Solution of trigonometrical equations Questions in Hindi

(A) दिया गया है $\sin 2\theta = \cos 3\theta$.
इसे $\sin 2\theta = \sin(\frac{\pi}{2} - 3\theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\sin x = \sin y$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + (-1)^n y$ है।
स्थिति $1$: $2\theta = 2n\pi + (\frac{\pi}{2} - 3\theta)$ $\Rightarrow 5\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{2n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$.
$n=0$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{10} = 18^\circ$.
स्थिति $2$: $2\theta = (2n+1)\pi - (\frac{\pi}{2} - 3\theta) \Rightarrow \theta = -2n\pi - \frac{\pi}{2}$.
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,हम $\theta = 18^\circ$ लेते हैं।
अतः $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

(A) दिया गया समीकरण: $4\sin^4 x + \cos^4 x = 1$
हम जानते हैं कि $\cos^4 x = (1 - \sin^2 x)^2 = 1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$4\sin^4 x + (1 - 2\sin^2 x + \sin^4 x) = 1$
$5\sin^4 x - 2\sin^2 x = 0$
$\sin^2 x(5\sin^2 x - 2) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin^2 x = 0$ $\Rightarrow \sin x = 0$ $\Rightarrow x = n\pi$.
स्थिति $2$: $5\sin^2 x = 2$ $\Rightarrow \sin^2 x = \frac{2}{5}$ $\Rightarrow \sin x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$.
अतः $x = n\pi$ अभीष्ट उत्तर है।

(A) दिया गया समीकरण $\cos 3x + \sin \left( 2x - \frac{7\pi}{6} \right) = -2$ है।
चूंकि $\cos \theta$ और $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए योग $-2$ केवल तभी हो सकता है जब $\cos 3x = -1$ और $\sin \left( 2x - \frac{7\pi}{6} \right) = -1$ हो।
$\cos 3x = -1$ के लिए,$3x = (2k + 1)\pi \Rightarrow x = \frac{(2k + 1)\pi}{3}$।
$\sin \left( 2x - \frac{7\pi}{6} \right) = -1$ के लिए,$2x - \frac{7\pi}{6} = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow 2x = 2n\pi + \frac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow x = n\pi + \frac{\pi}{3}$।
$x$ के मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = \frac{\pi}{3}(6k + 1)$ दोनों शर्तों को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया व्यंजक $\frac{\tan 3x - \tan 2x}{1 + \tan 3x \tan 2x} = 1$ है।
सर्वसमिका $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(3x - 2x) = 1$ प्राप्त होता है,जो $\tan x = 1$ में सरल हो जाता है।
$\tan x = 1$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
हालाँकि,हमें मूल व्यंजक के प्रांत की जाँच करनी चाहिए। यदि $\tan 3x$ या $\tan 2x$ अपरिभाषित है,या $1 + \tan 3x \tan 2x = 0$ है,तो व्यंजक अपरिभाषित हो जाता है।
यदि $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ है,तो $2x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ होगा।
चूँकि $\tan 2x = \tan(2n\pi + \frac{\pi}{2})$ अपरिभाषित है,इसलिए $x = n\pi + \frac{\pi}{4}$ के लिए व्यंजक अपरिभाषित है।
अतः,$x$ का कोई भी मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
सही समुच्चय $\phi$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\tan \theta + \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{3}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{3}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ से विभाजित करने पर,$\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,$\tan(3\theta) = \sqrt{3}$ मिलता है।
चूंकि $\tan(\pi / 3) = \sqrt{3},$ इसलिए $\tan(3\theta) = \tan(\pi / 3).$
व्यापक हल $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, \forall n \in I$ है।
$3$ से विभाजित करने पर,$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{9} = (3n + 1)\frac{\pi}{9}, \forall n \in I$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $1 - \cos \theta = \sin \theta \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}) \cdot \sin \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} (1 - \cos \frac{\theta}{2}) = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin^2 \frac{\theta}{2} = 0$ या $\cos \frac{\theta}{2} = 1$ है।
यदि $\sin \frac{\theta}{2} = 0$,तो $\frac{\theta}{2} = k\pi \implies \theta = 2k\pi$।
यदि $\cos \frac{\theta}{2} = 1$,तो $\frac{\theta}{2} = 2k\pi \implies \theta = 4k\pi$।
चूंकि $k \in I$ के लिए $4k\pi$,$2k\pi$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए सामान्य हल $\theta = 2k\pi, k \in I$ है।

(B) दिया गया है: $\frac{\tan 3\theta - 1}{\tan 3\theta + 1} = \sqrt{3}$
हम जानते हैं कि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{\tan 3\theta - \tan(\frac{\pi}{4})}{1 + \tan 3\theta \cdot \tan(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{3}$
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(3\theta - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\tan(3\theta - \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{3})$
$\tan x = \tan \alpha$ के लिए व्यापक हल $x = n\pi + \alpha$ है:
$3\theta - \frac{\pi}{4} = n\pi + \frac{\pi}{3}$
$3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$
$3\theta = n\pi + \frac{7\pi}{12}$
$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{7\pi}{36}$

(A) दिया गया समीकरण: $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$
सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$
$2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0$
$-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$
$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circ, 150^\circ$
$2) \sin x = 1 \Rightarrow x = 90^\circ$
अतः,$x$ के मान $30^\circ, 90^\circ, 150^\circ$ हैं।

(D) व्यंजक $f(x) = \sin x + \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a=1$ और $b=1$ है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
चूँकि $\sqrt{2} \approx 1.414$ है,जो $2$ से कम है,इसलिए समीकरण $\sin x + \cos x = 2$ को $x$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस समीकरण का कोई हल नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $2\sin^2 \theta = 4 + 3\cos \theta$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \cos^2 \theta) = 4 + 3\cos \theta$
$2 - 2\cos^2 \theta = 4 + 3\cos \theta$
$\cos \theta$ में द्विघात समीकरण बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta + 2 = 0$
माना $x = \cos \theta$. समीकरण $2x^2 + 3x + 2 = 0$ हो जाता है।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7$ है।
चूंकि विविक्तकर ऋणात्मक है $(D < 0)$,इसलिए $\cos \theta$ के लिए कोई वास्तविक मान नहीं है।
अतः,$\theta$ का कोई भी मान दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
इस प्रकार,मानों की संख्या $0$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$ ... $(i)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसमें $(i)$ का मान रखने पर,हमें $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर $2 \sec \theta = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है,अतः $\sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर $2 \tan \theta = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है,अतः $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में होना चाहिए।
$0 < \theta < 2\pi$ के लिए,एकमात्र हल $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,केवल $1$ हल है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin 5x + \sin 3x + \sin x = 0$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \cos \left( \frac{C-D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\sin 3x = 0$ या $2 \cos 2x + 1 = 0$ है।
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0$ $\Rightarrow 3x = n\pi$ $\Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$। $0 < x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,हमें $x = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2 \cos 2x = -1 \Rightarrow \cos 2x = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$,इसलिए $2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$।
$0 < x \le \frac{\pi}{2}$ के लिए,हमें $x = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ का मान $\frac{\pi}{3}$ है।

(D) दिया गया है $\sec x \cos 5x + 1 = 0$,अतः $\cos 5x = -\cos x = \cos(\pi - x)$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $2n\pi \pm \alpha$ है।
स्थिति $1$: $5x = 2n\pi + (\pi - x)$ $\Rightarrow 6x = (2n + 1)\pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n + 1)\pi}{6}$.
$n=0, 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
स्थिति $2$: $5x = 2n\pi - (\pi - x)$ $\Rightarrow 4x = 2n\pi - \pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n - 1)\pi}{4}$.
$n=1, 2, 3, 4$ के लिए,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
चूंकि दिए गए विकल्प पूर्ण हल से मेल नहीं खाते हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3\cos \theta + 4\sin \theta = k$ है।
इसे $5 \left( \frac{3}{5}\cos \theta + \frac{4}{5}\sin \theta \right) = k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ है। तब समीकरण $5\cos(\theta - \alpha) = k$ हो जाता है।
$|k| = 5$ दिया गया है,इसलिए $k = 5$ या $k = -5$ होगा।
स्थिति $1$: यदि $k = 5$ है,तो $\cos(\theta - \alpha) = 1$ होगा। अंतराल $0^o \le \theta \le 360^o$ में,$\theta - \alpha = 0^o$ के लिए एक हल $\theta = \alpha$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: यदि $k = -5$ है,तो $\cos(\theta - \alpha) = -1$ होगा। अंतराल $0^o \le \theta \le 360^o$ में,$\theta - \alpha = 180^o$ के लिए एक हल $\theta = 180^o + \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$|k|=5$ के लिए कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया समीकरण $3 \cos x + 4 \sin x = 6$ है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-5, 5]$ है।
चूंकि मान $6$,परिसर $[-5, 5]$ के बाहर है,इसलिए समीकरण $3 \cos x + 4 \sin x = 6$ का कोई हल नहीं है।

(A) ज्या (sine) फलन का परिसर $[-1, 1]$ है।
योग $\sin x + \sin y + \sin z = -3$ होने के लिए,प्रत्येक पद का मान अपने न्यूनतम मान $-1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sin x = -1, \sin y = -1$ और $\sin z = -1$ होना चाहिए।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में,समीकरण $\sin \theta = -1$ का केवल एक ही हल है,जो $\theta = \frac{3\pi}{2}$ है।
इस प्रकार,केवल एक ही हल $(x, y, z) = (\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\sin 2\theta = \cos \theta$.
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$2 \sin \theta \cos \theta = \cos \theta$
$2 \sin \theta \cos \theta - \cos \theta = 0$
$\cos \theta (2 \sin \theta - 1) = 0$
इसका अर्थ है या तो $\cos \theta = 0$ या $2 \sin \theta - 1 = 0$.
स्थिति $1$: $\cos \theta = 0$. चूँकि $0 < \theta < \pi$,$\theta = \frac{\pi}{2}$ या $90^o$.
स्थिति $2$: $2 \sin \theta - 1 = 0 \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$.
चूँकि $0 < \theta < \pi$,$\theta = \frac{\pi}{6}$ $(30^o)$ या $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ $(150^o)$.
अतः,$\theta$ के संभावित मान $30^o, 90^o, 150^o$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $2\sin^2 \theta = 3\cos \theta$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \cos^2 \theta) = 3\cos \theta$
$2 - 2\cos^2 \theta = 3\cos \theta$
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$
माना $x = \cos \theta$. तब $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$
इससे $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं:
$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{-3 - 5}{4} = -2$
चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,इसलिए हम $x = -2$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अंतराल $0 \le \theta \le 2\pi$ में,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ का मान $\theta = \frac{\pi}{3}$ और $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ पर होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos 6\theta + \cos 4\theta + \cos 2\theta + 1 = 0$
पदों को समूहबद्ध करने पर: $(\cos 6\theta + \cos 2\theta) + (\cos 4\theta + 1) = 0$
सर्वसमिका $\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ और $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$2\cos 4\theta \cos 2\theta + 2\cos^2 2\theta = 0$
$2\cos 2\theta (\cos 4\theta + \cos 2\theta) = 0$
$2\cos 2\theta (2\cos 3\theta \cos \theta) = 0$
$4\cos 3\theta \cos 2\theta \cos \theta = 0$
इसका अर्थ है कि $\cos 3\theta = 0$ या $\cos 2\theta = 0$ या $\cos \theta = 0$।
$0 < \theta < 180^\circ$ के लिए:
$1$) $\cos 3\theta = 0$ $\Rightarrow 3\theta = 90^\circ, 270^\circ, 450^\circ$ $\Rightarrow \theta = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ$।
$2$) $\cos 2\theta = 0$ $\Rightarrow 2\theta = 90^\circ, 270^\circ$ $\Rightarrow \theta = 45^\circ, 135^\circ$।
$3$) $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ$।
अतः,$\theta$ के मान $\theta = 30^\circ, 45^\circ, 90^\circ, 135^\circ, 150^\circ$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\text{cosec } \theta + 2 = 0$
$\Rightarrow \text{cosec } \theta = -2$
$\Rightarrow \sin \theta = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\sin \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए $\theta$ तीसरे या चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
तीसरे चतुर्थांश में: $\theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$
चौथे चतुर्थांश में: $\theta = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$
अतः,मान $210^\circ$ और $330^\circ$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $2{\sin ^2}x + {\sin ^2}2x = 2$
सर्वसमिका ${\sin ^2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2(\frac{1 - \cos 2x}{2}) + {\sin ^2}2x = 2$
$1 - \cos 2x + {\sin ^2}2x = 2$
${\sin ^2}2x - \cos 2x - 1 = 0$
$(1 - {\cos ^2}2x) - \cos 2x - 1 = 0$
$-{\cos ^2}2x - \cos 2x = 0$
$\cos 2x(\cos 2x + 1) = 0$
अतः,$\cos 2x = 0$ या $\cos 2x = -1$.
स्थिति $1$: $\cos 2x = 0$ $\Rightarrow 2x = (2n + 1)\frac{\pi }{2}$ $\Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi }{4}$.
$-\pi < x < \pi$ के लिए,$x \in \{ \pm \frac{\pi }{4}, \pm \frac{3\pi }{4} \}$.
स्थिति $2$: $\cos 2x = -1$ $\Rightarrow 2x = (2n + 1)\pi$ $\Rightarrow x = (2n + 1)\frac{\pi }{2}$.
$-\pi < x < \pi$ के लिए,$x \in \{ \pm \frac{\pi }{2} \}$.
अतः,$x \in \{ \pm \frac{\pi }{4}, \pm \frac{\pi }{2}, \pm \frac{3\pi }{4} \}$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में पूर्ण समुच्चय नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 7\theta = \sin 4\theta - \sin \theta$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sin 7\theta + \sin \theta = \sin 4\theta$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 4\theta \cos 3\theta = \sin 4\theta$
$2 \sin 4\theta \cos 3\theta - \sin 4\theta = 0$
$\sin 4\theta (2 \cos 3\theta - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin 4\theta = 0$ $\Rightarrow 4\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{4}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\cos 3\theta = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 3\theta = \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{9}$.
अतः,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{9}$ और $\frac{\pi}{4}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $5\cos 2\theta + 2\cos^2\frac{\theta}{2} + 1 = 0$
सर्वसमिकाओं $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ और $2\cos^2\frac{\theta}{2} = 1 + \cos\theta$ का उपयोग करने पर:
$5(2\cos^2\theta - 1) + (1 + \cos\theta) + 1 = 0$
$10\cos^2\theta + \cos\theta - 3 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(5\cos\theta - 3)(2\cos\theta + 1) = 0$
अतः $\cos\theta = \frac{3}{5}$ या $\cos\theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos\theta = \frac{3}{5}$ के लिए,$\theta = \pm\cos^{-1}\frac{3}{5}$.
$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$.

(C) दिया गया है,$\cos \theta = \frac{-1}{2}$ जहाँ $0^o < \theta < 360^o$ है।
चूँकि $\cos \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए $\theta$ दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $\cos 60^o = \frac{1}{2}$ होता है।
दूसरे चतुर्थांश में,$\theta = 180^o - 60^o = 120^o$ होगा।
तीसरे चतुर्थांश में,$\theta = 180^o + 60^o = 240^o$ होगा।
अतः,$\theta$ के मान $120^o$ और $240^o$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $(2\cos x - 1)(3 + 2\cos x) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $2\cos x - 1 = 0$ या $3 + 2\cos x = 0$ है।
स्थिति $1$: $2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$।
$0 \le x \le 2\pi$ के लिए,हल $x = \frac{\pi}{3}$ और $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ हैं।
स्थिति $2$: $3 + 2\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{3}{2}$।
चूंकि $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए समीकरण $\cos x = -\frac{3}{2}$ का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,अंतराल $[0, 2\pi]$ में $x$ के मान $\frac{\pi}{3}$ और $\frac{5\pi}{3}$ हैं।

(B) दिया गया है $\sin \theta = \sqrt{3} \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर,$\tan \theta = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \theta = \tan \alpha$ का व्यापक हल $\theta = n\pi + \alpha$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः,$\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}$.
हमें अंतराल $-\pi < \theta < 0$ दिया गया है।
$n = -1$ रखने पर,$\theta = -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों से मेल खाने के लिए,$-\frac{2\pi}{3}$ को $-\frac{4\pi}{6}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$
इसका अर्थ है: $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है,इसलिए $\theta$ दूसरे या चौथे चतुर्थांश में होना चाहिए।
हम जानते हैं कि $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
दूसरे चतुर्थांश में,$\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$।
चौथे चतुर्थांश में,$\theta = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ$।
अतः,$\theta$ के मान $150^\circ$ और $330^\circ$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $\cos^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$1 - \sin^2 \theta + \sin \theta + 1 = 0$
$-\sin^2 \theta + \sin \theta + 2 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$\sin^2 \theta - \sin \theta - 2 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(\sin \theta - 2)(\sin \theta + 1) = 0$
इससे $\sin \theta = 2$ या $\sin \theta = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin \theta = 2$ संभव नहीं है।
अतः,$\sin \theta = -1$ है।
व्यापक हल $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ है।
$n=1$ के लिए,$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$।
चूंकि $\frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4}$,इसलिए हल अंतराल $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right)$ में स्थित है।

(C) दिए गए समीकरण $\tan \theta = -1$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
चूंकि $\tan \theta$ ऋणात्मक है और $\cos \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ को $IV$ चतुर्थांश में होना चाहिए।
अंतराल $[0, 2\pi)$ में,दोनों समीकरणों को संतुष्ट करने वाला कोण $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ है।
चूंकि $\tan \theta$ और $\cos \theta$ दोनों का आवर्तकाल $2\pi$ है,इसलिए व्यापक हल $\theta = 2n\pi + \frac{7\pi}{4}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(D) दिए गए समीकरण $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ और $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।
$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\theta$ का मान $III$ या $IV$ चतुर्थांश में होता है।
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\theta$ का मान $I$ या $III$ चतुर्थांश में होता है।
दोनों समीकरण तब संतुष्ट होते हैं जब $\theta$ का मान $III$ चतुर्थांश में हो।
$III$ चतुर्थांश में मुख्य मान $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ है।
$\theta$ के लिए सामान्य हल $2n\pi + \frac{7\pi}{6}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
चूँकि यह मान दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है $\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\tan \theta = 1$ है।
चूंकि $\cos \theta$ ऋणात्मक है और $\tan \theta$ धनात्मक है,इसलिए $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित होना चाहिए।
तीसरे चतुर्थांश में $\theta$ का मुख्य मान $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ है।
जब $\cos \theta = \cos \alpha$ और $\sin \theta = \sin \alpha$ हो,तो $\theta$ का व्यापक हल $\theta = 2n\pi + \alpha$ होता है।
अतः,व्यापक मान $\theta = 2n\pi + \frac{5\pi}{4}$ है।
चूंकि $\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$,हम इसे $\theta = 2n\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = (2n + 1)\pi + \frac{\pi}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $2\sin^2 \theta + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \cos^2 \theta) + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$
$2 - 2\cos^2 \theta + \sqrt{3} \cos \theta + 1 = 0$
$2\cos^2 \theta - \sqrt{3} \cos \theta - 3 = 0$
$x = \cos \theta$ रखने पर,$2x^2 - \sqrt{3}x - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{4}$ प्राप्त होता है।
$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ लेने पर,सबसे छोटा धनात्मक कोण $\theta = \frac{5\pi}{6}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cot \theta = \sin 2\theta$
चूंकि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$,इसलिए:
$\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta$
$\cos \theta = 2 \sin^2 \theta \cos \theta$
$\cos \theta (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\cos \theta = 0$ या $1 - 2 \sin^2 \theta = 0$ है।
स्थिति $1$: $\cos \theta = 0 \implies \theta = 90^o$।
स्थिति $2$: $2 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{2} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$\theta = 45^o$।
अतः,मान $45^o$ और $90^o$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \sqrt{3} \sin \theta = 2$.
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta = 1$.
$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) = 1$.
$\theta + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.
$\theta = \frac{\pi}{3}$ सही उत्तर है क्योंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$.

(C) दिया गया है $\tan (\pi \cos \theta ) = \cot (\pi \sin \theta )$.
सर्वसमिका $\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ का उपयोग करने पर,$\tan (\pi \cos \theta ) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta \right)$.
इसका अर्थ है $\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$ जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$\pi$ से भाग देने पर,$\cos \theta + \sin \theta = n + \frac{1}{2}$.
चूँकि $\sin \theta + \cos \theta$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है,इसलिए $n$ का केवल संभव मान $0$ है,जिससे $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{4} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sin \theta + \cos \theta) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) दिया है,$\cot (\alpha + \beta ) = 0.$
चूँकि $\cot \theta = 0$ का अर्थ है $\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}, n \in I,$
अतः $\alpha + \beta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}.$
अब,$\sin (\alpha + 2\beta ) = \sin (2(\alpha + \beta ) - \alpha ) = \sin ((2n + 1)\pi - \alpha ).$
$\sin ((2n + 1)\pi - \alpha ) = \sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha.$

(C) दिया गया समीकरण $\cos x - \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,समीकरण $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3}$ बन जाता है।
$\cos \theta = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = 2n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$x + \frac{\pi}{4} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
स्थिति $1$: $x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{12}$.
स्थिति $2$: $x = 2n\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = 2n\pi - \frac{7\pi}{12}$.

(C) दिया गया समीकरण: $12 \cot^2 \theta - 31 \csc \theta + 32 = 0$
सर्वसमिका $\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$ का उपयोग करते हुए:
$12(\csc^2 \theta - 1) - 31 \csc \theta + 32 = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$12 \csc^2 \theta - 12 - 31 \csc \theta + 32 = 0$
$12 \csc^2 \theta - 31 \csc \theta + 20 = 0$
$\csc \theta$ के रूप में द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$12 \csc^2 \theta - 16 \csc \theta - 15 \csc \theta + 20 = 0$
$(4 \csc \theta - 5)(3 \csc \theta - 4) = 0$
अतः $\csc \theta$ के दो संभावित मान हैं:
$\csc \theta = \frac{5}{4}$ या $\csc \theta = \frac{4}{3}$
चूंकि $\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$,इसलिए:
$\sin \theta = \frac{4}{5}$ या $\sin \theta = \frac{3}{4}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x - 3\sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3\cos 2x + \cos 3x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) - 3\sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3\cos 2x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2\sin 2x \cos x - 3\sin 2x = 2\cos 2x \cos x - 3\cos 2x$
$\sin 2x(2\cos x - 3) = \cos 2x(2\cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x - 3) = 0$
चूंकि $2\cos x - 3 \neq 0$ (क्योंकि $\cos x$ का मान $1.5$ नहीं हो सकता),इसलिए $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$

(B) दिया गया समीकरण: $5\cos^2 \theta + 7\sin^2 \theta - 6 = 0$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$5(1 - \sin^2 \theta) + 7\sin^2 \theta - 6 = 0$
$5 - 5\sin^2 \theta + 7\sin^2 \theta - 6 = 0$
$2\sin^2 \theta - 1 = 0$
$2\sin^2 \theta = 1$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$
चूंकि $\sin^2 \theta = \sin^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$,$\sin^2 \theta = \sin^2 \alpha$ के लिए व्यापक हल $\theta = n\pi \pm \alpha$ होता है।
अतः,$\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{4}$.

(D) समीकरण $a \cos x + b \sin x = c$ को $\sqrt{a^2 + b^2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
माना $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \alpha$ और $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \alpha$,जहाँ $\tan \alpha = \frac{b}{a}$ है।
तब समीकरण $\cos(x - \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ हो जाता है।
व्यापक हल $x - \alpha = 2n\pi \pm \cos^{-1} \left( \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$ है।
$\alpha = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 2n\pi + \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) \pm \cos^{-1} \left( \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)$.

(C) दिया गया है: $\sec 4\theta - \sec 2\theta = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = 2 \cos 4\theta \cos 2\theta$
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = \cos 6\theta + \cos 2\theta$
$\Rightarrow - \cos 4\theta = \cos 6\theta$
$\Rightarrow \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow 2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$
स्थिति $1$: $\cos 5\theta = 0$ $\Rightarrow 5\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{10}$
स्थिति $2$: $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ या $\theta = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$ है.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin 2x + \sin 4x = 2\sin 3x$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2\sin(\frac{2x+4x}{2})\cos(\frac{2x-4x}{2}) = 2\sin 3x$
$2\sin 3x \cos(-x) = 2\sin 3x$
चूँकि $\cos(-x) = \cos x$,हमारे पास है:
$2\sin 3x \cos x - 2\sin 3x = 0$
$2\sin 3x(\cos x - 1) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $\sin 3x = 0$ या $\cos x = 1$ है।
यदि $\sin 3x = 0$,तो $3x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n\pi}{3}$ है।
यदि $\cos x = 1$,तो $x = 2n\pi$ है।
चूँकि $2n\pi$,$\frac{n\pi}{3}$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए सामान्य हल $x = \frac{n\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan (\cot x) = \cot (\tan x)$
सर्वसमिका $\cot \theta = \tan (\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\tan (\cot x) = \tan (\frac{\pi}{2} - \tan x)$
$\tan \alpha = \tan \beta$ का व्यापक हल $\alpha = n\pi + \beta$ होता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः,$\cot x = n\pi + \frac{\pi}{2} - \tan x$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cot x + \tan x = n\pi + \frac{\pi}{2}$
सर्वसमिका $\tan x + \cot x = \frac{2}{\sin 2x}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\sin 2x} = \frac{(2n + 1)\pi}{2}$
$\sin 2x$ के लिए हल करने पर:
$\sin 2x = \frac{4}{(2n + 1)\pi}$

(B) दिया गया है $\cos p\theta = -\cos q\theta = \cos(\pi + q\theta)$.
इसका अर्थ है $p\theta = 2n\pi \pm (\pi + q\theta)$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
स्थिति $1$: $p\theta = 2n\pi + \pi + q\theta \implies \theta = \frac{(2n + 1)\pi}{p - q}$. यह एक $A.P.$ बनाता है जिसका सार्व अंतर $d_1 = \frac{2\pi}{|p - q|}$ है।
स्थिति $2$: $p\theta = 2n\pi - (\pi + q\theta) \implies \theta = \frac{(2n - 1)\pi}{p + q}$. यह एक $A.P.$ बनाता है जिसका सार्व अंतर $d_2 = \frac{2\pi}{p + q}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,संख्यात्मक रूप से सबसे छोटा सार्व अंतर $\frac{2\pi}{p + q}$ है।

(D) दिया गया समीकरण $a \sin x + b \cos x = c$ है।
दोनों पक्षों को $\sqrt{a^2 + b^2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
माना $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \alpha$ और $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \alpha$ है।
तब समीकरण $\sin(x + \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ हो जाता है।
चूँकि $|c| > \sqrt{a^2 + b^2}$ है,इसलिए $\left| \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| > 1$ होगा।
चूँकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए यदि $|k| > 1$ हो तो $\sin(x + \alpha) = k$ का कोई हल नहीं होता है।
अतः,दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण $8\sec^2\theta - 6\sec\theta + 1 = 0$ है।
माना $x = \sec\theta$,तो समीकरण $8x^2 - 6x + 1 = 0$ बन जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(4x - 1)(2x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x = \frac{1}{4}$ या $x = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है $\sec\theta = \frac{1}{4}$ या $\sec\theta = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\sec\theta$ का परिसर $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ होता है,इसलिए ये मान संभव नहीं हैं।
अतः,वास्तविक मूलों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $3\sin^2x - 7\sin x + 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(3\sin x - 1)(\sin x - 2) = 0$
इससे दो संभावनाएं प्राप्त होती हैं: $\sin x = \frac{1}{3}$ या $\sin x = 2$
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin x = 2$ संभव नहीं है।
अतः,हम $\sin x = \frac{1}{3}$ के लिए हल करते हैं।
अंतराल $[0, 2\pi]$ में $\sin x = \frac{1}{3}$ के $2$ हल हैं।
अंतराल $[0, 4\pi]$ में $4$ हल हैं।
अंतराल $[0, 5\pi]$ में कुल $4 + 2 = 6$ हल हैं,क्योंकि अंतराल $[4\pi, 5\pi]$ में $2$ अतिरिक्त हल मौजूद हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\cos x + \cos 4x + \cos 2x + \cos 3x = 0$
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos \left(\frac{3x}{2}\right) + 2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0$
$2 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) [\cos \left(\frac{3x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)] = 0$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos \left(\frac{5x}{2}\right) \cos x \cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0$
स्थिति $1$: $\cos \left(\frac{5x}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \pi, \frac{7\pi}{5}, \frac{9\pi}{5}$
स्थिति $2$: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$
स्थिति $3$: $\cos \left(\frac{x}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \pi$ (जो पहले से शामिल है)
कुल मानों की संख्या $7$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $8 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right) - \frac{1}{2} \right\} = 1$
सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos x \left\{ \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) + \cos(2x) - 1 \right\} = 1$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$:
$4 \cos x \left\{ \frac{1}{2} + \cos 2x - 1 \right\} = 1$
$4 \cos x \left\{ \cos 2x - \frac{1}{2} \right\} = 1$
$8 \cos^3 x - 6 \cos x = 1$
$2 \cos 3x = 1 \Rightarrow \cos 3x = \frac{1}{2}$
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$3x \in [0, 3\pi]$।
$3x$ के हल: $3x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}$।
अतः,$x = \frac{\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$।
हलों का योग $= \frac{13\pi}{9}$।
अतः,$k = \frac{13}{9}$।