Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Gujarati

(A) બર્નુલીનું સમીકરણ વહેતા પ્રવાહી પર લાગુ પડતા કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી મેળવવામાં આવે છે. તે દર્શાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને ધારારેખી વહન માટે,દબાણ ઉર્જા,એકમ કદ દીઠ ગતિ ઉર્જા અને એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો ધારારેખા પર અચળ રહે છે. તેથી,તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(B) મુક્ત સપાટી (બિંદુ $1$) અને છિદ્ર (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$p_o + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_a + \rho g(0) + \frac{1}{2} \rho v^2$
છિદ્ર ખૂબ નાનું હોવાથી $(r \ll \sqrt{A/\pi})$,મુક્ત સપાટીનો વેગ $v_1 \approx 0$ થાય.
તેથી,$p_o + \rho g h = p_a + \frac{1}{2} \rho v^2$
$v$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{1}{2} \rho v^2 = (p_o - p_a) + \rho g h$
$v^2 = \frac{2(p_o - p_a)}{\rho} + 2gh$
$v = \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$
પ્રવાહનો દર (કદ પ્રવાહ દર) $Q = \text{છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ} \times v = \pi r^2 \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$.

(C) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં $A_1 = 10 \text{ cm}^2$,$V_1 = 1 \text{ ms}^{-1}$,અને $A_2 = 5 \text{ cm}^2$ આપેલ છે.
$V_2 = (A_1 V_1) / A_2 = (10 \times 1) / 5 = 2 \text{ ms}^{-1}$.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 + 0.5 \rho V_1^2 = P_2 + 0.5 \rho V_2^2$.
$P_2 = P_1 + 0.5 \rho (V_1^2 - V_2^2)$.
$P_2 = 2000 + 0.5 \times 1000 \times (1^2 - 2^2)$.
$P_2 = 2000 + 500 \times (1 - 4) = 2000 - 1500 = 500 \text{ Pa}$.

(D) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$.
આપેલ છે કે $A_{1} = 10 \,cm^{2}$, $v_{1} = 1 \,ms^{-1}$, $A_{2} = 5 \,cm^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times 1 = 5 \times v_{2} \implies v_{2} = 2 \,ms^{-1}$.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$.
અહીં, $\rho = 1000 \,kg/m^{3}$ (પાણીની ઘનતા).
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^{2}$.
$2000 + 500 = P_{2} + 2000$.
$2500 = P_{2} + 2000 \implies P_{2} = 500 \,Pa$.

(B) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,અદબનીય તરલ માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
અહીં $A_1 = A$,$v_1 = 4 \,m/s$,અને $A_2 = \frac{2}{3} A$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $A \times 4 = \frac{2}{3} A \times v_2$.
$v_2$ માટે ઉકેલતા: $v_2 = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \,m/s$.
હવે,નીચે પડતા પ્રવાહ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ (બર્નુલીનું સમીકરણ) નો ઉપયોગ કરતા: $P + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
દબાણ $P$ અચળ હોવાથી અને $h_1 - h_2 = h$ લેતા,સમીકરણ આ મુજબ બને છે: $g h = \frac{1}{2} (v_2^2 - v_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $10 \times h = \frac{1}{2} (6^2 - 4^2)$.
$10 h = \frac{1}{2} (36 - 16) = \frac{1}{2} (20) = 10$.
તેથી,$h = 1 \,m$.

(D) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
$10 \times 1 = 5 \times V_2 \Rightarrow V_2 = 2 \,m/s$
આડી પાઈપ માટે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
અહીં $\rho = 1000 \,kg/m^3$ (પાણીની ઘનતા):
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$
$2000 + 500 = P_2 + 2000$
$P_2 = 2500 - 2000 = 500 \,Pa$

(C) સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
આપેલ છે કે $A_1 = 2A$,$v_1 = \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$,અને $A_2 = A$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(2A)(\sqrt{2}) = (A)v_2 \Rightarrow v_2 = 2\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$.
સ્થાયી પ્રવાહ માટે,બિંદુ $1$ અને $2$ પર બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરતા:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
પદોને ગોઠવતા: $P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
અહીં $P_1 - P_2 = 100 \ N \ m^{-2}$ (કારણ કે પહોળા ભાગ $1$ પર દબાણ વધારે છે જ્યાં ઝડપ ઓછી છે),$h_1 - h_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$,તેથી $h_2 - h_1 = -0.1 \ m$.
$100 = \rho [10(-0.1) + \frac{1}{2}((2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2)]$.
$100 = \rho [-1 + \frac{1}{2}(8 - 2)]$.
$100 = \rho [-1 + 3] = 2\rho$.
$\rho = 50 \ kg \ m^{-3}$.

(A) આદર્શ,સ્થાયી અને અદબનીય પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,પ્રવાહની રેખા પર એકમ દળ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
આડી નળી માટે,ઊંચાઈ $h$ અચળ છે,તેથી સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$
અહીં,$P$ એ દબાણ છે,$\rho$ એ ઘનતા છે,અને $v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
સાતત્યના સમીકરણ $A_1 v_1 = A_2 v_2$ પરથી,જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સૌથી નાનું હોય,ત્યાં વેગ $v$ સૌથી વધુ હોય છે.
કારણ કે $P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$,જો વેગ $v$ વધે,તો સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,જ્યાં વેગ સૌથી વધુ હોય ત્યાં દબાણ સૌથી ઓછું હોય છે.

(C) વિમાનની પાંખનો આકાર એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે ઉપરની સપાટી બહિર્ગોળ અને નીચેની સપાટી પ્રમાણમાં સપાટ અથવા અંતર્ગોળ હોય છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, વક્ર ઉપરની સપાટી પરથી વહેતી હવા પાંખની નીચે વહેતી હવાની સરખામણીમાં વધુ વેગથી ગતિ કરે છે।
જેમ વેગ વધે છે, તેમ દબાણ ઘટે છે $(P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ})$.
તેથી, ઉપરનું દબાણ નીચેના દબાણ કરતા ઓછું હોય છે, જે લિફ્ટ તરીકે ઓળખાતું ઉપરની તરફનું બળ ઉત્પન્ન કરે છે।
વિધાન $(A)$ સાચું છે, પરંતુ કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ઉપરની હવાનો વેગ વધારે હોય છે, ઓછો નહીં, અને ઉપરનું દબાણ ઓછું હોય છે, વધારે નહીં।

(C) બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,$p + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h = \text{અચળ}$.
અહીં,$p$ એ એકમ કદ દીઠ દબાણ ઊર્જા છે,$\frac{1}{2} \rho V^2$ એ એકમ કદ દીઠ ગતિ ઊર્જા છે અને $\rho g h$ એ એકમ કદ દીઠ સ્થિતિ ઊર્જા છે.
રેખીય વહન કરતા આદર્શ તરલ માટે,આ ઊર્જાઓનો સરવાળો અચળ રહે છે.
તેથી,બર્નુલીનું પ્રમેય ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.

(B) બર્નુલીનું પ્રમેય પ્રવાહીના ઘટક માટે કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી તારવવામાં આવ્યું છે. તે દર્શાવે છે કે અદબનીય,શ્યાનતા રહિત અને સ્થાયી પ્રવાહ માટે,પ્રવાહીના એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો સ્ટ્રીમલાઇન પર અચળ રહે છે. તેથી,તે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) બોઇંગ એરક્રાફ્ટનું દળ $M = 3.3 \times 10^5 \text{ kg}$ છે.
પાંખનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A = 500 \text{ m}^2$ છે.
સમતલ ઉડાનમાં,પાંખોની નીચેની અને ઉપરની સપાટીઓ વચ્ચેના દબાણના તફાવતને કારણે ઉત્પન્ન થતું ઉર્ધ્વગામી લિફ્ટ બળ એરક્રાફ્ટના વજનને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,ઉર્ધ્વગામી બળ $F = \Delta p \times A$,જ્યાં $\Delta p$ એ દબાણનો તફાવત છે.
લિફ્ટ બળને વજન સાથે સરખાવતા: $\Delta p \times A = M \times g$.
$g = 9.8 \text{ m/s}^2$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\Delta p = \frac{M \times g}{A} = \frac{3.3 \times 10^5 \times 9.8}{500}$.
$\Delta p = \frac{32.34 \times 10^5}{500} = 0.06468 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
$\Delta p = 6.468 \times 10^3 \text{ N/m}^2 \approx 6.5 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,સુરેખ પ્રવાહમાં વહેતા અદબનીય પ્રવાહી માટે,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને વેગ $v$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(A_1v_1 = A_2v_2)$.
પાઇપના સૌથી સાંકડા ભાગમાં,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ન્યૂનતમ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ $v$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
આડા પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેય મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે:
$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}$
જેથી સૌથી સાંકડા ભાગમાં વેગ $v$ મહત્તમ હોવાથી,સરવાળો અચળ રાખવા માટે દબાણ $p$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
તેથી,સૌથી સાંકડા ભાગમાં વેગ મહત્તમ અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) લિફ્ટ ફોર્સ $F$ એ વિમાનના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F = mg = (3 \times 10^5 \ kg) \times (10 \ ms^{-2}) = 3 \times 10^6 \ N$.
બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$ છે,જ્યાં $v_1$ એ નીચેની સપાટી પરની ઝડપ છે અને $v_2$ એ ઉપરની સપાટી પરની ઝડપ છે.
$F = \Delta P \times A$ હોવાથી,$\Delta P = \frac{F}{A} = \frac{3 \times 10^6 \ N}{400 \ m^2} = 7500 \ Pa$.
આપેલ છે $v_1 = 540 \ km \ h^{-1} = 150 \ ms^{-1}$.
તેથી,$7500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2^2 - 150^2) \implies 12500 = v_2^2 - 22500 \implies v_2^2 = 35000 \implies v_2 \approx 187.08 \ ms^{-1}$.
આંશિક વધારો $\frac{v_2 - v_1}{v_1} = \frac{187.08 - 150}{150} = \frac{37.08}{150} \approx 0.247$.
ગણતરીનું પુનઃમૂલ્યાંકન: $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2 - v_1)(v_2 + v_1) \approx \rho v_1 \Delta v$.
$\Delta v = \frac{\Delta P}{\rho v_1} = \frac{7500}{1.2 \times 150} = 41.67 \ ms^{-1}$.
આંશિક વધારો $= \frac{\Delta v}{v_1} = \frac{41.67}{150} \approx 0.277$.

(D) વિમાન અચળ ઊંચાઈએ ઉડી શકે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું લિફ્ટ બળ વિમાનના નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
ધારો કે $m$ એ વિમાનનું દળ છે,$A$ એ પાંખનો કુલ વિસ્તાર છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,અને $\Delta P$ એ પાંખોની નીચેની અને ઉપરની સપાટી વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત છે.
લિફ્ટ બળ $F_L$ એ $F_L = \Delta P \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિમાનનું વજન $W = m \times g$ છે.
અચળ ઊંચાઈ માટે બંને બળોને સરખાવતા: $\Delta P \times A = m \times g$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\Delta P \times 600 = (4.5 \times 10^4) \times 10$.
$\Delta P \times 600 = 4.5 \times 10^5$.
$\Delta P = \frac{4.5 \times 10^5}{600} = \frac{450000}{600} = 750 \,N \,m^{-2}$.
આમ,દબાણનો તફાવત $750 \,N \,m^{-2}$ છે.

(A) ધારો કે પિસ્ટન દ્વારા લગાડવામાં આવતું દબાણ $P$ છે અને વાતાવરણીય દબાણ $P_a$ છે. વધારાનું દબાણ $\Delta P = P - P_a$ છે. છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 15 \ m - 12 \ m = 3 \ m$ છે. જમીનથી છિદ્રની ઊંચાઈ $H = 12 \ m$ છે.
બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh + \frac{2\Delta P}{\rho}}$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ છે.
ક્ષૈતિજ અવધિ $R = v \times t = \sqrt{2gh + \frac{2\Delta P}{\rho}} \times \sqrt{\frac{2H}{g}}$ છે.
આપેલ છે કે $R = 16 \ m$,$H = 12 \ m$,$h = 3 \ m$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$,અને $g = 10 \ m/s^2$:
$16 = \sqrt{2(10)(3) + \frac{2\Delta P}{1000}} \times \sqrt{\frac{2(12)}{10}}$
$16 = \sqrt{60 + \frac{\Delta P}{500}} \times \sqrt{2.4}$
$256 = (60 + \frac{\Delta P}{500}) \times 2.4$
$106.67 = 60 + \frac{\Delta P}{500}$
$46.67 = \frac{\Delta P}{500} \Rightarrow \Delta P = 23333 \ Pa \approx 23.3 \ kPa$.
બળ $F = \Delta P \times A = 23333 \times 10 = 233330 \ N = 233.3 \ kN \approx 233 \ kN$.

(B) આપેલ છે:
પાઇપનો વ્યાસ $D_1 = 4 \,cm$,ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm$.
ગળાનો વ્યાસ $D_2 = 2 \,cm$,ત્રિજ્યા $r_2 = 1 \,cm$.
પાઇપમાં વેગ $V_1 = 10 \,m/s$.
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \,kg/m^3$.
પગલું $1$: સાતત્ય સમીકરણ $A_1 V_1 = A_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\pi r_1^2 V_1 = \pi r_2^2 V_2$
$(2)^2 \times 10 = (1)^2 \times V_2$
$V_2 = 40 \,m/s$.
પગલું $2$: સમક્ષિતિજ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (40^2 - 10^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (1600 - 100)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 1500 = 7.5 \times 10^5 \,Pa$.

(C) આપેલ છે કે,બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે દબાણનો તફાવત $p_A - p_B = 1500 \text{ N m}^{-2}$ છે.
આડી નળી માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_A = h_B)$:
$p_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = p_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$p_A - p_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2) \quad \dots (i)$
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}$.
બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ:
$a_A = 40 \text{ cm}^2 = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$a_B = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
સાતત્ય સમીકરણ મુજબ,પાણીના વહનનો દર અચળ રહે છે:
$a_A v_A = a_B v_B \Rightarrow v_B = v_A \left( \frac{a_A}{a_B} \right) = v_A \left( \frac{40}{20} \right) = 2v_A \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1500 = \frac{1}{2} \times 10^3 \times ((2v_A)^2 - v_A^2)$
$1500 = 500 \times (4v_A^2 - v_A^2)$
$3 = 3v_A^2 \Rightarrow v_A^2 = 1 \Rightarrow v_A = 1 \text{ m s}^{-1}$
તેથી,પાણીના વહનનો દર:
$Q = a_A v_A = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \times 1 \text{ m s}^{-1} = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1} = 4000 \text{ cm}^3 \text{ s}^{-1}$.

(C) આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણ મુજબ (જ્યાં ઊંચાઈ $h_1 = h_2$ છે):
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
આપેલ છે:
$P_1 = 50 \ kPa = 50 \times 10^3 \ Pa$
$v_1 = 1 \ m/s$
$v_2 = 2 \ m/s$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000 \ kg/m^3 = 10^3 \ kg/m^3$
$P_2$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + \frac{1}{2} \times 10^3 \times (1^2 - 2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (1 - 4)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (-3)$
$P_2 = 50 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3$
$P_2 = 48.5 \times 10^3 \ Pa = 48.5 \ kPa$

(B) પાણીને પંપ કરવા માટે જરૂરી પાવર $P$ એ પાણીને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી પાવર છે.
પાવર $P = \frac{\text{કાર્ય}}{\text{સમય}} = \frac{mgh}{t}$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, દળનો પ્રવાહ દર $\frac{m}{t} = A v \rho$ છે.
આ કિંમત પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા: $P = (A v \rho) g h$.
આપેલ કિંમતો: $r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$, $v = 10 \ m \ s^{-1}$, $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$, $g = 10 \ m \ s^{-2}$, $h = 3 \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
પાવરની ગણતરી: $P = (\pi \times 10^{-4}) \times 10 \times 1000 \times 10 \times 3$.
$P = \pi \times 10^{-4} \times 10^5 \times 3 = 30\pi \ W$.

(C) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of Continuity) મુજબ, કદનો પ્રવાહ દર અચળ રહે છે:
$AV = av \implies V = \frac{a}{A}v$
જ્યાં $V$ એ પિસ્ટનનો વેગ છે અને $v$ એ ઓરિફિસમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ છે.
નળાકારની અંદર (પિસ્ટનની નજીક) અને ઓરિફિસ વચ્ચે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_{in} + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_{out} + \frac{1}{2} \rho v^2$
નળાકારની અંદરનું દબાણ $P_{in} = P_0 + \frac{F}{A}$ છે, જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે. ઓરિફિસ પરનું દબાણ $P_{out} = P_0$ છે.
આ કિંમતોને બર્નુલીના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(P_0 + \frac{F}{A}) + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v^2$
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - V^2)$
$V = \frac{a}{A}v$ મૂકતા:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - (\frac{a}{A}v)^2) = \frac{1}{2} \rho v^2 (1 - \frac{a^2}{A^2})$
કારણ કે $A \gg a$, તેથી $\frac{a^2}{A^2} \approx 0$, માટે:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2F}{\rho A}}$

(A) આડી નળીમાં સુરેખ પ્રવાહ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, સ્થિર દબાણ અને ગતિશીલ દબાણનો સરવાળો પ્રવાહ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}$
આપેલ છે કે બીજા બિંદુએ, $p_{1} = p/2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}$
$v_{1}^{2}$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p - \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
બંને બાજુ $2/\rho$ વડે ગુણતા:
$v_{1}^{2} = \frac{p}{\rho} + v^{2}$
$v_{1} = \sqrt{v^{2} + \frac{p}{\rho}}$

(D) આપેલ છે: ઘનતા $\rho = 600 \text{ kg/m}^3$,ક્ષેત્રફળ $A_A = 1.0 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2$,ક્ષેત્રફળ $A_B = 20 \text{ mm}^2$,વેગ $v_A = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$.
સાતત્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_A v_A = A_B v_B$.
$100 \times 0.1 = 20 \times v_B \Rightarrow v_B = 0.5 \text{ m/s}$.
સમક્ષિતિજ પાઇપ માટે બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$.
દબાણનો તફાવત $P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 600 \times (0.5^2 - 0.1^2) = 300 \times (0.25 - 0.01) = 300 \times 0.24 = 72 \text{ Pa}$.