.5 \times 10^{-4} \sqrt{2 \times 10 \times h_{steady}}$
$2 = 0.5 \sqrt{20 h_{steady}}$
$4 = \sqrt{20 h_{steady}}$
$16 = 20 h_{steady}$
$h_{steady} = \frac{16}{20} = 0.8 \ m$.
જેમ $t$ વધે છે,તેમ પાણીનું સ્તર $h$ શૂન્યથી વધીને $0.8 \ m$ ની સ્થાયી કિંમત તરફ જાય છે. જેમ $h$ વધે છે તેમ વધારાનો દર $\frac{dh}{dt}$ ઘટે છે કારણ કે બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ વધે છે. આમ,વક્ર નીચેની તરફ અંતર્મુખ (concave) છે અને $0.8 \ m$ ની નજીક પહોંચે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) પાણી એકત્રિત થવાનો દર એ ઓપનિંગ એરિયામાંથી પસાર થતા વરસાદના વેગ સદિશના ફ્લક્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $dV/dt = v \cdot A_{\text{effective}}$ છે,જ્યાં $A_{\text{effective}}$ એ વરસાદની દિશાને લંબ ઓપનિંગ એરિયાનો પ્રક્ષેપ છે.
પ્રથમ પાત્ર માટે,ઓપનિંગ એ $A_1$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું લંબગોળ છે. $A_1$ ક્ષેત્રફળના લંબ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. વરસાદ શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે પડી રહ્યો છે. આમ,$A_1$ ક્ષેત્રફળના લંબ અને વરસાદની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A_1 \cos(30^{\circ}) = A_1 \sqrt{3}/2$ છે. કારણ કે $A_1 = A / \cos(30^{\circ}) = A / (\sqrt{3}/2) = 2A/\sqrt{3}$,તેથી અસરકારક ક્ષેત્રફળ $(2A/\sqrt{3}) \times (\sqrt{3}/2) = A$ થાય છે.
બીજા પાત્ર માટે,ઓપનિંગ એ શિરોલંબને લંબ $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વર્તુળ છે. વરસાદ શિરોલંબ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે. અસરકારક ક્ષેત્રફળ $A \cos(60^{\circ}) = A/2$ છે.
પાણી એકત્રિત થવાના દરનો ગુણોત્તર $(A \cdot v) / ((A/2) \cdot v) = 2$ છે.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_1v_1 = A_2v_2$. જ્યારે નળીનો આડછેદ $A$ ઘટે છે, ત્યારે સતત પ્રવાહ જાળવી રાખવા માટે પાણીનો વેગ $v$ વધવો જોઈએ.
ક્ષૈતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, $p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{અચળ}$. આનો અર્થ એ છે કે જ્યાં વેગ $v$ વધે છે, ત્યાં દબાણ $p$ ઘટવું જોઈએ.
આપેલ નળીમાં, આડછેદ શરૂઆતમાં અચળ છે, પછી તે સાંકડો થાય છે (ગળું), અને અંતે, તે ફરીથી અચળ થઈ જાય છે. તેથી, પહોળા ભાગોમાં દબાણ અચળ રહેશે અને સાંકડા ભાગમાં (ગળામાં) જ્યાં વેગ વધારે છે ત્યાં દબાણ ઘટશે.
આમ, વિકલ્પ $D$ માંનો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) સપાટી પર રહેલા $m$ દળના પ્રવાહીના ઘટકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ ($mg$ નીચેની તરફ),સ્યુડો ફોર્સ ($ma$ પાછળની તરફ) અને નીચેના પ્રવાહી દ્વારા લાગતું લંબબળ (સપાટીને લંબ) છે.
બીકરના નોન-ઇનર્શિયલ ફ્રેમમાં સપાટી સંતુલનમાં રહે તે માટે,ચોખ્ખું બળ સપાટીને લંબ હોવું જોઈએ.
પાણીની સપાટીનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{\text{લંબ બળ}}{\text{ક્ષૈતિજ બળ}} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(a/g)$.
બીકર $+x$ દિશામાં પ્રવેગિત થતું હોવાથી,પાણીનું સ્તર પાછળની તરફ વધે છે અને આગળની તરફ ઘટે છે,જે બીકરની પાછળની તરફ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
નોંધો કે $\tan^{-1}(a/g) = \cot^{-1}(g/a)$,તેથી વિકલ્પ $A$ અને $C$ બંને સમાન ભૌતિક ખૂણો દર્શાવે છે.

(D) $1$. પાત્રના પાયા પરનું દબાણ $P = \rho g H$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $H = 2h$. તેથી,$P = 2h\rho g$.
$2$. પાયા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતું બળ $F = P \times A = 2h\rho gA$ છે.
$3$. નીચેના વિભાગનું કદ $V_1 = A \times h$ છે. ઉપરના શંકુ આકારના વિભાગનું કદ $V_2 = \frac{h}{3}(A + a + \sqrt{Aa})$ છે. પ્રવાહીનું કુલ વજન $W = \rho g(V_1 + V_2) = \rho g(Ah + \frac{h}{3}(A + a + \sqrt{Aa}))$ છે.
$4$. $F$ અને $W$ ની સરખામણી કરતા,કારણ કે પાત્ર ઉપરની તરફ સાંકડું થાય છે,દીવાલો પ્રવાહી પર ઉપરની તરફ બળ લગાડે છે,જેનો અર્થ છે કે વજન $W$ એ પાયા પરના બળ $F$ કરતા ઓછું છે $(F > W)$.
$5$. પ્રવાહી પરનું કુલ નીચેની તરફનું બળ $W + F_{wall, downward} = F$ છે. દીવાલો ઉપરની તરફ બળ લગાડતી હોવાથી,દીવાલો દ્વારા પ્રવાહી પર લાગતું બળ $W - F$ છે,જે ઋણ છે,જેનો અર્થ છે કે $F - W$ મૂલ્યનું ઉપરની તરફનું બળ લાગે છે.

(D) દીવાલ પર પાણી દ્વારા લાગતું બળ એ રેખીય વેગમાનના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
બળ $F = \frac{dp}{dt} = \dot{m}v$,જ્યાં $\dot{m}$ એ દળનો પ્રવાહ દર છે.
કારણ કે $\dot{m} = \rho A v$,તેથી $F = (\rho A v) v = \rho A v^2$.
આમ,$F \propto v^2$. જ્યારે ઝડપ $v$ થી વધારીને $2v$ કરવામાં આવે,ત્યારે બળ મૂળ મૂલ્ય કરતા $(2)^2 = 4$ ગણું થાય છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ગુમાવાતી ઉર્જા $P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2 = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} \rho A v^3$.
આમ,$P \propto v^3$. જ્યારે ઝડપ $v$ થી વધારીને $2v$ કરવામાં આવે,ત્યારે પ્રતિ સેકન્ડ ગુમાવાતી ઉર્જા મૂળ મૂલ્ય કરતા $(2)^3 = 8$ ગણી થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા છે.

(D) કેશ નળીમાં પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ ઉત્થાન સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
અહીં,$T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્ક કોણ છે,$r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પાણી માટે,સંપર્ક કોણ $\theta$ લઘુકોણ હોય છે,જેના પરિણામે અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ અને ધન ઊંચાઈ $h$ (વધારો) મળે છે.
સાબુના પાણીના દ્રાવણ માટે,પૃષ્ઠતાણ $T$ શુદ્ધ પાણી કરતા ઘણું ઓછું હોય છે. કારણ કે $h \propto T$,સાબુના દ્રાવણના સ્તંભની ઊંચાઈ પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ કરતા ઓછી હશે.
પાણી અને સાબુનું દ્રાવણ બંને કાચને ભીંજવે છે,તેથી બંને કેશ નળીમાં અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ (ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ) બનાવશે.
તેથી,સાચું નિરૂપણ બંને નળીઓને અંતર્ગોળ મેનિસ્કસ સાથે દર્શાવે છે,પરંતુ નળી $(B)$ માં પ્રવાહીનું સ્તર નળી $(A)$ કરતા નીચું છે.

(C) આપેલ ઘનતાની શરત: $\rho_{\text{oil}} < \rho < \rho_{\text{water}}$.
$1$. તેલ પાણી કરતા ઓછી ઘનતા ધરાવતું હોવાથી,તે પાણીના સ્તરની ઉપર તરશે.
$2$. દડાની ઘનતા $\rho$ એ તેલની ઘનતા કરતા વધારે $(\rho > \rho_{\text{oil}})$ હોવાથી,તે તેલના સ્તરમાં નીચે બેસી જશે.
$3$. દડાની ઘનતા $\rho$ એ પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી $(\rho < \rho_{\text{water}})$ હોવાથી,તે પાણીના સ્તર પર તરશે.
$4$. પરિણામે,દડો તેલ અને પાણી વચ્ચેની સપાટી પર સ્થિર થશે,જે બંનેમાં આંશિક રીતે ડૂબેલો હશે. આ સ્થિતિ તે ગોઠવણીને અનુરૂપ છે જ્યાં તેલ ઉપર છે અને પાણી નીચે છે,અને દડો તેમની સીમા પર છે.

(A) પરિભ્રમણ કરતા નળાકાર પાત્રમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનો તફાવત $\Delta h$ સૂત્ર $\Delta h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 0.05\, m = \frac{1}{20}\, m$.
આવૃત્તિ $f = 2\, rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\, ms^{-2}$.
$\pi^2 = 10$ લેતા:
$\Delta h = \frac{(4\pi)^2 \times (1/20)^2}{2 \times 10} = \frac{16 \times \pi^2 \times (1/400)}{20} = \frac{16 \times 10}{400 \times 20} = \frac{160}{8000} = 0.02\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.02\, m = 0.02 \times 100\, cm = 2\, cm$.