Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $4 \sin^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4(1 - \cos^2 x) - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$4 - 4 \cos^2 x - 4 \cos^3 x + 9 - 4 \cos x = 0$
$-4 \cos^3 x - 4 \cos^2 x - 4 \cos x + 13 = 0$
$4 \cos^3 x + 4 \cos^2 x + 4 \cos x = 13$
माना $f(t) = 4t^3 + 4t^2 + 4t$ जहाँ $t = \cos x \in [-1, 1]$ है।
$[-1, 1]$ पर $f(t)$ का अधिकतम मान $t = 1$ पर प्राप्त होता है:
$f(1) = 4(1)^3 + 4(1)^2 + 4(1) = 4 + 4 + 4 = 12$.
चूँकि बाएँ पक्ष का अधिकतम मान $12$ है,यह कभी भी $13$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,कोई हल नहीं है।

(A) दिया गया है $4 \cos \theta - 3 \sin \theta = 1$.
अर्ध-कोण प्रतिस्थापन $t = \tan \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $4 \left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \right) - 3 \left( \frac{2t}{1 + t^2} \right) = 1$.
$4 - 4t^2 - 6t = 1 + t^2 \implies 5t^2 + 6t - 3 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $t = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-3 + 2 \sqrt{6}}{5}$ (चूंकि $t > 0$)।
$\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ की गणना करने पर,हमें $\frac{4}{3 \sqrt{6} - 2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $2 \sin^2 \theta - \cos 2 \theta = 0$ और $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ हैं।
पहले समीकरण से,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0$,जो $4 \sin^2 \theta = 1$ में सरल होता है,अतः $\sin^2 \theta = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \pm \frac{1}{2}$।
दूसरे समीकरण से,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0$,जो $2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2}$ होगा।
दोनों शर्तों को संतुष्ट करने पर,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $[0, 2 \pi]$ में,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \frac{5 \pi}{6}$ मान मिलते हैं।
अतः,कुल $2$ हल हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{5}{4} \cos ^2 2x + (\cos ^4 x + \sin ^4 x) + (\cos ^6 x + \sin ^6 x) = 2$
हम जानते हैं कि $\cos ^4 x + \sin ^4 x = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x$
और $\cos ^6 x + \sin ^6 x = 1 - 3 \sin ^2 x \cos ^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin ^2 2x$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{5}{4} \cos ^2 2x + (1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x) + (1 - \frac{3}{4} \sin ^2 2x) = 2$
$\frac{5}{4} \cos ^2 2x + 2 - \frac{5}{4} \sin ^2 2x = 2$
$\frac{5}{4} (\cos ^2 2x - \sin ^2 2x) = 0$
$\frac{5}{4} \cos 4x = 0$
$\cos 4x = 0$,जहाँ $x \in [0, 2\pi] \Rightarrow 4x \in [0, 8\pi]$
$4x$ के वे मान जिनके लिए $\cos 4x = 0$ है,वे $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \frac{13\pi}{2}, \frac{15\pi}{2}$ हैं।
अतः,कुल $8$ भिन्न हल प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + (2 - \sqrt{6}) \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2 \sqrt{2} \cos^2 \theta + 2 \cos \theta - \sqrt{6} \cos \theta - \sqrt{3} = 0$
$2 \cos \theta (\sqrt{2} \cos \theta + 1) - \sqrt{3} (\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
$(2 \cos \theta - \sqrt{3})(\sqrt{2} \cos \theta + 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$2) \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta \in [-2 \pi, 2 \pi]$ के लिए:
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,हल $\theta = \pm \frac{\pi}{6}, \pm \frac{11 \pi}{6}$ ($4$ हल) हैं।
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,हल $\theta = \pm \frac{3 \pi}{4}, \pm \frac{5 \pi}{4}$ ($4$ हल) हैं।
कुल हलों की संख्या $= 4 + 4 = 8$.

(A) माना $x = \operatorname{cosec} \theta$. समीकरण $\sqrt{3}x^2 - 2(\sqrt{3}-1)x - 4 = 0$ हो जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{4(\sqrt{3}-1)^2 + 16\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}$
$x = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm \sqrt{16+8\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3}-1) \pm (2\sqrt{3}+2)}{2\sqrt{3}}$.
स्थिति $1$: $x = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$.
स्थिति $2$: $x = -\frac{2}{\sqrt{3}} \implies \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अंतराल $\theta \in [-\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$ में,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ के $3$ हल हैं और $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के $3$ हल हैं।
कुल हलों की संख्या = $3 + 3 = 6$.

(B) दिया गया समीकरण $2x + 3 \tan x = \pi$ है।
इसे $\tan x = \frac{\pi}{3} - \frac{2x}{3}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $x \in [-2\pi, 2\pi]$ में $y = \tan x$ और $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ के ग्राफ खींचते हैं।
$y = \tan x$ फलन के $x = \pm \frac{\pi}{2}$ और $x = \pm \frac{3\pi}{2}$ पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी (asymptotes) हैं।
रेखा $y = -\frac{2}{3}x + \frac{\pi}{3}$ का ढाल ऋणात्मक है और यह $(0, \frac{\pi}{3})$ से होकर गुजरती है।
$\tan x$ के ग्राफ और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का अवलोकन करने पर,हम देख सकते हैं कि दिए गए डोमेन में $5$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।
अतः,हलों की संख्या $5$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $(4-\sqrt{3}) \sin x - 2 \sqrt{3} \cos^2 x = -\frac{4}{1+\sqrt{3}}$
$RHS$ का परिमेयकरण करने पर: $-\frac{4(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = 2 - 2\sqrt{3}$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ रखने पर:
$2\sqrt{3} \sin^2 x + (4-\sqrt{3}) \sin x - 2 = 0$
$(2 \sin x - 1)(\sqrt{3} \sin x + 2) = 0$
$\sin x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $x \in [-2\pi, \frac{5\pi}{2}]$ में $\sin x = \frac{1}{2}$ के हल: $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $5$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} + \cos \frac{5 \theta}{2} = 2 \cos^3 \frac{5 \theta}{2}$
सर्वसमिका $2 \cos^3 A - \cos A = \cos 3A$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos \frac{15 \theta}{2}$
इस समीकरण का हल $\theta = \frac{n \pi}{3}$ और $\theta = \frac{2n \pi}{9}$ प्राप्त होता है।
अंतराल $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ में हल $\theta \in \{-\frac{4 \pi}{9}, -\frac{\pi}{3}, -\frac{2 \pi}{9}, 0, \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{9}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $7$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
दोनों पक्षों को $\cos x$ से गुणा करने पर (जहाँ $\cos x \neq 0$): $\sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर: $\sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2 \sin x - 1)(\sin x + 1) = 0$
इससे दो संभावित मान मिलते हैं: $\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = -1$
स्थिति $1$: यदि $\sin x = -1$,तो $x = \frac{3 \pi}{2}$। $x = \frac{3 \pi}{2}$ पर $\cos x = 0$ होता है,जिससे $\tan x$ और $\sec x$ अपरिभाषित हो जाते हैं। अतः,यह एक मान्य हल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $\sin x = \frac{1}{2}$,तो $x = \frac{\pi}{6}$ या $x = \frac{5 \pi}{6}$। दोनों मान अंतराल $[0, 2 \pi]$ के भीतर हैं और इन बिंदुओं पर $\cos x \neq 0$ है।
इसलिए,कुल $2$ मान्य हल हैं।

(D) माना $e^{\sin x} = y$. चूँकि $e^{\sin x} > 0$,इसलिए $y > 0$.
समीकरण $y - \frac{1}{y} = 4$ हो जाता है,जो $y^2 - 4y - 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$y = 2 \pm \sqrt{5}$.
चूँकि $y > 0$,इसलिए $y = 2 + \sqrt{5}$.
अतः,$e^{\sin x} = 2 + \sqrt{5}$ अर्थात $\sin x = \ln(2 + \sqrt{5})$.
चूँकि $\sqrt{5} \approx 2.236$,इसलिए $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$.
चूँकि $e \approx 2.718$,इसलिए $\ln(4.236) > 1$.
अतः,$\sin x > 1$,जो किसी भी वास्तविक $x$ के लिए संभव नहीं है।
इसलिए,दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण $\tan 3\theta = \cot \theta$ है।
हम जानते हैं कि $\cot \theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$।
अतः,$\tan 3\theta = \tan(\frac{\pi}{2} - \theta)$।
$\tan x = \tan y$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + y$ होता है,जहाँ $n \in Z$।
इसलिए,$3\theta = n\pi + (\frac{\pi}{2} - \theta)$।
दोनों पक्षों में $\theta$ जोड़ने पर,हमें $4\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$4\theta = \frac{(2n+1)\pi}{2}$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $\theta = \frac{(2n+1)\pi}{8}$ प्राप्त होता है,जहाँ $n \in Z$।

(A) दिया गया है $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
सर्वसमिका $\cos(x) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ का उपयोग करने पर:
$\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
इसका अर्थ है $\frac{\pi}{4} \cot \theta = n \pi + (-1)^n \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$.
$n=0$ के लिए,$\frac{\pi}{4} \cot \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \tan \theta \implies \cot \theta + \tan \theta = 2 \implies \frac{1}{\tan \theta} + \tan \theta = 2$.
माना $\tan \theta = t$,तब $\frac{1}{t} + t = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies \tan \theta = 1$.
अतः,$\theta = n \pi + \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया समीकरण $(5+3 \sin \theta)(2 \cos \theta+1)=0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $(5+3 \sin \theta)=0$ या $(2 \cos \theta+1)=0$ है।
स्थिति $1$: $5+3 \sin \theta = 0 \implies \sin \theta = -\frac{5}{3}$। चूँकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $2 \cos \theta + 1 = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में होता है।
अंतराल $[0, 2\pi)$ में,हल $\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ हैं।
अतः,मुख्य हल $\frac{2\pi}{3}$ और $\frac{4\pi}{3}$ हैं।

(D) $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,मुख्य मान $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ और $\theta = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$ हैं।
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,मुख्य मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ और $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7 \pi}{6}$ हैं।
दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ मान $\theta = \frac{7 \pi}{6}$ है।
हालाँकि,$\tan \theta$ का मुख्य हल अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ में परिभाषित होता है,जहाँ $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ से $\theta = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$,इसलिए कोई उभयनिष्ठ मुख्य हल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan^2 \theta + \sec 2\theta = 1$
हम जानते हैं कि $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$ और $\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta}$।
मान रखने पर,$\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} + \frac{1}{\cos 2\theta} = 1$।
मान लीजिए $x = \cos 2\theta$। तो $\frac{1-x}{1+x} + \frac{1}{x} = 1$।
$\frac{x(1-x) + 1+x}{x(1+x)} = 1 \implies x - x^2 + 1 + x = x + x^2$।
$2x^2 - x - 1 = 0 \implies (2x + 1)(x - 1) = 0$।
स्थिति $1$: $\cos 2\theta = 1 \implies 2\theta = 2n\pi \implies \theta = n\pi$।
स्थिति $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{2} \implies 2\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \implies \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \sqrt{3} \cos^2 \theta = \sin \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 \sqrt{3} (1 - \sin^2 \theta) = \sin \theta$
$2 \sqrt{3} \sin^2 \theta + \sin \theta - 2 \sqrt{3} = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर,$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin \theta = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ (जो संभव नहीं है)।
अतः,$\sin \theta = \sin \frac{\pi}{3}$
व्यापक हल: $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{3}, n \in Z$.

(C) दिया गया समीकरण $\tan \theta = \tan \alpha$ है।
चूंकि टेंजेंट फलन का आवर्तकाल $\pi$ है,इसलिए $\tan \theta = \tan \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n \pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin^2 \theta - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta = \frac{1}{4}$
$4 - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta = 1$
$4\cos^2 \theta + 4\cos \theta - 3 = 0$
माना $x = \cos \theta$,तो $4x^2 + 4x - 3 = 0$
$(2x - 1)(2x + 3) = 0$
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -\frac{3}{2}$ (अमान्य)
$[0, 2\pi]$ में $\cos \theta = \frac{1}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$ या $\theta = \frac{5\pi}{3}$
अतः,हल समुच्चय $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin x - 3 \sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3 \cos 2x + \cos 3x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) - 3 \sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3 \cos 2x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2 \sin 2x \cos x - 3 \sin 2x = 2 \cos 2x \cos x - 3 \cos 2x$
$\sin 2x (2 \cos x - 3) = \cos 2x (2 \cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2 \cos x - 3) = 0$
चूंकि $2 \cos x - 3 = 0$ का अर्थ $\cos x = 1.5$ है,जो असंभव है,इसलिए $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}, n \in Z$

(A) दिया गया समीकरण: $\tan(x+100^{\circ}) = \tan(x+50^{\circ}) \tan(x) \tan(x-50^{\circ})$
$x = 30^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$LHS$: $\tan(30^{\circ}+100^{\circ}) = \tan(130^{\circ}) = -\tan 50^{\circ}$.
$RHS$: $\tan(80^{\circ}) \tan(30^{\circ}) \tan(-20^{\circ})$.
ये मान समान हैं,इसलिए $x = 30^{\circ}$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin ^2 x - \cos 2 x = 2 - \sin 2 x$
सर्वसमिकाओं $\cos 2 x = 1 - 2 \sin ^2 x$ और $\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\sin ^2 x - (1 - 2 \sin ^2 x) = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x - 1 = 2 - 2 \sin x \cos x$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 = 0$
चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,इसलिए $3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3(\sin ^2 x + \cos ^2 x) = 0$
$3 \sin ^2 x + 2 \sin x \cos x - 3 \sin ^2 x - 3 \cos ^2 x = 0$
$2 \sin x \cos x - 3 \cos ^2 x = 0$
$\cos x (2 \sin x - 3 \cos x) = 0$
इसका अर्थ है $\cos x = 0$ या $2 \sin x - 3 \cos x = 0$।
दिया गया है कि $3 \cos x \neq 2 \sin x$,इसलिए $\cos x = 0$ होना चाहिए।
$\cos x = 0$ के लिए व्यापक हल $x = (2 n + 1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x + \cos x = 1$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin \theta = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$x + \frac{\pi}{4} = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}$
$x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}, n \in Z$.

(B) दिया गया समीकरण $\frac{\tan 3x - 1}{\tan 3x + 1} = \sqrt{3}$ है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan 3x - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan 3x \tan(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{3}$.
अतः,$\tan(3x - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{3})$.
व्यापक हल के लिए,$3x - \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{3}$.
$3x = n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{7\pi}{12}$.
$x = \frac{n\pi}{3} + \frac{7\pi}{36}$.
$x = \frac{n\pi}{p} + \frac{7\pi}{q}$ से तुलना करने पर,$p = 3$ और $q = 36$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{p}{q} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos ^2 \theta - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} = 0$
$\cos ^2 \theta = 1 - \sin ^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - \sin ^2 \theta) - 2 \sin \theta + \frac{1}{4} = 0$
$\sin ^2 \theta + 2 \sin \theta - \frac{5}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$4 \sin ^2 \theta + 8 \sin \theta - 5 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$4 \sin ^2 \theta + 10 \sin \theta - 2 \sin \theta - 5 = 0$
$2 \sin \theta(2 \sin \theta + 5) - 1(2 \sin \theta + 5) = 0$
$(2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 5) = 0$
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{2}$ या $\sin \theta = -\frac{5}{2}$.
चूँकि $-1 \le \sin \theta \le 1$,$\sin \theta = -\frac{5}{2}$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$.
व्यापक हल $\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}$ है।
$\theta = \frac{n \pi}{A} + (-1)^n \frac{\pi}{B}$ से तुलना करने पर,$A = 1$ और $B = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$A + B = 1 + 6 = 7$.

(C) दिया गया समीकरण: $3 \sec^2 \theta = 2 \operatorname{cosec} \theta$
$\Rightarrow \frac{3}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\Rightarrow \frac{3}{1 - \sin^2 \theta} = \frac{2}{\sin \theta}$
$\Rightarrow 3 \sin \theta = 2 - 2 \sin^2 \theta$
$\Rightarrow 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$
$\Rightarrow (2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$
चूँकि $\sin \theta = -2$ संभव नहीं है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$।
$\sin \theta = \sin \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n \pi + (-1)^n \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n \pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, n \in Z$।

(A) दिया गया समीकरण $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ के लिए परिभाषित है।
दिया गया समीकरण: $\sec x + \tan x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow 1 + \sin x = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
चूंकि $\sin x = -1$ होने पर $\cos x = 0$ हो जाता है,जो अपरिभाषित है,इसलिए $1 + \sin x \neq 0$ है।
दोनों पक्षों को $(1 + \sin x)$ से विभाजित करने पर:
$1 = 2(1 - \sin x)$
$\Rightarrow 1 = 2 - 2 \sin x$
$\Rightarrow 2 \sin x = 1$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
अंतराल $[0, 2 \pi)$ में,हल $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $\cot x + \sqrt{3} = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\cot x = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$,और कोटिस्पर्शज्या (cotangent) फलन दूसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए:
$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}$
अतः,मुख्य हल $\frac{5 \pi}{6}$ और $\frac{11 \pi}{6}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \sin^{2} x + 7 \cos x = 5$
चूंकि $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1 - \cos^{2} x) + 7 \cos x = 5$
$2 - 2 \cos^{2} x + 7 \cos x = 5$
$2 \cos^{2} x - 7 \cos x + 3 = 0$
मान लीजिए $t = \cos x$. तब $2t^{2} - 7t + 3 = 0$
$2t^{2} - 6t - t + 3 = 0$
$2t(t - 3) - 1(t - 3) = 0$
$(2t - 1)(t - 3) = 0$
अतः,$t = \frac{1}{2}$ या $t = 3$.
चूंकि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $t = 3$ संभव नहीं है।
अतः,$\cos x = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है $\cos 2x = -\frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि अंतराल $[0, 2\pi]$ में $\theta = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \frac{4\pi}{3}$ के लिए $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ होता है।
इसलिए,$2x = \frac{2\pi}{3}$ या $2x = \frac{4\pi}{3}$।
$x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \frac{\pi}{3}$ या $x = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}=3$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$ और $1+\cos 2x = 2\cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2\sin^2 x}{2\cos^2 x} = 3$
$\tan^2 x = 3$
चूँकि $\tan^2 x = 3$,इसलिए $\tan^2 x = (\sqrt{3})^2 = \tan^2 \frac{\pi}{3}$।
$\tan^2 x = \tan^2 \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \sin (4 \theta) + \sin (7 \theta) = 0$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करके,$\sin \theta$ और $\sin (7 \theta)$ को संयोजित करने पर:
$2 \sin (4 \theta) \cos (3 \theta) + \sin (4 \theta) = 0$.
$\sin (4 \theta)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin (4 \theta) (2 \cos (3 \theta) + 1) = 0$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\sin (4 \theta) = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए,मान $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ हैं।
मामला $2$: $2 \cos (3 \theta) + 1 = 0 \implies \cos (3 \theta) = -\frac{1}{2}$.
$3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए:
यदि $n=0$,तो $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
यदि $n=1$,तो $\theta = \frac{4 \pi}{9}$ और $\theta = \frac{8 \pi}{9}$.
सभी मानों को संयोजित करने पर,$\theta \in \{ \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{9} \}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = 16^{\sin ^2 x}$. चूँकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,इसलिए $16^{\cos ^2 x} = \frac{16}{y}$ होगा।
समीकरण: $y + \frac{16}{y} = 10 \implies y^2 - 10y + 16 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y - 8)(y - 2) = 0$,अतः $y = 8$ या $y = 2$.
स्थिति $1$: $16^{\sin ^2 x} = 8 \implies 4 \sin ^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. इसके $4$ हल हैं।
स्थिति $2$: $16^{\sin ^2 x} = 2 \implies 4 \sin ^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$. इसके $4$ हल हैं।
कुल हलों की संख्या = $4 + 4 = 8$.

(C) दिया गया समीकरण $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ है।
माना $t = \sin x$. समीकरण $2t^2 + 5t - 3 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(2t - 1)(t + 3) = 0$.
अतः $t = \frac{1}{2}$ या $t = -3$.
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,इसलिए $\sin x = -3$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin x = \frac{1}{2}$ को हल करने पर।
अंतराल $[0, 3\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{2}$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ प्राप्त होते हैं।
कुल $3$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $1 - \cos \theta = \sin \theta \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} (1 - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
स्थिति $1$: $\sin^2 \frac{\theta}{2} = 0 \implies \frac{\theta}{2} = n\pi \implies \theta = 2n\pi$
स्थिति $2$: $1 - \cos \frac{\theta}{2} = 0 \implies \cos \frac{\theta}{2} = 1 \implies \frac{\theta}{2} = 2n\pi \implies \theta = 4n\pi$
दोनों को मिलाने पर,हल $\theta = 2n\pi$ या $\theta = 4n\pi$ है,जहाँ $n \in Z$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3 \sin^2 x - 7 \sin x + 2 = 0$ है।
माना $t = \sin x$,तो समीकरण $3t^2 - 7t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3t^2 - 6t - t + 2 = 0 \implies 3t(t - 2) - 1(t - 2) = 0 \implies (3t - 1)(t - 2) = 0$।
अतः,$t = \frac{1}{3}$ या $t = 2$।
चूंकि $\sin x$ का मान $2$ नहीं हो सकता,इसलिए $\sin x = \frac{1}{3}$।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए $2$ हल मिलते हैं।
अंतराल $[2\pi, 4\pi]$ में,$2$ और हल मिलते हैं।
अंतराल $[4\pi, 5\pi]$ में,$1$ हल मिलता है।
कुल हलों की संख्या = $2 + 2 + 1 = 5$।

(C) दिया गया समीकरण: $(1-\tan \theta)(1+\tan \theta) \sec ^2 \theta+2 \tan ^2 \theta=0$
$(1-\tan^2 \theta)(1+\tan^2 \theta) + 2\tan^2 \theta = 0$ का उपयोग करने पर
माना $x = \tan^2 \theta$. चूँकि $\theta \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,इसलिए $x \ge 0$.
समीकरण $(1-x)(1+x) + 2x = 0$ हो जाता है
$1 - x^2 + 2x = 0$
$x^2 - 2x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर $x = 1 \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x = \tan^2 \theta \ge 0$,इसलिए $x = 1 + \sqrt{2}$ लेने पर।
अतः,$\tan^2 \theta = 1 + \sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}}$.
इस प्रकार,$\theta$ के दो मान प्राप्त होते हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर: $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sin \frac{\pi}{3} \cos \theta + \cos \frac{\pi}{3} \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
सूत्र $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर: $\sin \left(\theta + \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{4}$
$\sin x = \sin \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n \pi + (-1)^{n} \alpha$ होता है: $\theta + \frac{\pi}{3} = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4}, n \in Z$
अतः,$\theta = n \pi + (-1)^{n} \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, n \in Z$

(D) दिया गया समीकरण $x \neq \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ के लिए परिभाषित है।
दिया है: $\tan x + \sec x = 2 \cos x$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{1}{\cos x} = 2 \cos x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2 \cos^2 x$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin^2 x)$
$\Rightarrow \sin x + 1 = 2(1 - \sin x)(1 + \sin x)$
$\Rightarrow (1 + \sin x)[2(1 - \sin x) - 1] = 0$
चूंकि $\sin x = -1$ का अर्थ है $\cos x = 0$,जो $\tan x$ और $\sec x$ को अपरिभाषित बनाता है,इसलिए $1 + \sin x \neq 0$ है।
अतः,$2(1 - \sin x) - 1 = 0$
$\Rightarrow 2 - 2 \sin x - 1 = 0$
$\Rightarrow 2 \sin x = 1$
$\Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
$[0, 2 \pi]$ अंतराल में,$\sin x = \frac{1}{2}$ का मान $x = \frac{\pi}{6}$ और $x = \frac{5 \pi}{6}$ पर होता है।
अतः,हलों की संख्या $2$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin 7 \theta + \sin \theta + \sin 4 \theta = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4 \theta \cos 3 \theta + \sin 4 \theta = 0$
$\sin 4 \theta (2 \cos 3 \theta + 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 4 \theta = 0 \implies 4 \theta = n \pi \implies \theta = \frac{n \pi}{4}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए,$n = 1, 2, 3$,अतः $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\cos 3 \theta = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2 \pi}{3} \implies 3 \theta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies \theta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$.
$\theta \in (0, \pi)$ के लिए:
यदि $n=0$,तो $\theta = \frac{2 \pi}{9}$.
यदि $n=1$,तो $\theta = \frac{2 \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{9}, \frac{4 \pi}{9}$.
हल $\theta \in \{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{2 \pi}{9}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{8 \pi}{9}\}$ हैं।
कुल हलों की संख्या $= 6$.

(C) दिया गया समीकरण: $8 \cos^2 \theta + 14 \cos \theta + 5 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $8 \cos^2 \theta + 10 \cos \theta + 4 \cos \theta + 5 = 0$
$\therefore 2 \cos \theta (4 \cos \theta + 5) + 1 (4 \cos \theta + 5) = 0$
$\therefore (2 \cos \theta + 1)(4 \cos \theta + 5) = 0$
$\therefore \cos \theta = -\frac{1}{2}$ या $\cos \theta = -\frac{5}{4}$
चूँकि $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos \theta = -\frac{5}{4}$ संभव नहीं है।
$\therefore \cos \theta = -\frac{1}{2}$
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ के लिए $\theta = \frac{2\pi}{3}$ और $\theta = \frac{4\pi}{3}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,हल समुच्चय $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x = \sin 3x$
$\sin 3x (2 \cos 2x - 1) = 0$
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0 \implies x = \frac{n\pi}{3}$. अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $x = \frac{\pi}{3}$ एक हल है।
स्थिति $2$: $\cos 2x = \frac{1}{2} \implies 2x = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \implies x = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. अंतराल $(0, \frac{\pi}{2})$ के लिए $x = \frac{\pi}{6}$ एक हल है।
अतः,हल $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}$ हैं।

(A) दिया गया है $\tan 3 \theta = -1$.
चूँकि $\tan \frac{3 \pi}{4} = -1$,इसलिए $\tan 3 \theta = \tan \frac{3 \pi}{4}$.
व्यापक हल $3 \theta = n \pi + \frac{3 \pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
$3$ से भाग देने पर,$\theta = \frac{n \pi}{3} + \frac{\pi}{4}$.
मुख्य हलों के लिए,$\theta \in [0, 2 \pi)$ पर विचार करें।
$n = 0$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
$n = 1$ के लिए,$\theta = \frac{7 \pi}{12}$.
$n = 2$ के लिए,$\theta = \frac{11 \pi}{12}$.
$n = 3$ के लिए,$\theta = \frac{5 \pi}{4}$.
$n = 4$ के लिए,$\theta = \frac{19 \pi}{12}$.
$n = 5$ के लिए,$\theta = \frac{23 \pi}{12}$.
अतः,हलों का समुच्चय $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{11 \pi}{12}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{19 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12}\right\}$ है।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{3} \operatorname{cosec} x + 2 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\operatorname{cosec} x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x}$,इसलिए $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
चूंकि $\sin x$ तीसरे और चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए मुख्य हल हैं:
$x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4 \pi}{3}$
$x = 2 \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5 \pi}{3}$
अतः,मुख्य हल $\frac{4 \pi}{3}$ और $\frac{5 \pi}{3}$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3} \sec x + 2 = 0$
$\sec x = -\frac{2}{\sqrt{3}}$
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos x$ दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है,इसलिए हम अंतराल $[0, 2\pi)$ में मुख्य हल ज्ञात करते हैं।
$\cos x = -\cos(\frac{\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6})$
$\cos x = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6})$
अतः,मुख्य हल $x = \frac{5\pi}{6}$ और $x = \frac{7\pi}{6}$ हैं।

(A) दिया गया है $\cot x = \sqrt{3}$।
चूँकि $\cot x = \frac{1}{\tan x}$,इसलिए $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $x$ के मुख्य मान $(0, 2\pi)$ अंतराल में होते हैं।
प्रथम चतुर्थांश में,$x = \frac{\pi}{6}$ पर $\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होता है।
चूँकि $\tan x$ तीसरे चतुर्थांश में धनात्मक होता है,इसलिए दूसरा हल $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।
अतः,मुख्य हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{7\pi}{6}$ हैं।