Newton's Law of Viscosity Questions in Gujarati

(D) સ્નિગ્ધતા બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
અહીં, ચોરસ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = (0.1 \; m)^2 = 0.01 \; m^2$ છે.
સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક $\eta = 0.01 \; \text{poise} = 0.001 \; \text{Pa} \cdot s$ છે (કારણ કે $1 \; \text{poise} = 0.1 \; \text{Pa} \cdot s$).
વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{dx}$ છે, જ્યાં $v = 0.1 \; m/s$ અને $dx$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $0.002 = 0.001 \times 0.01 \times \frac{0.1}{dx}$.
$dx$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $dx = \frac{0.001 \times 0.01 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.000001}{0.002} = 0.0005 \; m$.

(A) નળીમાંથી વહેતા સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના લેમિનર પ્રવાહમાં,'નો-સ્લિપ' શરતને કારણે પ્રવાહી નળીની દીવાલોને ચોંટી રહે છે.
પરિણામે,સ્થિર દીવાલોના સીધા સંપર્કમાં રહેલા પ્રવાહીના સ્તરનો વેગ $0$ હોય છે.
વેગનું વિતરણ પેરાબોલિક હોય છે,જે દીવાલો પર $0$ થી શરૂ થઈને નળીની મધ્ય અક્ષ પર મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે.
તેથી,દીવાલો પર વેગ $0$ હોય છે.

(B) નદીમાં વહેતું પાણી નદીના કિનારા અને તળિયા સાથેના સંપર્કને કારણે સ્નિગ્ધતા (viscous drag) અનુભવે છે.
કિનારાની નજીક,પાણીના અણુઓ સ્થિર સપાટી સાથે નોંધપાત્ર ઘર્ષણ અનુભવે છે,જે તેમના વેગને ઘટાડે છે.
નદીની વચ્ચે,પાણીના અણુઓ સમાન ગતિએ વહેતા અન્ય પાણીના અણુઓથી ઘેરાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે સ્નિગ્ધ અવરોધ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,પાણીનો વેગ વચ્ચેના ભાગમાં મહત્તમ અને કિનારાની નજીક ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા એ તેના વહન સામેના અવરોધનું માપ છે,જે તેના અણુઓ વચ્ચેના આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
પ્રવાહીમાં,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે.
આ વધેલી ગતિ ઊર્જા અણુઓને આકર્ષણ બળોને સરળતાથી પાર કરવામાં મદદ કરે છે,જેનાથી પ્રવાહીના સ્તરો વચ્ચેનું આંતરિક ઘર્ષણ ઘટે છે.
પરિણામે,તાપમાન વધવાની સાથે પાણી (અને મોટાભાગના પ્રવાહી) ની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) વાયુઓની સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે અલગ-અલગ વેગથી ગતિ કરતા વાયુના અણુઓના સ્તરો વચ્ચે વેગમાનના સ્થાનાંતરણને કારણે હોય છે.
વાયુઓના ગતિવાદ મુજબ,સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક $\eta = \frac{1}{3} \rho v_{avg} \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે,$v_{avg}$ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ છે અને $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુના અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $(v_{avg} \propto \sqrt{T})$ વધે છે.
જોકે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ બદલાઈ શકે છે,પરંતુ અણુઓની સરેરાશ ઝડપમાં થતો વધારો પ્રભાવી હોય છે,જેના પરિણામે તાપમાન સાથે સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક વધે છે.
તેથી,ગરમ હવા માટે સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક ઠંડી હવા કરતા વધારે હોય છે.

(A) એક સારા લુબ્રિકન્ટમાં ઉચ્ચ સ્નિગ્ધતા હોવી આવશ્યક છે જેથી મશીનના ભાગો કાર્યક્ષમ રીતે કામ કરી શકે.
લુબ્રિકન્ટની સ્નિગ્ધતા જેટલી વધારે હોય,તેટલી જ તેની બાઉન્ડ્રી લુબ્રિકેશન પ્રદાન કરવાની ક્ષમતા વધુ હોય છે,જે ગતિશીલ ભાગો વચ્ચે એક રક્ષણાત્મક પડ બનાવે છે જેથી ઘર્ષણ અને ઘસારો ઘટે છે.

(D) આપેલ છે: ચોરસ પ્લેટની બાજુ $L = 0.1 \, m$,વેગ $dv = 0.1 \, m/s$,શ્યાનતા $\eta = 0.01 \, poise = 0.001 \, N \cdot s/m^2$ ($SI$ એકમ),શ્યાનતા બળ $F = 0.002 \, N$.
પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = L^2 = (0.1)^2 = 0.01 \, m^2$.
ન્યૂટનના શ્યાનતાના નિયમ મુજબ,શ્યાનતા બળ $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $dx$ એ બે પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$dx$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $dx = \frac{\eta A dv}{F}$.
કિંમતો મૂકતા: $dx = \frac{0.001 \times 0.01 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.000001}{0.002} = 0.0005 \, m$.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 0.2\; m^{2}$,દળ $m = 0.02\; kg$,જાડાઈ $l = 0.6\; mm = 0.6 \times 10^{-3}\; m$,વેગ $v = 0.17\; m/s$,$g = 10\; m/s^{2}$.
બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે,તેથી તેના પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે. દોરીમાં તણાવ $T$ એ લટકતા દળના વજન જેટલું છે:
$T = m \cdot g = 0.02\; kg \times 10\; m/s^{2} = 0.2\; N$.
આ તણાવ બ્લોક પર લાગતા સ્નિગ્ધ બળ $F$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$F = \eta A \frac{v}{l} \implies T = \eta A \frac{v}{l}$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટે સૂત્ર:
$\eta = \frac{T \cdot l}{A \cdot v} = \frac{0.2 \times 0.6 \times 10^{-3}}{0.2 \times 0.17}$.
$\eta = \frac{0.6 \times 10^{-3}}{0.17} \approx 3.53 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સૌથી નજીકની કિંમત $3.45 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$ છે.

(B) વેગ પ્રચલન એ સ્તરો વચ્ચેના લંબ અંતરની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જે સૂત્ર $\frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
સાપેક્ષ વેગ $(dv)$ = $8 \ cm/s$
લંબ અંતર $(dx)$ = $0.1 \ cm$
વેગ પ્રચલન = $\frac{dv}{dx} = \frac{8 \ cm/s}{0.1 \ cm} = 80 \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ન્યુટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયર સ્ટ્રેસ $\tau$ એ વેગ પ્રચલન $\frac{du}{dy}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\tau = \mu \frac{du}{dy}$
અહીં $\tau = \frac{F}{A}$ હોવાથી,જ્યાં $F$ એ લગાડેલ બળ છે અને $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,તેથી $\frac{F}{A} = \mu \frac{u}{y}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $F = \left( \frac{A \mu}{y} \right) u$,એટલે કે $F \propto u$.
તેથી,$\frac{F_1}{u_1} = \frac{F_2}{u_2}$.
આપેલ છે કે $F_1 = 800$ $N$,$u_1 = 1.5$ $cm/s$,અને $F_2 = 2.4$ $kN = 2400$ $N$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{800}{1.5} = \frac{2400}{u_2}$.
$u_2$ માટે ઉકેલતા: $u_2 = \frac{2400 \times 1.5}{800} = 3 \times 1.5 = 4.5$ $cm/s$.

(A) બ્લોક અચળ વેગ $v$ થી ગતિ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે ઢળતી સપાટી પર બ્લોક પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય છે.
ઢાળની નીચે તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F_g = mg \sin \theta$ છે.
ન્યુટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ ઢાળની ઉપર તરફ લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F_v = \eta A \frac{v}{t}$ છે,જ્યાં $A = a^2$ એ સંપર્ક ક્ષેત્રફળ છે.
બળોને સરખાવતા: $F_v = F_g$
$\eta (a^2) \frac{v}{t} = mg \sin 37^{\circ}$
આપેલ છે કે દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = \rho a^3$ અને $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$:
$\eta (a^2) \frac{v}{t} = (\rho a^3) g \left(\frac{3}{5}\right)$
$\eta$ માટે ઉકેલતા:
$\eta = \frac{\rho a^3 g \cdot 3}{5 \cdot a^2 \cdot v / t} = \frac{3 \rho a g t}{5 v}$

(B) પ્લેટને ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \eta A \frac{dv}{dy}$.
આપેલ મૂલ્યો:
ક્ષેત્રફળ $A = 100 \text{ cm}^2 = 100 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$.
ગેપ $dy = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$.
વેગ $v = 7 \text{ cm/s} = 0.07 \text{ m/s}$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 1.0 \text{ kg/(m} \cdot \text{s)}$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 1.0 \times 10^{-2} \times \frac{0.07}{10^{-3}}$
$F = 1.0 \times 10^{-2} \times 70$
$F = 0.7 \text{ N}$.
તેથી,જરૂરી બળ $0.7 \text{ N}$ છે.

(C) ધારો કે $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે અને $x$ એ તેલના સ્તરની જાડાઈ છે.
તકતી પર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ પહોળાઈ ધરાવતી એક સૂક્ષ્મ રીંગનો વિચાર કરો.
$r$ ત્રિજ્યા પર તકતીનો વેગ $v = \omega r$ છે.
સ્તર પર વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dx} = \frac{\omega r - 0}{x} = \frac{\omega r}{x}$ છે.
આ સૂક્ષ્મ રીંગ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $dF = \eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = 2\pi r dr$.
$dF = \eta (2\pi r dr) \frac{\omega r}{x} = \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^2 dr$.
આ સ્નિગ્ધ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $d\tau = (dF) r$ છે.
$d\tau = \left( \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^2 dr \right) r = \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^3 dr$.
કુલ ટોર્ક $\tau$ શોધવા માટે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરતા:
$\tau = \int_{0}^{R} \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^3 dr = \frac{2\pi \eta \omega}{x} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{\pi \eta \omega}{2x} R^4$.
આમ,ટોર્ક $\tau$ એ $R^4$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) ન્યુટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયર સ્ટ્રેસ $\tau$ ને $\tau = \eta \frac{du}{dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વેગ પ્રોફાઇલ $u = \alpha \left[ \frac{y}{h} - 2\left( \frac{y}{h} \right)^2 \right]$ છે.
$u$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{du}{dy} = \alpha \left[ \frac{1}{h} - 2 \cdot 2 \left( \frac{y}{h} \right) \cdot \frac{1}{h} \right] = \alpha \left[ \frac{1}{h} - \frac{4y}{h^2} \right]$.
પ્લેટના પાયા પર,$y = 0$ છે.
તેથી,પાયા પર વેગ પ્રચલન (velocity gradient) $\left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} = \alpha \left[ \frac{1}{h} - 0 \right] = \frac{\alpha}{h}$ થાય.
પાયા પર શીયર સ્ટ્રેસનું મૂલ્ય $\tau = \eta \left| \frac{du}{dy} \right|_{y=0} = \eta \left( \frac{\alpha}{h} \right) = \frac{\alpha \eta}{h}$ છે.

(B) ધારો કે પાતળી પ્લેટનો વેગ $v$ છે અને તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પ્લેટને ખેંચવા માટે જરૂરી બળ એ બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા સ્નિગ્ધ બળોનો સરવાળો છે:
$F = F_1 + F_2 = \eta A \frac{v}{d_1} + 4\eta A \frac{v}{d_2}$
આપેલ છે કે $d_1 + d_2 = d$ (કુલ અંતર અચળ છે),તેથી આપણે $d_2 = d - d_1$ લખી શકીએ. આ કિંમત મૂકતા:
$F = \eta A v \left( \frac{1}{d_1} + \frac{4}{d - d_1} \right)$
ન્યૂનતમ બળ શોધવા માટે,આપણે $F$ નું $d_1$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dF}{dd_1} = \eta A v \left( -\frac{1}{d_1^2} + \frac{4}{(d - d_1)^2} \right) = 0$
$\frac{1}{d_1^2} = \frac{4}{(d - d_1)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{d_1} = \frac{2}{d - d_1}$
$d - d_1 = 2d_1$
$d = 3d_1 \Rightarrow d_1 = \frac{d}{3}$
તેથી $d_2 = d - \frac{d}{3} = \frac{2d}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{d_2}{d_1} = \frac{2d/3}{d/3} = 2$.

(B) આપેલ છે: સપાટીઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 2.5\ cm = 2.5 \times 10^{-2}\ m$. પ્લેટ મધ્યમાં હોવાથી,દરેક સપાટીથી અંતર $dz = d/2 = 1.25 \times 10^{-2}\ m$ છે.
પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.5\ m^2$.
પ્લેટનો વેગ $v = 0.5\ m/s$.
લાગતું બળ $F = 1\ N$.
ન્યૂટનના શ્યાનતાના નિયમ મુજબ,પ્લેટની એક બાજુ પર લાગતું શ્યાન બળ $F_{viscous} = \eta A \frac{dv}{dz}$ છે.
પ્લેટ બે સપાટીઓ વચ્ચે ખેંચાતી હોવાથી,કુલ શ્યાન બળ બંને બાજુઓથી લાગતા બળોનો સરવાળો છે: $F = 2 \times \eta A \frac{v}{dz}$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = 2 \times \eta \times 0.5 \times \frac{0.5}{1.25 \times 10^{-2}}$.
$1 = \eta \times \frac{0.5}{1.25 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{1.25 \times 10^{-2}}{0.5} = 2.5 \times 10^{-2}\ kg/(m \cdot s)$.

(B) પ્લેટને ખસેડવા માટે જરૂરી સ્નિગ્ધ બળ $F$ એ બંને પ્રવાહીઓ દ્વારા લાગતા સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળોનો સરવાળો છે. સ્નિગ્ધ બળનું સૂત્ર $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ છે.
આપેલ છે: ચોરસ પ્લેટની બાજુ $L = 2\ m$, તેથી ક્ષેત્રફળ $A = L^2 = 4\ m^2$. વેગ $v = 10\ m/s$. $SI$ એકમોમાં સ્નિગ્ધતા: $\eta_1 = 1 \text{ poise} = 0.1 \text{ Pa} \cdot \text{s}$ અને $\eta_2 = 4 \text{ poise} = 0.4 \text{ Pa} \cdot \text{s}$.
કુલ બળ $F = F_1 + F_2 = \eta_1 A \frac{v}{h_1} + \eta_2 A \frac{v}{h_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 0.1 \times 4 \times \frac{10}{h_1} + 0.4 \times 4 \times \frac{10}{h_2} = \frac{4}{h_1} + \frac{16}{h_2}$.
કારણ કે $h_1 + h_2 = 3$, તેથી $h_1 = 3 - h_2$. આમ, $F(h_2) = \frac{4}{3 - h_2} + \frac{16}{h_2}$.
લઘુત્તમ બળ શોધવા માટે, $\frac{dF}{dh_2} = 0$ લેતા:
$\frac{d}{dh_2} [4(3 - h_2)^{-1} + 16(h_2)^{-1}] = 4(3 - h_2)^{-2} - 16(h_2)^{-2} = 0$.
$\frac{4}{(3 - h_2)^2} = \frac{16}{h_2^2} \implies \frac{1}{(3 - h_2)^2} = \frac{4}{h_2^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{3 - h_2} = \frac{2}{h_2} \implies h_2 = 6 - 2h_2 \implies 3h_2 = 6 \implies h_2 = 2\ m$.
તેથી $h_1 = 3 - 2 = 1\ m$.
કિંમતો પાછી મૂકતા: $F_{\min} = \frac{4}{1} + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12\ N$.

(D) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ, સ્નિગ્ધ બળ $F = \eta A \frac{dv}{dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, ક્ષેત્રફળ $A = 10 \, cm^2$, વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dy} = \frac{v}{y} = \frac{1 \, cm/s}{1 \, mm} = \frac{1 \, cm/s}{0.1 \, cm} = 10 \, s^{-1}$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 20 \, \text{poise} = 20 \, dyne \cdot s/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 20 \times 10 \times 10 = 2000 \, dyne$.

(C) આપેલ છે:
વેગ $v = 18\, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$.
ઊંડાઈ $l = 5\, m$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 10^{-2}\, \text{poise} = 10^{-2} \times 0.1\, N\cdot s/m^2 = 10^{-3}\, N\cdot s/m^2$.
વેગ પ્રચલન (વિકૃતિ દર) $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{l} = \frac{5\, m/s}{5\, m} = 1\, s^{-1}$ છે.
ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\tau = \eta \times \frac{dv}{dx}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 10^{-3}\, N\cdot s/m^2 \times 1\, s^{-1} = 10^{-3}\, N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) શીયરિંગ સ્ટ્રેસ (કર્તન પ્રતિબળ) $\tau$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$.
અહીં,$\eta = 10^{-3}\,SI\,unit$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dy}$ ને $\frac{v}{h}$ તરીકે લઈ શકાય,જ્યાં $v = 5\,m/s$ એ વેગ છે અને $h = 10\,m$ એ નદીની ઊંડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 10^{-3} \times \frac{5}{10}$
$\tau = 10^{-3} \times 0.5$
$\tau = 0.5 \times 10^{-3}\,N/m^2$.

(A) પ્લેટને અચળ વેગથી ગતિ કરાવવા માટે,જરૂરી બળ એ સ્નિગ્ધતા બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
સ્નિગ્ધતા બળનું સૂત્ર $F = \eta A \frac{\Delta v}{\Delta z}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો:
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta = 1.0\, kg/(m\cdot s)$.
ક્ષેત્રફળ $A = 100\, cm^2 = 100 \times 10^{-4}\, m^2 = 10^{-2}\, m^2$.
વેગ પ્રચલન $\frac{\Delta v}{\Delta z} = \frac{7\, cm/s}{1\, mm} = \frac{7 \times 10^{-2}\, m/s}{10^{-3}\, m} = 70\, s^{-1}$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 1.0 \times 10^{-2} \times 70 = 0.7\, N$.
તેથી,જરૂરી બળ $0.7\, N$ છે.

(A) બ્લોક અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $F = mg \sin \theta$ છે.
અહીં,$m = \rho V = \rho a^3$,તેથી $F = \rho a^3 g \sin \theta$.
ન્યુટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ બળ $F = \eta A \left(\frac{dv}{dx}\right)$ છે,જ્યાં $A = a^2$ એ સંપર્ક ક્ષેત્રફળ છે અને $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{t}$ એ વેગ પ્રચલન છે.
બળોને સરખાવતા: $\rho a^3 g \sin \theta = \eta a^2 \left(\frac{v}{t}\right)$.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ માટે ઉકેલતા: $\eta = \frac{\rho a^3 g \sin \theta \cdot t}{a^2 v} = \frac{\rho agt \sin \theta}{v}$.

(A) પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા તેના તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. જેમ તાપમાન ઘટે છે,તેમ લ્યુબ્રિકન્ટની સ્નિગ્ધતા વધે છે.
ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
શિયાળામાં નીચા તાપમાને સ્નિગ્ધતા $\eta$ વધતી હોવાથી,સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળમાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે.
આ વધેલા અવરોધને કારણે મશીનના ભાગોને ખસેડવામાં મુશ્કેલી પડે છે,જેનાથી તે જામ થઈ જાય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધાતુનો બ્લોક દોરીમાં રહેલા તણાવને કારણે જમણી તરફ ગતિ કરે છે. બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે. દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ લટકાવેલા દળ $m$ ના વજન જેટલું છે.
$T = m g = 0.010 \; kg \times 9.8 \; m s^{-2} = 0.098 \; N$
આ તણાવ બ્લોક પર લાગતા સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ $F$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A = 0.10 \; m^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$v = 0.085 \; m s^{-1}$ એ વેગ છે,અને $dx = 0.30 \; mm = 0.30 \times 10^{-3} \; m$ એ પ્રવાહીના પડની જાડાઈ છે.
$\eta$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot v}$
$\eta = \frac{(0.098 \; N) \times (0.30 \times 10^{-3} \; m)}{(0.10 \; m^2) \times (0.085 \; m s^{-1})}$
$\eta = \frac{0.0294 \times 10^{-3}}{0.0085} \; Pa \; s$
$\eta \approx 3.46 \times 10^{-3} \; Pa \; s$

(A) ઘન પદાર્થ નાનું અને નિશ્ચિત વિરૂપણ અનુભવીને શીયરિંગ સ્ટ્રેસ સહન કરી શકે છે.
જોકે,સ્થિર પ્રવાહી કોઈ પણ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ સહન કરી શકતું નથી.
જો પ્રવાહી પર શીયરિંગ સ્ટ્રેસ લાગુ કરવામાં આવે,તો જ્યાં સુધી સ્ટ્રેસ લાગુ રહેશે ત્યાં સુધી તે સતત વિરૂપણ (વહન) પામતું રહેશે.
તેથી,સ્થિર પ્રવાહીનું શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $0$ હોય છે.

(B) શિયર મોડ્યુલસ (જેને દ્રઢતા ગુણાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) માત્ર ઘન પદાર્થો માટે જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,કારણ કે તે પદાર્થની શિયર વિરૂપણ સામેના પ્રતિકારને માપે છે. પ્રવાહી (જેમ કે સલ્ફ્યુરિક એસિડ) અને વાયુઓ જેવા તરલ પદાર્થો શિયર પ્રતિબળ સહન કરી શકતા નથી,કારણ કે જ્યારે તેમના પર બળ લગાડવામાં આવે છે ત્યારે તેઓ વહન પામે છે. તેથી,કોઈપણ તરલ માટે શિયર મોડ્યુલસનું મૂલ્ય $0$ હોય છે.

(N/A) શ્યાનતા એ તરલનો એવો ગુણધર્મ છે જેના કારણે તે તેના પાસપાસેના સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
શ્યાનતાનું કારણ:
લેમિનર પ્રવાહમાં,તરલના કોઈપણ બે ક્રમિક સ્તરો વચ્ચે સાપેક્ષ વેગ હોય છે. આ સાપેક્ષ ગતિને કારણે,સંપર્કમાં રહેલા સ્તરોની સપાટી પર સ્પર્શકની દિશામાં એક અવરોધક બળ ઉત્પન્ન થાય છે. આ આંતરિક ઘર્ષણ બળને શ્યાનતા બળ (viscous force) કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે બે સમાંતર કાચની પ્લેટો વચ્ચે એક તરલ (જેમ કે તેલ) ભરેલું છે. નીચેની પ્લેટ સ્થિર છે,જ્યારે ઉપરની પ્લેટને સ્થિર પ્લેટની સાપેક્ષમાં $v$ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરાવવામાં આવે છે.
સપાટીના સંપર્કમાં રહેલા તરલના સ્તરનો વેગ તે સપાટીના વેગ જેટલો જ હોય છે. તેથી,ઉપરની પ્લેટના સંપર્કમાં રહેલું પ્રવાહીનું સ્તર $v$ વેગથી ગતિ કરે છે અને નીચેની (સ્થિર) પ્લેટના સંપર્કમાં રહેલા સ્તરનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
જુદા જુદા સ્તરોનો વેગ નીચેથી ઉપર તરફ સમાન રીતે વધે છે ($0$ થી $v$ સુધી).
પ્રવાહીના કોઈપણ સ્તર માટે,ઉપરનું સ્તર તેને આગળ ખેંચે છે,જ્યારે નીચેનું સ્તર તેને પાછળ ખેંચે છે. આ આંતરક્રિયાને કારણે સ્તરો વચ્ચે અવરોધક બળ ઉદભવે છે,જે શ્યાનતાનું કારણ છે.

(N/A) $1$. વેગ પ્રચલન: જ્યારે કોઈ તરલ સ્થિર સપાટી પર વહેતું હોય,ત્યારે સપાટીથી અંતર વધવાની સાથે તરલના સ્તરોનો વેગ વધે છે. સ્થિર સપાટીથી લંબ અંતર $(z)$ ની સાપેક્ષમાં વેગ $(v)$ માં થતા ફેરફારના દરને વેગ પ્રચલન કહેવામાં આવે છે. તે $\frac{dv}{dz}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ $s^{-1}$ છે.
$2$. સ્નિગ્ધતા ગુણાંક: ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,તરલના બે સ્તરો વચ્ચે લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $(F)$ એ સંપર્ક ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વેગ પ્રચલન $(\frac{dv}{dz})$ ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$F = \eta A \frac{dv}{dz}$,જ્યાં $\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે. તેને તરલના બે સમાંતર સ્તરો વચ્ચે એકમ વેગ પ્રચલન જાળવી રાખવા માટે જરૂરી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્પર્શક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ $Pa \cdot s$ અથવા $N \cdot s/m^2$ છે (જેને Poiseuille તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે).

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સપાટી પર લેમિનર પ્રવાહનો વિચાર કરો.
ધારો કે બે સ્તરો $P$ અને $Q$ સ્થિર સપાટીથી $x$ અને $x+dx$ અંતરે છે.
$dx$ અંતરથી અલગ પડેલા આ બે સ્તરો વચ્ચેનો વેગનો તફાવત $dv$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{dv}{dx}$ ને વેગ પ્રચલન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
વેગ પ્રચલન: પ્રવાહની દિશાને લંબ અંતરની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારના દરને વેગ પ્રચલન કહેવામાં આવે છે. તેનો $SI$ એકમ $s^{-1}$ છે.
બે સ્તરો વચ્ચે લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F$ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$(1)$ તે સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto A$.
$(2)$ તે વેગ પ્રચલનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto \frac{dv}{dx}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $F \propto A \frac{dv}{dx}$ મળે છે,જે $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ તરફ દોરી જાય છે.
અહીં,$\eta$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે. ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે સ્નિગ્ધતા બળ સ્તરોની સાપેક્ષ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
$\eta$ નો $SI$ એકમ $N \cdot s \cdot m^{-2}$ અથવા $Pa \cdot s$ (પાસ્કલ-સેકન્ડ) છે.

(N/A) આકૃતિમાં બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચે પ્રવાહીનું સ્તરીય વહન દર્શાવ્યું છે.
પ્રવાહીને બે કાચની પ્લેટો વચ્ચે રાખવામાં આવ્યું છે. નીચેની પ્લેટ સ્થિર છે,તેથી તેના સંપર્કમાં રહેલું પ્રવાહીનું સ્તર પણ સ્થિર છે.
ઉપરની પ્લેટ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,જેના કારણે તેના સંપર્કમાં રહેલું પ્રવાહીનું સ્તર પણ તે જ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે.
આ ગતિને કારણે,શરૂઆતમાં $ABCD$ આકારમાં રહેલું પ્રવાહી $\Delta t$ જેટલા સૂક્ષ્મ સમયગાળા બાદ $AEFD$ આકાર ધારણ કરે છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,ઉદભવતી આકાર વિકૃતિ (shear strain) $\frac{\Delta x}{l}$ છે. જેમ-જેમ ઉપરની પ્લેટ આગળ વધતી જાય છે,તેમ-તેમ આ વિકૃતિ સમય સાથે સતત વધતી જાય છે.
આ કિસ્સામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિ પર નહીં,પરંતુ વિકૃતિના ફેરફારના દર પર આધાર રાખે છે,જે $\frac{(\Delta x / l)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{l \Delta t} = \frac{v}{l}$ છે (જ્યાં $\frac{\Delta x}{\Delta t} = v$ એ વેગ છે).
અહીં,આકાર પ્રતિબળ (shear stress) $\frac{F}{A}$ છે,જ્યાં $A$ એ સંપર્ક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $F$ એ સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું શ્યાનતાબળ છે.
પ્રવાહી માટે,શ્યાનતા ગુણાંક $\eta$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\eta = \frac{\text{આકાર પ્રતિબળ}}{\text{આકાર વિકૃતિનો દર}}$
$\therefore \eta = \frac{(F / A)}{(v / l)} = \frac{Fl}{vA}$
અથવા,$F = \eta A \left(\frac{v}{l}\right)$.

(N/A) શ્યાનતા બળ એ ગતિશીલ તરલના સ્તરો વચ્ચે લાગતું આંતરિક ઘર્ષણ બળ છે,જે તેમની વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
ન્યૂટનના શ્યાનતાના નિયમ મુજબ,તરલના બે સ્તરો વચ્ચે લાગતું શ્યાનતા બળ $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં:
$1$. $\eta$ એ તરલનો શ્યાનતા ગુણાંક છે.
$2$. $A$ એ સ્તરો વચ્ચેનું સંપર્ક ક્ષેત્રફળ છે.
$3$. $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન (velocity gradient) છે,જે પ્રવાહને લંબ અંતરની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે.
આમ,શ્યાનતા બળ તરલના પ્રકાર (શ્યાનતા),સ્તરોનું ક્ષેત્રફળ અને વેગ પ્રચલન પર આધાર રાખે છે.

(B) જ્યારે દૂધને હલાવવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના વિવિધ સ્તરો અલગ-અલગ વેગ સાથે ગતિ કરે છે,જે તેમની વચ્ચે વેગનો ઢાળ (velocity gradient) બનાવે છે.
સ્નિગ્ધતાના ગુણધર્મને કારણે,પ્રવાહી એક આંતરિક ઘર્ષણ બળ લગાડે છે જે નજીકના સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
આ સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જે ધીમે ધીમે પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જાને ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત કરે છે.
પરિણામે,દૂધ અંતે સ્થિર થઈ જાય છે.

(N/A) વેગ પ્રચલન એટલે પ્રવાહની દિશાને લંબ અંતર સાથે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\frac{dv}{dx}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $dv$ એ વેગમાં થતો ફેરફાર છે અને $dx$ એ અંતરમાં થતો ફેરફાર છે.
વેગ પ્રચલનનો $SI$ એકમ $\text{સેકન્ડ}^{-1}$ $(s^{-1})$ છે.
તેનું પારિમાણિક સૂત્ર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [M^0L^0T^{-1}]$.

(N/A) તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક ઘટે છે,જ્યારે વાયુનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક વધે છે.
આ તફાવતનું કારણ એ છે કે વાયુઓમાં સ્નિગ્ધતા આણ્વિક વેગમાનના વિનિમય પર આધાર રાખે છે,જ્યારે પ્રવાહીમાં તે આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળ (cohesive force) પર આધાર રાખે છે.
$\Rightarrow$ વાયુઓમાં,તાપમાન વધવાથી અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધે છે અને આણ્વિક વેગમાનનો વિનિમય વધે છે,જેના પરિણામે સ્નિગ્ધતામાં વધારો થાય છે.
$\Rightarrow$ પ્રવાહીમાં,તાપમાન વધવાથી અણુઓ વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ નબળું પડે છે,જેના કારણે સ્નિગ્ધતામાં ઘટાડો થાય છે.

(N/A) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક,જેને ગ્રીક અક્ષર $\eta$ (ઈટા) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે પ્રવાહીના વહન અથવા આકારમાં ફેરફાર સામેના અવરોધનું માપ છે.
ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,પ્રવાહીના બે સ્તરો વચ્ચે લાગતું સ્નિગ્ધતા બળ $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ સંપર્ક ક્ષેત્રફળ છે અને $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન (velocity gradient) છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\eta = \frac{F}{A(dv/dx)}$ મળે છે.
આમ,સ્નિગ્ધતા ગુણાંકને પ્રવાહીના બે સમાંતર સ્તરો વચ્ચે એકમ વેગ પ્રચલન જાળવી રાખવા માટે જરૂરી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્પર્શક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્નિગ્ધતા ગુણાંકનો $SI$ એકમ $\text{Pa} \cdot \text{s}$ અથવા $\text{N} \cdot \text{s/m}^2$ છે (જેને પોઈઝ્યુઈલ,$\text{Pl}$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે).

(N/A) સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ ને $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ સ્નિગ્ધ બળ છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે,અને $\frac{dv}{dx}$ એ વેગ પ્રચલન છે.
$\eta$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$ મળે છે.
$SI$ એકમમાં,બળનો એકમ $N$,ક્ષેત્રફળનો $m^2$ અને વેગ પ્રચલનનો $s^{-1}$ છે. તેથી,$SI$ એકમ $\frac{N}{m^2 \cdot s^{-1}} = N \cdot s \cdot m^{-2} = Pa \cdot s$ (પાસ્કલ-સેકન્ડ) અથવા $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ છે.
$CGS$ એકમમાં,બળનો એકમ $dyne$,ક્ષેત્રફળનો $cm^2$ અને વેગ પ્રચલનનો $s^{-1}$ છે. તેથી,$CGS$ એકમ $\frac{dyne}{cm^2 \cdot s^{-1}} = dyne \cdot s \cdot cm^{-2}$ છે,જેને $Poise$ $(P)$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
રૂપાંતરણ: $1 \text{ } Pa \cdot s = 10 \text{ } Poise$.

(N/A) સ્નિગ્ધતાનો એક વ્યવહારુ ઉપયોગ મશીનરીના લ્યુબ્રિકેશનમાં થાય છે. એન્જિન અને મશીનોમાં યોગ્ય સ્નિગ્ધતા ધરાવતા લ્યુબ્રિકેટિંગ તેલનો ઉપયોગ ગતિશીલ ભાગો વચ્ચેના ઘર્ષણને ઘટાડવા માટે કરવામાં આવે છે,જેનાથી ઘસારો અટકે છે અને કાર્યક્ષમતામાં સુધારો થાય છે.

(N/A) પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા તેના સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જેમ પ્રવાહીનું તાપમાન વધે છે,તેમ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો ઘટે છે.
પરિણામે,ગરમ પ્રવાહી માટે સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ ઘટે છે.
ક્રમિક સ્તરો વચ્ચે લાગતું સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\eta$ નું ઓછું મૂલ્ય ઓછા સ્નિગ્ધ બળમાં પરિણમે છે.
આથી,ગરમ પ્રવાહી ઠંડા પ્રવાહીની તુલનામાં ઓછો આંતરિક અવરોધ અનુભવે છે અને વધુ સરળતાથી વહે છે.

(N/A) શિયાળામાં વાતાવરણનું તાપમાન ઘટે છે. જેમ જેમ લુબ્રિકેટિંગ ઓઈલનું તાપમાન ઘટે છે,તેમ તેની સ્નિગ્ધતા (viscosity) નોંધપાત્ર રીતે વધે છે. સ્નિગ્ધતામાં થતો આ વધારો ઓઈલને ઘટ્ટ બનાવે છે અને તેના પ્રવાહમાં અવરોધ પેદા કરે છે,જેના કારણે મશીનની ગતિશીલ સપાટીઓ વચ્ચે ઘર્ષણ વધે છે. પરિણામે,મશીનના ભાગો સરળતાથી હલનચલન કરી શકતા નથી અને તે ચીકણા લાગે છે.

(N/A) નદીમાં પાણીનો પ્રવાહ સ્નિગ્ધતા (viscosity) ના ગુણધર્મ દ્વારા સંચાલિત થાય છે.
$1$. કિનારાની નજીક,પાણીના અણુઓ પાણી અને નદીના કિનારાની સપાટી વચ્ચે આસંજક બળો (adhesive forces) અનુભવે છે.
$2$. આ આસંજક બળો એક અવરોધક બળ (સ્નિગ્ધ ખેંચાણ) ઉત્પન્ન કરે છે જે પાણીની ગતિનો વિરોધ કરે છે,જેના કારણે કિનારાની નજીક વેગમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે.
$3$. નદીની મધ્યમાં,પાણીના અણુઓ કિનારાથી દૂર હોય છે,તેથી આસંજક બળોની અસર ન્યૂનતમ હોય છે.
$4$. પરિણામે,કિનારાની તુલનામાં નદીની મધ્યમાં પાણીના પ્રવાહનો વેગ વધારે હોય છે.

(B) સ્નિગ્ધતા એ પ્રવાહીનો એક ભૌતિક ગુણધર્મ છે જે તેના વહેવાના અવરોધને દર્શાવે છે.
તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા સંકળાયેલી ન હોવાથી,તે એક અદિશ રાશિ છે.

(D) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\tau = 10^{-3} \, N/m^2$,$\eta = 10^{-2} \, Pa \cdot s$,અને વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dy} = \frac{v}{h}$,જ્યાં $v$ એ ઉપરના સ્તરનો વેગ છે અને $h$ એ નદીની ઊંડાઈ છે.
પ્રથમ,વેગ $v$ ને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરો: $v = 36 \, km/h = 36 \times \frac{5}{18} \, m/s = 10 \, m/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = 10^{-2} \times \frac{10}{h}$.
$h$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $h = \frac{10^{-2} \times 10}{10^{-3}} = \frac{10^{-1}}{10^{-3}} = 10^2 = 100 \, m$.
આમ,નદીની ઊંડાઈ $100 \, m$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
પ્રવાહી (અથવા વાયુ) નો એ ગુણધર્મ જેના દ્વારા તે તેના નજીકના સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે તેને શ્યાનતા (Viscosity) કહેવામાં આવે છે.
આ આંતરિક ઘર્ષણ બળ પ્રવાહીના વહનને અવરોધવાનું કામ કરે છે.

(B) આપેલ છે:
સ્નિગ્ધ બળ, $F = 1 \, N$
સ્નિગ્ધતા ગુણાંક, $\eta = 0.02 \, \text{decapoise} = 0.02 \, N \cdot s/m^2$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = 20 \, m^2$
ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ, સ્નિગ્ધ બળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
વેગ પ્રચલન $\frac{dv}{dx}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{F}{\eta A}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{0.02 \times 20}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{0.4}$
$\frac{dv}{dx} = 2.5 \, s^{-1}$
આમ, વેગ પ્રચલન $2.5 \, s^{-1}$ છે.

(B) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ બળ $F$ નું સૂત્ર $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ છે.
અહીં,$\eta = 1.5 \,N \cdot s \cdot m^{-2}$ એ સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે,$A = 0.1 \,m^2$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે,$v = 1 \,mm \cdot s^{-1} = 10^{-3} \,m \cdot s^{-1}$ એ વેગ છે,અને $dx = 10^{-5} \,m$ એ તેલના સ્તરની જાડાઈ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 1.5 \times 0.1 \times \frac{10^{-3}}{10^{-5}}$
$F = 0.15 \times 10^2$
$F = 0.15 \times 100 = 15 \,N$.
તેથી,જરૂરી બળ $15 \,N$ છે.

(D) પ્રવાહીમાં ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં:
$1$. $\eta$ એ પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક છે.
$2$. $A$ એ પદાર્થનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,જે પદાર્થના કદ સાથે સંબંધિત છે.
$3$. $v$ એ વેગ છે જેની સાથે પદાર્થ પ્રવાહીમાં ગતિ કરે છે.
આમ,બળ $F$ એ સ્નિગ્ધતા $(\eta)$,ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વેગ $(v)$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,તે આપેલા તમામ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ન્યુટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,શીયર સ્ટ્રેસ $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વેગ પ્રોફાઇલ $v = k \left( \frac{2y^2}{a^2} - \frac{y^3}{a^3} \right)$ છે.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dv}{dy} = k \left( \frac{4y}{a^2} - \frac{3y^2}{a^3} \right)$ મળે છે.
આ કિંમતને સ્ટ્રેસના સૂત્રમાં મૂકતા,$\tau = \eta k \left( \frac{4y}{a^2} - \frac{3y^2}{a^3} \right)$.
$y = a$ પર,શીયર સ્ટ્રેસ $\tau = \eta k \left( \frac{4a}{a^2} - \frac{3a^2}{a^3} \right) = \eta k \left( \frac{4}{a} - \frac{3}{a} \right) = \frac{\eta k}{a}$ થાય છે.

(B) સ્નિગ્ધતાને પ્રવાહીના આંતરિક ઘર્ષણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તે પ્રવાહી (અથવા વાયુ) નો એવો ગુણધર્મ છે જેના દ્વારા તે તેના પાસપાસેના સ્તરો વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે. જ્યારે પ્રવાહી વહે છે,ત્યારે અલગ-અલગ વેગથી ગતિ કરતા સ્તરો એકબીજા પર સ્પર્શક બળ લગાડે છે,જે પ્રવાહને અવરોધવાનું કામ કરે છે. આ આંતરિક અવરોધને સ્નિગ્ધતા કહેવામાં આવે છે.

(B) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,સ્નિગ્ધ બળ $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
જ્યાં:
$F = 0.1 \,N$ (પ્રયુક્ત બળ)
$\eta = 5.0 \times 10^{-3} \,Pa-s$ (સ્નિગ્ધતા)
$A = 0.20 \,m^2$ (પાયાનું ક્ષેત્રફળ)
$dx = 0.25 \,mm = 0.25 \times 10^{-3} \,m$ (પ્રવાહીના પડની જાડાઈ)
બ્લોક અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોવાથી,પ્રયુક્ત બળ એ સ્નિગ્ધ બળ જેટલું જ હોય છે:
$0.1 = (5.0 \times 10^{-3}) \times 0.20 \times \frac{v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = \frac{1.0 \times 10^{-3} \times v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = 4v$
$v = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,m/s$
$v = 25 \times 10^{-3} \,m/s$
આમ,બ્લોકની ઝડપ $25 \times 10^{-3} \,m/s$ છે.

(C) ન્યૂટનના સ્નિગ્ધતાના નિયમ મુજબ,$h$ જાડાઈના પ્રવાહીના સ્તર પર $u_0$ વેગથી ગતિ કરતી $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી પ્લેટ પર લાગતું સ્નિગ્ધ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \eta A \frac{dv}{dx} = \eta A \frac{u_0}{h}$
આ સમીકરણ પરથી:
$1$. અવરોધક બળ $F$ એ $h$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(F \propto 1/h)$. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. અવરોધક બળ $F$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(F \propto A)$. તેથી,વિધાન $(B)$ ખોટું છે.
$3$. સ્પર્શક (શીયર) સ્ટ્રેસ $\tau$ ને $\tau = F/A = \eta \frac{u_0}{h}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$4$. $\tau = \eta \frac{u_0}{h}$ હોવાથી,ટાંકાના તળિયે (અથવા પ્લેટ પર) શીયર સ્ટ્રેસ $u_0$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$5$. $\tau = \eta \frac{u_0}{h}$ હોવાથી,શીયર સ્ટ્રેસ એ પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા $\eta$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
આમ,વિધાનો $(A), (C),$ અને $(D)$ સાચા છે.