Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $2\sin^3\alpha - 7\sin^2\alpha + 7\sin\alpha - 2 = 0$.
माना $x = \sin\alpha$. तब $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 = 0$.
$x = 1$ एक मूल है।
$(x - 1)$ से विभाजित करने पर,$(x - 1)(2x^2 - 5x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(2x - 1)(x - 2) = 0$.
अतः,$\sin\alpha = 1$,$\sin\alpha = \frac{1}{2}$,या $\sin\alpha = 2$.
$\sin\alpha = 2$ संभव नहीं है।
$\sin\alpha = 1$ के लिए $[0, 2\pi]$ में $\alpha = \frac{\pi}{2}$ ($1$ मान)।
$\sin\alpha = \frac{1}{2}$ के लिए $[0, 2\pi]$ में $\alpha = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ मान)।
कुल मानों की संख्या = $1 + 2 = 3$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 2x - 2 \cos x + 4 \sin x = 4$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos x - 2 \cos x + 4 \sin x - 4 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$2 \cos x (\sin x - 1) + 4 (\sin x - 1) = 0$
$(2 \cos x + 4)(\sin x - 1) = 0$
$2(\cos x + 2)(\sin x - 1) = 0$
चूंकि $\cos x + 2 \neq 0$,इसलिए $\sin x = 1$ होगा।
अंतराल $[0, 5\pi]$ में,$\sin x = 1$ के लिए $x$ के मान हैं:
$x = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}$
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x - \sin 2x + \sin 3x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$(\sin 3x + \sin x) - \sin 2x = 0$
$2 \sin 2x \cos x - \sin 2x = 0$
$\sin 2x (2 \cos x - 1) = 0$
इसका अर्थ है $\sin 2x = 0$ या $\cos x = \frac{1}{2}$।
$\sin 2x = 0$ के लिए,$2x = n\pi$,अतः $x = \frac{n\pi}{2}$। $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ दिया गया है,इसलिए केवल $x = 0$ हल है।
$\cos x = \frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{\pi}{3}$ ($0 \le x < \frac{\pi}{2}$ के अंतर्गत)।
$x$ के मान $0$ और $\frac{\pi}{3}$ हैं।
अतः,मानों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
$\sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - \cos^2 2\theta + \cos^4 2\theta = \frac{3}{4}$
माना $t = \cos^2 2\theta$. तब $t^2 - t + 1 = \frac{3}{4} \Rightarrow t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$
$(t - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$
अतः,$\cos^2 2\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\cos^2 2\theta - 1 = 0$
सर्वसमिका $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos 4\theta = 0$
$\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,$4\theta \in (0, 2\pi)$।
$\cos 4\theta = 0 \Rightarrow 4\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}$
मानों का योग = $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$

(B) दिया गया समीकरण: $2\cos^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin^2 \theta) + 3\sin \theta = 0$
$2 - 2\sin^2 \theta + 3\sin \theta = 0$
$2\sin^2 \theta - 3\sin \theta - 2 = 0$
$(2\sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$
चूंकि $\sin \theta = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ है।
$\theta \in [-2\pi, 2\pi]$ के लिए,$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ के हल हैं:
$\theta = -\frac{\pi}{6}, -\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$।
अवयवों का योग = $(-\frac{\pi}{6}) + (-\frac{5\pi}{6}) + (\frac{7\pi}{6}) + (\frac{11\pi}{6}) = \frac{12\pi}{6} = 2\pi$।

(C) दिया गया समीकरण $1 + \sin^4 x = \cos^2 3x$ है।
चूँकि $\sin^4 x \ge 0$,बायाँ पक्ष $1 + \sin^4 x \ge 1$ है।
दायाँ पक्ष $\cos^2 3x \le 1$ है।
समानता के लिए,$1 + \sin^4 x = 1$ और $\cos^2 3x = 1$ होना चाहिए।
$1 + \sin^4 x = 1 \implies \sin x = 0 \implies x = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अब $x = n\pi$ के लिए $\cos^2 3x = 1$ की जाँच करने पर:
$\cos^2(3n\pi) = 1$ जो हमेशा सत्य है।
$x \in [-\frac{5\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$ अंतराल में $x = n\pi$ के मान:
$n = -2, -1, 0, 1, 2$ के लिए $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$ हैं।
अतः,कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\log _{1 / 2}|\sin x|=2-\log _{1 / 2}|\cos x|$,जहाँ $x \in [0, 2\pi]$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\log _{1 / 2}|\sin x| + \log _{1 / 2}|\cos x| = 2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\log_a m + \log_a n = \log_a (mn)$ का उपयोग करने पर: $\log _{1 / 2}(|\sin x \cos x|) = 2$ प्राप्त होता है।
घातांकीय रूप में बदलने पर: $|\sin x \cos x| = (1/2)^2 = 1/4$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $|2 \sin x \cos x| = 2 \times (1/4) = 1/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\sin 2x| = 1/2$ है।
अंतराल $x \in [0, 2\pi]$ के लिए,कोण $2x$ अंतराल $[0, 4\pi]$ में स्थित है।
$|\sin \theta| = 1/2$ के लिए,प्रत्येक $2\pi$ लंबाई के अंतराल में $4$ हल होते हैं।
चूँकि $2x$ के लिए अंतराल $[0, 4\pi]$ है,इसलिए कुल हलों की संख्या $4 \times 2 = 8$ होगी।

(A) हम जानते हैं कि $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\sin x$ प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए दूसरा हल द्वितीय चतुर्थांश में है।
$\sin \left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,मुख्य हल $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \frac{2\pi}{3}$ हैं।

(A) हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
चूंकि $\tan x$ दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए:
$\tan x = \tan(\pi - \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{5 \pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
और
$\tan x = \tan(2 \pi - \frac{\pi}{6}) = \tan \frac{11 \pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$
अतः,मुख्य हल $\frac{5 \pi}{6}$ और $\frac{11 \pi}{6}$ हैं।

(A) दिया गया है $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin x = -\sin \frac{\pi}{3}$ है।
सर्वसमिका $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,$\sin x = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin \frac{4\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
$\sin x = \sin \alpha$ का व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$\alpha = \frac{4\pi}{3}$ रखने पर,$x = n\pi + (-1)^n \frac{4\pi}{3}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।

(A) हमारे पास है,$\cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
$\cos x = \cos \alpha$ का व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$.
अतः,$x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in Z$.

(N/A) हमारे पास है,$\tan 2x = -\cot \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$
चूंकि $-\cot \theta = \tan \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 2x = \tan \left(\frac{\pi}{2} + x + \frac{\pi}{3}\right)$
$\tan 2x = \tan \left(x + \frac{5\pi}{6}\right)$
व्यापक हल के लिए,$2x = n\pi + x + \frac{5\pi}{6}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
अतः,$x = n\pi + \frac{5\pi}{6}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.

दिया गया समीकरण $\sin 6x + \sin 2x - \sin 4x = 0$ है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4x \cos 2x - \sin 4x = 0$.
$\sin 4x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 4x (2 \cos 2x - 1) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $\sin 4x = 0$ या $\cos 2x = \frac{1}{2}$।
$\sin 4x = 0$ के लिए,व्यापक हल $4x = n\pi$ है,जिससे $x = \frac{n\pi}{4}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
$\cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$ के लिए,व्यापक हल $2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है,जिससे $x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(N/A) दिया गया समीकरण $2 \cos^{2} x + 3 \sin x = 0$ है।
सर्वसमिका $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin^{2} x) + 3 \sin x = 0$
$2 - 2 \sin^{2} x + 3 \sin x = 0$
$2 \sin^{2} x - 3 \sin x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2 \sin x + 1)(\sin x - 2) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \sin x = -\frac{1}{2}$
$2) \sin x = 2$
चूँकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ संभव नहीं है।
$\sin x = -\frac{1}{2}$ के लिए,हम जानते हैं कि $\sin x = \sin(-\frac{\pi}{6})$।
$\sin x = \sin \alpha$ का व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^{n}\alpha$ होता है।
अतः,$x = n\pi + (-1)^{n}(-\frac{\pi}{6})$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan x = \sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan x$ प्रथम और तृतीय चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए मुख्य हल $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ हैं।
व्यापक हल के लिए,हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि यदि $\tan x = \tan \alpha$ है,तो $x = n\pi + \alpha$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
यहाँ,$\alpha = \frac{\pi}{3}$.
अतः,व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{3}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.

(A) दिया गया है $\sec x = 2$।
चूँकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\cos x = \frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos x$ प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए मुख्य हल $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ हैं।
व्यापक हल के लिए,यदि $\cos x = \cos \alpha$,तो $x = 2n\pi \pm \alpha$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
यहाँ $\alpha = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए व्यापक हल $x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

दिया गया समीकरण: $\cot x = -\sqrt{3}$.
हम जानते हैं कि $\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\cot x$ दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए:
$\cot (\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} \Rightarrow \cot \frac{5\pi}{6} = -\sqrt{3}$.
$\cot (2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} \Rightarrow \cot \frac{11\pi}{6} = -\sqrt{3}$.
अतः,मुख्य हल $x = \frac{5\pi}{6}$ और $x = \frac{11\pi}{6}$ हैं।
व्यापक हल के लिए,हम जानते हैं कि यदि $\cot x = \cot \alpha$ हो,तो $x = n\pi + \alpha$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
मुख्य मान $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ लेने पर,व्यापक हल $x = n\pi + \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(N/A) दिया गया है $\csc x = -2$.
हम जानते हैं कि $\csc \frac{\pi}{6} = 2$.
चूँकि $\csc x$ तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\csc(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\csc \frac{\pi}{6} = -2$ और $\csc(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\csc \frac{\pi}{6} = -2$.
अतः,$\csc \frac{7\pi}{6} = -2$ और $\csc \frac{11\pi}{6} = -2$.
मुख्य हल $x = \frac{7\pi}{6}$ और $x = \frac{11\pi}{6}$ हैं।
व्यापक हल ज्ञात करने के लिए,हम $\csc x = \csc \frac{7\pi}{6}$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\sin x = \sin \frac{7\pi}{6}$.
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
$\alpha = \frac{7\pi}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर,व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 4x = \cos 2x$
$\Rightarrow \cos 4x - \cos 2x = 0$
सूत्र $\cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$-2 \sin \left(\frac{4x+2x}{2}\right) \sin \left(\frac{4x-2x}{2}\right) = 0$
$-2 \sin 3x \sin x = 0$
$\sin 3x \sin x = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin 3x = 0$ या $\sin x = 0$ है।
यदि $\sin 3x = 0$,तो $3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
यदि $\sin x = 0$,तो $x = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
अतः,व्यापक हल $x = \frac{n\pi}{3}$ या $x = n\pi$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।

दिया गया समीकरण: $\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0$
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left( \frac{3x+x}{2} \right) \cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) - \cos 2x = 0$
$2 \cos 2x \cos x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x (2 \cos x - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = (2n+1) \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = (2n+1) \frac{\pi}{4}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
स्थिति $2$: $2 \cos x - 1 = 0$ $\Rightarrow \cos x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 2x + \cos x = 0$
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x \cos x + \cos x = 0$
$\cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\cos x (2 \sin x + 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\cos x = 0$
$\cos x = 0$ का व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
स्थिति $2$: $2 \sin x + 1 = 0$
$\sin x = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\sin x = -\sin \frac{\pi}{6} = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{7\pi}{6}$।
$\sin x = \sin \alpha$ का व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।
अतः,व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ या $x = n\pi + (-1)^n \frac{7\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sec^{2} 2x = 1 - \tan 2x$
सर्वसमिका $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 + \tan^{2} 2x = 1 - \tan 2x$
$\tan^{2} 2x + \tan 2x = 0$
$\tan 2x(\tan 2x + 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\tan 2x = 0$
$2x = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$
स्थिति $2$: $\tan 2x = -1$
$\tan 2x = -\tan \frac{\pi}{4} = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = \tan \frac{3\pi}{4}$
$2x = n\pi + \frac{3\pi}{4}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}, n \in \mathbb{Z}$
अतः,व्यापक हल $x = \frac{n\pi}{2}$ या $x = \frac{n\pi}{2} + \frac{3\pi}{8}, n \in \mathbb{Z}$ है।

दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{5x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x-x}{2}\right) + \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0$
$3x = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2x + 1 = 0$
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos 2x = -\cos \frac{\pi}{3} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3}$
$2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
अतः,व्यापक हल $x = \frac{n\pi}{3}$ या $x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.

(A) दिया गया समीकरण $|\cot x| = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ है।
स्थिति $1$: यदि $\cot x \ge 0$ है,तो $|\cot x| = \cot x$। समीकरण $\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ बन जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sin x} = 0$। इसका कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\cot x < 0$ है,तो $|\cot x| = -\cot x$। समीकरण $-\cot x = \cot x + \frac{1}{\sin x}$ बन जाता है,जो $2\cot x + \frac{1}{\sin x} = 0$ में सरल हो जाता है।
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2\cos x + 1}{\sin x} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2\cos x + 1 = 0$,इसलिए $\cos x = -\frac{1}{2}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos x = -\frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{2\pi}{3}$ और $x = \frac{4\pi}{3}$ पर होता है।
शर्त $\cot x < 0$ की जाँच करने पर: $x = \frac{2\pi}{3}$ के लिए,$\cot(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} < 0$ (मान्य)।
$x = \frac{4\pi}{3}$ के लिए,$\cot(\frac{4\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ (अमान्य,क्योंकि यह $\cot x < 0$ का विरोधाभास करता है)।
अतः,केवल $1$ हल है।

(A) अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x + 2 \tan x = \frac{\pi}{2}$ के हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को इस प्रकार लिखते हैं:
$2 \tan x = \frac{\pi}{2} - x$
$\tan x = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$
हम अंतराल $[0, 2\pi]$ में $y = \tan x$ और $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$ के आलेखों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को देखते हैं।
$1$. अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ में,$\tan x$,$0$ से $\infty$ तक बढ़ता है,जबकि रेखा $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}$,$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ से $0$ तक घटती है। यहाँ ठीक $1$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$2$. अंतराल $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ में,$\tan x$,$-\infty$ से $\infty$ तक बढ़ता है,जबकि रेखा $0$ से $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ तक घटती है। यहाँ ठीक $1$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$3$. अंतराल $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ में,$\tan x$,$-\infty$ से $0$ तक बढ़ता है,जबकि रेखा $-\frac{\pi}{2}$ से $-\frac{3\pi}{4} \approx -2.35$ तक घटती है। यहाँ ठीक $1$ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,कुल $3$ हल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \cos^2 x = (\sqrt{3}-1) \cos x + 1$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x + \cos x - 1 = 0$
गुणनखंड करने पर: $\sqrt{3} \cos x (\cos x - 1) + 1 (\cos x - 1) = 0$
$(\sqrt{3} \cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$
यह दो स्थितियाँ देता है:
स्थिति $1$: $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$ (जो अंतराल $[0, \frac{\pi}{2}]$ में है)
स्थिति $2$: $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$। चूँकि $\cos x$ दूसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है और $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए इस स्थिति के लिए दिए गए अंतराल में कोई हल नहीं है।
अतः,केवल $1$ हल है,जो $x = 0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta = 1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$ है।
अतः,$1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta - \sin \theta \cos \theta = 0$ है।
$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$1 - \frac{\sin^{2} 2\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$2 - \sin^{2} 2\theta - \sin 2\theta = 0 \Rightarrow \sin^{2} 2\theta + \sin 2\theta - 2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(\sin 2\theta + 2)(\sin 2\theta - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
$\sin 2\theta = 1$ होगा,क्योंकि $\sin 2\theta = -2$ संभव नहीं है।
$\theta \in [0, 4\pi]$ के लिए,$2\theta \in [0, 8\pi]$ है।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}$ है।
$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}, \frac{13\pi}{4}$ है।
योग $S = 7\pi$ है।
इसलिए,$\frac{8S}{\pi} = 56$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $2 \cos x(4 \sin(\frac{\pi}{4}+x) \sin(\frac{\pi}{4}-x)-1)=1$
सर्वसमिका $\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos x(4(\sin^2(\frac{\pi}{4}) - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(4(\frac{1}{2} - \sin^2 x) - 1) = 1$
$2 \cos x(2 - 4\sin^2 x - 1) = 1$
$2 \cos x(1 - 4\sin^2 x) = 1$
चूंकि $1 - 4\sin^2 x = 4\cos^2 x - 3$,समीकरण इस प्रकार होगा:
$2 \cos x(4\cos^2 x - 3) = 1$
$8\cos^3 x - 6\cos x = 1$
$4\cos^3 x - 3\cos x = \frac{1}{2}$
त्रिक कोण सर्वसमिका $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ का उपयोग करने पर:
$\cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ दिया है,इसलिए $3x \in [0, 3\pi]$.
$3x$ के लिए हल $\frac{\pi}{3}, 2\pi - \frac{\pi}{3}, 2\pi + \frac{\pi}{3}$ हैं,अर्थात $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$.
अतः,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
हलों की संख्या $n = 3$.
योग $S = \frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} = \frac{13\pi}{9}$.

(A) दिया गया है $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$,जहाँ $x \in [0, 4\pi]$.
चूंकि $\sin^{2} x \leq 1$ और $\cos^{2} x \leq 1$,इसलिए $\sin^{7} x \leq \sin^{2} x$ और $\cos^{7} x \leq \cos^{2} x$ होता है।
अतः,$\sin^{7} x + \cos^{7} x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$।
समानता तभी संभव है जब $\sin^{7} x = \sin^{2} x$ और $\cos^{7} x = \cos^{2} x$ हो।
इसका अर्थ है कि $(\sin x = 0 \text{ या } \sin x = 1)$ और $(\cos x = 0 \text{ या } \cos x = 1)$।
स्थिति $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$। $\cos^{7} x = 1$ की जाँच करने पर,$x = 0, 2\pi, 4\pi$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \implies x = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2, 7\pi/2$। $\sin^{7} x = 1$ की जाँच करने पर,$x = \pi/2, 5\pi/2$ प्राप्त होते हैं।
अतः,कुल हल $x \in \{0, \pi/2, 2\pi, 5\pi/2, 4\pi\}$ हैं।
इस प्रकार,कुल $5$ हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $(\sin x + \sin 4x) + (\sin 2x + \sin 3x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{3x}{2} + 2 \sin \frac{5x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$
$2 \sin \frac{5x}{2} (\cos \frac{3x}{2} + \cos \frac{x}{2}) = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{5x}{2} (2 \cos x \cos \frac{x}{2}) = 0$
$4 \sin \frac{5x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2} = 0$
स्थिति $1$: $\sin \frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = n\pi \Rightarrow x = \frac{2n\pi}{5}$. $x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$x \in \{0, \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}, \frac{6\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}, 2\pi\}$.
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
स्थिति $3$: $\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \pi$.
सभी मानों का योग $= (0 + \frac{2\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} + \frac{6\pi}{5} + \frac{8\pi}{5} + 2\pi) + (\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}) + \pi = 6\pi + 2\pi + \pi = 9\pi$.

(D) दिया गया समीकरण: $\cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{4} \cos ^{2} 2 x$.
सर्वसमिका $\cos(A+B)\cos(A-B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{4}$ रखने पर:
$\frac{1}{4} - \sin^2 x = \frac{1}{4} \cos^2 2x$.
$4$ से गुणा करने पर:
$1 - 4 \sin^2 x = \cos^2 2x$.
$1 - 2 \sin^2 x = \cos 2x$ का उपयोग करने पर,$4 \sin^2 x = 2(1 - \cos 2x)$ प्राप्त होता है:
$1 - 2(1 - \cos 2x) = \cos^2 2x$.
$1 - 2 + 2 \cos 2x = \cos^2 2x$.
$\cos^2 2x - 2 \cos 2x + 1 = 0$.
$(\cos 2x - 1)^2 = 0$.
$\cos 2x = 1$.
$2x = 2n\pi \implies x = n\pi$.
$x \in [-3\pi, 3\pi]$ के लिए,$n$ के मान $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ हैं।
अतः,कुल $7$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 21 - 4 \cos^{2} x$
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 2 \sin^{2} x = 17 + 4 \sin^{2} x$
$14 \operatorname{cosec}^{2} x - 6 \sin^{2} x = 17$
माना $\sin^{2} x = p$,तो $\operatorname{cosec}^{2} x = \frac{1}{p}$:
$6p^{2} + 17p - 14 = 0$
$p = \frac{2}{3}$ (चूंकि $\sin^{2} x \geq 0$)
$\sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$
अंतराल $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}\right)$ में कुल $4$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $\sin x = \cos^{2} x$ है।
सर्वसमिका $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ का उपयोग करने पर,$\sin x = 1 - \sin^{2} x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,द्विघात समीकरण $\sin^{2} x + \sin x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $t = \sin x$,तो $t^{2} + t - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ होगा।
अंतराल $(0, 10)$ में,$10$ रेडियन लगभग $3.18\pi$ के बराबर है।
$(0, 2\pi)$ में $2$ हल मिलते हैं और $(2\pi, 3.18\pi)$ में $2$ और हल मिलते हैं।
कुल हलों की संख्या $4$ है।

(A) दिया गया समीकरण $2 \theta - \cos^{2} \theta + \sqrt{2} = 0$ है।
इसे $\cos^{2} \theta = 2 \theta + \sqrt{2}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
मान लीजिए $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ और $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$ है।
फलन $f(\theta) = \cos^{2} \theta$ एक आवर्ती फलन है जिसका परिसर $[0, 1]$ है।
फलन $g(\theta) = 2 \theta + \sqrt{2}$ एक सीधी रेखा है जिसका ढाल $2$ है और $y$-अंतःखंड $\sqrt{2} \approx 1.414$ है।
चूंकि $\cos^{2} \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,और $\theta > 0$ के लिए,$g(\theta) > \sqrt{2} > 1$ है,इसलिए $\theta > 0$ के लिए कोई हल नहीं है।
$\theta < 0$ के लिए,रेखा $g(\theta)$ वक्र $f(\theta)$ को ग्राफ में दिखाए अनुसार केवल एक बिंदु पर काटती है।

(C) हमें $x \in [-4 \pi, 4 \pi]$ के लिए $|\cos x| = \sin x$ को हल करना है।
चूंकि $|\cos x| \geq 0$,इसलिए $\sin x \geq 0$ होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $x$ प्रथम या द्वितीय चतुर्थांश में होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\cos x = \sin x \implies \tan x = 1$। $[0, 2 \pi]$ में,यह $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ देता है। $\sin x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए केवल $x = \frac{\pi}{4}$ हल है।
स्थिति $2$: $-\cos x = \sin x \implies \tan x = -1$। $[0, 2 \pi]$ में,यह $x = \frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}$ देता है। $\sin x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए केवल $x = \frac{3 \pi}{4}$ हल है।
इस प्रकार,प्रत्येक $2 \pi$ लंबाई के अंतराल में $2$ हल मिलते हैं।
$[-4 \pi, 4 \pi]$ अंतराल में,जिसमें $2 \pi$ लंबाई के $4$ अंतराल हैं,हलों की कुल संख्या $2 \times 4 = 8$ है।

(A) दिए गए समीकरण $2 \sin^{2} \theta - \cos 2\theta = 0$ और $2 \cos^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण के लिए:
$2 \sin^{2} \theta - (1 - 2 \sin^{2} \theta) = 0$
$4 \sin^{2} \theta = 1$
$\sin^{2} \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
द्वितीय समीकरण के लिए:
$2(1 - \sin^{2} \theta) + 3 \sin \theta = 0$
$2 - 2 \sin^{2} \theta + 3 \sin \theta = 0$
$2 \sin^{2} \theta - 3 \sin \theta - 2 = 0$
$(2 \sin \theta + 1)(\sin \theta - 2) = 0$.
$\sin \theta = 2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = -\frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
उभयनिष्ठ हल $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ हैं।
हलों का योग $= \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{18\pi}{6} = 3\pi$.
दिया गया योग $= k\pi$,अतः $k = 3$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta(1 + \sqrt{5} \tan 2\theta) = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \sqrt{5} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{5} - \tan 2\theta$
$\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{5}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
$\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{5}$
$\tan(3\theta) = \sqrt{5}$
मान लीजिए $\tan \alpha = \sqrt{5}$,जहाँ $\alpha \in (0, \pi/2)$ है। अतः $3\theta = n\pi + \alpha$,यानी $\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\alpha}{3}$।
$\theta \in [-\pi, \pi/2)$ के लिए $n$ के मानों की जाँच करने पर:
$n = -3, -2, -1, 0, 1$ के लिए $5$ हल प्राप्त होते हैं जो $S$ में स्थित हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin(9x) + \sin(3x) = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(6x) \cos(3x) = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin(6x) = 0$ या $\cos(3x) = 0$ है।
स्थिति $1$: $\sin(6x) = 0$ $\Rightarrow 6x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{6}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$n$ का मान $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ हो सकता है।
कुल $13$ मान प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $\cos(3x) = 0$ $\Rightarrow 3x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow x = (2k+1)\frac{\pi}{6}$,जहाँ $k \in \mathbb{Z}$ है।
ये मान पहले से ही स्थिति $1$ में शामिल हैं।
अतः,कुल हलों की संख्या $13$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin(x+x^2) - \sin(x^2) = \sin x$
सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \sin(\frac{A-B}{2}) \cos(\frac{A+B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{2x^2+x}{2}) = \sin x$
चूँकि $\sin x = 2 \sin(\frac{x}{2}) \cos(\frac{x}{2})$,समीकरण बनता है:
$2 \sin(\frac{x}{2}) [\cos(\frac{2x^2+x}{2}) - \cos(\frac{x}{2})] = 0$
स्थिति $1$: $\sin(\frac{x}{2}) = 0 \Rightarrow x = 2n\pi$। $n=1$ के लिए $x=2\pi \approx 6.28$,जो $[2, 3]$ के बाहर है।
स्थिति $2$: $\cos(\frac{2x^2+x}{2}) = \cos(\frac{x}{2}) \Rightarrow x^2 = 2k\pi$ या $x^2 + x - 2k\pi = 0$।
$k=1$ के लिए $x = \sqrt{2\pi} \approx 2.506$ और $x^2 + x - 2\pi = 0$ का धनात्मक हल $x \approx 2.055$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \cos \theta = \sin 2\theta$.
माना $t = \sin \theta + \cos \theta$. तब $t^2 = 1 + \sin 2\theta$,इसलिए $\sin 2\theta = t^2 - 1$.
समीकरण $t = t^2 - 1$ या $t^2 - t - 1 = 0$ बन जाता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$t$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
चूंकि $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \sqrt{2}$,यह मान संभव नहीं है।
अतः,$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ जो $-1$ और $0$ के बीच है।
इस प्रकार,अंतराल $[-\pi, \pi]$ में $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $2 \sin 3x + \sin 7x - 3 = 0$ है।
इसे $2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $2 \sin 3x + \sin 7x = 3$ तभी संभव है जब $\sin 3x = 1$ और $\sin 7x = 1$ दोनों हों।
$\sin 3x = 1$ के लिए,$x = \frac{(4n+1)\pi}{6}$ और $\sin 7x = 1$ के लिए,$x = \frac{(4m+1)\pi}{14}$ है।
अंतराल $[-2\pi, 2\pi]$ में इन दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान $x = \frac{3\pi}{2}$ और $x = -\frac{3\pi}{2}$ हैं।
अतः,कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $8 \sin^3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
सर्वसमिका $4 \sin^3 \theta = 3 \sin \theta - \sin 3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(3 \sin \theta - \sin 3 \theta) - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$6 \sin \theta - 2 \sin 3 \theta - 7 \sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta = 0$
$\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta = 2 \sin 3 \theta$
$2$ से भाग देने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta = \sin 3 \theta$
$\sin(60^{\circ} - \theta) = \sin 3 \theta$
$60^{\circ} - \theta = 3 \theta \implies 4 \theta = 60^{\circ} \implies \theta = 15^{\circ}$
चूंकि $15^{\circ}$,$(10^{\circ}, 20^{\circ})$ अंतराल में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\cos(\sin x) = \sin(\cos x)$ है।
हम जानते हैं कि $\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$.
अतः,$\cos(\sin x) = \cos(\frac{\pi}{2} - \cos x)$.
इसका अर्थ है कि $\sin x = 2n\pi \pm (\frac{\pi}{2} - \cos x)$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
स्थिति $1$: $\sin x + \cos x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.
$\sin x + \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ है।
$n=0$ के लिए,$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,जो परिसर के बाहर है।
स्थिति $2$: $\sin x - \cos x = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$.
$\sin x - \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \approx [-1.414, 1.414]$ है।
$n=0$ के लिए,$-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$,जो परिसर के बाहर है।
चूँकि किसी भी $n$ के लिए समीकरण का कोई हल नहीं है,इसलिए $X$ में अवयवों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^4 x + \frac{1}{\cos^2 x} = \sin^4 x + \frac{1}{\sin^2 x}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos^4 x - \sin^4 x = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर: $(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है: $\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}$
अतः $(\cos^2 x - \sin^2 x) \left(1 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}\right) = 0$
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\cos 2x \left(1 - \frac{4}{\sin^2 2x}\right) = 0$
इससे $\cos 2x = 0$ या $\sin^2 2x = 4$ प्राप्त होता है। चूंकि $\sin^2 2x$ का मान $4$ नहीं हो सकता,इसलिए $\cos 2x = 0$ होगा।
अतः,$2x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $x = (2n+1)\frac{\pi}{4}$.
अंतराल $[0, 2\pi]$ के लिए,हल $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ हैं।
इसलिए,कुल हलों की संख्या $4$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \frac{1}{2} \cos x = \sin^2(x + \frac{\pi}{4})$
$2$ से गुणा करने पर: $2 \sin x + \cos x = 2 \sin^2(x + \frac{\pi}{4})$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin x + \cos x = 2 [\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}]^2$
$2 \sin x + \cos x = 2 [\frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)]^2$
$2 \sin x + \cos x = 2 \times \frac{1}{2}(\sin x + \cos x)^2$
$2 \sin x + \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:
$2 \sin x + \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x$
$2 \sin x - 2 \sin x \cos x + \cos x - 1 = 0$
$2 \sin x(1 - \cos x) - 1(1 - \cos x) = 0$
$(2 \sin x - 1)(1 - \cos x) = 0$
इससे $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\cos x = 1$ प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$।
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$।
सभी $x$ का योग $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 0 = \pi$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos^7 \theta - \sin^4 \theta = 1$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos^7 \theta = 1 + \sin^4 \theta$
हम जानते हैं कि किसी भी $\theta$ के लिए,$\cos^7 \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है।
साथ ही,चूंकि $\sin^4 \theta \geq 0$,इसलिए दाहिना पक्ष $(RHS)$ $1 + \sin^4 \theta \geq 1$ को संतुष्ट करता है।
समानता बनाए रखने के लिए,दोनों पक्षों का मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$\cos^7 \theta = 1$ और $\sin^4 \theta = 0$ होना चाहिए।
$\cos^7 \theta = 1$ से,हमें $\cos \theta = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $[0, 2\pi]$ अंतराल में $\theta = 0, 2\pi$।
$\sin^4 \theta = 0$ से,हमें $\sin \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $[0, 2\pi]$ अंतराल में $\theta = 0, \pi, 2\pi$।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने वाले उभयनिष्ठ मान $\theta = 0$ और $\theta = 2\pi$ हैं।
अतः,दिए गए अंतराल में $2$ मूल हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = 2 \cos \frac{9 \theta}{2} \cos 3 \theta$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{5 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2} + \cos \frac{3 \theta}{2}$.
$\cos \frac{15 \theta}{2} = \cos \frac{5 \theta}{2}$.
व्यापक हल: $\frac{15 \theta}{2} = 2 k \pi \pm \frac{5 \theta}{2}$.
स्थिति $1$: $\frac{15 \theta}{2} - \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 5 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{2 k \pi}{5}$.
स्थिति $2$: $\frac{15 \theta}{2} + \frac{5 \theta}{2} = 2 k \pi$ $\Rightarrow 10 \theta = 2 k \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{k \pi}{5}$.
दोनों को मिलाने पर,$\theta = \frac{k \pi}{5}$ जहाँ $k \in \mathbb{Z}$.
$[-\pi, \pi]$ में,$\theta \in \{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}, 0, \frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$.
धनात्मक मान $(m)$: $\{\frac{\pi}{5}, \frac{2 \pi}{5}, \frac{3 \pi}{5}, \frac{4 \pi}{5}, \pi\}$,अतः $m = 5$.
ऋणात्मक मान $(n)$: $\{-\pi, -\frac{4 \pi}{5}, -\frac{3 \pi}{5}, -\frac{2 \pi}{5}, -\frac{\pi}{5}\}$,अतः $n = 5$.
इसलिए,$mn = 5 \times 5 = 25$.

(D) दिया गया समीकरण: $\log _{\cos x} \cot x+4 \log _{\sin x} \tan x=1$
माना $a = \ln \sin x$ और $b = \ln \cos x$ है। समीकरण $\frac{b-a}{b} + 4\frac{a-b}{a} = 1$ बन जाता है।
इसे सरल करने पर $t + \frac{4}{t} = 4$ प्राप्त होता है,जहाँ $t = \frac{a}{b}$ है।
अतः $(t-2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2$ है।
इससे $\ln \sin x = 2 \ln \cos x \Rightarrow \sin x = \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ प्राप्त होता है।
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $\alpha = -1$ और $\beta = 5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$\alpha + \beta = -1 + 5 = 4$।

(NONE) दिया गया समीकरण: $3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 \sin^2 \theta + 2 = 0$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए:
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2(1 - \cos^2 \theta) + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 5 \cos^2 \theta - 2 + 2 \cos^2 \theta + 2 = 0$
$3 \cos^4 \theta - 3 \cos^2 \theta = 0$
$3 \cos^2 \theta (\cos^2 \theta - 1) = 0$
$3 \cos^2 \theta (-\sin^2 \theta) = 0$
$-3 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos^2 \theta = 0$ या $\sin^2 \theta = 0$.
स्थिति $1$: $\cos^2 \theta = 0 \implies \cos \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ में,$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$.
स्थिति $2$: $\sin^2 \theta = 0 \implies \sin \theta = 0$. $[0, 2\pi]$ में,$\theta = 0, \pi, 2\pi$.
समुच्चय $S = \{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi\}$.
अवयवों की संख्या $5$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $4 \cos \theta + 5 \sin \theta = 1$.
$\cos \theta$ से विभाजित करने पर: $4 + 5 \tan \theta = \sec \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4 + 5 \tan \theta)^2 = 1 + \tan^2 \theta$.
$24 \tan^2 \theta + 40 \tan \theta + 15 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $\tan \theta = \frac{-10 \pm \sqrt{10}}{12}$.
शर्त $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$ के अनुसार,सही विकल्प $C$ है.